专题1.3直线与平面间的位置关重难点题型专训（4个知识点+21大题型+6大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版必修第三册）

专题1.3直线与平面间的位置关重难点题型专训 （4个知识点+21大题型+6大拓展训练+自我检测） 题型一 判断图形中的线面关系 题型二 线面关系有关命题的判断 题型三 判断线面平行 题型四 证明线面平行 题型五 补全线面平行的条件 题型六 线面平行的性质 题型七 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 题型八 由线面平行求线段长度 题型九 判断线面是否垂直 题型十 证明线面垂直 题型十一 补全线面垂直的条件 题型十二 点面距离的概念及性质 题型十三 求点面距离 题型十四 求直线与平面的距离 题型十五 线面垂直证明线线平行 题型十六 线面垂直证明线线垂直 题型十七 线面垂直证明面面平行 题型十八 线面角的概念及辨析 题型十九 求线面角 题型二十 由线面角的大小求值 题型二十一 三垂线定理 拓展训练一 线面平行的性质，证明及判定 拓展训练二 线面平行相关问题求解 拓展训练三 线面垂直的判定及证明 拓展训练四 点面相关问题求解 拓展训练五 线面垂直的应用 拓展训练六 线面角相关问题求解 知识点一：直线与平面平行 （1）判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． （2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 注意：用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件： (1)直线a在平面α外，即a⊄α. (2)直线b在平面α内，即b⊂α. (3)两直线a，b平行，即a∥b. 【即时训练】 1．（23-24高二上·辽宁铁岭·期末）下列条件中能确定直线与平面平行的是（    ） A． ， ， B． ， C． ， ， ， D． ， ， ， ， ，且 2．（2024高三·全国·专题练习）如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是 知识点二：直线与平面垂直 1．直线与平面垂直的定义 如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足． 结论： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 2.直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 3．直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 4．与线面垂直有关的重要结论 (1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线． (2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． (3)如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行． (4)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直． 【即时训练】 1．（2023高二下·河北·学业考试）如图，在正方体中，分别为棱，的中点.下列结论正确的是（    ） A． 平面 B． B．平面 C． C．平面 D．平面 2．（22-23高三·全国·对口高考）给出下列四个命题： ①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直； ②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直； ③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线； ④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线． 其中真命题的序号是 ． 知识点三：直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，如图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90° 【即时训练】 1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知正方体的边长为1，记，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（23-24高二·全国·课后作业）线段AB的长等于它在平面内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角为 . 知识点四：三垂线定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直 : 【即时训练】 1．（23-24高二·全国·课后作业）如图，在正方体中，E为的中点，则下列与直线CE垂直的是（　　） A．直线AC B．直线 C．直线 D．直线 2．（24-25高二·上海·课堂例题）菱形ABCD的边长为2a，，P为平面ABCD外一点，若PD⊥平面ABCD，，则P到AB的距离为 ． 【经典例题一 判断图形中的线面关系】 【例1】（23-24高一·全国·课后作业）如图，已知正方体，则直线是平面与　(　　) A．平面的交线 B．平面的交线 C．平面的交线 D．平面的交线 【例2】（23-24高二下·广西桂林·期中）是正角形所在平面外一点，分别是和的中点，且.    (1)求证：是和的公垂线； (2)求异面直线和之间的距离. 1．（24-25高一下·广东东莞·期中）已知直线，，平面，，，那么与平面的关系是（    ） A． B． C．或 D．与相交 2．（23-24高二上·上海普陀·期中）已知直线、及平面，若且，则与平面的位置关系为 . 3．（23-24高一·全国·课后作业）如图，长方体． （1）直线平面 ； （2）直线平面 ． 4．（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？ （1）AM所在的直线与平面ABCD； （2）CN所在的直线与平面ABCD； （3）AM所在的直线与平面CDD1C1； （4）CN所在的直线与平面A1B1C1D1. 【经典例题二 线面关系有关命题的判断】 【例1】（24-25高一下·广东深圳·期末）直线，互相平行的一个充分条件是（    ） A．，都平行于同一个平面 B．，都垂直于同一个平面 C．垂直于所在的平面 D．平行于所在的平面 【例2】（22-23高一·全国·随堂练习）设是三个点，是过点的直线，是一个平面．将下列命题改写成语言叙述，判断它们是否正确，并说明理由． (1)当，时，直线； (2) 1．（24-25高一下·海南海口·阶段练习）已知不重合的直线，和平面，下列命题中真命题是（    ） A．若，，则m，n是异面直线 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．（23-24高一下·上海嘉定·期末）下列命题中正确的个数是（    ） ①若直线l上有无数个点不在平面内，则； ②若直线l与平面平行，则l与平面内的任一直线平行； ③如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ④若直线l与平面平行，则l与平面内的任一直线都没有公共点. A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）若空间中四条直线满足，，，则下列结论一定正确的是 . ①、②、③、④、⑤、⑥ 4．（22-23高二·全国·课堂例题）如图所示，已知在平面内，过该角的顶点A引平面的斜线，且使，求证：斜线在平面内的射影平分．    【经典例题三 判断线面平行】 【例1】（24-25高一下·新疆·期中）若直线与平面相交，则下列结论正确的是（    ） A．平面内任意直线和直线异面 B．平面内存在直线和直线平行 C．平面内有且仅有一条直线和直线相交 D．平面内有无数条直线都与直线相交 【例2】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在四面体ABCD中，E、F分别是、的重心．该四面体中，哪些面与EF平行？请说明理由． 1．（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，是两个不同的平面，是一条直线，下列条件中一定能使成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高三上·陕西西安·期中）如图，在正方形中，分别是的中点，则直线与平面的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 3．（23-24高二·全国·课后作业）如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD， PC，PB的中点．在此几何体中，与直线EF平行的平面有 ． 4．（2023高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，分别为的中点，平面与底面的交线为.证明：平面.    【经典例题四 证明线面平行】 【例1】（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且，又点H，G分别为BC，CD的中点，则（   ） A．平面EFGH，且四边形EFGH是矩形 B．平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．平面ABD，且四边形EFGH是菱形 D．平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形 【例2】（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图，在长方体中，证明：直线平面.    1．（23-24高一·全国·课后作业）已知平行六面体，则下面四条直线中与平面平行的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·课后作业）如图所示，为矩形所在平面外一点，矩形对角线交点为，为的中点，给出五个结论：①；②平面；③平面；④平面，⑤平面．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24·山西临汾·三模）在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝2，过BC中点E的截面与AB，CD都平行，则截面的周长为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点，求证：平面. 【经典例题五 补全线面平行的条件】 【例1】（23-24高一上·河南商丘·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件： 时，平面. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，E为边的中点，直线上是否存在点M，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 1．（24-25高三下·湖北·期中）已知直线和平面，若，且直线在平面内，则直线与平面的位置关系是 2．（23-24高一·全国·课后作业）如图，在三棱台中，，E，F分别是的中点，点M在上，，若点N在平面内，且平面，则点N的位置是 ．（写出一种即可） 3．（23-24高二上·浙江·期中）如图，长方体中，，是 上一点，，平面交棱于点，的长为 ，是上一点，且平面，则的长为 ． 4．（23-24高一·全国·课后作业）如图，在五面体中，，底面ABC是正三角形，．四边形是矩形，问：D在AC上运动，当D在何处时，有平面，并说明理由． 【经典例题六 线面平行的性质】 【例1】（24-25高一下·北京·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形的两组对边均不平行．给出下列命题： ①在平面内不存在直线与平行； ②在平面内存在无数多条直线与平面平行； ③平面与平面的交线与底面不平行． 其中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例2】（24-25高一下·江西·期末）已知正方体，、分别为和上的点，且，. (1)求证：； (2)设，求证：，，三点共线. 1．（24-25高一下·江西新余·期末）已知是三条不重合的直线，是两个不重合的平面，直线，则（    ） A．， B．， C．， D． 2．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设，则（   ） A．3 B．2 C． D． 3．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知点在平行四边形所在平面外，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时， .    4．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，四棱锥中，是平行四边形，是的中点． (1)若的中点为，求证：平面； (2)在上取一点，过和作平面交平面于，在上，证明：． 【经典例题七 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 【例1】（24-25高一下·广东·期中）如图，在平行六面体中，点是上靠近的三等分点，直线DM交平面于点，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若平面MEF，试求的值． 1．（24-25高一下·河南·期中）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A． B． C． D． 2．（23-24·全国·模拟预测）如图．四棱锥的底面为正方形，空间中存在点E，满足，则点E可能位于（    ） A．平面与平面的交线上 B．平面与平面的交线上 C．直线上 D．直线上 3．（24-25高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为棱上的点，若，且平面，则 ． 4．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面相交于CD，是上异于C，D的点．在线段AM上是否存在点，使得平面？说明理由． 【经典例题八 由线面平行求线段长度】 【例1】（22-23高一下·河北承德·期末）在三棱锥中，为线段上更靠近的三等分点，过作平行于的平面，则该平面截三棱锥所得截面的周长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）如图，是棱长为正方体的棱上的一点，且平面，求线段的长． 1．（2025·海南·模拟预测）如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一·全国·课后作业）如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上．若平面，则线段EF的长度等于 ，平面内与EF平行的线段是 ． 4．（23-24高二·全国·课后作业）如图所示，直线平面，点A在另一侧，点B，C，，线段AB，AC，AD分别交于点E，F，G．若BD＝4，CF＝4，AF＝5，求EG的长． 【经典例题九 判断线面是否垂直】 【例1】（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知直线平面，l为直线，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的几何体称为鳖臑（biē nào）．如图，△ABC是直角三角形，，平面ABC． (1)几何体是否为鳖臑？说明理由； (2)若H是PB上的点，且，试找出图中所有和AH垂直的棱． 1．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定能够得到直线的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·重庆·期末）下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点D、E、F分别为其所在棱的中点，能得出平面DEF的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·期中）命题：若直线与平面上的无数条直线垂直，则，是 命题（选填“真”或“假”）． 4．（22-23高一下·云南昆明·期中）如图，在三棱柱中，底面ABC，，，，M，N分别为BC，的中点，P为侧棱上的动点    (1)若P为线段的中点，求证：∥平面APM； (2)试判断直线与平面APM是否能够垂直．若能垂直，求PB的值：若不能垂直，请说明理由 【经典例题十 证明线面垂直】 【例1】（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知正三棱锥，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H，其中D，E分别是AB，BC的中点.如果直线平面DEFH，那么四边形DEFH是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知三棱台如图所示，其中．若直线平面，且，求证：直线平面．    1．（2025高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，为的中点，记过三点的平面为．过点作平面的垂线，垂足为，垂线与侧面相交于点，则（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高一下·北京东城·期末）在正方体中，，为侧面上一动点．若，则的长的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，FN．若，且，则线段MN的长等于 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，已知，侧面为正方形.求证：平面. 【经典例题十一 补全线面垂直的条件】 【例1】（23-24高二下·江西赣州·开学考试）如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点． (1)证明：面； (2)若满足面，求的值． 1．（22-23高一下·江苏镇江·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·全国·单元测试）已知平面，和直线，给出以下条件：①；②；③；④.要想得到，则所需要的条件是 ．（填序号） 3．（24-25高一下·全国·课后作业）在直三棱柱中，，当底面满足条件 时，有．（答案不唯一，请填上你认为正确的一种条件即可） 4．（23-24高三·河北·专题练习）如图，在四棱锥A－BCDE中，四边形BCDE为菱形，，，AE＝AC，点G是棱AB上靠近点B的三等分点，点F是AC的中点． (1)证明：∥平面CEG． (2)点H为线段BD上一点，设，若AH⊥平面CEG，试确定t的值． 【经典例题十二 点面距离的概念及性质】 【例1】（23-24高一下·辽宁·期末）已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，且.在下列条件中，能推出的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高一下·福建福州·期末）几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点．    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使得，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，并说明理由． 1．（2023·江西九江·三模）如图，棱长为1的正方体中，P为内一点（包括边界），且线段的长度等于点P到平面ABCD的距离，则线段长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏宿迁·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，，，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线AF垂直 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等 3．（23-24高二上·北京·阶段练习）如图，长方体中，，，，E为的中点，点P在线段上.点P到直线的距离的最小值为 .    4．（2023·广西·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，是的中点. (1)证明：平面； (2)若点到平面的距离为，求. 【经典例题十三 求点面距离】 【例1】（24-25高二·上海·课堂例题）点P不在所在平面上，过P作平面，使的三个顶点到的距离相等，这样的平面共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（2025高三·全国·专题练习） 如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，长度分别为，高，设内一点到各侧面的距离分别为，证明：点到顶点的距离． 1．（24-25高一下·江西·期末）在棱长为3的正方体中，点D到平面的距离为（   ） A． B．3 C． D． 2．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，，点是体对角线的中点，则顶点到平面距离为（   ）    A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知直线平面，，.点到平面距离为1，则点到平面的距离为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，，，，，求点到平面的距离. 【经典例题十四 求直线与平面的距离】 【例1】（25-26高二上·广西贵港·开学考试）已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为（   ） A．2 B． C．1 D． 【例2】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，已知三棱锥中，平面为中点，为中点，为中点. (1)证明:平面平面 (2)求直线到平面的距离. 1．（23-24高二上·北京·期中）正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（    ） A． B．a C． D． 2．（24-25高二上·上海·随堂练习）在长方体中，底面ABCD是边长为1的正方形，异面直线与CD所成角为，则到底面ABCD的距离为 3．（23-24高一·全国·课后作业）如图，已知正方体的棱长为1． （1）点到平面的距离为 ； （2）直线和平面的距离为 ； （3）直线和平面的距离为 ． 4．（22-23高一·全国·课后作业）设正方体的棱长是2，求棱和平面的距离． 【经典例题十五 线面垂直证明线线平行】 【例1】（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知为不同的平面，为不同的直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例2】（23-24高一下·江苏·期中）如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 1．（24-25高一下·全国·课后作业）已知直线平面于点O，，，，，且．若平面，垂足为C，平面，垂足为D，，则（   ） A．2 B．1 C． D． 2．（23-24高二上·北京怀柔·期中）已知表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（23-24高一下·北京·期末）已知a，b是平面外的两条不同直线．给出下列六个论断：①；②；③；④；⑤；⑥．选其中的两个论断作为条件，余下的其中一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ． 4．（2023高三·全国·专题练习）如图，已知正方体的棱长为2． ，分别为与上的点，且，． 求证：； 【经典例题十六 线面垂直证明线线垂直】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知长方体的底面为正方形，分别为的中点，N为底面的中心，若为等边三角形，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）点，分别为正四面体的棱，上的点，且满足，与，所成的角分别为，，求的值． 1．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知是矩形，且平面，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·天津河西·阶段练习）已知表示平面，l，m，n表示直线，下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（24-25高二上·上海静安·期中）从平面外一点向该平面引垂线段及斜线段、，已知的长为，，．则的长为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习） 如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，长度分别为，高，证明：顶点在底面上的投影恰为的垂心.    【经典例题十七 线面垂直证明面面平行】 【例1】（23-24高二上·上海静安·期中）设，为空间的两条直线，，为空间的两个平面，下列命题中真命题的个数为（    ） （1）若，，则；（2）若，，则； （3）若，，则；（4）若，，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（22-23高二上·上海闵行·阶段练习）已知四面体的所有棱长为2，E，F分别为棱BC，AD的中点.则 (1)求证直线EF与直线AB是异面直线； (2)求EF和AB所成的角. 1．（23-24高三·四川·对口高考）设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线．给出下列四个命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则； ④若，，，则． 其中正确的命题是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 2．（25-26高二上·上海·期中）对于两条不同的直线和两个不同的平面，以下结论中正确的是（    ） A．若，，是异面直线，则相交 B．若，，共面于，则 C．若，，共面于，则 D．若，，不平行，则为异面直线 3．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为 ． ①若，则；               ②若，则； ③若，则；            ④若，则． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，证明：平面平面． 【经典例题十八 线面角的概念及辨析】 【例1】（24-25高一下·重庆渝北·期中）在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线与BD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024高三·全国·专题练习）如图所示，已知正方体，过点作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角皆相等，试找出满足条件的一个截面．    1．（2025·安徽合肥·三模）已知空间中两条直线，无公共点，则“直线，与平面所成的角相等”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二·上海·课堂例题）若直线与平面所成的角为，直线与平面上的直线所成的角为，则总有（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·期中）已知点到平面的距离是2，动点、在平面内，且，则的最小值为 . 4．（22-23高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，交于点，，为中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角． 【经典例题十九 求线面角】 【例1】（24-25高一下·辽宁丹东·期末）正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·山东青岛·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的大小． 1．（2025高三·全国·专题练习）如图，在正三棱锥中，分别为的中点，与侧面所成角为，与底面的所成角为，则（    ）    A．小于 B．不小于 C．大于 D．不确定 2．（24-25高一下·湖南永州·期末）如图1，已知四边形PABC是直角梯形，，，，D是线段PC中点.将沿AD翻折，使，连接PB，PC，如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，，平面平面，则与平面所成角的正弦值为 ． 4．（24-25高二上·上海·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面，为的中点，，为中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角． 【经典例题二十 由线面角的大小求值】 【例1】（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）已知平面，直线a分别交于点，且，直线a与所成角为，则到的距离是（   ） A． B． C． D．或 【例2】（25-26高二上·上海·单元测试）已知直角三角形ABC，斜边平面，，、分别与平面成和的角，已知，求到平面的距离． 1．（23-24高二上·北京·期中）正方体中，为正方形中心，（），直线与平面所成角为，则取最大时的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广西桂林·期中）三棱锥P﹣ABC的高为PH，若三条侧棱与底面所成的角相等，则H为△ABC的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 3．（23-24高三·福建·专题练习）如图所示，在矩形中，，E为边上的点，现将沿翻折至，使得点在平面上的射影在上，且直线与平面所成的角为，则线段的长为 . 4．（23-24高二·全国·课后作业）如图，已知直角三角形ABC的斜边平面，A在平面上，AB、AC分别与平面成和的角，已知，求BC到平面的距离． 【经典例题二十一 三垂线定理】 【例1】（24-25高二·上海·课堂例题）下列命题中，正确的是（    ） A．垂直于同一条直线的两条直线平行； B．平行于同一平面的两条直线平行； C．平面的一条斜线可以垂直于这个平面上的无数条直线； D．a、b在平面外，若a、b在平面上的射影是两条相交直线，则a、b也是相交直线． 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在中，，，，平面，，为边上的一个动点，求的最小值． 1．（24-25高二·上海·课堂例题）在以下四个命题中，不正确的有（    ） ①直线a、b与平面α成等角，则； ②直线，平面，则必有； ③一条直线与平面的一条斜线在平面上的射影垂直，则该直线必与斜线垂直； ④两点A、B到平面的距离相等，则直线． A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 2．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）如图，已知，为平面外一点，，点到两边，的距离分别为，，且，则点到平面的距离为（    ） A．4 B． C．2 D． 3．（24-25高二·上海·课堂例题）已知直角三角形中，，，若平面，且，则E到斜边的距离为 ． 4．（23-24高一·全国·课后作业）如图，在棱长为a的正方体中， (1)求证：； (2)求证：平面． 【拓展训练一 面平行的性质，证明及判定】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，点，分别为，，，的中点，为的重心．在下列平面中，恰有2条三棱柱的棱与其平行的是（    ）. A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【例2】（24-25高一下·甘肃兰州·阶段练习）如图，点C是以为直径的圆O上异于的点，P为平面外一点，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线l． (1)求证：直线平面； (2)求证：直线平面． 1．（24-25高一下·河北·阶段练习）如图，在直三棱柱中，点、分别在棱上，且，点满足，若平面，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为的中点，在上，且，平面，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D．3 3．（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，，直线平面，则 . 4．（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）如图所示，在这个正方体中，棱长为2，E、F分别为所在棱的中点，点在棱上，且满足. (1)若，求证：平面； (2)若点在线段上，且满足平面，且的取值范围为，求的取值范围. 【拓展训练二 线面平行相关问题求解】 【例1】（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD的中点，F为PC上一点，当平面时，=（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 1．（24-25高一下·山东济南·期中）如图，在四棱锥中，四边形是梯形，且点F在棱上，且平面，则=（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河南·模拟预测）正三棱锥的各棱长均为2，D为的中点，M为的中点，E为上一点，且，平面交于点Q，则截面的面积为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·浙江·模拟预测）三棱锥的所有棱长均为2，E，F分别为线段BC与AD的中点，M，N分别为线段AE与CF上的动点，若平面ABD，则线段MN长度的最小值为 ． 4．（24-25高二上·上海·期中）已知正四棱锥的高为8，各个顶点均在表面积为的球的表面上，相交于，点为线段上一点，使得直线平面. (1)确定点的位置，并证明你的结论； (2)求异面直线与所成角的大小. 【拓展训练三 线面垂直的判定及证明】 【例1】（24-25高一下·北京西城·期末）在长方体中，，．给出下列四个结论： ①；②；③平面；④平面． 其中正确的结论是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【例2】（22-23高二下·江苏泰州·期末）如图，在直三棱柱中，，，D为AC的中点.请从条件①、②、③中选择合适的两个作为已知，并解答下面的问题：    (1)求二面角所成角的正弦值； (2)点P是矩形（包含边界）内任一点，且，求CP与平面所成角的正弦值的取值范围. 条件①：平面的面积为；条件②：；条件③：点到平面的距离为. 1．（2025高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，侧棱长为4，，，点是的中点，是侧面（不含边界）上的动点．要使平面，则线段的长的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）正方体的棱长为1，点分别在线段上，且满足平面，则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）（1）如图，是直线上两点，在内的射影分别为两点，当直线满足条件 时，．    （2）在三棱锥中，当三条侧棱之间满足条件 时，有． 4．（23-24高二上·福建厦门·期中）如图，棱长为6的正四面体，是的重心，是的中点过作平面，且平面.    (1)在图中做出平面与正四面体表面的交线，要求说明作法（无需证明），并求交线长； (2)求点E到平面的距离. 【拓展训练四 点面相关问题求解】 【例1】（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，点，是底面内的一点（包括边界）且，，则下列说法错误的是（   ）    A． 点的轨迹长度为 B． B．点到平面的距离是定值 C． 直线与平面所成角的正切值的最大值为 D． D．的最小值为 【例2】（23-24高二上·山西运城·阶段练习）在直三棱柱中，，，. (1)求证：； (2)求点到平面的距离. 1．（2025·北京·三模）某建筑物的部分建筑结构可以抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，且，顶点P到底面的距离为6，则点B到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广西柳州·期末）在棱长为的正方体中，点到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）中分别为角所对的边，已知，顶点到平面距离分别为，则三角形重心到平面的距离等于 . 4．（2025高三·全国·专题练习）设、、两两互相垂直，且，，，求点到平面的距离． 【拓展训练五 线面垂直的应用】 【例1】（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题： ①若，，则              ②若，，则 ③若，，则              ④若，，则 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（2023高二上·上海·专题练习）如图，平面平面，，，垂足分别为，，直线平面，.求证：. 1．（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图所示，棱长为1的四面体木块，其四个面均为等边三角形，点是的中心，过点将木块锯开，并使得截面平行于和，则下列关于截面的说法正确的个数为（    ） ①截面是矩形； ②截面的面积为； ③截面与侧面的交线平行于侧面. A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一上·广西南宁·期末）已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2024·陕西·模拟预测）如图所示，在以底面为等腰直角三角形的直三棱柱中，为中斜边的中点，为线段上一动点，连接并延长交于点，过点作的垂线，交于点，连接，则四边形面积的最大值为 ． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，，D，E分别是棱BC，上的点（点不同于点），且平面，F为的中点．求证：直线平面． 【拓展训练六 线面角相关问题求解】 【例1】（24-25高二上·北京房山·期末）庑殿（图1）建筑是古代传统建筑中的最高型制．这种建筑形式常用于宫殿、坛庙一类皇家建筑，是北京中轴线上主要建筑最常采取的形式．如故宫午门、太和殿、乾清宫等，都是庑殿式建筑．庑殿殿顶的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面是矩形，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形，且等腰梯形和等腰三角形所在的平面与平面的夹角都相等．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，正四面体放置在平面外，，为中点，当四面体绕以旋转时，求与平面所成角的余弦值范围． 1．（2025高一·全国·专题练习）已知二面角的大小为，为直线，且，则与平面所成角的大小为（    ）. A． B． C． D． 2．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，某人在水平地面上的点O处观测垂直水平面的墙面上的动点P，观测点O到墙面的距离，墙角处点B到点A的距离，墙面上，当动点P沿射线在墙面上移动时，仰角θ(直线与水平面所成的角)正切值的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）在直四棱柱中，底面ABCD为正方形，且边长为，与底面所成角的正切值为，则该四棱柱的侧棱长等于 . 4．（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习）如图，空间四边形中，，，. (1)证明：； (2)若二面角的正切值为，求直线与平面所成的角. 1．（24-25高二下·湖南湘西·期末）设是两个不同的平面，，是异于的一条直线，则“”是“且”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二下·上海徐汇·期末）如图，正方体中，、分别是线段、线段的中点．则以下和直线相交的是直线（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知，是平面内的两条直线，则“直线且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（22-23高二上·江西抚州·期末）如图，在正方体中，是底面的中心，分别是棱的中点，则直线（    ） A．是和的公垂线 B．垂直于但不垂直于 C．垂直于，但不垂直于 D．与都不垂直 5．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，则下列结论正确的是（     ）    A．三点共线 B． 共面 C．不共面 D． 共面 6．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）过所在平面外一点，作，垂足为，连接，，，若点是的内心，则（　　） A． B．点到，，的距离相等 C．，， D．，，与平面所成的角相等 7．（2025高三·全国·专题练习）的顶点在平面内，、在的同一侧，、与所成的角分别是30°和45°，若，，，则与所成的角为（    ） A．60° B．45° C．30° D．15° 8．（25-26高三上·广东·开学考试）如图，在棱长为2的正方体中，均为顶点，为所在棱的中点，若平面，且均在平面内，则平面截正方体所得图形的面积为（    ）    A． B．4 C． D． 9．（2025高三·全国·专题练习）的边上的高为，将沿折成大小为的二面角，如图，若，则三棱锥的侧面三角形是（    ）    A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．形状与的值有关的三角形 10．（24-25高一下·安徽宿州·期末）在平行六面体中，点M是上靠近B的三等分点，直线DM交平面于点N，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点，为的中点，在上，，平面，则的值为 ． 12．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，是棱长为2的正方体的棱上一点，且面，则线段的长度是 . 13．（2025高三·全国·专题练习）如图1，正三角形ABD与以BD为直径的半圆拼在一起，是弧BD的中点，为的中心．现将沿BD翻折为，记的中心为，如图2.设直线与平面BCD所成的角为，则的最大值为 ．    14．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正方体中，，分别为，的中点，点分别在线段，上，且，则在这三点中任取两点确定的直线中，与平面平行的条数为 ． 15．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四面体中，分别为棱与上的点，且，.为棱的中点，则点到平面的距离的比为 .    16．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，三棱锥，若，，两两垂直，设，，，的面积分别为，，，．求证：． 17．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面为中点，，证明：． 18．（23-24高二·全国·课后作业）在四面体ABCD中，设AB⊥CD，AC⊥BD．求证： (1)AD⊥BC； (2)点A在底面BCD上的射影是△BCD的垂心． 19．（24-25高一下·江苏·阶段练习）如图，在棱长为6的正方体中. (1)求证：； (2)若平面，求证：点为的中心； (3)若点是平面内一个动点，且，求直线与平面所成角正切值. 20．（22-23高一下·安徽安庆·阶段练习）如图，和都是边长为的等边三角形，，平面.    (1)证明：平面； (2)若点到平面的距离为，求二面角的正切值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3直线与平面间的位置关重难点题型专训 （4个知识点+21大题型+6大拓展训练+自我检测） 题型一 判断图形中的线面关系 题型二 线面关系有关命题的判断 题型三 判断线面平行 题型四 证明线面平行 题型五 补全线面平行的条件 题型六 线面平行的性质 题型七 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 题型八 由线面平行求线段长度 题型九 判断线面是否垂直 题型十 证明线面垂直 题型十一 补全线面垂直的条件 题型十二 点面距离的概念及性质 题型十三 求点面距离 题型十四 求直线与平面的距离 题型十五 线面垂直证明线线平行 题型十六 线面垂直证明线线垂直 题型十七 线面垂直证明面面平行 题型十八 线面角的概念及辨析 题型十九 求线面角 题型二十 由线面角的大小求值 题型二十一 三垂线定理 拓展训练一 线面平行的性质，证明及判定 拓展训练二 线面平行相关问题求解 拓展训练三 线面垂直的判定及证明 拓展训练四 点面相关问题求解 拓展训练五 线面垂直的应用 拓展训练六 线面角相关问题求解 知识点一：直线与平面平行 （1）判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． （2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 注意：用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件： (1)直线a在平面α外，即a⊄α. (2)直线b在平面α内，即b⊂α. (3)两直线a，b平行，即a∥b. 【即时训练】 1．（23-24高二上·辽宁铁岭·期末）下列条件中能确定直线与平面平行的是（    ） A． ， ， B． ， C． ， ， ， D． ， ， ， ， ，且 【答案】A 【分析】对于A，根据线面平行的判定定理即可判断；对于B，由 ，，分析出或即可判断；对于C，由条件分析出或即可判断；对于D，由条件分析出或，或直线与平面相交即可判断. 【详解】由 ， ，，根据线面平行的判定定理可知，故A正确； 由 ，，可知或，故B错误； 由 ， ， ，，可知或，故C错误； ， ， ， ，，且， 则可能或，或直线 与平面相交，故D错误. 故选：A 2．（2024高三·全国·专题练习）如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是 【答案】平行 【分析】根据题意，可得把三条线段放在正方体中，结合线面平行的判定定理，即可得到结论. 【详解】如图所示，把这三条线段放在正方体内， 因为分别为的中点，可得， 又因为平面，平面，所以平面.    故答案为：平行. 知识点二：直线与平面垂直 1．直线与平面垂直的定义 如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足． 结论： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直． 2.直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 3．直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行． 4．与线面垂直有关的重要结论 (1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线． (2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． (3)如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行． (4)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直． 【即时训练】 1．（2023高二下·河北·学业考试）如图，在正方体中，分别为棱，的中点.下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】A 【分析】根据线面平行、线面垂直的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，连接，由于是的中点，是的中点， 所以，而， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以，由于平面，平面， 所以平面，所以A选项正确. 由A选项的分析可知，而平面， 所以与平面相交，所以C选项错误. 由于与的夹角为，所以与平面不垂直，D选项错误. 设正方体的边长为，则，不满足勾股定理， 所以与不垂直，而平面，所以与平面不垂直， 所以B选项错误. 故选：A 2．（22-23高三·全国·对口高考）给出下列四个命题： ①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直； ②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直； ③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线； ④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线． 其中真命题的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】根据线面垂直的定义与判定定理判断. 【详解】由线面垂直的定义知②正确，由线面垂直的判定定理知③正确，①④错误，因为其中平面内的两条直线不一定相交． 故答案为：②③ 知识点三：直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，如图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90° 【即时训练】 1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知正方体的边长为1，记，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由题意结合余弦定义以及勾股定理即可得解. 【详解】由题意. 故选：C. 2．（23-24高二·全国·课后作业）线段AB的长等于它在平面内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角为 . 【答案】 【分析】根据线面角的定义得到是AB所在直线与平面所成的角，然后在中可求出结果 【详解】如图，，则BC是AB在平面内的射影， 则，为AB所在直线与平面所成的角． 在中，， ∴，即AB所在直线与平面所成的角为. 故答案为： 知识点四：三垂线定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直 : 【即时训练】 1．（23-24高二·全国·课后作业）如图，在正方体中，E为的中点，则下列与直线CE垂直的是（　　） A．直线AC B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正方体的结构特征结合线面垂直的性质推理作答. 【详解】在正方体中，连AC，如图，点E是矩形边的中点，直线AC与直线CE不垂直，A不是； 连接，由平面，平面，则，而， 又，平面，于是得平面，而平面，则，B是； 因，若，而，，平面， 则有平面，又平面，则与矛盾， 因此，直线与直线CE不垂直，直线与直线CE不垂直，C不是； 由选项A知，直线与直线CE不垂直，D不是. 故选：B 2．（24-25高二·上海·课堂例题）菱形ABCD的边长为2a，，P为平面ABCD外一点，若PD⊥平面ABCD，，则P到AB的距离为 ． 【答案】2a 【分析】由线面垂直证明线线垂直得点到直线距离，然后勾股定理计算即可. 【详解】如图所示，取中点F，连接， 在菱形ABCD中，，，，由余弦定理， 有， 所以，， 由已知PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以，即P到AB的距离为PF， 由勾股定理可得. 故答案为：2a. 【经典例题一 判断图形中的线面关系】 【例1】（23-24高一·全国·课后作业）如图，已知正方体，则直线是平面与　(　　) A．平面的交线 B．平面的交线 C．平面的交线 D．平面的交线 【答案】B 【分析】根据点线、线面的位置关系，判断线面关系，进而判断属于是哪两个面的交线. 【详解】连接. 因为，，而，面， 所以面，则面，故面面. 故选：B 【例2】（23-24高二下·广西桂林·期中）是正角形所在平面外一点，分别是和的中点，且.    (1)求证：是和的公垂线； (2)求异面直线和之间的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明即可求证是和的公垂线； （2）由（1）知在等腰三角形中，直接求出异面直线和之间的距离. 【详解】（1）连接，如下图所示：    易知与是全等的正三角形， 又是的中点，所以； 又是的中点，可得； 同理可证 又； 所以是和的公垂线； （2）在等腰三角形中， 易知， 所以 即异面直线和之间的距离为. 1．（24-25高一下·广东东莞·期中）已知直线，，平面，，，那么与平面的关系是（    ） A． B． C．或 D．与相交 【答案】C 【分析】以正方体为载体，取，，分别取面和为平面，即可判断结果. 【详解】 在正方体中，取，， 当取面为平面时， 所以满足，，此时； 当取面为平面时， 所以满足，，此时， 所以与平面的关系是或. 故选：. 2．（23-24高二上·上海普陀·期中）已知直线、及平面，若且，则与平面的位置关系为 . 【答案】或 【分析】根据已知条件结合线面位置关系判断可得出结论. 【详解】因为且，直线与平面的位置关系为或. 故答案为：或. 3．（23-24高一·全国·课后作业）如图，长方体． （1）直线平面 ； （2）直线平面 ． 【答案】 / 【分析】根据几何特征，即可判断直线与平面的位置关系，即可得解. 【详解】根据长方体可知，直线平面， 直线平面. 故答案为：，. 4．（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？ （1）AM所在的直线与平面ABCD； （2）CN所在的直线与平面ABCD； （3）AM所在的直线与平面CDD1C1； （4）CN所在的直线与平面A1B1C1D1. 【答案】（1）相交；（2）相交；（3）平行；（4）相交. 【分析】根据线面位置关系的定义可判断. 【详解】（1）平面ABCD，平面ABCD，AM所在的直线与平面ABCD相交. （2）平面ABCD，平面ABCD，CN所在的直线与平面ABCD相交. （3）因为在正方体中，平面平面CDD1C1,平面,所以AM所在的直线与平面CDD1C1平行. （4）因为CN所在的直线与平面ABCD相交，平面平面，所以CN所在的直线与平面A1B1C1D1相交. 【经典例题二 线面关系有关命题的判断】 【例1】（24-25高一下·广东深圳·期末）直线，互相平行的一个充分条件是（    ） A．，都平行于同一个平面 B．，都垂直于同一个平面 C．垂直于所在的平面 D．平行于所在的平面 【答案】B 【分析】由线线平行的条件直接得到, 【详解】A选项，若直线，都平行于同一个平面，则直线，可能平行或异面或相交，A错误． B选项，由线面垂直的性质定理，若，都垂直于同一个平面，则， B正确． C选项，若垂直于所在的平面，则，C错误． D选项，若平行于所在的平面，则，平行或异面，D错误． 故选：B． 【例2】（22-23高一·全国·随堂练习）设是三个点，是过点的直线，是一个平面．将下列命题改写成语言叙述，判断它们是否正确，并说明理由． (1)当，时，直线； (2) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】根据数学符号描述的几何意义，可将（1）（2）改写成语言叙述即可，并根据点、线、面的位置关系即可判断是否正确. 【详解】（1）语言叙述：过平面内一点和平面外一点的直线在此平面内. 该说法错误； 因为若直线在平面内，则直线上所有的点都在平面内. （2）语言叙述：过平面内两点确定的直线，该直线上所有的点都在此平面内. 该说法正确； 因为若点在平面内，则直线在平面内，所有直线上的点都在平面内， 又因为点在直线上，所以点在平面内. 1．（24-25高一下·海南海口·阶段练习）已知不重合的直线，和平面，下列命题中真命题是（    ） A．若，，则m，n是异面直线 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】理解选项中条件与结论的逻辑关系，运用反例排除错误选项. 【详解】A、若与相交，则可能与在交点处相交，A错误； B、若,则与可能平行也可能异面，所以不能得出，B错误； C、两平行于同一平面的直线可能相交、异面或平行，C错误； D、若一条直线垂直于一个平面，另一条直线与这条直线平行，那么另一条直线也垂直于这个平面， 因为，所以；D正确. 故选：D. 2．（23-24高一下·上海嘉定·期末）下列命题中正确的个数是（    ） ①若直线l上有无数个点不在平面内，则； ②若直线l与平面平行，则l与平面内的任一直线平行； ③如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ④若直线l与平面平行，则l与平面内的任一直线都没有公共点. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据线面的位置关系逐项判断. 【详解】①若直线l上有无数个点不在平面α内，有可能直线与平面相交，故错误； ②若直线l与平面α平行，有可能直线与平面内的直线异面，故错误； ③如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么有可能另外一条直线在面内，故错误； ④因为直线与平面平行时与平面内直线的位置关系为平行或异面，均没有公共点，正确； 故选：B. 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）若空间中四条直线满足，，，则下列结论一定正确的是 . ①、②、③、④、⑤、⑥ 【答案】④⑥ 【分析】借助垂直与平行的性质逐项分析即可得. 【详解】由，，则，故①错，④对； 由，，则，故③错，⑥对； 可能垂直，也可能平行，故②、⑤错. 故答案为：④⑥. 4．（22-23高二·全国·课堂例题）如图所示，已知在平面内，过该角的顶点A引平面的斜线，且使，求证：斜线在平面内的射影平分．    【答案】证明见解析 【分析】过点做的垂线, 在Rt、Rt、Rt中表示出、、,并找出其中的关系，即证明出最小角定理，再运用求证即可. 【详解】证明：设点在平面内的射影为点，则为在平面内的射影．    如图过点做的垂线交于点, 由平面，可得，又且点M，面,面，故面，因此. 在Rt中，令，则， 在Rt中，令，, 在Rt中，令，， , 即最小角定理（三余弦定理），因此有 ， ， 由可得，且， 因此，即平分． 【经典例题三 判断线面平行】 【例1】（24-25高一下·新疆·期中）若直线与平面相交，则下列结论正确的是（    ） A．平面内任意直线和直线异面 B．平面内存在直线和直线平行 C．平面内有且仅有一条直线和直线相交 D．平面内有无数条直线都与直线相交 【答案】D 【分析】根据直线与平面的位置关系对各个选项逐一分析判断，即可求解． 【详解】因为直线与平面相交，所以平面内的直线与直线的关系相交或异面，设直线与平面交于点， 对于A，当平面内的直线过交点时，此时过点的直线和直线相交，故A不正确； 对于B，若平面内存在直线和直线平行，根据线面平行的判定定理得出平面，与已知矛盾，故B不正确； 因为平面内过交点的直线有无数条，且这些直线都与相交，故C不正确；D正确． 故选：D． 【例2】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在四面体ABCD中，E、F分别是、的重心．该四面体中，哪些面与EF平行？请说明理由． 【答案】平面、平面与EF平行，理由见解析 【分析】根据三角形重心的性质，结合三角形中位线定理、线面平行的判定定理进行判断证明即可. 【详解】设是的中点，因为E、F分别是、的重心． 所以为E、F分别在、上， 由三角形重心的性质可知：， 于是有， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 因此在四面体中，平面、平面与EF平行. 1．（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，是两个不同的平面，是一条直线，下列条件中一定能使成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项. 【详解】A.若，，则或，故A错误； B.若，，则或，故B错误； C.若，，则，或或相交，故C错误； D.若，，则，故D正确. 故选：D 2．（23-24高三上·陕西西安·期中）如图，在正方形中，分别是的中点，则直线与平面的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】B 【分析】连接，设，连接,，证明四边形为平行四边形可得,从而即可证明平面. 【详解】连接交于，连接，，，而，分别是，的中点， 所以，即，且，即， 则四边形为平行四边形，故，由平面平面，则平面. 故选：B. 3．（23-24高二·全国·课后作业）如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD， PC，PB的中点．在此几何体中，与直线EF平行的平面有 ． 【答案】平面PBC，平面ABCD． 【分析】作出立体图形，利用线面平行的判定定理即可判断 【详解】 因为分别为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， ，，所以 平面，平面， 所以平面， 故答案为：平面，平面 4．（2023高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，分别为的中点，平面与底面的交线为.证明：平面.    【答案】证明见解析 【分析】先利用线面平行的判定定理证明，平面，再利用线面平行的性质定理证明，接着用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】因为分别为的中点，所以，. 又平面，平面， 所以平面. 又平面，平面与底面的交线为， 所以,从而，. 而平面，平面， 所以平面. 【经典例题四 证明线面平行】 【例1】（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且，又点H，G分别为BC，CD的中点，则（   ） A．平面EFGH，且四边形EFGH是矩形 B．平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．平面ABD，且四边形EFGH是菱形 D．平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形 【答案】B 【分析】先应用线面平行判定定理证明线面平行，再结合边长关系得出四边形为梯形即可判断选择. 【详解】由知，，且． 又平面，平面，平面． 又点H，G分别为BC，CD的中点，且， 且，四边形是梯形． 故选:B． 【例2】（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图，在长方体中，证明：直线平面.    【答案】证明见解析 【分析】先证明四边形为平行四边形，得，再由线面平行的判断进行证明即可． 【详解】在长方体中，且，且， 得且， 得四边形为平行四边形，得， 而平面，平面， 得直线平面. 1．（23-24高一·全国·课后作业）已知平行六面体，则下面四条直线中与平面平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出平行六面体，结合线面平行的判定定理，即可得出结果. 【详解】对于A，因为平面，故A错误； 对于B，假设平面， 因为在平行六面体中，， 又平面，所以平面，显然不成立，故B错误； 对于C，与选项B同理可证不满足题意，故C错误； 对于D，在平行六面体中，且，    所以四边形是平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面，故D正确. 故选：D. 2．（23-24高一·全国·课后作业）如图所示，为矩形所在平面外一点，矩形对角线交点为，为的中点，给出五个结论：①；②平面；③平面；④平面，⑤平面．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】依题意可得，再根据线面平行的判定定理证明即可. 【详解】解：由于为的中点，为的中点，则，故①对； 由于平面，平面，则平面，即②对； 平面，平面，则平面，即③对； 由于平面，故④错； 由于平面，故⑤错． 故选：C． 3．（23-24·山西临汾·三模）在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝2，过BC中点E的截面与AB，CD都平行，则截面的周长为 ． 【答案】4 【分析】根据线面平行的性质，结合平行线的性质进行求解即可. 【详解】设的中点分别为，连接， 根据三角形中位线定理，可得：， ， 所以有，因此四边形是平行四边形， 因为，平面，平面， 所以平面， 同理平面， 因此平行四边形的周长为， 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】连接，交于，利用中位线性质可得，再由线面平行判定定理即可证明平面. 【详解】连接，交于，如下图所示： 因为底面是正方形，故为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面 【经典例题五 补全线面平行的条件】 【例1】（23-24高一上·河南商丘·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件： 时，平面. 【答案】答案表述不唯一) 【分析】当为的中点，为的中点时，根据三角形中位线的性质即可判断，从而可得平面，由此可得出点满足条件的结论. 【详解】连接交于O，连接OE， 平面平面，平面平面 ， . 又 底面为平行四边形，为对角线与的交点， 故为的中点, 为的中点， 故当满足条件: 时，面. 故答案为: 答案表述不唯一) 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，E为边的中点，直线上是否存在点M，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】存在， 【分析】连接，．记，先证明为平行四边形，Q为的中点，继而可作出，结合线面平行的判定即可得出结论. 【详解】如图，连接，．记，而，， E为边的中点，则， 故为平行四边形，且Q为的中点， 连接，在平面内作，交延长线于M， 则有，所以． 此时平面，平面， 则直线平面， 即直线上存在点M，使得直线平面，. 1．（24-25高三下·湖北·期中）已知直线和平面，若，且直线在平面内，则直线与平面的位置关系是 【答案】或. 【分析】利用线面平行的判定定理可推导出结论. 【详解】当时，由得； 当时，满足题中条件. 综上，直线与平面的位置关系是或. 故答案为：或. 2．（23-24高一·全国·课后作业）如图，在三棱台中，，E，F分别是的中点，点M在上，，若点N在平面内，且平面，则点N的位置是 ．（写出一种即可） 【答案】N是线段上靠近点的三等分点（答案不唯一） 【分析】当时，连接，利用线面平行的判定定理可得答案. 【详解】当时，连接，因为，所以， 因为E，F分别为的中点，所以，从而， 又平面平面，所以平面． 故答案为：N是线段上靠近点的三等分点（答案不唯一）. 3．（23-24高二上·浙江·期中）如图，长方体中，，是 上一点，，平面交棱于点，的长为 ，是上一点，且平面，则的长为 ． 【答案】 【分析】第一空：延长交于，连接，与的交点即为，通过三角形知识求解即可； 第二空：作，交于，连接，通过边长关系求解即可. 【详解】 第一空：如图，延长交于，连接，交于，由，， 可得，所以； 第二空：是上一点，且平面，作，交于，连接，则， 四边形为平行四边形，，则. 故答案为：；. 4．（23-24高一·全国·课后作业）如图，在五面体中，，底面ABC是正三角形，．四边形是矩形，问：D在AC上运动，当D在何处时，有平面，并说明理由． 【答案】D为AC中点时，理由见解析 【分析】连接与交于点O，平面与平面的一个公共点，由线面平行的性质定理，与过点的直线（两平面的交线）平行，由此可得是中点满足题意，由线面平行的判定定理证明即可． 【详解】解：当D为AC中点时，平面． 理由：连接与交于点O，当D为AC中点时，，且OD是平面上的直线，而是平面外的直线，根据直线与平面平行的判定定理可知，平面． 【经典例题六 线面平行的性质】 【例1】（24-25高一下·北京·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形的两组对边均不平行．给出下列命题： ①在平面内不存在直线与平行； ②在平面内存在无数多条直线与平面平行； ③平面与平面的交线与底面不平行． 其中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】由线面平行的判定与性质可逐个验证. 【详解】对于命题①，设平面内存在直线与平行， 又平面，平面，所以平面， 又平面平面，所以与题干矛盾， 即在平面内不存在直线与平行，故①正确； 对于命题②，设平面平面，则平面， 所以在平面内存在无数条直线与直线平行， 这无数条直线也与平面平行，故②正确； 对于命题③，设交线平面， 又平面，平面平面，所以， 同理可得，则与题干矛盾， 即平面与平面的交线与底面不平行，故③正确. 故选：D. 【例2】（24-25高一下·江西·期末）已知正方体，、分别为和上的点，且，. (1)求证：； (2)设，求证：，，三点共线. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合正方体的性质、线面垂直的性质进行证明即可； （2）根据面面相交的性质，结合（1）的结论证明即可. 【详解】（1）如图，连结，在正方体中， ∵，又，， ∴ 平面． 又在正方体中，连接, ∵，, ∴平面， 又平面，∴． 同理可得. 又，∴平面． ∴; （2）由题意可得，又由（1）知， 所以直线和必相交，不妨设， 则， 又平面， 所以平面， 同理平面． 因为平面平面， 所以， 所以、、三条直线交于一点． 1．（24-25高一下·江西新余·期末）已知是三条不重合的直线，是两个不重合的平面，直线，则（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】A 【分析】在A中，由平行公理得；在B中，与相交、平行或异面；在C中，或；在D中，或． 【详解】由，，是三条不重合的直线，，是两个不重合的平面，直线，知： A：，，由平行公理得A正确； B:，与相交、平行或异面，故B错误； C:，或，故C错误； D:或，故D错误． 故选：A. 2．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】延长DC，AB交于G，连接，连接交于点，由题意可得出是的重心，可得，即可得出答案. 【详解】延长DC，AB交于G，连接，连接交于点， 则由，，得C是DG中点， 是PD中点，是的重心， ，即. 故选：A. 3．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知点在平行四边形所在平面外，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时， .    【答案】 【分析】根据线面平行的性质定理构造线线平行，再根据平行线段比例关系，可得结论. 【详解】如图，连结，交于点，连结， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 因为，且，所以，即， 所以， 所以.    故答案为：. 4．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，四棱锥中，是平行四边形，是的中点． (1)若的中点为，求证：平面； (2)在上取一点，过和作平面交平面于，在上，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，得到且，进而证得且，得到四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. （2）连接与交于点，得到，证得平面，结合线面平行的性质定理，即可证得. 【详解】（1）证明：如图所示，取的中点，连接， 因为为的中点，可得且， 又因为为平行四边形，可得且， 所以且， 又因为为的中点，可得且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，且平面，所以平面. （2）证明：连接与交于点，且为的中点， 由点为的中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面， 又因为平面，且平面平面，所以. 【经典例题七 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 【例1】（24-25高一下·广东·期中）如图，在平行六面体中，点是上靠近的三等分点，直线DM交平面于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过线线平行得到线面平行，再利用线面平行的性质得到线线平行，进而得到线段成比例，结合是上靠近的三等分点即可求得结果. 【详解】设平面与交于点，连接交于点，连接， 平行六面体中， ∵∥，平面，平面， ∴∥平面， 又平面，平面平面， ∴∥， 又是上靠近的三等分点，∴ ∵平面，平面， ∴∥平面， 又平面，平面平面， ∴∥，∴ 所以. 故选：C. 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若平面MEF，试求的值． 【答案】 【分析】根据线面平行的性质定理得到，然后利用相似和菱形的性质求比值即可. 【详解】解：如图，连接BD交AC于点，连接OM． 因为平面MEF，平面平面，平面PAC， 所以，所以． 在菱形ABCD中，因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以． 又，所以， 故，即的值为． 1．（24-25高一下·河南·期中）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可. 【详解】连接交于点，连接， 由平面，平面，平面平面， 所以， 因为底面为平行四边形，所以， 又，则，所以. 故选：D. 2．（23-24·全国·模拟预测）如图．四棱锥的底面为正方形，空间中存在点E，满足，则点E可能位于（    ） A．平面与平面的交线上 B．平面与平面的交线上 C．直线上 D．直线上 【答案】A 【分析】利用线面平行的判定定理与性质定理即可得到答案. 【详解】设平面平面， 因为，所以平面，由线面平行的性质定理知，； 又， 所以与重合， 即点E位于平面与平面的交线上. 故选：A． 3．（24-25高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为棱上的点，若，且平面，则 ． 【答案】/ 【分析】首先作辅助线，根据相似可求得，然后根据线面平行的性质得出线线平行，进而由相似定理可求得. 【详解】如图，连接交于点，连接． 因为，所以， 因为平面，平面平面平面， 所以，所以． 故答案为：. 4．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面相交于CD，是上异于C，D的点．在线段AM上是否存在点，使得平面？说明理由． 【答案】存在；理由见解析 【分析】如图，连接AC，BD交于点，可得，则可得平面． 【详解】存在，当为AM的中点时，平面． 理由如下： 如图，连接AC，BD交于点，因为四边形为矩形，所以为AC的中点， 连接OP，因为为AM的中点，所以， 又不在平面内，平面，所以平面． 【经典例题八 由线面平行求线段长度】 【例1】（22-23高一下·河北承德·期末）在三棱锥中，为线段上更靠近的三等分点，过作平行于的平面，则该平面截三棱锥所得截面的周长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】作且，证得平面和平面，得到截面为平行四边形，结合题意，即可求解. 【详解】如图所示，在三棱锥中，过作分别作， 再分别过点作，可得四点共面， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面，所以截面即为平行四边形， 又由为线段上更靠近的三等分点，且， 所以， 所以平行四边形的周长为：. 故选：B.    【例2】（23-24高二·全国·课后作业）如图，是棱长为正方体的棱上的一点，且平面，求线段的长． 【答案】 【分析】连接，交于点，由线面平行的性质可得，知为中点，利用勾股定理可求得结果. 【详解】连接，交于点，连接，则为的中点． 平面，平面，平面平面， ，又为中点，为中点，， 则在中，. 1．（2025·海南·模拟预测）如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在平面内，作，与DE交于点，连接CF，证明MFCN是平行四边形，根据梯形中位线可求MF长度，从而得到答案. 【详解】如图所示，在平面内，作，与DE交于点，连接CF，则，所以共面，因为∥平面CDE，由线面平行的性质知，所以MFCN是平行四边形，所以. 又是的中点，所以MF是梯形的中位线， 设，则，即， 所以，所以. 故选：B. 2．（23-24高一·全国·课后作业）已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线面平行的性质定理及三角形的中位线定理，结合勾股定理即可求解. 【详解】连接，，则过点.如图所示 ∵平面，平面平面，平面， ∴，∵， ∴. 故选：B. 3．（23-24高一·全国·课后作业）如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上．若平面，则线段EF的长度等于 ，平面内与EF平行的线段是 ． 【答案】 【分析】由线面平行的性质求解 【详解】在正方体中，，∴． 又E为AD的中点，平面，平面，平面平面， ∴，∴为的中点，∴． ∵，∴． 故答案为：， 4．（23-24高二·全国·课后作业）如图所示，直线平面，点A在另一侧，点B，C，，线段AB，AC，AD分别交于点E，F，G．若BD＝4，CF＝4，AF＝5，求EG的长． 【答案】 【分析】根据线面平行的性质定理可知，然后利用相似三角形知识可以得到，进而求出. 【详解】因为，所以点 与直线a可以确定一个平面，即平面． 因为，且平面，平面， 所以，即，所以． 于是． 【经典例题九 判断线面是否垂直】 【例1】（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知直线平面，l为直线，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】注意与平行这一特殊情况：，，再结合充要条件分析即可. 【详解】直线平面，则且， 反之，若，则，， 所以“，”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的几何体称为鳖臑（biē nào）．如图，△ABC是直角三角形，，平面ABC． (1)几何体是否为鳖臑？说明理由； (2)若H是PB上的点，且，试找出图中所有和AH垂直的棱． 【答案】(1)几何体是鳖臑，理由见详解； (2)和AH垂直的棱有： 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，由平面ABC，得均为直角三角形，再根据线面垂直的判定定理证明平面，所以，所以为直角三角形，即可得证. （2）因为，再根据线面垂直的性质定理证明，从而证明平面，继而找出和AH垂直的棱. 【详解】（1）几何体是鳖臑，理由如下：因为平面ABC，所以，所以均为直角三角形，又因为△ABC是直角三角形，，所以，又因为平面ABC，所以，，所以平面，所以，所以为直角三角形，即四个面都为直角三角形，所以几何体是否为鳖臑. （2）因为，又由（1）知平面，所以，且，所以平面，所以，所以与AH垂直的棱有. 1．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定能够得到直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线、平面的位置关系的判断可得结果． 【详解】对于A，，则与相交、平行或，故A错误； 对于B，，缺少相交，不一定能推出，故B错误； 对于C，，则与平行或，故C错误； 对于D，，由线面垂直的性质知，故D正确． 故选：D． 2．（23-24高一下·重庆·期末）下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点D、E、F分别为其所在棱的中点，能得出平面DEF的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为体对角线与对角面垂直，只需找到与对角面平行的答案即可. 【详解】 设下底面端点，及上底面对应端点，如图所示， 连接,和，由三垂线定理知，且， 又因为,面，面， 所以面. 对于C，因为，,，所以面//面， 所以平面DEF. A、B、D选项中面与面均不平行. 故选：C. 3．（24-25高二上·上海·期中）命题：若直线与平面上的无数条直线垂直，则，是 命题（选填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】根据空间中线面的位置关系判断即可. 【详解】当时，在平面内存在无数条直线与直线垂直，但是与不垂直，故命题为假命题. 故答案为：假. 4．（22-23高一下·云南昆明·期中）如图，在三棱柱中，底面ABC，，，，M，N分别为BC，的中点，P为侧棱上的动点    (1)若P为线段的中点，求证：∥平面APM； (2)试判断直线与平面APM是否能够垂直．若能垂直，求PB的值：若不能垂直，请说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2)不能垂直，理由见解析 【分析】（1）取中点D，连接，DN，DM，，根据三角形中位线定理和平行四边形的性质可证得∥平面APM，∥平面APM，再由面面平行的判定可得平面∥平面APM，再利用面面平行的性质可得结论； （2）假设平面APM，设，，然后由三角形相似可求出的值进行判断. 【详解】（1）取中点D，连接，DN，DM，，    ∵D，M分别为，CB的中点，∴∥且， ∴四边形为平行四边形，∴∥， 又平面APM，AM⊂平面APM，∴∥平面APM， ∵D，N分别为，的中点，∴∥， 又P，M分别为，CB的中点，∴∥， ∴∥， 又平面APM，MP⊂平面APM，∴∥平面APM， ∵，DN⊂平面，， ∴平面∥平面APM，又平面， ∴∥平面APM （2）假设平面APM，由PM⊂平面APM，得， 设，， 当时，， ∴∽，∴， 由已知得：，，， ∴，解得：， ∴假设错误， ∴直线与平面APM不能垂直 【经典例题十 证明线面垂直】 【例1】（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知正三棱锥，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H，其中D，E分别是AB，BC的中点.如果直线平面DEFH，那么四边形DEFH是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】C 【分析】先根据线面平行得出四边形DEFH是平行四边形，利用线面垂直可得，从而可得四边形DEFH是矩形. 【详解】取AC的中点G，连接SG，BG.因为是正三角形，则. 因为是正三棱锥，所以，则，平面SGB，故平面SGB， 因为平面SGB，所以. 因为平面DEFH，平面SAB，平面平面，所以，同理. 又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也分别为AS，SC的中点，从而得，且， 即且，所以四边形DEFH为平行四边形. 又，，，所以，所以四边形DEFH为矩形. 故选：C. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知三棱台如图所示，其中．若直线平面，且，求证：直线平面．    【答案】证明见解析 【分析】根据题意，由面面垂直的判定定理可证平面平面，再由面面垂直的性质定理即可证得线面垂直； 【详解】依题意，，，，如图所示，延长三条侧棱交于点D；    由可得，，且分别为线段DA，DB，DC的中点， 取AB的中点M，则； 由可得，则， 又，； ，则，故， 即，而，且平面，故平面， 又平面，故平面平面； 而直线平面，，平面平面， 故直线平面； 1．（2025高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，为的中点，记过三点的平面为．过点作平面的垂线，垂足为，垂线与侧面相交于点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先作出平面，根据垂直关系找到，求出长度可得答案. 【详解】取的中点的中点，连接与相交于点，连接，由正方形的性质知四边形为矩形，矩形所在平面即平面． 由可知，得， 又由，可得， 由题意知平面，且平面，故平面． 正方形的边长为2， 有，，则， 故选：D．    【点睛】 2．（24-25高一下·北京东城·期末）在正方体中，，为侧面上一动点．若，则的长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，确定出点的运动轨迹为线段即可求解． 【详解】在正方体中，，连接，设，连接，如下图： 为侧面上一动点，要使得， ∵为的中点，∴， 又∵，，平面， ∴平面，∵平面，∴， 又∵平面，平面， ∴， 又∵平面， ∴平面， 又∵平面， ∴， 反之，当时，， ∴点的运动轨迹为线段. 当点与重合时，的长取得最大值为：， 故选：C． 3．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，FN．若，且，则线段MN的长等于 ． 【答案】 【分析】连接，利用线线垂直可证得平面，进而可证，利用勾股定理可求得. 【详解】连接，因为，所以， 又四边形是正方形，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又，， 在中，可得， 在中，可得，所以. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，已知，侧面为正方形.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】先证，然后结合正方形性质和线面垂直判定定理可证. 【详解】因为直三棱柱，平面， 又平面，， 又，平面，， 平面. 又平面，. 侧面为正方形，， 又，、平面， 平面. 【经典例题十一 补全线面垂直的条件】 【例1】（23-24高二下·江西赣州·开学考试）如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定定理，结合锐角的三角函数定义进行求解即可. 【详解】因为，，所以，， 因此，因为D是的中点， 所以，且，在直三棱柱ABC一中，平面， 而平面，所以，因为， 平面，所以平面，而平面， 因此，在直角三角形中，， 当时，即， 此时，而，即， 即，而，平面， 因此平面，此时， 故选：C 【例2】（22-23高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点． (1)证明：面； (2)若满足面，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出，可得出，再由已知条件可得出，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）分析可知，计算出三边边长，利用余弦定理求出的值，可求得的长，进而可求得的长，即可得解. 【详解】（1）证明：因为，，，所以，， 所以，，则， 因为平面，平面，所以，， 又因为，、平面，所以，平面. （2）解：因为平面，平面，所以，， 若面，平面，则， 因为，， 由余弦定理可得， 因为平面，、平面，则， 所以，，， 在中，，，， 所以，， 所以，， 所以，，则， 因此，若满足面，则. 1．（22-23高一下·江苏镇江·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点.要使平面，则线段的长的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取为上靠近的四等分点，确定，的轨迹为线段，计算线段长度的最值得到答案. 【详解】平面，平面，则， ，，故， 取为上靠近的四等分点，则，故，    现在说明此时平面， 平面，平面，故， 又，，平面，故平面， 平面，故，且， 又，，平面，故平面， 故的轨迹为线段，，故的最大值为. 故选：A. 2．（23-24高一下·全国·单元测试）已知平面，和直线，给出以下条件：①；②；③；④.要想得到，则所需要的条件是 ．（填序号） 【答案】②④ 【分析】由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时，此直线也垂直于另一个平面，由此能求出结果． 【详解】解：平面，和直线，给出条件：①；②；③；④， 由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时，此直线也垂直于另一个平面，结合所给的选项，故由②④可推出． 即②④是的充分条件， 满足条件②④时，有． 故答案为：②④． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）在直三棱柱中，，当底面满足条件 时，有．（答案不唯一，请填上你认为正确的一种条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据由线面垂直可得线线垂直结合直三棱柱的性质可得类似于的结论即可. 【详解】如图所示，连接， 由，可得，因此，要证， 则只要证明平面，即只要证即可， 由直三棱柱可知，只要证即可． 因为，，故只要证即可． （或者能推出的条件，如等） 答案：（答案不唯一） 4．（23-24高三·河北·专题练习）如图，在四棱锥A－BCDE中，四边形BCDE为菱形，，，AE＝AC，点G是棱AB上靠近点B的三等分点，点F是AC的中点． (1)证明：∥平面CEG． (2)点H为线段BD上一点，设，若AH⊥平面CEG，试确定t的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)0. 【分析】（1）取AG的中点Ⅰ，记，连接FⅠ，DⅠ，GO，由三角形中位线定理可得∥，∥，然后先证得线面平行，再可证得面面平行； （2）由已知可得△ABC≌△ABE，则GC＝GE，得OC⊥OG，结合已知可得OC⊥平面ABD，则OC⊥AG，利用余弦定理求出，再由勾股定理的逆定理可得BG⊥OG，由线面垂直的判定可得AG⊥平面CEG，从而可得H与B重合，进而可求得结果. 【详解】（1）证明：如图，取AG的中点Ⅰ，记，连接FⅠ，DⅠ，GO． 在△ACG中，F，Ⅰ分别为AC，AG的中点，所以∥， 同理，在△BDⅠ中，有∥， 因为平面，平面， 所以∥平面，∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面， 又平面ⅠFD， 所以∥平面CEG． （2）解：因为底面BCDE是菱形，所以OC⊥OD． 因为AE＝AC，BC＝BE，所以△ABC≌△ABE， 则GC＝GE， 又因为点O是EC的中点，所以OC⊥OG． 因为，平面ABD， 所以OC⊥平面ABD， 因为平面ABD， 所以OC⊥AG． 因为，， 所以， 则， 则，所以BG⊥OG． 又因为，平面CEG， 所以AG⊥平面CEG． 若AH⊥平面CEG，则H与B重合． 故． 【经典例题十二 点面距离的概念及性质】 【例1】（23-24高一下·辽宁·期末）已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，且.在下列条件中，能推出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线面垂直的判定定理结合图象判断即可求解 【详解】当时（如图所示），由推不出，即错误； 同理可知，错误； 若，可知与交于一点，且，所以，即D正确. 故选：D 【例2】（22-23高一下·福建福州·期末）几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点．    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使得，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由线线平行证明面面平行，先在平面上找到直线使即可； （2）由（1）可得存在，使即，，，四点共面，先转化为关于即可. 【详解】（1）    如图，在平面上，过点作交的延长线于点，连接， 因，， 所以， 因为正三角形， 所以，，， 如图：    故，，， 取的中点为，连接， 则，且， 故，且， 故四边形为平行四边形，故， 又因平面，平面， 所以平面，即平面 （2）    由（1）知： ， 设与的交点为，则， 则，，，四点共面， 故存在点，使得，，，四点共面； 在中，如图    因，，为的中点， 取的中点，则，且，故， 所以，故， 设到平面的距离分别为，则， ， 所以 1．（2023·江西九江·三模）如图，棱长为1的正方体中，P为内一点（包括边界），且线段的长度等于点P到平面ABCD的距离，则线段长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线与交于点，连接，过点作的平行线交于点，设，利用线线平行可得再由得，即可得线段长度的最小值. 【详解】设直线与交于点，连接，过点作的平行线交于点， 由于，平面，所以平面，故． 设，则，由，知．即，解得 由图可知，即， ∴，∴则线段长度的最小值是. 故选：D． 2．（23-24高一下·江苏宿迁·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，，，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与直线AF垂直 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等 【答案】B 【分析】对A：假设，再根据//，推出，再推出矛盾即可；对B：延拓平面，再根据线线平行，即可推出线面平行；对C：根据B中所得截面，再结合几何关系，求得截面面积即可；对D：判断不过中点，即可判断选项的正误. 【详解】对A：假设，因为//，则，； 因为为正方体，故面，又面，故，， 故，假设不成立，即与不垂直，故A错误； 对B：连接，如下所示： 因为分别为的中点，故//，又//，故//，故四点共面； 易知四边形为平行四边形，故//，又面，面，故//面，B正确； 对C：由B可知，平面截正方体所得截面为梯形； ，， 故梯形的面积为，故C错误； 对D：连接，记，若下所示： 若点与点到平面的距离相等，则过的中点，也即为的中点； 显然四边形为平行四边形，显然不为的中点，故不是中点， 则点与点到平面的距离不相等，故D错误； 故选：B. 3．（23-24高二上·北京·阶段练习）如图，长方体中，，，，E为的中点，点P在线段上.点P到直线的距离的最小值为 .    【答案】 【分析】设点P在平面ABCD上的射影为，则题意所求距离最小值即为长度的最小值，且时的长度最小，利用三角形面积相等关系即可求解. 【详解】由题意知，点P到直线的距离即为点P在平面ABCD上的射影到点C的距离. 设点P在平面ABCD上的射影为， 显然点P到直线的距离的最小值为长度的最小值， 当时，的长度最小， 此时，， 所以，解得， 即点P到直线的距离的最小值为. 故答案为：.    4．（2023·广西·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，是的中点. (1)证明：平面； (2)若点到平面的距离为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）连接，先根据面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质与判定证明即可； （2）设，根据等体积法求解即可. 【详解】（1）证明：连接，因为四边形是菱形，所以， 因为，所以为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 平面，所以， 因为，即，所以， 又，平面，所以平面； （2）设，可得， 由为正三角形，可得， 在中，， 在Rt中，，可得Rt的面积为， 又由，有，解得， 故. 【经典例题十三 求点面距离】 【例1】（24-25高二·上海·课堂例题）点P不在所在平面上，过P作平面，使的三个顶点到的距离相等，这样的平面共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】分两类：一类是过点的平面恰好过某两边的中点，另一类是过点的平面与所在的平面平行. 【详解】若过点的平面恰好过某两边的中点，此时满足的三个顶点到平面的距离相等， 则这样的平面有3个， 若过点的平面与所在的平面平行，此时满足的三个顶点到平面的距离相等， 则这样的平面只有1个， 综上，符合条件的平面共有4个. 故选：D 【例2】（2025高三·全国·专题练习） 如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，长度分别为，高，设内一点到各侧面的距离分别为，证明：点到顶点的距离． 【答案】证明见解析 【分析】内一点到各侧面的距离分别为，构成一个以为顶点长方体的长宽高，根据长方体的对角线长公式求解. 【详解】如图，由长方体的对角线长公式即得， 所以． 1．（24-25高一下·江西·期末）在棱长为3的正方体中，点D到平面的距离为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】明确点到平面的距离，利用正方体的线面关系求距离. 【详解】如图： 连接交AC于点，则为BD中点， 因为为正方体，所以平面，又平面，所以； 又底面为正方体，所以. 因为，平面, 所以平面. 故点到平面的距离为． 故选：A． 2．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，，点是体对角线的中点，则顶点到平面距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正四棱柱性质利用线面垂直可得顶点到平面的距离即为顶点到平面的距离，计算可得结果. 【详解】连接交于点，连接交于点，连接，如下图所示：    由点是体对角线的中点，根据四棱柱性质可知点在线段上，即平面； 因此顶点到平面的距离即为顶点到平面的距离， 因为是直四棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又因为为菱形，所以， 且，平面，可得平面； 因此即为顶点到平面的距离， 由，可得， 所以顶点到平面距离为. 故选：A 3．（2025高三·全国·专题练习）已知直线平面，，.点到平面距离为1，则点到平面的距离为 . 【答案】1或3 【分析】分点在平面的同侧和两侧讨论. 【详解】如图1：点在平面的同侧，      作，，垂足分别为，则直线为直线在平面上的射影. 因为，，，所以. 即点到平面的距离为3. 如图2：点在平面的两侧，    因为，，，所以，. 所以点到平面的距离为1. 故答案为：1或3 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，，，，，求点到平面的距离. 【答案】 【分析】变换图形位置，使在水平位置，作平面，以点为一顶点，三条棱在上，且以为体对角线补成长方体，求出，即得与平面所成的角，从而可求点面距离. 【详解】变换图形位置，使在水平位置，因，过点作平面的垂线， 以点为一顶点，三条棱分别在上，且以为体对角线补成长方体 设，在长方体中易得，则， 故，即得，故， 易得平面，则即与平面的所成角， 故点到平面的距离为. 【经典例题十四 求直线与平面的距离】 【例1】（25-26高二上·广西贵港·开学考试）已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，证明平面及平面，求出点到平面的距离即可. 【详解】连接交于点E，    由四边形为正方形，得，且为中点， 由⊥底面，平面，得⊥， 而，平面，则平面， 因此AE的长即为点到平面的距离， 又正方体棱长为，则， 而平面，平面，则平面， 故直线到平面的距离，即点到平面的距离. 故选：C 【例2】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，已知三棱锥中，平面为中点，为中点，为中点. (1)证明:平面平面 (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用面面平行的判定定理直接证明即可； (2)根据线面间的距离转化为点面距离，即可得出答案. 【详解】（1）因为为中点，为中点，为中点. 所以，平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 因为，平面 所以平面平面 （2）平面平面， 平面平面 所以，因为平面， 所以平面，由（1）可知平面 所以为直线到平面的距离， 因为为中点，则， 直线到平面的距离为. 1．（23-24高二上·北京·期中）正方体的棱长为a，则棱到面的距离为（    ） A． B．a C． D． 【答案】C 【分析】连接，它们交于点，证明平面，得的长即为棱到面的距离， 【详解】如图，连接，它们交于点，正方形中， 又平面，平面，所以， 平面，所以平面， 所以的长即为棱到面的距离，而， 所以所求距离为． 故选：C． 2．（24-25高二上·上海·随堂练习）在长方体中，底面ABCD是边长为1的正方形，异面直线与CD所成角为，则到底面ABCD的距离为 【答案】 【分析】由异面直线所成的角可求得长方体的高，即可得出结果. 【详解】如下图所示： 由长方体性质可知与平行， 所以即为异面直线与CD所成的角，即， 又因为为直角三角形，， 又，所以； 可得， 易知到底面ABCD的距离为. 故答案为： 3．（23-24高一·全国·课后作业）如图，已知正方体的棱长为1． （1）点到平面的距离为 ； （2）直线和平面的距离为 ； （3）直线和平面的距离为 ． 【答案】 1 1 / 【分析】（1）由平面即可作答；（2）（3）证明线面平行即可计算作答. 【详解】（1）在正方体中，平面，所以点到平面的距离为； （2）在正方体中，连接，如图， ，，则四边形是平行四边形，有， 而平面，平面，则有平面， 于是得直线和平面的距离等于点到平面的距离， 因平面，则点到平面的距离为， 所以直线和平面的距离为1； （3）在正方体中，连接，， 而平面，平面，则平面， 因此直线和平面的距离等于点到平面的距离， 连，由正方形得，而平面，平面， 因此，因，平面，则平面，而， 所以直线和平面的距离为. 故答案为：1；1； 4．（22-23高一·全国·课后作业）设正方体的棱长是2，求棱和平面的距离． 【答案】 【分析】根据已知得出，即可得出平面，即可求出点到平面的距离，根据平面，得出到平面的距离即A到平面的距离，即可得出答案. 【详解】连接BD、AC， 为正方体， 四边形ABCD为正方形， ， ，， 平面， 到平面的距离为， 平面， 到平面的距离即A到平面的距离， 棱和平面的距离为. 【经典例题十五 线面垂直证明线线平行】 【例1】（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知为不同的平面，为不同的直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用线面的位置关系，以及相应的性质定理，结合图形逐项分析即可. 【详解】对A选项：如图所示， 由图可知，若，则还有可能相交， 故A选项不正确； 对B选项：如图所示， 由图可知，若，则还有可能 故B选项不正确； 由线面垂直的性质定理可知，若，则成立， 故C选项正确； 对D选项：如图所示， 若，则还有可能， 故D选项不正确； 故选：C. 【例2】（23-24高一下·江苏·期中）如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先证明，即可得到，再由，即可得证； （2）首先证明平面，即可得到，同理可证，即可得到平面，结合（1）的结论，即可得证． 【详解】（1）在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以， 因为，，平面，平面． 所以平面． （2）因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 同理可证， 又，平面，平面． 所以平面． 又平面，所以． 1．（24-25高一下·全国·课后作业）已知直线平面于点O，，，，，且．若平面，垂足为C，平面，垂足为D，，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据平面，平面得，结合相似三角形的性质即可求解. 【详解】如图，因为平面，平面，所以． 连接OD，所以． 因为，所以． 因为，所以． 故选：A． 2．（23-24高二上·北京怀柔·期中）已知表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用空间直线与平面间的位置关系即可判断得解. 【详解】对于A，若，则也有可能，故A错误； 对于B，若，则也有可能，故B错误； 对于C，由线面垂直的性质可知，若，则，故C正确； 对于D，若，则也有可能，故D错误； 故选：C. 3．（23-24高一下·北京·期末）已知a，b是平面外的两条不同直线．给出下列六个论断：①；②；③；④；⑤；⑥．选其中的两个论断作为条件，余下的其中一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ． 【答案】，则（答案不唯一，符合题意均可） 【分析】取③④作条件，⑥作结论，根据线面垂直的性质即可得解. 【详解】以③④作条件，⑥作结论，即若，则. 因为， 所以． 故答案为：，则.（答案不唯一，符合题意均可） 4．（2023高三·全国·专题练习）如图，已知正方体的棱长为2． ，分别为与上的点，且，． 求证：； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的判定定理，证明均与平面垂直，进而证明； 【详解】证明：如图，连接，． ∵平面，平面， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， 又∵，平面， ∴平面． 又∵平面， ∴．同理可得， 又∵，平面， ∴平面． ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴． 又∵，，平面， ∴平面． ∴． 【经典例题十六 线面垂直证明线线垂直】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知长方体的底面为正方形，分别为的中点，N为底面的中心，若为等边三角形，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用长方体中的线面垂直关系，结合平行线的性质，可作异面直线所成的平面角，结合勾股定理和余弦定理即可求解. 【详解】 取中点P，连接，则， 所以直线与所成的角等于直线与所成的角，即． 设，则，取上靠近D的四等分点Q，连接 且点M为的中点，Q为的四等分点，所以 因为平面，所以平面， 又因为平面，所以，， 因为为等边三角形，所以，又由，， 所以可以由勾股定理解得，， 在中，由余弦定理可得, 直线与所成角的余弦值为． 故选：C. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）点，分别为正四面体的棱，上的点，且满足，与，所成的角分别为，，求的值． 【答案】 【分析】构造平行关系分别找到，再借助正四面体对棱垂直可得 【详解】首先证明：正四面体对棱垂直.    如图，在正四面体中，求证：. 证明：取中点，连接. 由，则，， 且平面， 则平面，平面， 故.    由题意，且，可知， 分别在上取点，使得， 连接. 则由可得， 则与所成的角即为， 同理可得，则； 同理可得与所成的角即为，且， 四边形为平行四边形. 则即为所成的角，也为所成的角. 由正四面体对棱垂直可得. 故答案为：. 1．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知是矩形，且平面，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平面，易得，结合可证平面可判断A，同理可证平面可判断B，若可得平面，结合平面，则矛盾可判断C，由平面，易得. 【详解】平面，平面，， 又是矩形，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以，故A正确； 同理可得，可证平面，可得，故B正确； 又平面，所以，故D正确； 对于C，若，又，平面， 所以平面，又平面，所以与题目矛盾，故C错误. 故选：C. 2．（24-25高一下·天津河西·阶段练习）已知表示平面，l，m，n表示直线，下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】利用线面平行、垂直的判定定理与性质定理判断即可. 【详解】对于A，空间中，若，，则也可能异面，故A错误； 对于B，空间中，若，，则也可能异面，故B错误； 对于C，若，，则，异面，相交都有可能； 对于D，，，使， ，，又，所以，故D正确； 故选：D. 3．（24-25高二上·上海静安·期中）从平面外一点向该平面引垂线段及斜线段、，已知的长为，，．则的长为 ． 【答案】 【分析】由题设可得， ，进而在中，由勾股定理可求解斜边． 【详解】如图，设平面为，由题意得平面，因为平面，所以， 在中，，， 所以，同理， 在中，，， 所以． 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习） 如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，长度分别为，高，证明：顶点在底面上的投影恰为的垂心.    【答案】证明见解析 【分析】由题意可得平面，从而可得，再证，从而可得平面，即可证得，同理可得，即可证明. 【详解】连接，由题意，，，， 因为平面， 所以平面，又平面，所以， 因为平面，为平面，所以， 又平面，，则平面， 因为平面，则， 同理可证，所以为的垂心， 即证：顶点在底面上的投影恰为的垂心.    【经典例题十七 线面垂直证明面面平行】 【例1】（23-24高二上·上海静安·期中）设，为空间的两条直线，，为空间的两个平面，下列命题中真命题的个数为（    ） （1）若，，则；（2）若，，则； （3）若，，则；（4）若，，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用立体几何中直线与平面的平行与垂直关系进行判断即可. 【详解】（1）若，，则与相交或平行，故（1）不正确； （2）若，，则，故（2）正确； （3）若，，则与平交、平行或异面，故（3）不正确； （4）若，，则，故（4）正确； 综上：（2）（4）正确，（1）（3）不正确，故真命题的个数为2. 故选：B． 【例2】（22-23高二上·上海闵行·阶段练习）已知四面体的所有棱长为2，E，F分别为棱BC，AD的中点.则 (1)求证直线EF与直线AB是异面直线； (2)求EF和AB所成的角. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1)利用异面直线的定义进行证明，既不平行也不相交即可得证 (2)取BD的中点O，连接OF，OE，将异面直线EF和AB所成的角转化为OF与EF的夹角，在中求出即可 【详解】（1）证明：取BD的中点O，连接OF，OE，又E，F分别为棱BC，AD的中点， OF为中位线，即，由，推出不平行， 平面中，平面中，平面，又平面， 所以与没有交点，综合得出与既不平行也不相交，所以直线EF与直线AB 是异面直线，从而得证. （2），则EF和AB所成的角可转化为与AB所成的角即为，由四面体 的所有棱长为2，所以四面体为正四面体，过点做平面的投影，点也是底面 正三角形的中心连接并延长交与点， ，又平面，，由，平面， .，，可得.由题意得，则， ，即EF和AB所成的角为 1．（23-24高三·四川·对口高考）设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线．给出下列四个命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则； ④若，，，则． 其中正确的命题是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】D 【分析】根据给定条件，举例说明判断①②；利用线面垂直的性质推理判断③④作答. 【详解】如图，长方体中， 对于①，令平面为平面，直线分别为直线m，n，显然有，， 而直线m，n相交，①不正确； 对于②，令平面，平面分别为平面，，直线为直线m， 显然有，，而平面与相交，②不正确； 对于③，因，，则，又，因此，③正确； 对于④，因，，则，又，因此，④正确， 所以正确命题的序号是③④. 故选：D 2．（25-26高二上·上海·期中）对于两条不同的直线和两个不同的平面，以下结论中正确的是（    ） A．若，，是异面直线，则相交 B．若，，共面于，则 C．若，，共面于，则 D．若，，不平行，则为异面直线 【答案】C 【分析】由线面平行的性质和面面的位置关系可判断A；由线面垂直的性质，可判断B；由线面平行的性质定理可判断C；由线面垂直的性质和面面的位置关系可判断D． 【详解】对于A，若，，是异面直线，则相交或平行，故A错误； 对于B，若，，则， 而共面于，无法判断的位置关系，故B错误； 对于C，若，，共面于，则成立，故C正确； 对于D，若，，不平行，则为异面直线或相交，故D错误． 故选：C. 3．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为 ． ①若，则；               ②若，则； ③若，则；            ④若，则． 【答案】③④ 【分析】由直线与平面的位置关系对命题逐一判断 【详解】对于①，若，则可能平行，相交或异面，故①错误， 对于②，若，则可能相交或异面，故②错误， 对于③，④，由线面垂直的性质知命题正确， 故答案为：③④ 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，证明：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】首先通过线线垂直推出线面垂直，再根据线面垂直推出面面垂直. 【详解】证明：如图，设相交于点，连接， 因为，故，则， 所以为的中点，且， 所以． 因为， 所以，所以，因为为的中点，所以． 因为平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． 【经典例题十八 线面角的概念及辨析】 【例1】（24-25高一下·重庆渝北·期中）在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线与BD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，又，则就是异面直线与BD所成角或其补角，利用余弦定理推理求余弦值即可. 【详解】 如图，因为和与底面所成的角分别为和， 所以，又， 则， ， 在长方体中，， 所以就是异面直线与BD所成角或其补角， 又， 由余弦定理，. 故选：B. 【例2】（2024高三·全国·专题练习）如图所示，已知正方体，过点作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角皆相等，试找出满足条件的一个截面．    【答案】答案见解析 【分析】由过同一顶点的三条棱所成的角相等的面求解. 【详解】解：因为过同一顶点的三条棱所成的角相等的面即为与12条棱所成的角相等的面， 所以过直线的三个截面． 1．（2025·安徽合肥·三模）已知空间中两条直线，无公共点，则“直线，与平面所成的角相等”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据线面角的概念结合充分条件、必要条件的概念即可得结果. 【详解】如图所示：在正方体中，令直线，，下底面为平面， 显然“直线，与平面所成的角相等”，但是“”不成立； 由线面角的定义可知：若“”，则“直线，与平面所成的角相等”成立； 即“直线，与平面所成的角相等”是“”的必要不充分条件， 故选：B 2．（24-25高二·上海·课堂例题）若直线与平面所成的角为，直线与平面上的直线所成的角为，则总有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与平面所成角的定义，结合题意，即可判断. 【详解】由直线与平面所成的角为， 根据直线与平面所成角的定义，可得直线与平面内的直线所成的最小角为， 又直线与平面上的直线所成的角为，所以. 故选：B 3．（24-25高二上·上海·期中）已知点到平面的距离是2，动点、在平面内，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据图形，比较线面角和线和平面内其他角的正弦值，即可求解. 【详解】如图，，，，过点作，垂足为点， 因为，，， 所以， 当点重合时，等号成立，所以，， 所以的最小值为 故答案为： 4．（22-23高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，交于点，，为中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用已知条件结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据线面角的定义进行求解即可. 【详解】（1）在正方形中，， 因为，所以， 又因为侧面是正方形，所以， 因为平面， 所以平面， 而平面，则，而， ∴，而， 又平面， ∴平面 （2）连接，如图所示： ∵为正方形，， ∴， 而平面， ∴平面， ∴为直线与平面所成的角， ∵， ∴， 所以直线与平面所成的角为. 【经典例题十九 求线面角】 【例1】（24-25高一下·辽宁丹东·期末）正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正四面体的性质求解即可. 【详解】在正四面体中，不妨取棱长为1，设为底面的中心，为的中点，连接， 则平面，所以就是侧棱与底面所成角， 又，所以， 故正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值为. 故选：A. 【例2】（24-25高一下·山东青岛·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需证明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证； （2）说明为直线与平面所成的角，再结合解直角三角形知识即可求解. 【详解】（1）因为，E为线段的中点，所以， 又底面，底面为正方形， 所以，，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，，平面， 所以平面； （2）由（1）知，平面， 所以为直线与平面所成的角， 设，则，， 在直角三角形中，， 所以直线与平面所成角为. 1．（2025高三·全国·专题练习）如图，在正三棱锥中，分别为的中点，与侧面所成角为，与底面的所成角为，则（    ）    A．小于 B．不小于 C．大于 D．不确定 【答案】A 【分析】运用极端原理，结合线面角的定义进行判断即可. 【详解】设点在平面的射影为，设， 在在正三棱锥中，点在底面的射影是三角形的中心， 又因为三角形是等边三角形，所以点在底面的射影在中线， 显然点在底面的射影在中线，因此， 由极端原理知，当压扁图形时，；当点趋向无穷高时，． 故选：A    2．（24-25高一下·湖南永州·期末）如图1，已知四边形PABC是直角梯形，，，，D是线段PC中点.将沿AD翻折，使，连接PB，PC，如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义找出直线与平面所成的角，然后在直角三角形中计算. 【详解】由已知，，又平面， 所以平面，所以是PB与平面ABCD所成角， 平面ABCD，则， 由题意，，所以， 所以， 故选：D. 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，，平面平面，则与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】/ 【分析】数形结合，设点到平面的距离为与平面所成角为，取．再设,则，再由墙角公式可得. 【详解】设点到平面的距离为与平面所成角为，取． 设，如图9， 则． 由墙角公式得． 故， 故． 故答案为： 4．（24-25高二上·上海·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面，为的中点，，为中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连结交于，连接，推导出，利用线面平行判定定理证明平面； （2）根据，可得直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，可得为直线与平面所成的角，利用直角三角形中易求． 【详解】（1） 连接，交于O，连结， ∵四棱锥的底面是边长为1的正方形， ∴O是的中点，∵为的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面； （2）∵，∴直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 底面，∴为直线与平面所成的角， ∵，∴， ∴直线与平面所成的角等于. 【经典例题二十 由线面角的大小求值】 【例1】（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）已知平面，直线a分别交于点，且，直线a与所成角为，则到的距离是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】画出不同的中间平面，结合线面角的定义可解. 【详解】 如图，当位于中间平面时， 过作于点，由题意可得，线面角，此时到的距离是； 当为中间平面时，如图 易得此时，间距为，所以到的距离是. 故选：D. 【例2】（25-26高二上·上海·单元测试）已知直角三角形ABC，斜边平面，，、分别与平面成和的角，已知，求到平面的距离． 【答案】 【分析】首先根据线面角的定义，作出线面角，再根据几何关系，求解点到平面的距离. 【详解】作于点，于点，则由，得， 且就是BC到平面α的距离，设， 连接、，则，，∴，， 在中，，， ∴，∴，即到平面的距离为. 1．（23-24高二上·北京·期中）正方体中，为正方形中心，（），直线与平面所成角为，则取最大时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平面中过点作交于点，连接，即可得到即为线与平面所成角，且，设正方体的棱长为，则，从而求出，即可得解. 【详解】在平面中过点作交于点，连接， 由正方体的性质可知平面，则即为直线与平面所成角， 则，设正方体的棱长为，则， 所以当时，此时取最大值，为的中点， 又，所以当时取最大值. 故选：A 2．（23-24高二下·广西桂林·期中）三棱锥P﹣ABC的高为PH，若三条侧棱与底面所成的角相等，则H为△ABC的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【分析】顶点在底面上的射影，以及侧棱与底面的夹角，构成的三个三角形是全等三角形，推出垂足到三个顶点距离相等，可得结果. 【详解】解：三棱锥P﹣ABC的高为PH， 因为三条侧棱与底面所成的角相等， 所以△PHA，△PHB，△PHC都是直角三角形 ∵PH是公共边，∠PAH=∠PBH=∠PCH ∴△PHA≌△PHB≌△PHC ∴HA=HB=HC 故H是△ABC外心 故选：B. 3．（23-24高三·福建·专题练习）如图所示，在矩形中，，E为边上的点，现将沿翻折至，使得点在平面上的射影在上，且直线与平面所成的角为，则线段的长为 . 【答案】 【分析】根据题意，过作于H，连接，结合线面角的定义可得，然后由勾股定理列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】 如图所示，过作于H，连接，由题意，得平面. 因为直线与平面所成的角为，所以. 又因为，所以，， 设，则. 在四边形中，可得， 所以，所以. 故答案为： 4．（23-24高二·全国·课后作业）如图，已知直角三角形ABC的斜边平面，A在平面上，AB、AC分别与平面成和的角，已知，求BC到平面的距离． 【答案】 【分析】过作，垂足为，过作，垂足为，连、、，则，，设BC到平面的距离为，根据线面角得到，，在直角三角形中，根据勾股定理可求出结果. 【详解】过作，垂足为，过作，垂足为，连、、， 则，， 设BC到平面的距离为，因为平面，所以 ， 在直角三角形中，所以， 在直角三角形中， ， 在直角三角形中，，则，得. 【经典例题二十一 三垂线定理】 【例1】（24-25高二·上海·课堂例题）下列命题中，正确的是（    ） A．垂直于同一条直线的两条直线平行； B．平行于同一平面的两条直线平行； C．平面的一条斜线可以垂直于这个平面上的无数条直线； D．a、b在平面外，若a、b在平面上的射影是两条相交直线，则a、b也是相交直线． 【答案】C 【分析】借助于正方体举反例可排除A,B,D;对于C，可利用体对角线在平面上的投影与垂直推出平面，得出，利用异面直线所成的角，即得可以与平面中无数和平行的直线垂直. 【详解】 对于A，如图1，正方体中，，但与异面，故A错误； 对于B，由上图知,因平面，平面， 故得平面，同理平面，但，故B错误； 对于C，如图2，在正方体中，平面,因平面，则, 又,平面,故平面,又平面，则, 因是平面的一条斜线，在平面内可作无数条与平行的直线，故C正确； 对于D，如图3，正方体中，直线平面， 且在平面上的投影为与，因,但是异面直线，故D错误. 故选：C. 【例2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在中，，，，平面，，为边上的一个动点，求的最小值． 【答案】 【分析】根据线面垂直可得线线垂直，将问题转化为即可由勾股定理求解. 【详解】∵P是定点，要使的值最小，只需即可． 要使，由于平面， ∴由三垂线定理知只需使即可， ∵，，∴． ∴． ∴， 故的最小值为. 1．（24-25高二·上海·课堂例题）在以下四个命题中，不正确的有（    ） ①直线a、b与平面α成等角，则； ②直线，平面，则必有； ③一条直线与平面的一条斜线在平面上的射影垂直，则该直线必与斜线垂直； ④两点A、B到平面的距离相等，则直线． A．1个； B．2个； C．3个； D．4个． 【答案】D 【分析】利用线面位置关系，举例说明判断各个命题即可得解. 【详解】对于①，正三棱锥的侧棱与底面所成角相等，而任意两条侧棱不平行，①错误； 对于②，直线，平面，则或，②错误； 对于③，平面内的一条直线与平面的一斜线在平面上的射影垂直，则该直线必与斜线垂直，③错误； 对于④，两点A、B到平面的距离相等，平面可以经过线段的中点，④错误， 不正确的命题个数是4. 故选：D 2．（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）如图，已知，为平面外一点，，点到两边，的距离分别为，，且，则点到平面的距离为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据三垂线定理，即可结合全等和勾股定理求解. 【详解】由于平面,平面,故, 且，, 因此,故， 又,所以, 平面，故平面， 平面，故, 同理可得, 又，因此四边形为正方形， 所以, 故选：B 3．（24-25高二·上海·课堂例题）已知直角三角形中，，，若平面，且，则E到斜边的距离为 ． 【答案】/ 【分析】过作交于点，连接， 由三垂线定理证即可得E到斜边的距离为，进而求出即可得解. 【详解】如图，过作交于点，连接， 则，所以， 因为平面，平面、平面，平面， 所以是在平面上的射影， 由及三垂线定理得，又， 所以E到斜边的距离为. 故答案为：. 4．（23-24高一·全国·课后作业）如图，在棱长为a的正方体中， (1)求证：； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）找到在平面上的投影，根据三垂线定理证结论； （2）由（1）及三垂线定理有、，再由线面垂直的判定即可证结论. 【详解】（1） 连接,则在平面上的投影为，而， 由三垂线定理得：． （2）由（1）知：，同理． 又，面，所以面． 【拓展训练一 面平行的性质，证明及判定】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，点，分别为，，，的中点，为的重心．在下列平面中，恰有2条三棱柱的棱与其平行的是（    ）. A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】根据线面平行的关系直接判断得出. 【详解】如图1，平面即平面，只有1条棱与其平行，所以A错误； 如图2，对于平面，有6条棱与其平行，它们分别为．所以B错误； 如图3，对于平面，有5条棱与其平行，它们分别为．所以C错误； 如图4，平面可由平面绕直线旋转得到，有2条棱与其平行，其余各棱均与其相交，所以D正确. 故选：D． 【例2】（24-25高一下·甘肃兰州·阶段练习）如图，点C是以为直径的圆O上异于的点，P为平面外一点，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线l． (1)求证：直线平面； (2)求证：直线平面． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意证得，再由线面平行的判定定理即可证明直线平面； （2）由（1）知，直线平面，由线面平行的性质定理证得，再由线面平行的判定定理即可知证明直线平面； 【详解】（1）因为分别是的中点，所以， 平面，平面，所以直线平面； （2）由（1）知，直线平面，平面， 平面与平面的交线为直线l，所以， 平面，平面，所以直线平面. 1．（24-25高一下·河北·阶段练习）如图，在直三棱柱中，点、分别在棱上，且，点满足，若平面，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面平行的判定定理找到过直线且与直线平行的平面，进而确定点的位置，最后利用相似求解即可. 【详解】在上取一点使得，连接， 与交于一点，即为所求（如图所示）. 证明如下： 因，，则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面， 即平面， 又，，，则， 则，即的值为. 故选：D 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为的中点，在上，且，平面，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】连接，与交于点，连接，易证，得，由平面利用线面平行的性质定理可得，即可求得. 【详解】如图，连接，与交于点，连接. 因为为的中点，所以，由四边形是平行四边形，可得， 则，所以，所以． 又平面平面，平面平面，所以，所以． 故选：D．    3．（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，，直线平面，则 . 【答案】 【分析】在线段上取点，使得，连接，，，由平面，可得，进而可得是线段的中点，由向量关系可得，即可求. 【详解】如图，在线段上取点，使得. 连接，，，记，， 连接，因为直线平面，且平面平面， 所以. 因为四边形是平行四边形， 所以为线段的中点，则为线段的中点. 因为，，所以， 所以，即. 因为为线段的中点，所以是线段的中点， 则，所以，则. 故答案为： 4．（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）如图所示，在这个正方体中，棱长为2，E、F分别为所在棱的中点，点在棱上，且满足. (1)若，求证：平面； (2)若点在线段上，且满足平面，且的取值范围为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接，由题可得，根据线面平行的判定即可证明； （2）设交于点，连接并延长交的延长线于，由题可证四边形为平行四边形，得到，利用，可得，继而得到，即可. 【详解】（1）证明：连接，，，则为中点， 又为的中点，所以， 在正方体中，，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）设交于点，连接并延长交的延长线于， 平面，平面，平面平面， ，又，所以四边形为平行四边形， 则，又，所以， 又，所以， ，， 所以,因,则可得. 【拓展训练二 线面平行相关问题求解】 【例1】（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD的中点，F为PC上一点，当平面时，=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点，连接，由线面平行的性质得，即有，结合已知得，即可得. 【详解】连接交于点，连接，显然平面平面， 又平面，平面，则，即， 由为平行四边形，且E为线段AD的中点，易知， 所以. 故选：A 【例2】（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，依题意可得为的中点，从而得到，再由正方体的性质得到，从而得到，即可得证； （2）求出和时的长度，即可得到的取值范围. 【详解】（1）连接， 因为为的中点，当时， 所以为的中点，所以， 又且，所以四边形为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面，所以平面； （2）当时为的中点，连接交于点，连接， 连接交于点，取的中点，连接、， 因为分别为的中点，所以， 则为的中点，所以， 又且，所以为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面平面，平面， 所以，所以和重合， 又，此时， 当时与点重合，在上取点使得，连接， 由前述说明可知为的中点，则， 又，所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以， 综上可得当时，求长度的取值范围为. 1．（24-25高一下·山东济南·期中）如图，在四棱锥中，四边形是梯形，且点F在棱上，且平面，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先作辅助线，构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质求得的比值. 【详解】过作交于，连接，如图所示. 因为，平面，不在平面上， 根据线面平行的判定定理可得平面. 又因为平面，，平面， 根据平面与平面平行的判定定理的推论，可得平面平面. 又平面平面，平面平面，所以. 根据相似三角形性质可得：. 因为，，所以四边形为平行四边形，所以. 又，所以，所以. 故选：B. 2．（2023·河南·模拟预测）正三棱锥的各棱长均为2，D为的中点，M为的中点，E为上一点，且，平面交于点Q，则截面的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中位线可得线面平行，进而根据线面平行的性质可得线线平行，进而可得四边形为等腰梯形，即可由边角关系求解. 【详解】因为M，D分别为AB，BC的中点，故，又平面,平面，所以平面， 由于平面,平面平面,故， 又，故．在等腰梯形MDEQ中，，， 在中，，，则，故梯形的高为，故． 故选:D． 3．（2024·浙江·模拟预测）三棱锥的所有棱长均为2，E，F分别为线段BC与AD的中点，M，N分别为线段AE与CF上的动点，若平面ABD，则线段MN长度的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】延长CM交AB于点I，设，由余弦定理得，根据角平分线定理以及平行线性质可知，运用换元法和二次函数性质可得线段MN长度的最小值． 【详解】延长CM交AB于点I，因为平面ABD， 由线面平行性质定理可知，设， 因为三棱锥的所有棱长均为2， 所以，且E为线段BC的中点， 所以AE平分∠BAC，由角平分线定理可知， 所以， 因为F为线段AD的中点，所以， 由余弦定理可知， 所以， 令，，化简可得， 因为，所以， 则在时取得最小值， 所以， 综上当，即时MN取得最小值． 故答案为：． 4．（24-25高二上·上海·期中）已知正四棱锥的高为8，各个顶点均在表面积为的球的表面上，相交于，点为线段上一点，使得直线平面. (1)确定点的位置，并证明你的结论； (2)求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)为线段的中点，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的性质可得，结合是的中点即可判断点位置, （2）根据正四棱锥的几何性质，结合球的表面积公式，可得四棱锥的底面边长，即可根据平行得是异面直线与成的角或其补角，利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）为线段的中点，证明如下： 由于相交于，四边形为正方形，故是的中点， 由于平面，平面，且平面, 故, 由于是的中点，故为线段的中点. （2）由球的表面积公式，得球的半径， 设球心为，在正四棱锥中，高为，则必在上， 连，则,，故, 则在，有， 即，可得正方形的边长为， 侧棱． 由（1）知，故是异面直线与成的角或其补角， 由于为等腰三角形，且, 故， 异面直线与所成的角为； 【拓展训练三 线面垂直的判定及证明】 【例1】（24-25高一下·北京西城·期末）在长方体中，，．给出下列四个结论： ①；②；③平面；④平面． 其中正确的结论是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】由不成立及直线与平面垂直的性质可判断①，由四边形是正方形可判断②，由线面垂直的判断定理可判断③，由不成立及直线与平面垂直的性质可判断④. 【详解】在长方体中，，， 所以底面是长方形，故不成立， 因为平面，由线面垂直的性质可知与平面不垂直， 因为平面，平面，所以， 因为，所以不成立，故①错误； 因为， 在长方体中，有， 因为平面，平面，所以， 因为，所以四边形是正方形， 所以，故②正确； 因为，所以， 因为是正方形，所以， 因为，且平面， 所以平面，故③正确； 因为是长方形，所以不成立， 由线面垂直的性质可知，平面不垂直，故④错误； 所以正确的结论是②③. 故选：B 【例2】（22-23高二下·江苏泰州·期末）如图，在直三棱柱中，，，D为AC的中点.请从条件①、②、③中选择合适的两个作为已知，并解答下面的问题：    (1)求二面角所成角的正弦值； (2)点P是矩形（包含边界）内任一点，且，求CP与平面所成角的正弦值的取值范围. 条件①：平面的面积为；条件②：；条件③：点到平面的距离为. 【答案】(1) (2) 【分析】首先以为一组正交基底，建立空间直角坐标系. 若选①②，通过条件①②，的长度，进一步利用平面法向量的求法，求出平面和平面的法向量，利用公式计算即可；若选①③，通过条件①③，的长度，进一步利用平面法向量的求法，求出平面和平面的法向量，利用公式计算即可； 若选②③，通过条件②③，的长度，进一步利用平面法向量的求法，求出平面和平面的法向量，利用公式计算即可； 解法一：根据条件确定点的轨迹，设出点的坐标后，利用条件可建立坐标横坐标和纵坐标之间的关系式，近一步利用向量求出线面的正弦值，利用函数关系可求出范围； 解法二：利用三个向量共面，建立三个向量之间的线性关系，转化为坐标后，可表示出点的坐标，利用条件可建立坐标横坐标和纵坐标之间的关系式，近一步利用向量求出线面的正弦值，利用函数关系可求出范围. 【详解】（1）因为直三棱柱，所以平面ABC，又CA，平面ABC， 所以，，又. 以为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，（，）， 则，，，，，.    选①② 因为直三棱柱中，平面平面且平面平面又，平面,又平面，. 则又由①得平面的面积为， 由②得， 解得，.所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，，取，则， 设平面的一个法向量为， 则,，取，则， 设二面角所成角的平面角为， 所以，因为，所以， 所以二面角所成角的正弦值为. 选①③ 因为直三棱柱中，平面平面且平面平面又，平面,又平面，. 又由①得平面的面积为， 由①③得，即，解得，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，，取，则， 设平面的一个法向量为， 则,，取，则 设二面角所成角的平面角为， 所以 因为，所以， 所以二面角所成角的正弦值为. 选②③， 由②得， 由②③得，即，解得，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，，取，则， 设平面的一个法向量为， 则,，取，则 设二面角所成角的平面角为， 所以， 因为，所以， 所以二面角所成角的正弦值为. （2）解法一：取AB中点Q，连接PQ，CQ， 因为平面，平面，所以， 因为，，所以，        所以点P的轨迹是以Q为圆心，半径为1的半圆，设点，所以， 因为，，所以，所以， 设CP与平面所成角为，由及平面的一个法向量为知 ， 因为，所以， 所以CP与平面所成角的正弦值的取值范围为. 解法二：设， 由得， 因为，所以，即，所以. 设CP与平面所成角为，， 又由（1）知，平面的一个法向量为， 所以，，因为，所以. 所以CP与平面所成角的正弦值的取值范围为. 故答案为：；. 1．（2025高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，侧棱长为4，，，点是的中点，是侧面（不含边界）上的动点．要使平面，则线段的长的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可证得当平面时，,当两点重合时，线段最长，两点重合时，线段最短.根据平面中的边角及比例关系求解即可. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面， ∴ ∵，是的中点，∴， 又平面，∴平面， ∵平面，∴. 令， 由平面，得， ，即， 在中，,，得 ∴，则， . 当两点重合时，线段最长，两点重合时，线段最短， 所以的取值范围是.    故选：D. 2．（2025高三·全国·专题练习）正方体的棱长为1，点分别在线段上，且满足平面，则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得平面，平面，平面与平面之间的距离为，可得为异面直线和距离时最小，进而可求范围. 【详解】连接，由正方形可得， 又平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又因为平面，所以，同理可证， 又，平面，所以平面， 同理可证平面，所以平面平面， 记平面平面，因为正方体的棱长为1， 所以，所以， 因为，所以， 所以，解得， 所以到平面的距离为，同理可得到平面的距离为， 又， 所以平面与平面之间的距离为， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以， 若为异面直线和的距离时，即，， 所以，又，平面，所以平面， 所以，符合平面， 所以平面，所以此时的长为， 所以此时，为异面直线和的距离，故此时最小， 即，当与点重合，与点重合时，最大，最大值为1， 所以线段长度的取值范围为. 故选：B. 3．（2024高三·全国·专题练习）（1）如图，是直线上两点，在内的射影分别为两点，当直线满足条件 时，．    （2）在三棱锥中，当三条侧棱之间满足条件 时，有． 【答案】 VC⊥VA且VC⊥VB或 【分析】（1）（2）利用线面垂直的性质、判定即可得条件. 【详解】（1）由，得，要，只需平面，由，因而只需， 所以满足的条件是； （2）当，时，平面，则平面， 又平面，因此； 当时，，得≌，则 取的中点，连接，则，而平面， 于是平面，而平面，所以.    符合题意的条件为且或等等． 故答案为：；且或 4．（23-24高二上·福建厦门·期中）如图，棱长为6的正四面体，是的重心，是的中点过作平面，且平面.    (1)在图中做出平面与正四面体表面的交线，要求说明作法（无需证明），并求交线长； (2)求点E到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边三角形三线合一，线面垂直的判定、性质作出图形即可，利用相似三角形（或者平行线段成比例）、解直角三角形知识计算交线长度即可. （2）作出图形证明点E到平面的距离即为线段的长度，然后根据平行线段成比例、中位线定理知识运算求解即可. 【详解】（1）如图所示：    作法为：取中点，连接，过点作，交于两点， 过点作交于点，连接，则即为平面与正四面体表面的交线. 连接交于点， 由以上可知，，同理,且是的重心， 所以， 所以， 而， 所以，即交线长为. （2）如图所示：    由（1）以及三线合一可知面， 所以面， 又由（2）可知，面，面， 所以面，同理面， 又面，面， ， 所以面面， 又面， 所以面， 过的中点作，交分别于三点， 所以面，垂足为点，且， 所以点E到平面的距离即为线段的长度， 而由平行线段成比例可知， 从而, 即点E到平面的距离为. 【拓展训练四 点面相关问题求解】 【例1】（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，点，是底面内的一点（包括边界）且，，则下列说法错误的是（   ）    A． 点的轨迹长度为 B． B．点到平面的距离是定值 C． 直线与平面所成角的正切值的最大值为 D． D．的最小值为 【答案】A 【分析】选项A：利用空间中到定点的距离为定长的点的集合为一个球，在正方体表面上的交线为圆求得的轨迹长度；选项B：可以证得平面，结合平面，所以点到平面的距离是定值；选项C：要求直线与平面所成角的正切值的最大值，则求得在平面的投影为，当取得最小值时，直线与平面所成角的正切值最大；选项D：要求的最小值，则利用到直线的距离为，当点落在上时，求得的最小值. 【详解】对于A，因为，即，所以， 即点在底面内是以为圆心､半径为1的圆上， 所以点的轨迹长度为，故A错误； 对于B，在正方体中，， 又平面，所以平面， 所以点的轨迹为线段， 又平面，所以点到平面的距离是定值，故B正确； 对于C，因为平面，所以为直线与平面所成角， 因为点到的距离为定值2，记点在平面的投影为， 所以当取得最小值时，直线与平面所成角的正切值最大， 又， 所以直线与平面所成角的正切值的最大值为，故C正确；    对于D，到直线的距离为， 当点落在上时，，故D正确. 故选：A. 【例2】（23-24高二上·山西运城·阶段练习）在直三棱柱中，，，. (1)求证：； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)见解析 (2). 【分析】（1）连接，根据题意证得，又有，得到平面，即可得到结论； （2）设所求距离为，根据等体积法可求得点到平面的距离. 【详解】（1） 连接，则 又∵，且面，面，且 ∴平面     ∴ 又∵     ∴平面 ∴ （2）由（1）知    ∵，       ∴       ∴ 设所求距离为 ∵ ∴ ∴   ∴ 1．（2025·北京·三模）某建筑物的部分建筑结构可以抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，且，顶点P到底面的距离为6，则点B到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三棱锥的几何性质，和空间中点线面的垂直关系，做出点到面的距离，求出结果即可. 【详解】 如图所示，作中点为，连接， 因为，所以，又因为是等腰直角三角形，且，所以， 因为，，是公共边，所以， 所以 , 所以，，面，面，所以面. 所以为点P到底面的距离，即. 在中，根据勾股定理，. 因为，，，面，面，所以面， 所以为点到面的距离， 在等腰直角三角形中，. 故选：C. 2．（24-25高一下·广西柳州·期末）在棱长为的正方体中，点到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，得到线面垂直，点到平面的距离为的长，最后根据正方体的性质即可得解. 【详解】如图所示，连接，交于点， 因为四边形为正方形， 所以，即， 又因为平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离为的长， 因为正方体棱长为2， 所以， 所以点到平面的距离为. 故选：C.    3．（2025高三·全国·专题练习）中分别为角所对的边，已知，顶点到平面距离分别为，则三角形重心到平面的距离等于 . 【答案】或 【分析】分三点均在平面的同侧和一个顶点与另两点分别在平面的异侧两种情况求解，同时需要注意异侧两点的垂直距离不能大于对应的边长. 【详解】在空间直角坐标系中，设平面为平面， 设三点的竖坐标分别为则的重心的纵坐标为. 若三点均在平面同侧（不妨设上方），则则； 若点在平面另一侧,不妨设点在平面的下方，则则； 若点在平面另一侧，不妨设点在平面的下方， 则则不合题意； 点在平面另一侧，不妨设点在平面的下方， 则则不合题意； 综上，三角形重心到平面（即平面）的距离等于2或. 故答案为：或. 4．（2025高三·全国·专题练习）设、、两两互相垂直，且，，，求点到平面的距离． 【答案】 【分析】由等体积法求点面距离即可得解. 【详解】设、、两两互相垂直，且，，，点到平面的距离为， 则， 所以， 所以，所以， 所以由等体积法有， 解得. 【拓展训练五 线面垂直的应用】 【例1】（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题： ①若，，则              ②若，，则 ③若，，则              ④若，，则 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据线面位置关系的判定定理、性质定理，以及推论，逐项判定，即可求解. 【详解】，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线， 若，，则，，相交或异面，故①不正确； 若，，则，故②正确； 若，，则，故③正确； 若，，则或，故④不正确； 正确命题的个数是. 故选：. 【例2】（2023高二上·上海·专题练习）如图，平面平面，，，垂足分别为，，直线平面，.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用“垂直于同一个平面的两条直线平行”来证明. 【详解】如图： ∵，，∴. 同理. ∵，，平面，∴平面. 又∵，，∴. ∵，，，平面， ∴平面. ∴. 1．（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图所示，棱长为1的四面体木块，其四个面均为等边三角形，点是的中心，过点将木块锯开，并使得截面平行于和，则下列关于截面的说法正确的个数为（    ） ①截面是矩形； ②截面的面积为； ③截面与侧面的交线平行于侧面. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据线面平行的判定定理可作出该截面，结合线面平行的性质定理可得截面是平行四边形，再利用线面垂直的判定以及性质可判断①；继而求得截面面积判断②；根据线面平行的性质定理可判断③. 【详解】由题意可知，点是的中心，过点P作， 分别交于，作交于G，设平面与交于点H， 由于平面，平面，故平面， 同理平面，即四边形即为截面， 由于平面，平面平面，平面， 故，同理，，则， 故四边形为平行四边形，即截面是平行四边形， 设M为的中点，连接， 则，，平面， 故平面，又平面， 故，而，，故， 即平行四边形为矩形，即截面是矩形，①正确； 因为点是的中心，则， 故， 故矩形的面积为，即截面的面积为，②正确； 由于截面与侧面的交线为，且， 平面，平面，故平面， 即截面与侧面的交线平行于侧面，③正确. 故选：D. 2．（23-24高一上·广西南宁·期末）已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据线线平行，线面平行的判定与性质，我们逐一对四个结论进行判断，即可得到答案． 【详解】对于A：若，则m与n可能平行也可能异面.故A为假命题； 对于B：若，则α与β也可能相交.故B为假命题； 对于C：若，则m可能在平面β上.故C为假命题； 对于D：由线面垂直的性质定理可知：垂直于同一直线的两个平面互相平行.故D正确； 故选：D． 3．（2024·陕西·模拟预测）如图所示，在以底面为等腰直角三角形的直三棱柱中，为中斜边的中点，为线段上一动点，连接并延长交于点，过点作的垂线，交于点，连接，则四边形面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用线面位置关系证明题目中所求四边形中的四边关系，结合梯形的面积计算，可得答案. 【详解】由题意在平面内过作，垂足为，如下图： 在直三棱柱中，平面， 因为平面中，所以， 在等腰直角三角形中，由题意易知， 因为，平面，所以平面， 同理可得：平面，即， 因为平面，所以， 在等腰直角三角形中，由，易知， 设，则， 所以所求截面面积： ， 令函数，则在恒成立， 所以函数在上单调递增， 故，故四边形面积的最大值为． 故答案为：. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，，D，E分别是棱BC，上的点（点不同于点），且平面，F为的中点．求证：直线平面． 【答案】证明见解析 【分析】先应用线面垂直的判定定理得出平面，再根据线面垂直的性质得出线线平行，进而得出线面平行即可. 【详解】因为，F为的中点，所以． 因为平面，且平面，所以． 又平面，平面，平面，所以平面． 又平面，所以． 又平面，平面，所以平面． 【拓展训练六 线面角相关问题求解】 【例1】（24-25高二上·北京房山·期末）庑殿（图1）建筑是古代传统建筑中的最高型制．这种建筑形式常用于宫殿、坛庙一类皇家建筑，是北京中轴线上主要建筑最常采取的形式．如故宫午门、太和殿、乾清宫等，都是庑殿式建筑．庑殿殿顶的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面是矩形，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形，且等腰梯形和等腰三角形所在的平面与平面的夹角都相等．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点在底面上的射影为，作，，垂足分别为，，设四个侧面与底面的夹角为，即可得到，根据三角形全等得到方程，整理即可. 【详解】如图所示，设点在底面上的射影为，作，，垂足分别为，． 则为侧面与底面的夹角，为侧面与底面的夹角， 设四个侧面与底面的夹角为，则在和中，， 又为公共边，所以，即，整理得． 因为，，则. 故选：C 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，正四面体放置在平面外，，为中点，当四面体绕以旋转时，求与平面所成角的余弦值范围． 【答案】 【分析】设与平面的所成角为，平移到，取中点，则， 设，由余弦定理可得，由线面角的最小定理知，在旋转过程中，当的射影是时，达最大值. 【详解】设正四面体的棱长为2，与平面的所成角为，平移到，取中点，则． 设，由余弦定理得：． 由线面角的最小定理知，在旋转过程中， 当的射影是时，达最大值，且． 所以． 1．（2025高一·全国·专题练习）已知二面角的大小为，为直线，且，则与平面所成角的大小为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直关系先确定二面角的平面角，然后可求得线面角的角度. 【详解】如图，过点作交平面于点，作交平面于点，设直线与平面的交点为，连结． 显然，，所以平面， 从而，， 所以即为二面角的平面角，所以， 从而，故直线与所成的角为， 从而直线与平面所成的角为． 故选：A． 2．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，某人在水平地面上的点O处观测垂直水平面的墙面上的动点P，观测点O到墙面的距离，墙角处点B到点A的距离，墙面上，当动点P沿射线在墙面上移动时，仰角θ(直线与水平面所成的角)正切值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作，根据线面角定义说明直线与水平面所成的角为，设，分析得，转换为函数的最值即可求解. 【详解】如图所示，过点作， 因为平面平面，平面， 所以平面， 所以直线与水平面所成的角为， 设，因为，，所以，， 又因为点到平面的距离为， 所以 设，则， 所以当时，有最小值，此时有最大值， 且最大值为. 故选：A. 3．（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）在直四棱柱中，底面ABCD为正方形，且边长为，与底面所成角的正切值为，则该四棱柱的侧棱长等于 . 【答案】 【分析】由平面，得到是与底面所成角，进而根据条件求出即可. 【详解】由题意可得平面，所以是与底面所成角， 因为与底面所成角的正切值为，所以， 因为底面ABCD为正方形，且边长为，所以，则，所以 故答案为： 4．（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习）如图，空间四边形中，，，. (1)证明：； (2)若二面角的正切值为，求直线与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用三线合一可得垂直关系，即可证明线面垂直，则问题可得证； （2）利用图中垂直关系可得二面角的平面角，再通过正切值转化为正弦值和余弦值，来求高和，再利用等体积法来点到面的距离，最后可得线面角的正弦值，从而问题得解. 【详解】（1） 由，，可得， 又因为，可得是等边三角形， 取为的中点，可知， 又因为平面， 所以平面，又因为平面， 所以； （2）由可知：是二面角的一个平面角， 所以，即， 则三棱锥的高， 此时三棱锥的体积为， 又由余弦定理可得：，所以， 又因为，可知，即， 所以三角形的面积为， 要据等体积法，可知点到平面的距离满足： ， 所以直线与平面所成的正弦值为， 即直线与平面所成的角为. 1．（24-25高二下·湖南湘西·期末）设是两个不同的平面，，是异于的一条直线，则“”是“且”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当时，可能在内或者内，故不能推出且，所以充分性不成立； 当且时，设存在直线，且， 因为，所以，根据直线与平面平行的性质定理，可得，所以，即必要性成立， 故“”是“且”的必要不充分条件． 故选：A． 2．（24-25高二下·上海徐汇·期末）如图，正方体中，、分别是线段、线段的中点．则以下和直线相交的是直线（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方体的性质，利用线面平行的判断和性质、中位线的性质、异面直线的定义、平面内两直线的位置关系逐一判断即可. 【详解】连接，正方体中，是线段的中点，所以是线段的中点.    由，平面平面得∥平面所以与不相交，故A不正确； 由、分别是线段、的中点，得∥，故B不正确； 由平面，，平面，得与直线异面，故C不正确； 对于D，因为∥，，所以与直线不平行，又，平面,所以与直线相交，故D正确.    故选：D. 3．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知，是平面内的两条直线，则“直线且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】注意与平行这一特殊情况： 且，再结合充要条件分析即可 【详解】，是平面内的两条直线 且，反之，若，则且 所以“直线且”是“”的必要不充分条件， 故选：B 4．（22-23高二上·江西抚州·期末）如图，在正方体中，是底面的中心，分别是棱的中点，则直线（    ） A．是和的公垂线 B．垂直于但不垂直于 C．垂直于，但不垂直于 D．与都不垂直 【答案】A 【分析】由立方体性质知，平面，又平面平面，所以平面，所以是和的公垂线． 【详解】设的中点为，易得平面平面， 由立方体性质知，， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可证，又平面， 所以平面，又为中点， 所以，即平面 又平面平面，所以平面， 又平面，平面， 所以， 所以是和的公垂线． 故选：A. 5．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，则下列结论正确的是（     ）    A．三点共线 B． 共面 C．不共面 D． 共面 【答案】B 【分析】由图，结合平面基本知识可判断选项正误. 【详解】对于A，由题可得三点共线，易得，则三点不共线，故A错误； 对于BC，由题可得，则三点共面.又，， 则共面，共面，故B正确，C错误； 对于D，由题可得平面，平面，又平面， 则异面，则不共面，故D错误. 6．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）过所在平面外一点，作，垂足为，连接，，，若点是的内心，则（　　） A． B．点到，，的距离相等 C．，， D．，，与平面所成的角相等 【答案】B 【分析】过作三边的垂线段，，，连接，，，构造直角三角形，利用三角形的全等得出，再利用线面垂直的性质得出，，，从而得出到，，的距离相等． 【详解】 过作三边的垂线段，，，连接，，，如图： 是的内心，， 平面，平面，平面，平面， ，，， ，， ，，，平面， 平面，平面，，即为到的距离， 同理，， 点到，，的距离相等，故B正确； 易证，，， 不一定相等，不一定相等，故A错误； 由线面角的定义可知，，与平面所成的角分别为，，， 不一定相等，不一定相等， 即不一定相等，故D错误； 若，，，平面，则平面， 又平面，，由三垂线定理逆定理可知， 同理，，故点是的垂心， 又点是的内心，所以，，不一定成立，故C错误． 故选：B 7．（2025高三·全国·专题练习）的顶点在平面内，、在的同一侧，、与所成的角分别是30°和45°，若，，，则与所成的角为（    ） A．60° B．45° C．30° D．15° 【答案】C 【分析】设D是A在平面内的射影，E是C在平面内的射影，过A作于F，分析可得为与所成的角，进而求解即可. 【详解】如图，D是A在平面内的射影，E是C在平面内的射影，过A作于F， 则平面，在面内的射影即DE， 则直线与的夹角即与DE所成的锐角由作图知， 则的大小即为线面角的大小， 由已知及作图，，，，， 所以，， 则，则， 所以， 则，即与所成的角为. 故选：C. 8．（25-26高三上·广东·开学考试）如图，在棱长为2的正方体中，均为顶点，为所在棱的中点，若平面，且均在平面内，则平面截正方体所得图形的面积为（    ）    A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】作出平面，即为平面，即证平面，在正方体中计算，即可求解. 【详解】    如图：为所在棱的中点，连接，则平面为平面， 由四边形为平行四边形，所以，又平面，平面， 所以平面， 又正方体棱长为2，所以，，， 所以，所以平行四边形为矩形， 所以. 故选：C. 9．（2025高三·全国·专题练习）的边上的高为，将沿折成大小为的二面角，如图，若，则三棱锥的侧面三角形是（    ）    A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．形状与的值有关的三角形 【答案】C 【分析】由三垂线定理得，，故. 【详解】由题知， 所以就是二面角的平面角， ，则， 所以，又平面， 所以平面，又平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面，所以. 故选：C. 10．（24-25高一下·安徽宿州·期末）在平行六面体中，点M是上靠近B的三等分点，直线DM交平面于点N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作图，根据线面平行的判定定理可知平面，然后根据线面平行的性质定理可知，可得，判断即可. 【详解】设平面DAM与交于点P，连接DP交于点Q，连接QN，如图： 因为平面DAM，平面DAM， 所以平面DAM，又平面，平面平面，所以， 因为M是三等分点，所以，因为平面平面，所以平面， 又平面PDM，平面平面，所以， 所以，因此． 故选：C 11．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点，为的中点，在上，，平面，则的值为 ． 【答案】3 【分析】设与交于点，连接，由题意可得，所以， 又由平面，可得，所以. 【详解】设与交于点，连接，如图所示， 因为为的中点，所以， 由于四边形是棱形，可得，则， 所以，所以， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以. 故答案为：3. 12．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，是棱长为2的正方体的棱上一点，且面，则线段的长度是 . 【答案】 【分析】连接与相交于点，则点是的中点，利用线面平行的性质定理可得，即点是的中点，求出可得答案. 【详解】连接与相交于点，连接，则点是的中点， 平面平面， 因为平面，所以， 可得点是的中点， 所以, 故答案为：, 13．（2025高三·全国·专题练习）如图1，正三角形ABD与以BD为直径的半圆拼在一起，是弧BD的中点，为的中心．现将沿BD翻折为，记的中心为，如图2.设直线与平面BCD所成的角为，则的最大值为 ．    【答案】/ 【分析】找出点轨迹后，再借助线面垂直的性质得到直线在平面的投影，结合正弦函数定义计算即可得. 【详解】取中点，连接，，由三角形为正三角形，故在线段上， 且，即， 则在以为圆心，为半径的圆上， 由题意可得，，、平面，， 故平面，又平面， 故直线在平面的投影为直线，即， 则当与该圆相切，即时，有.    故答案为： 14．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正方体中，，分别为，的中点，点分别在线段，上，且，则在这三点中任取两点确定的直线中，与平面平行的条数为 ． 【答案】1 【分析】根据线面平行判定定理得出平面，再应用线面平行性质定理得出及，即可判断. 【详解】如图，取的中点，且． 又且，所以且，四边形为平行四边形，则． 又平面，平面，故平面； 若平面，平面，平面平面，则，矛盾； 过点作交于点，连结，，则． 若平面，平面，平面平面，故， 又，则四边形是平行四边形，但，矛盾． 故在这三点中任取两点确定的直线中，与平面平行的有1条． 故答案为：1. 15．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四面体中，分别为棱与上的点，且，.为棱的中点，则点到平面的距离的比为 .    【答案】. 【分析】，到平面的距离分别为三棱锥与的以为底的高，把高之比转化为体积之比； 【详解】 ； 又， . 所以点到平面的距离的比为. 故答案为：1：4. 16．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，三棱锥，若，，两两垂直，设，，，的面积分别为，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】过作垂足为，连接，利用线面垂直的判定定理和性质可得，从而求出各三角形面积即可得证. 【详解】过作垂足为，连接， 由于面， 所以面，面，则， 又面，则面， 面，知， ． 17．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面为中点，，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】要证明线线垂直，需要通过证明线面垂直得出线线垂直，即证明平面. 【详解】证明：如图，记与交于点，连接． 因为是平行四边形对角线的交点，所以为的中点． 因为，所以． 因为为中点，所以，又，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以． 因为平面平面，所以平面． 因为平面，所以． 18．（23-24高二·全国·课后作业）在四面体ABCD中，设AB⊥CD，AC⊥BD．求证： (1)AD⊥BC； (2)点A在底面BCD上的射影是△BCD的垂心． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，利用线线垂直得到线面垂直，从而得到线线垂直；（2）结合第一问中的证明过程即可得到证明. 【详解】（1）如图，作AP⊥平面BDC，P是垂足，连接CP、DP、BP． ∵平面BCD， ∴AP⊥CD， ∵AB⊥CD，ABAP=A ∴CD⊥平面ABP， ∵平面ABP， ∴CD⊥BP， 同理可得：BD⊥CP． ∴点P是△BDC的垂心． ∴DP⊥BC． ∵AP⊥平面BDC，平面BCD， ∴AP⊥BC， ∵ ∴BC⊥平面ADP， ∵平面ADP ∴AD⊥BC． （2）由（1）证明可得：点A在底面BCD上的射影是△BCD的垂心． 19．（24-25高一下·江苏·阶段练习）如图，在棱长为6的正方体中. (1)求证：； (2)若平面，求证：点为的中心； (3)若点是平面内一个动点，且，求直线与平面所成角正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据正方体的结构特征证得，，再由线面垂直的判定定理证得平面，即可证明. （2）由（1）进一步证得平面，结合正方体几何特征证明，进而得到为的外心，根据为正三角形的外心，即可得到为正的中心. （3）首先、的长，再根据，求出，再由（2）得出线面角为，求解即可. 【详解】（1）如图，连接，因为四边形为正方形，则， ∵平面，平面，则， 因为，平面，， ∴平面，∵平面，∴， （2）如图，由（1）知，，同理可证， ∵，平面，平面. 则平面，∵， ∴，∴， ∴E为的外心，∵， ∴是正三角形，∴E为正的中心. （3）如图，由（2）知E为正的中心，， 在中，由正弦定理得，， ， ∵，∴， ∵平面，平面，∴， 即，，∵， 即， ∵，解得：， 所以，点P的轨迹是以点E为圆心，半径为1的圆， ∵平面，所以，与平面所成的角为， 而，∵， 故直线与平面所成角正切值为. 20．（22-23高一下·安徽安庆·阶段练习）如图，和都是边长为的等边三角形，，平面.    (1)证明：平面； (2)若点到平面的距离为，求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接、，证明出平面，利用面面垂直的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）连接、，取的中点，连接，取的中点，连接，利用等体积法计算出的长，推导出二面角的平面角为，求出的正切值，即为所求. 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接、， 因为和都是边长为的等边三角形，则，， 且，同理可得， 因为，所以，，则， 又因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）解：如图，连接、，取的中点，连接，    因为为等边三角形，为的中点，则， 取的中点，连接，因为，则， 且， 则等腰的面积为， 所以三棱锥的体积为， 因为平面，、平面，则，， 又因为，，、平面，所以，平面， 因为，平面，平面，所以，平面， 则点到平面的距离等于点到平面的距离等于， 因为，则， 又，即，所以， 因为平面，平面，则， 又因为，则， 因为为的中点，所以，， 又因为，所以二面角的平面角为， 则，所以二面角的正切值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$