周测评(十三) 等比数列、数学归纳法-【衡水真题密卷】2024-2025全学年高二数学学科素养周测评（人教A版）

衡水真题密卷 以a十as=一3 10 8.7【解析】由已知a:-a1=1,a4-a,=2 am-am-1=n-1,n≥2， 所以an=a1十(a2-a1)十(a1-a2)+…十(a 一a-)=8+1+2++(m-1)=元2-n+16 2 n≥2，又a1=8也满足上式，所以a。 n-0+16,所以2_n-n+16-+8- 2 2n 2 n 2 ≥2侣×是日-名多豆收当从-4时取等 子，所以号的最小值是子 四、解答题 9.解：(1)设数列{bn}的公差为d',则b,=a1,bs= az,于是b。-b1=a,-a1,得5d'=5,所以d'= 1,所以b.=3+n一1=n+2,所以b0=52,又 a.=3+5(n-1)=5n-2,所以a0=148. (2)5m=3+29+2×29=493,当5m-2=493 2 时，n=99,所以S是数列{an}的第99项. 10.解：(1)因为a1=2,am+1-1-a, 1 所以：-1a,市含1 1 1 1 1 12 =2,a:=1-2=-1,as=1中市 2…,所以{a.)是周期为3的周期数列， 所以A=zx=a,n∈N)={1,22, 所以{a.}是“T数列” (2)由题知，f(x)=3|x+1-|x+2|= 2x+1,x≥-1， -4x-5,-2≤x<-1,所以f(x)m= -2x-1,x<-2, f(-1)=-1, 当x≥-1时，f(x)=2x+1≥-1，因此当a1 =-1时，a2=f(a1)=-1,a3=f(az)= 一1， 即an=一l,n∈N,此时{a.}为“T数列”； 当a1≠-1时，a2=f(a1)>-1,a1= 1 学科素养周测评 f(a2)>a2>-1,a4=f(ag)>as>-1,…, 因此am+1>a。,{a.}显然不是“T数列”. 综上，a1=-1. 2024一2025学年度学科素养周测评（十三） 数学·等比数列、数学归纳法 一、选择题 1.D【解析】由题意教列a,}满足1一2=0， 且a,0,可得=子，故正项数列a,小是以 号为公比的等比截到，制a,十a,-a:十a) 1 =3,解得a2十4，=12. 2D【保折1因为fo)-1计名计号+…+安 2 所以f)=1+十写…十安共2 11 1 1 则fk+1)=1+2+3++交十2++… 1 十2可，共21项， 所以f(k+1)比f(k)共增加了2+1-2=2项. 3.A【解析】当q=1时，S22s=2023a1>0,得 a1>0,a2>0,同理当S24>0时，也可以得到 a1>0,a2>0:当q≠1时，1-g2与1-q同 号，由51m=0二9)>0一定会得到a 1-9 >0,故A正确；而当q<0时，由a1>0得a2< 0,故C错误； 当g<-1时，1-g24<0,1-q>0,由S:24= a-q)>0得到a1<0,故B错误： 1-q 当-1<q<0时，1-g2>0,1-q>0,由S24= 411-g)>0得到a>0,则a,<0,故D错误. 1-q 4C【解折】由题可知a,=行a:=2×行×分 1 。1 1.1 a,=23×3×3a,=2'×3×3×3× 3由此可知a,=7×(得》”=2×（号八，所以 6,=ma,-2r(导)广，国为6.n-6.=号a+1… ·数学· ()(-号)[+ -名（号）八(-t+n+2),令-n2+4n+2=0,解 得1=2十√6，n2=2一V6(含)，由此可知n≤4 时，b.+1-bn>0:n≥5时，bm+1一b.<0,故b 的取值最大 二、选择题 5C【解折】当n=1时，可得号<员售a-2 时，可得写+券品 故使不等式成立的第一个自然数n。=2,故A 错误，B正确； 1 1 1 当n=k时，可得k十市十k十2十k十3 十… 十k十表 当n=+1时，可得中2+中3…十中十 1 1 1 2k+12k+2 11 1 两式相减得：2头中十2张+2k市(2k+)(2+2)' 所以n=k推导n=k十1时，不等式的左边增加 1 的式子是(2k十1)(2k+2),故C正确，D错误. 6.AB【解析】由(ag24一1)(a2m-1)<0,得 a2m-1>0,ag024-1<0或ag23-1<0,ag2 -1>0,而a1>1,a2zagm>1,axa,ag24同 号，则ag2>1,a224<1,即数列前2023项大 于1，从第2024项开始小于1.对于A,q= a<1,又g>0,所以0<q<1,故A正骑： a2023 对于B,由a224<1,得S:24-S:023=a22t<1， 即S:02a>S224一1，故B正确： 对于C,显然{a,}是递减正项数列，且a:oz>1, a2<1,因此T:23是数列{T.}中的最大项， 故C错误； 对于D,T4os=a1a:…a4o4s=afo45· g2+2+n+4o4=a4s·go5x202=(a2o2a)4ot6> 1,故D错误】 三、填空题 7.2【解析】aa6-mag+m=a=512,故a,=8,所 以a4=a193=g3=8,解得q=2 8.3×5"-1【解析】因为4S,=5am一3，所以当n ≥2时，4S。-1=5am-1一3，两式相减得4a。= 参考答案及解析 5am-5a。-1,即am=5a.-1;当n=1时，4a1= 5a1-3,所以a1=3,故(a.)是以3为首项，5为 公比的等比数列，所以a。=3×5”1 四、解答题 9.1)证明：由题意得，1-3+2a:-3十2，所以 an+1 an a. 1十1 +1=2+3=+小所以 a+1 3,+1=2,所以侵+是以2为首项，3 为公比的等比数列. (2)解：由(1)得1+1=2×3-1，所以】=2× a. a. 31-1,故2+1+1+…+120-32） a1 a2 a am1-3 n=3*-1-n,令f(n)=3"-1-n,由f(n十1) 一f(n)=2×3”一1>0，得f(n)单调递增，因为 f(5)=237<300,f(6)=722>300,所以n的 最小值为6. 10.解：(1)因为4a2=4a1+as,所以4(a2-a1)= aa,所以4d=a1+2d,即a1=2d,所以an= (n+1)d,所以6.=20m+m2_2am+1) a (n+1)d 6,-号6-京又s+T,-13,所以a十 4 a+6i+6:=13,所以2d+3d+号+-13， 3 所以5d-13d+6=0,解得d=2或d=5, 又d>1,所以d=2,所以a.=2(n十1). (2)设数列{c.}公比为g(g>0),因为a2=2c -1=3,所以d=a2-a1=1,所以a.=n+1, 所以b,=2m,又c=2a2+2=8,所以g2- c =受=4，因为g>0,所以g=2,所以6，=2 所以A,-1×(合”+2×（侵）'+3×() ++a-侵）+侵)①， 所以2A.=1×(分)'+2×（分）+3×（分） ++m-2》+n(侵》@， 3 衡水真题密卷 由①-②得号A.=1+()'+()广+…+ ()-n(八， 目gao传 1- 所以A.=4a+2(侵) 2024一2025学年度学科素养周测评（十四） 数学·数列综合 一、选择题 1 1.C【解析】设数列 的前n项和 n十√n+1 为S.,因为 =一n+n十1，所以 m+√n+I S4=-1+2-√2+3-…-√E+√k+I= √k+1-1=3,解得k=15. 2.B【解析】n≥2时，a。一a。-1=8n,a。-1一aw-2 8(n-1),…,a2-a1=16,将上式累加，得am-a _6+8m)m-D=(4n十8)m-1),解得a.= 2 4n2+4n(m≥2)（对于n=1同样成立），故b。 2+()◆6≥6 、b.≥b-1, 2+D层广≥2-1(0) 2+D层)广≥2+3（品） 解得号 <<号kEN,所以=9，脚第9项录大 3.A【解析】因为a1=1,am+1十(-1)"a。= cos[(n+1)π]，则a.+1=-(-1)"a,+cos[(n十 1)·π]，所以a2=a1+cos2r=1十1=2，as= -a2十c0s3π=-2-1=-3，a4=a:十c084π= -3+1=-2,a5=-a4+c085x=2-1= 1,…, 由此可知，数列{an}是以4为周期的周期数 列，且a1十a十a3十a4=-2, 所以S:21=505(a1+a,十a3+a4)+agm= 505×(-2)+a1=-1009. 4.C【解析】当n≥2时，(n-1)a.-1=(n-2)am,当 1 学科素养周测评 n≥3时，a1=1-1 ×二2Xa,=n-1,当n=2或n=1时，a)=0,a@ =1符合题意， 所以数列{an}的通项公式为a,=n一1，可得 -会将以工一计号+…中会测 2 1123 T.=于2T2+…大2”. 2+7, 1 11,1 1 可得2T.2十2十2+…+2一2 2品=1--2品所以. 12 2-去兰，因为”>0，所以T.<又周为对 任意的n∈N”,不等式T.<t恒成立，所以t≥ 2,所以实数t的取值范围为[2，十∞). 二、选择题 5.ABC【解析】由题意知，n∈N°，在正项等比数 列{a.}中，a,=1, 对于A,a1a1t=a1anq=aiq=q,故A正确； 对于B,当0<g<1时，因为a,=1,所以a:> 1(i=1,2,…,6),可得Tr=a1a2asa4a5a6a,= a>ay=1,故B正确： 对于C,T8=a1a2a3a4a1B=a=l,故C正确： 对于D,当q>1时，因为a,=1,所以a,< 1(=1,2,…,6),则T。的最小值为T。或T7, 故D错误. 6.ACD【解析】依题意，a+1=2a,十b.,b.+1= 2b.十an,则an+1十bn+1=3(a。十b.),而a1十bi =1,因此数列{a。+b.}是首项为1，公比为3的 等比数列，所以a.十b.=3"-1,又a+1一b+1 an-bu,因此am-bm=a1一b1=1,于是an= 3-1+1,3-1-1 2b.=2 时于A,@34,故A错误 对于B,么=3”-1 'a。3"+1 1一2-显格数到 。中是远减数列，因此色)为递增数列，故 21 a。 B正确； 对于C,2b,=0+1+4+13+40=58,故C2024一2025学年度学科素养周测评（十三） 数学·等比数列、数学归纳法 (考试时间40分钟，总分100分) 一、选择题（本题共4小题，每小题6分，共 24分.在每小题给出的四个选项中，只 (侵，号》记为第1次操作：再将剩下的两 有一项是符合题目要求的) 个区间层 分别平均分为三 题号 2 3 段，并各自去掉中间的区间段，记为第2 答案 次操作；…；每次操作都在上一次操作的 基础上，将剩下的各个区间分别平均分为 1.若数列a.满足1一2 =0,则称 an+l an 三段，同样各自去掉中间的区间段；操作 {a.}为“必会数列”，已知正项数列 过程不断地进行下去，剩下的区间集合即 {an}为“必会数列”，若a4十as=3,则a2 “康托三分集”.设第n次操作去掉的区间 十ag= 长度为am,数列{bn}满足：bn=n2an,则数 列(b.}中取值最大的项为 () B.1 A.第3项 B.第4项 C.6 D.12 C.第5项 D.第6项 2用数学归纳法证明：/0)=1十号+十号+ 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共 12分.在每小题给出的选项中，有多项 …+≥”十(m∈N)的过程中，从 符合题目要求.全部选对的得6分，部 2 2 分选对的得部分分，有选错的得0分)】 n=k到n=k十1时，f(k+1)比f(k)共 5 增加了 ( 题号 ) A.1项 B.2-1项 答案 C.2+1项 D.2项 3.已知等比数列{a.}的前n项和为S.,则 5.用数学归纳法证明不等式 n+1n+2+ 下列说法一定正确的是 ( ) n+3+…+113 1 过程中，下列说 n+n24 A.若S223>0,则a1>0 法正确的是 () B.若S224>0,则a1>0 A.使不等式成立的第一个自然数n。=1 C.若S:o23>0,则az>0 B.使不等式成立的第一个自然数n。=2 D.若S224>0,则a2>0 C.n=k推导n=k十1时，不等式的左边 4,十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了 现代数学的基础，著名的“康托三分集” 增加的式子是(2k十1)(2k+2) 是数学理性思维的构造产物，具有典型 D.n=k推导n=k十1时，不等式的左边 的分形特征，其操作过程如下：将闭区间 [0,1]平均分为三段，去掉中间的区间段 增加的式子是(2k+2)(2k+3】 高二学科素养周测评（十三）数学第1页（共2页） 1 6.设等比数列{a.}的公比为q,其前n项和 10.(30分)设等差数列{an}的公差为 为S。,前n项积为T。,且满足条件a1> 4d>1),令b.=20m+n）,记s.,T. 1,a224a22g>1,(a224-1)(a223-1)< 0,则 ( 分别为数列{a.},{b。}的前n项和. A.0<g<1 (1)若4a2=4a1十aa,S2十T2=13,求 B.S2023>S2024-1 数列{an)的通项公式； C.T2o24是数列{T.)中的最大项 (2)若数列{c.}是公比为正数的等比数 D.To<1 列，a1=c1=2,ag=2c1-1,c3=2a2 三、填空题（本题共2小题，每小题6分，共 十2，求数列 的前n项和A. 12分)】 7.在等比数列{a.}中，a1=1,a4a6-ma2+m =512(m∈N·,m<6),则数列{a.}的公 比q= 8.已知数列{a.}的前n项和为S。,若4S. =5a。-3,则am= 四、解答题（本题共2小题，共52分.解答应 写出文字说明、证阴过程或演算步骤) 9.(22分)已知数列{a。}的首项a1=1,且满 足am+1=3+2a, （1)求证：数列仁+1为等比数列。 (2)若1+1+1+…+1>300，求满 a1 a2 a3 a 足条件的最小整数n. 1 高二学科素养周测评（十三）数学第2页（共2页）