第01讲 认识有理数 讲义2025-2026学年人教版数学七年级上册

第1讲 认识有理数 【学习目标】 1、掌握有理数的有关概念，能准确对有理数进行分类； 2、掌握相反数与绝对值的代数意义和几何意义。 【知识梳理】 【典例精析】 【例1】认识正负数： 1．下列每组中的两个量不是具有相反意义的一组量是　C　 A．收入40元与支出10元 B．浪费1吨水与节约1吨水 C．向东走4米与向北走4米 D．增产12吨与减产12吨 （总结：把两个相反意义的量改写成正负数后是否带单位要看题干中改写后是否带单位，而且两个相反意义的量的大小可以不相同。） 2．铁观音，是中国十大名茶之一．铁观音最佳保存的温度为，以下几个温度中，不适合储存铁观音的是　A　 A． B． C． D． 【解答】解：，，铁观音最佳保存的温度为——. 3．字母说：我虽然不是具体的数，但是我可以表示各种各样的数．那么表示的数 D A．一定是负数 B．一定是正数 C．是0 D．以上都有可能 【解答】解：当表示负数时，表示正数；当表示正数时，表示负数；当表示0时，表示0；则表示正数，负数或0． （总结：带“+”号的不一定是正数，带“-”号的数不一定是负数。就好像有贷款的不一定是穷人。） 【变式训练】 1．下列具有相反意义的两个量是　C　 A．向东走20米和向南走20米 B．盈利200元和赚了200元 C．零上和零下 D．支出30元和标价30元 2．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为千克，千克，千克的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差　0.6千克　． 【解答】解：由题意得：质量最小值是（千克），最大值是（千克）， 它们的质量最多相差：（千克）． 3．下列语句中正确的有　A　个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①0不带“”号但不是正数，故原说法错误； ②如果是正数，那么一定是负数，故正确； ③0既不是正数，也不是负数的数，故原说法错误； ④表示温度为0度，故原说法错误． 【例2】有理数分类： 1．下列关于有理数的说法正确的是　C　 A．有理数分正有理数和负有理数 （还有0） B．整数分为正整数、负整数 （还有0） C．有理数是可以写成分数形式的数 D．有理数分为正有理数、零、分数 （类型和符号分类混用了） （总结：有理数的分类按类型分是全完可逆的，比如整数和负数统称为有理数是正确的；但按符号来分就不一定，比如正数、负数和0统称为有理数就是错的。） 2．下列关于“0”的叙述中，不正确的是　D　 A．表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是最小的自然数 D．不能写成分数的形式，不是有理数 （0是有理数，属于整数类） 3．把下列各数分别填在相应的大括号里：，3.5，，，0，，，0.03，10，，． 自然数集合：，； 整数集合：，0，； 非负数集合：，，0，，0.03，； 负分数集合：，，，； 偶数集合：，； 奇数集合：， 【变式训练】 1．下列说法正确的是　B　 A．正数、负数统称为有理数 （还有0） B．分数和整数统称为有理数 C．正有理数、负有理数统称为有理数 （还有0） D．以上都不正确 2．下列对“0”的说法正确的个数是　B　 ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 3．把下列各数填入如图所示的数集的圈子里 ，0.618，，260，，，，，0． 【例3】数轴： 1．点在数轴上的位置如图所示，若将点向左移动4个单位长度得到点，则点表示的数是　C　 A．5 B．4 C． D． 【解答】解：，点表示的数是． 2．将刻度尺与数轴如图所示放置，（数轴的单位长度是，刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的4和，那么刻度尺上的“”对应数轴上的数为　D　 A． B． C． D． 【解答】解：由数轴和刻度尺对应的数据可得：数轴上的数加上刻度尺对应的数得到的和为4，刻度尺上的“”对应数轴上的数为， 3．如图，直径为1个单位长度的圆，从数轴上表示数的点向右滚动一周到点，则点表示的数为　A　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可得，圆的周长为，则点表示的无理数为． 【变式训练】 1．数轴上点表示的数是，将点在数轴上平移6个单位长度得到点，则点表示的数是　1或-11　 ． 【解答】解：，．点表示的数是1或． 2．如图，点，对应的数分别为，，对于结论：①，②，③，下列说法正确的是　A　 A．仅①②对 B．仅①③对 C．仅②对 D．①②③都对 【解答】解：观察数轴可得，，，，故①符合题意，，故②符合题意，，故③不符合题意， 3．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2024的点与圆周上表示哪个数字的点重合？　B　 A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：，， 所以数轴上表示2024的点与圆周上的数字1重合， 【例4】相反数： 1．下列各对数中，互为相反数的有　C　 与；与；与；与；与 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【解答】解：与互为相反数；与互为相反数；与相等，不互为相反数；与相等，不互为相反数；与互为相反数；所以有3对。 2．在数轴上表示互为相反数的两点之间的距离是8，则这两个数是 　+4或-4　． 【解答】解：，则这两个数是和． 3．若、互为相反数，则　2025　． 【解答】解：因为a,b互为相反数∴，原式． 【变式训练】 1．的相反数是　　；的相反数是　-a+b　；的相反数是　-a-b-c　；的相反数是　a+b-c　． （总结：求一个复杂代数式的相反数，要把这个代数式里的每一个字母和数字都变成它的相反数，加减符号可以看作是后面这个数的正负号。） 2．天平在初中物理学科中是用来测物体质量的一种重要工具，是根据杠杆平衡原理制成的．在数学学科中我们定义：若，则称与互为“天平数”，若与互为相反数，则代数式与互为“天平数”这一说法是 　错误　（填“正确”或“错误” 【解答】解：根据新定义，，原说法错误． 3．已知有理数，在数轴上的位置如图所示，那么，，，的大小关系是　　．（用“”连接） 【解答】解：根据图形可知：，，，． 【例5】绝对值： 1．如果，则　　 ，如果，则　　 ．化简： ． 2．已知是整数），则符合条件的的值有　A　 A．7个 B．6个 C．4个 D．2个 【解答】解：，，是整数，，，，0，1，2，3，共7个， 3．已知有理数，，且，，求的值． 【解答】解：，， ，． ， ，，或，． 又， ，． ． 4．已知、、大小如图所示，则　1　． 【解答】解：根据数轴可得， ， 5．同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： （1）　7　； （2）是所有符合成立条件的整数，则　-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2　； （3）由以上探索猜想，对于任何有理数，的最小值为　3　； （4）当为整数时，的最小值为 　2　； （5）求的最小值． 【解答】（2）表示的是在数轴上所对应的点到，2两点之间的距离之和等于7，又为整数，，，，，，0，1，2． （3）表示的是在数轴上所对应的点到3，6两点之间的距离之和， 当时，取得最小值， 的最小值为3． （4）表示的是在数轴上所对应的点到1，2，3三点之间的距离之和， 为整数，取得最小值， 时，的最小值为2． （5）由（4）的结论可知：当时，取得最小值， 最小值为． 6．若与互为相反数，则　-7　． 【解答】解：与互为相反数， ， ，，解得，， 所以，． 7．当　2　时，有最小值是　1　． 【解答】解：由条件可知， 当时，有最小值，最小值为1， 8．当　1　时，的值最大，最大值为 　5　． 【解答】，，当时，的值最大，最大值为5． 【变式训练】 1．若，则一定　D　 A．大于1 B．小于1 C．不小于1 D．不大于1 【解答】解：，，，， 2．若，， （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【解答】解：，，，， （1）若，则，或，， ①，时，． ②，时，． （2）若，则，可得，或，， ①，时，． ②，时，． 3．有理数，，在数轴上的位置如图所示，且，化简． 【解答】解：由数轴，得，，又， ，，． ． 4．若，，都是非零有理数，试讨论所有可能的值． 【解答】解：当，，同为正数时，原式； 当，，同为负数时，原式； 当，，中两个数为正数，一个为负数时，原式； 当，，中两个数为负数，一个为正数时，原式； 综上所述所有可能的值0或． 5．若与互为相反数，则的值是 　-998　． 【解答】解：由题意得：，又，， 可得：，， 即得：，解得：， ． 6．若，则的最大值为 　6　． 【解答】解：表示数轴上表示的点到表示2与的点的距离之和， ，当且仅当取等号， 同理可得：，当且仅当取等号， ，当且仅当，取等号． 即当，时， ，， ，即， 的最大值为6， 【能力提升】 1．通常近视超过200度时就需要持续佩戴眼镜进行视力矫正，验光师经常以“”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“”，近视100度记录为“”等．下列4个验光记录中，需要持续佩戴眼镜矫正视力的是　A　 A． B． C． D． 【解答】解：根据近视50度记录为“”，近视100度记录为“”，求出各位同学近视的度数如下： 、表示近视250度，近视超过200度，需要持续佩戴眼镜矫正视力； 、表示近视150度，近视低于200度，不需要持续佩戴眼镜矫正视力； 、表示近视100度，近视低于200度，不需要持续佩戴眼镜矫正视力； 、表示近视50度，近视低于200度，不需要持续佩戴眼镜矫正视力． 2．如图，点表示数，点表示数，下列结论中正确的是　C　 A． B． C． D． 【解答】解：，，，故选项，，不符合题意，选项符合题意， 3．已知数轴上的点，分别表示数，，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点，，在数轴上的位置可能是　D　 A． B． C． D． 【解答】解：，，，且，即， 4．已知三个数，则这三个数在数轴上表示的位置不可能是　D　 A． B． C． D． 【解答】解：已知， ．由数轴可知，，当时，满足条件． ．由数轴可知，，当时，满足条件． ．由数轴可知，，当时，满足条件． ．由数轴可知，，且时，所以不可能满足条件． 5．一条数轴上有点、，点在线段上，其中点、表示的数分别是，8，现以点为折点将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是得D　 A．2 B． C．或2 D．3或 【解答】解：设点表示的数为， ①当在射线的延长线上时，，点表示的数为，， 可列方程：，解得：； ②当在射线上时，，点表示的数为，， 可列方程：，解得：； 综上，点表示的数为3或， 6．若，互为相反数，则下列各对数中不是互为相反数的是　B　 A．和 B．和 C．和 D．和 【解答】解：，互为相反数，． 中，，它们互为相反数； 中，，即和不是互为相反数； 中，，它们互为相反数； 中，，它们互为相反数． 7．已知，，都不等于零，且的最大值是，最小值为，求的值． 【解答】解：当，，三个都大于0，可得 当，，，都小于0，可得 当，，一正二负，可得 当，， 二正一负可得 ， 原式 8．设，其中，则的最小值为 　20　． 【解答】解：由于，其中，， 当时，的值最小， 此时， 9．若，互为相反数，，互为倒数，到原点的距离为2个单位长度，既不是正数也不是负数，求的值． 【解答】解：，互为相反数，，互为倒数，到原点的距离为2个单位长度，既不是正数也不是负数， ，，，，， ． 【课后过关】 1．下列说法正确的是　B　 A．符号不同的两个数互为相反数 B．所有的有理数都能用数轴上的点表示 C．两数相加，和一定大于任何一个加数 D．有理数分为正数和负数 【解答】解：、只有符合不同的两个数互为相反数，不符合题意； 、所有的有理数都能用数轴上的点表示，符合题意； 、两数相加，和不一定大于加数，不符合题意； 、有理数分为正数，负数和0，不符合题意， 2．已知，互为相反数，，互为倒数，是最大的负整数，则 　-4　． 【解答】解：，互为相反数，，互为倒数，是最大的负整数， ，，， ， 3．如图，在一条可以折叠的数轴上有点，，，其中点，点表示的数分别为和8，现以点为折点，将数轴向右对折，点的对应点为点；若、之间的距离为3，则点表示的数为 　-2.5或0.5　． 【解答】解：、之间的距离为3， 表示的数为或， 设点表示的数为， ，， 或，， 点表示的数为或0.5． 4．绝对值大于2且小于5的所有整数的和是 　0　． 【解答】解：根据绝对值性质，可知绝对值大于2且小于5的所有整数为，． 所以． 5．当时，代数式有最小值，则的值为 　11　． 【解答】解：代数式有最小值，，， 解得：，故，则． 6．已知：，且的最大值是，最小值是，则　8　． 【解答】解：当、、、都为正数时，原式， 当、、、有3个正数、1个负数时，则有，原式， 当、、、有2个正数、2个负数时，则有，原式， 当、、、有1个正数、3个负数时，则有，原式， 当、、、都为负数时，则有，原式， ，，． 7．已知，，，且，，求的值． 【解答】解：，， ，， ，， ，， ，或，， ，， ，或，， ，，， 当，，时，； 当，，时，； 综上，的值为18或22． 8．有理数、、的位置如图所示， （1）比较大小： 　＜　0，　＞　0，　＜　0； （2）化简式子：； （3）若，、为整数，、为有理数，且，求的最大值． 【解答】（2），，， ，， ，， ； （3）， 其中，， ，，，，， 设，， 则有，， ， 即， ，， ，不符合题意，舍去， 当，时，，，此时的最大值为2， 当，时，，，此时的最大值为4， 的最大值为4． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲 认识有理数 【学习目标】 1、掌握有理数的有关概念，能准确对有理数进行分类； 2、掌握相反数与绝对值的代数意义和几何意义。 【知识梳理】 【典例精析】 【例1】认识正负数： 1．下列每组中的两个量不是具有相反意义的一组量是　　 A．收入40元与支出10元 B．浪费1吨水与节约1吨水 C．向东走4米与向北走4米 D．增产12吨与减产12吨 2．铁观音，是中国十大名茶之一．铁观音最佳保存的温度为，以下几个温度中，不适合储存铁观音的是　　 A． B． C． D． 3．字母说：我虽然不是具体的数，但是我可以表示各种各样的数．那么表示的数　　 A．一定是负数 B．一定是正数 C．是0 D．以上都有可能 【变式训练】 1．下列具有相反意义的两个量是　　 A．向东走20米和向南走20米 B．盈利200元和赚了200元 C．零上和零下 D．支出30元和标价30元 2．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为千克，千克，千克的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差　　． 3．下列语句中正确的有　　个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】有理数分类： 1．下列关于有理数的说法正确的是　　 A．有理数分正有理数和负有理数 B．整数分为正整数、负整数 C．有理数是可以写成分数形式的数 D．有理数分为正有理数、零、分数 2．下列关于“0”的叙述中，不正确的是　　 A．表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是最小的自然数 D．不能写成分数的形式，不是有理数 3．把下列各数分别填在相应的大括号里：，3.5，，，0，，，0.03，10，，． 自然数集合：　 　； 整数集合：　 　； 非负数集合：　 　； 负分数集合：　 　； 偶数集合：　 　； 奇数集合　 　。 【变式训练】 1．下列说法正确的是　　 A．正数、负数统称为有理数 B．分数和整数统称为有理数 C．正有理数、负有理数统称为有理数 D．以上都不正确 2．下列对“0”的说法正确的个数是　　 ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 3．把下列各数填入如图所示的数集的圈子里 ，0.618，，260，，，，，0． 【例3】数轴： 1．点在数轴上的位置如图所示，若将点向左移动4个单位长度得到点，则点表示的数是　　 A．5 B．4 C． D． 2．将刻度尺与数轴如图所示放置，（数轴的单位长度是，刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的4和，那么刻度尺上的“”对应数轴上的数为　　 A． B． C． D． 3．如图，直径为1个单位长度的圆，从数轴上表示数的点向右滚动一周到点，则点表示的数为　　 A． B． C． D． 【变式训练】 1．数轴上点表示的数是，将点在数轴上平移6个单位长度得到点，则点表示的数是　　 ． 2．如图，点，对应的数分别为，，对于结论：①，②，③，下列说法正确的是　　 A．仅①②对 B．仅①③对 C．仅②对 D．①②③都对 3．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2024的点与圆周上表示哪个数字的点重合？　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【例4】相反数： 1．下列各对数中，互为相反数的有　　 与；与；与；与；与 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 2．在数轴上表示互为相反数的两点之间的距离是8，则这两个数是　　． 3．若、互为相反数，则　　． 【变式训练】 1．的相反数是 　　；的相反数是 　　；的相反数是 　　；的相反数是 　　． 2．天平在初中物理学科中是用来测物体质量的一种重要工具，是根据杠杆平衡原理制成的．在数学学科中我们定义：若，则称与互为“天平数”，若与互为相反数，则代数式与互为“天平数”这一说法是 　　（填“正确”或“错误” 3．已知有理数，在数轴上的位置如图所示，那么，，，的大小关系是　　．（用“”连接） 【例5】绝对值： 1．如果，则　　 ，如果，则　　 ．化简：　　 ． 2．已知是整数），则符合条件的的值有　　 A．7个 B．6个 C．4个 D．2个 3．已知有理数，，且，，求的值． 4．已知、、大小如图所示，则　　． 5．同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： （1）　　； （2）是所有符合成立条件的整数，则　　； （3）由以上探索猜想，对于任何有理数，的最小值为 　　； （4）当为整数时，的最小值为 　　； （5）求的最小值． 6．若与互为相反数，则　　． 7．当　　时，有最小值是　　． 8．当　　时，的值最大，最大值为 　　． 【变式训练】 1．若，则一定　　 A．大于1 B．小于1 C．不小于1 D．不大于1 2．若，， （1）若，求的值； （2）若，求的值． 3．有理数，，在数轴上的位置如图所示，且，化简． 4．若，，都是非零有理数，试讨论所有可能的值． 5．若与互为相反数，则的值是 　　． 6．若，则的最大值为 　　． 【能力提升】 1．通常近视超过200度时就需要持续佩戴眼镜进行视力矫正，验光师经常以“”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“”，近视100度记录为“”等．下列4个验光记录中，需要持续佩戴眼镜矫正视力的是　　 A． B． C． D． 2．如图，点表示数，点表示数，下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 3．已知数轴上的点，分别表示数，，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点，，在数轴上的位置可能是　　 A． B． C． D． 4．已知三个数，则这三个数在数轴上表示的位置不可能是　　 A． B． C． D． 5．一条数轴上有点、，点在线段上，其中点、表示的数分别是，8，现以点为折点将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是得　　 A．2 B． C．或2 D．3或 6．若，互为相反数，则下列各对数中不是互为相反数的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 7．已知，，都不等于零，且的最大值是，最小值为，求的值． 8．设，其中，则的最小值为 　　． 9．若，互为相反数，，互为倒数，到原点的距离为2个单位长度，既不是正数也不是负数，求的值． 【课后过关】 1．下列说法正确的是　　 A．符号不同的两个数互为相反数 B．所有的有理数都能用数轴上的点表示 C．两数相加，和一定大于任何一个加数 D．有理数分为正数和负数 2．已知，互为相反数，，互为倒数，是最大的负整数，则 　　． 3．如图，在一条可以折叠的数轴上有点，，，其中点，点表示的数分别为和8，现以点为折点，将数轴向右对折，点的对应点为点；若、之间的距离为3，则点表示的数为 　　． 4．绝对值大于2且小于5的所有整数的和是　　． 5．当时，代数式有最小值，则的值为 　　． 6．已知：，且的最大值是，最小值是，则　　． 7．已知，，，且，，求的值． 8．有理数、、的位置如图所示， （1）比较大小： 　　0， 　　0， 　　0； （2）化简式子：； （3）若，、为整数，、为有理数，且，求的最大值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$