周测评(十九) 二项式定理-【衡水真题密卷】2024-2025全学年高二数学学科素养周测评（人教A版）

2024一2025学年度学科素养周测评（十九） 数学·二项式定理 (考试时间40分钟，总分100分) 一、选择题（本题共4小题，每小题6分，共 4.已知(1+2023x)100+(2023-x)100=a0 24分.在每小题给出的四个选项中，只 十a1x十a2x2+…十a1ox10,其中a0, 有一项是符合题目要求的)】 a1,a2,…,a1o∈R,若存在k∈ 题号 2 3 {0,1,2,…,100},使得a<0成立，则 的最大值是 答案 A.47 B.48 1.已知x+2 的展开式中，第二项、 C.49 D.50 2 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共 第三项、第四项的二项式系数依次成等 12分.在每小题给出的选项中，有多项 差数列，则展开式中共有 ( ) 符合题目要求.全部选对的得6分，部 A.8项 B.9项 分选对的得部分分，有选错的得0分) C.10项 D.11项 2.2224被9除的余数为 ( 题号 A.2 B.4 答案 C.6 D.8 3.将杨辉三角中的每一个数C都换成 5.已知二项式W 1 的展开式，则 (m十1)C,得到如图所示的莱布尼茨三 角形.莱布尼茨三角形具有很多优美的 A.常数项是16√2 性质，如从第0行开始每一个数均等于 B.系数为有理数的项共有4项 其“脚下”两个数之和，如果n≥2(n为正 C.第5项和第6项的二项式系数相等 整数)，则下列说法正确的是 D.奇数项的二项式系数之和为256 第0行 1 6.已知(1-2x)22s=a0十a1x十a2x2+… 1 1 十a22sx2o23,则 () 第1行 2 2 A.展开式中所有项的二项式系数之和 第2行 1 1 为22023 3 6 3 B.展开式中二项式系数最大的项为第 1 第3行 1 1 1 1012项 4 12 12 4 00t000 000400 C. + +…+盟 3 22023 =-1 A.当n=2023时，中间的两项相等，且 D.a1+2a2+3a3十…+2023a2=-4046 同时取得最大值 三、填空题（本题共2小题，每小题6分，共 B.当n=2024时，中间一项为 025C1蹰 12分) C.第6行第5个数是 的展开式中含x号 105 设a是(-) 1 1 项的二项式系数(n=2,3,4,…),若bn D. n+1)C+ (n+D)C.CrE (n+16)am 一，则b。的最大值是 N,1≤r≤n) 高二学科素养周测评（十九） 数学第1页（共2页）】 &(侵+号+小2-y护的展开式中y 10.(30分)已知(x-2)8=a。+a1(x+1) +az(x+1)2+…+as(x+1)" 的系数为 (1)求ao的值； 四、解答题（本题共2小题，共52分.解答应 (2)求a1十a2十…十a8的值； 写出文字说明、证明过程或演算步骤) (3)求ao十a2十a4十a6十ag的值. 9.(22分)已知m,n是正整数，f(x)= (1十x)m十(1十x)”的展开式中x的系 数为7. (1)求m,n为何值时，f(x)的展开式中 x”的系数最小，并求出此时x3的 系数； (2)利用(1)中结果，求f(0.003)的近似 值.（精确到0.01） 1 高二学科素养周测评（十九）数学第2页（共2页）·数学· 综上所迷：共有1+2+3+4+5+6+7+8=36 个“幸运数”」 二、选择题 5.ABD【解析】对于A,先从6本书中分给甲2 本，有C种方法：再从其余的4本书中分给乙2 本，有C种方法；最后的2本书给丙，有C种 方法.所以不同的分配方法有CCC一90种， 故A正确： 对于B,先把6本书分成3堆：4本、1本、1本， 有C种方法：再分给甲、乙、丙三人，所以不同 的分配方法有CA号=90种，故B正确： 对于C,6本不同的书先分给甲、乙每人各2本 有CC种方法：其余2本分给丙、丁，有A种 方法，所以不同的分配方法有CCA=180种， 故C错误： 对于D,先把6本不同的书分成4堆：2本、2本 1本、1本，有 CC CC A号A 种方法：再分给甲、 乙，丙丁四人，所以不同的分配方法有CC CC A ·A=1080种，故D正确. 6.ABC【解析】对于A,6门中选2门共有C= 15种选法，故A正确； 对于B,课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这 两个看成一个整体，有A种排法，然后全排列 有A；=120种排法，根据分步乘法计数原理， “乐”“射”相邻的排法共有AA:=240种，故B 正确； 对于C,课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周， 先排剩下的三门课程有A=6种排法，然后利 用插空法排课程“御”“书”“数”有A员=24种排 法，根据分步乘法计数原理，得共有AA=144 种排法，故C正确； 对于D,分2种情况讨论：若先把“礼”排在最后 一周，再排“数”，有A种排法，若先把“礼”不排 在最后一周，再排“数”，有CCA种排法，所以 共有A十CCA1=504种排法，故D错误. 三、填空题 7.64【解析】由题意可知，甲、乙、丙每人每次都 可能取出4种颜色不同的小球，所以取出的小 球共有4×4×4=64种不同的如合， 8.618【解析】(1)先种植a1部分，有3种不同 的种植方法，再种植a,a1部分. 因为a2,a,与a1的颜色不同，a2与a1的颜色 参考答案及解析 也不同，所以由分步乘法计数原理得，不同的种 植方法有3×2×1=6种. (2)当41，a1不同色时，有3×2×1×1=6种种 植方法，当a1,a3同色时，有3×2×1×2=12 种种植方法，由分类加法计数原理得，共有6十 12=18种种植方法 四、解答题 9.解：(1)从16名男生中选4人共有C=1820 种选法. (2)如果还要确定第一棒、第二棒的人选，则共 有C16A-21840种选法. (3)如果每一棒的人选都要确定，则共有C16A =43680种选法. 10.解：(1)先选3名内科医生共有C=20种选 法，再选2名外科医生共有C一6种选法，故 选派方法共有20×6=120种。 (2)既有内科医生，又有外科医生包括四种情 况：内科医生去1,2,3,4人，可得选派方法共 CC+CC:+CC+CC=246. (3)分两类：一是选1名主任有C2C=140种 方法：二是选2名主任有CC=56种方法，故 至少有1名主任参加的选派方法共140+56= 196种. (4)若选外科主任，则其余可任意选，共有C= 126种选法：若不选外科主任，则必选内科主 任，且剩余四人不能全选内科医生，有C一C =65种选法，故既有主任，又有外科医生的选 派种数为126十65=191种. 2024一2025学年度学科素养周测评（十九）】 数学·二项式定理 一、选择题 1.A【解析】晨开式中的第二项、第三项、第四项 的二项式系数依次为C,C,C,依题意，有C +C=2C,即n+1a-1）n-2》=n(m-1), 6 整理得n(n一1)(n一2)=6n(n一2)，解得n=7 或n=2,因为n≥3，所以n=7,所以展开式中 共有8项. 2.B【解析】因为22o4-4112-(3十1)1i =Co1e×34o1+Com×31o1+Coa×311o+ +C8×32+C×3+C8×3°， 其中C9:X3o12+C2×31+C号1z×3o0 1 衡水真题密卷 +…+C88×32=(C9a×3o0+C12X3o9 十C12×3o+…+C8×3)×32能被9 整除， 又C×3+C91×3°=3037=9×337+4， 所以222被9除的余数为4. 3.C【解析】对于A,由菜布尼茨三角形知，当n 为奇数时，中间两项相等，且同时取到最小值， n=2023为奇数，中间两项同时取得最小值，故 A错误： 对于B,当n=2024时，这一行有2025个数， 最中间为第1013个数，即2025C腰，故B 错误： 对于C,第6行有7个数，第5个数是(6+1)C 1 -105,故C正确： 对于D,由于从第0行开始每一个数均等于其 “胸下”两个数之和， 1 1 1 故n+iDC+n+1CCr∈N,1r ≤n),故D错误. 4.C【解析】由题设，左边的通项公式为 T,+1=Cm·(2023x)r+C0·20230-r·(-xy, =C1m·[2023+(-1)·202310-]·x',r ∈{0,1,2，…，100}， 所以a4=C1·[2023+(-1)·20230-+], kE{0,1,2,,100}. 因为Co>0,要使得a1<0成立，则k为奇数， 且2023-20230-<0恒成立， 则等价为2023*<2023100-台k<100-k台尼 <50,又k是正奇数，故k的最大值为49. 二、选择题 5ACD【解折】由题志二项式E-)广的展 开式通须为T1=C归)（后) C(-1)r27xi0≤r≤9，r∈N), 对于A,令-豆=0，得，=0，所以常数项是T 9 =C9(-1)°2F=16√2，故A正确： 对于B,当且仅当r=1,3,5,7,9时，这些项的系 数为有理数，即系数为有理数的项共有5项，故 B错误； 对于C,第5项和第6项的二项式系数满足C时 1 学科素养周测评 =C,故C正确： 2 对于D,奇数项的二项式系数之和为2=2= 256,故D正确. 6.ACD【解析】对于A,展开式中所有项的二项 式系数之和为22咖，故A正确： 对于B,根据二项式系数的性质知，C阳=C盟 且是二项式系数中最大的两项，于是展开式中 二项式系数最大的项为第1012项和第1013 项，故B错误： 1 对于C,取x=0,得a=1,取x=2,得0=ag +++…+器 2825， 故号+学+2+…+2器=-1，故C正角： 对于D,等式两边同时求导，得到 -4046(1-2x)20=a1+2a2x+…+ 2023a2购x2m,取x=1, 得a1+2a:+3a1+…+2023a2a=-4046, 故D正确。 三、填空题 1 1.25 【g折】T-C（启- C(-1z宁冷”2-"是得r=1所以 2 a,=C=n,所以6.=(m+16)a+ 7 1 (m+16)(m+dn2+17n+16n+ 6+17 国为y=n+≥2X5-8,吉且权省 15,即n=4时取等号，所以6.=(m十16)a,+1 的最大值是号 8.40 【解折】（侵+号+）-)= 2x-y)+12x-y)+(2z-y, x (2x一y)1的通项公式为T,+1=Cg(2x)5-·· (-yy=C52-+(-1)'xy',r=0,1,2,3,4, 5,r=2时，1C2(-1)x'y2=80x'yr=3 时，二Cg22(-1)'x2y°=-40x2y2, y ·数学· 所以x2y2的系数为80一40=40. 四、解答题 9.解：(1)根据题意得C+C,=7,即m十n=7①. f(x)的展开式中x2的系数为C+C= m(m-1)+n(n-1）_m2+n-m-n 2 2 将①变形为n=7一m代人上式，得x2的系数 为m-m+21=a-+5. 故当m=3,n=4或m=4,n=3时，x2的系数 取得最小值且为9. 此时x3的系数均为C+C=5. (2)当m=3,n=4或m=4,n=3时， f(0.003)=(1+0.003)+(1+0.003)≈C9+ C×0.003+C%+C×0.0032.02. 10.解：(1)令x十1=0，即x=-1,得a。=(-3) -6561. (2)令x+1=1,即x=0,得a0十a1+a1+ +a。=(-2)9=256,所以a1十a2十…十ag= 256-6561=-6305. (3)令x+1=-1,即x=-2,得a。一a1十a: ag十…十aa=(-4)°=2，所以a。十a:十a4十a6 +a,=2(256+2)=128+25=32896. 2024一2025学年度学科素养周测评（二十） 数学·条件概率与全概率公式 一、选择题 1.B【解析】设第一次取得红球为事件A,第二 次取得黑球为事件B,在第一次取得红球前提 下，第二次取得黑球的概率为P(BA)= 53 P(AB)-9X83 P(A) 58 9 2.D【解析】由题可得P(B)=P(A)P(BA)十 P(A)P(BA)=0.7P(A)+0.3P(A)= 0.7P(A)+0.3[1-P(A)],即0.4=0.4P(A) 十0,3，解得PA)= 3.A【解析】记A为事件“盆栽没有枯萎”，W为 事件“邻居给盆栽浇水”，由题意可得P(W)= P,P(w)=1-P,P(A|W)=0.8,P(A|W)= 0.1,由对立事件的概率公式可得P(A)=1一 参考答案及解析 P(A)=1-0.83=0.17.由全概率公式可得 P(A)=P(W)P(AIW)+P(W)P(A W)= P×0.1+(1-P)×0.8=0.17,解得P=0.9. 4.A【解析】设事件A=“两辆黑色车停在同一 列”，事件B=“两辆白色车停在同一列”， 则所求概率为P(BA),因为P(A) AP(AB)-CiXAAXA 2C×Ag A 所以P(BA)= P(AB)=CXA号XAXA P(A) 2C×A 6×2×2×21 2×4×6×55 二、选择题 5.ABC【解析】对于A,由于A1∩Az=☑，A,U A2=2,所以A:、A1为对立事件，放A正确；对 子BPBA,)=品-音长B运确：对于 5×3+12 CPAB)=品×0+后，故C正确：对于 33 7 D.P(BIA)-10P(BIA,)+P(BIA,)-1 ≠1，故D错误 6.AC【解析】设事件A1:小王同学第一天去甲 游乐场，事件A2:小王同学第二天去甲游乐场， 事件B1:小王同学第一天去乙游乐场，事件B: 小王同学第二天去乙游乐场， 则P(A1)=0.4,P(B,)=0.6,P(A2A1)= 0.6,P(A|B1)=0.5, 所以P(A:)=P(A1)P(A:A:)+P(B1)· P(A2B1)=0.4×0.6+0.6×0.5=0.54,故A 正确： P(B2)=1-P(A2)=0.46,故B错误： 周为PA,B)-PA:)PB.A)=0.5, P(B1) 所以P(A2)P(B:|A2)=0.3,所以 0.35 PBA:)PA)g,故C正确 P (A:|B:)= P(A)P(B:A:) P(B2) PA)1-P(A:A】=0.4×1-0.6)= P(B2) 0.46 3,故D错记， 8 三、填空题 7.P(A)【解析】因为P(A)>0,P(B)>0,所以 P(BIA)= P(AB)=P(B),所以P(AB)= P(A) 1