高考预测练(17、18)任意角和弧度制及三角函数的概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备(课时作业)

所以f(x)的单调递增区间为 -12,+∞ ,单调递减区 间为 -∞,-12 . (2)由题意,知f'(x)=(ex-a)(2xex+ex-a),设g(x) =2xex+ex-a,则g'(x)=2ex+2xex+ex=(2x+3)ex, 当x∈ -∞,-32 时,g'(x)<0,g(x)单调递减, 当x∈ -32,+∞ 时,g'(x)>0,g(x)单调递增, 当x=-32 时,g(x)取得极小值g -32 =-2e-32-a. (ⅰ)当a≤-2e- 3 2时,g(x)≥0,ex-a>0,所以f'(x)>0, f(x)单调递增,符合题意; (ⅱ)当-2e- 3 2<a≤0时,y=ex-a>0,又g(x)存在零 点,即存在区间使得g(x)<0,所以f'(x)≥0不恒成立, 不合题意. (ⅲ)当a>0时,若f'(x)≥0,因为y=ex-a的零点为x =lna,且g -32 =-2e-32-a<0, 所以g(x)与y=ex-a有唯一相同零点且零点两侧函数 值符号相同, 所以g(lna)=2alna=0,解得a=1, 此时,当x>0时2xex+ex-1>ex-1>0; 当x<0时2xex+ex-1<ex-1<0, 则f'(x)≥0. 综上,a的取值范围为(-∞,-2e- 3 2)∪{1}. (3)证明:当0<a<1时,g -12 =-a<0,g(0)>0, 设x1为g(x)的零点,则- 1 2<x1<0 , 因为g(lna)=2alna<0,所以x1>lna, 所以当x∈(-∞,lna)时,y=ex-a<0,g(x)<0,所以 f'(x)>0,f(x)单调递增, 当x∈(lna,x1)时,y=ex-a>0,g(x)<0,所以f'(x) <0,f(x)单调递减, 当x∈(x1,+∞)时,y=ex-a>0,g(x)>0,所以f'(x) >0,f(x)单调递增, 所以x1=x0,且2x0ex0+ex0-a=0, 即ex0-a=-2x0ex0, 所以f(x0)=(ex0-a)2x0=(-2x0ex0)2x0=4x30e2x0, 设h(x)=4x3e2x -12<x<0 , 则h'(x)=4(2x+3)x2e2x>0, 则h(x)单调递增, 所以h(x)<h(0)=0,h(x)>h -12 =-12e, 所以-12e<f (x0)<0. 12.D 设f(x)在区间(0,1)内的零点为x1,则有f(x1)= f(0)=0,由罗尔中值定理可知,存在x2∈(0,x1),使 f'(x2)=0,同理,由f(x1)=f(1)=0及罗尔中值定理 可知,存在x3∈(x1,1),使f'(x3)=0,故f'(x)=0在 (0,1)上至少有两个不等实根,令g(x)=f'(x)=ex- 2ax-(e-a-1),则g'(x)=ex-2a在(0,1)上单调递 增,当a≤12 ,x∈(0,1)时,g'(x)>0,此时g(x)单调递 增,故f'(x)=0在(0,1)上至多只有一个实根;同理可 知,当a≥e2 ,x∈(0,1)时,g'(x)<0,此时g(x)单调递 减,故f'(x)=0在(0,1)上至多只有一个实根;当12<a <e2 时,令g'(x)=0,可得x=ln(2a)∈(0,1),且g(x) 在(0,ln(2a))上单调递减,在(ln(2a),1)上单调递增,故 当1 2<a< e 2 且x∈(0,1)时,g(x)min=g(ln(2a));又 g 12 =e12 +1-e< 2.89+1-e=2.7-e<0,故 g(x)min=g(ln(2a))<0,则 由 零 点 存 在 定 理 知 g(0)=2+a-e>0, g(1)=1-a>0, 故e-2<a<1.故选D. 高考预测练(十七) 1.C 与43°角终边重合的角为:α=43°+k·360°(k∈Z),则 当k=-1时,α=-317°,故C正确.经检验,其他选项都 不正确.故选:C. 2.A 因为40°=40× π180rad ,所以该扇形的面积为S=12 × π180×40 ×92=9π.故选:A 3.C 当k=2n(n∈Z)时,2nπ+π4≤α≤2nπ+ π 2 ,n∈Z,此 时α表示的范围与π4≤α≤ π 2 表示的范围一样;当k=2n +1(n∈Z)时,2nπ+π+π4≤α≤2nπ+n+ π 2 ,n∈Z,此时 α表示的范围与π4+π≤a≤ π 2+n 表示的范围一样,故 选:C. 4.C 因为角α第二象限角,所以90°+k·360°<α<180°+ k·360°(k∈Z), 所以45°+k·180°<a2<90°+k ·180°(k∈Z), 当k是偶数时,设k=2n(n∈Z),则45°+n·360°<α2< 90°+n·360°(n∈Z), 此时α 2 为第一象限角; 当k是奇数时,设k=2n+1(n∈Z),则225°+n·360°< α 2<270°+n ·360°(n∈Z),此时α2 为第三象限角;综上 所述:α 2 为第一象限角或第三象限角, 因为 cosα2 =-cos α 2 ,所以cosα2≤0 ,所以α 2 为第三 象限角.故选:C. 5.A 设扇形的半径为r,圆心角为α(0<α<2π),由题意, 得 1 2r 2α=4 2r+rα=10 , 由2r+rα=10得,r= 102+α ,代入1 2r 2α=4, 得2α2-17α+8=0,解得α=12 或α=8(舍去). 故扇形圆心角的弧度数为1 2. 故选:A 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —143— 6.C ∵P - 55 ,m 在单位圆即 - 55 2 +m2=1∴m2=1 -15= 4 5∴m=± 2 5 5 终边在第三象限所以m<0,m= -2 55 ,所以P - 55 ,-2 55 所以sinα=m=-2 55 .故 选:C. 7.D 设直线y=2x任意一点P 的坐标为(m,2m)(m≠0), 则OP= m2+(2m)2= 5|m|(O 为坐标原点), 根据正弦函数的定义得:sinα=yr = 2m OP= 2m 5|m| , m>0时,sinα=2 55 ;m<0时,sinα=-2 55 ,所以选项 D正确,选项A,B,C错误,故选:D. 8.CD 已知角α的终边经过点P(-4m,3m)(m≠0) 所 以 sinα = 3m (-4m)2+(3m)2 = 3m|5m| ,cosα = -4m (-4m)2+(3m)2 =-4m|5m| 则当m>0时,sinα=35 ,cosα=-45 ,此时2sinα+cosα =2×35+ (-45 )=25 ; 当m<0时,sinα=-35 ,cosα=45 ,此时2sinα+cosα= 2× -35 +45=-25; 所以2sinα+cosα的值可能为25 或-25. 故选:CD. 9.BD 由题知,因为a<0,所以点P(a,2a)在第三象限, 所以sinθ= 2a a2+(2a)2 = -2 55 ,tanθ=2aa =2 ,故 选:BD. 10.AB 对于A,495°=360°+135°,135°=3π4 ,故A正确;对 于B,与3π4 终边相同的角为α=3π4+2kπ ,k∈Z,当k= -1时,α=-5π4 ,故B正确;对于C,令3π4+2kπ= 9π 4 ,解 得k=-32∉Z ,故C错误;对于D,令3π4+2kπ= 13π 4 ,解 得k=54∉Z ,故D错误.故选:AB. 11.CD 根据给定条件确定α2 角的范围,再确定cosα2 与 tanα2 符号,即可判断作答.因α是第四象限角,即2kπ- π 2<α<2kπ ,k∈Z,则kπ-π4< α 2<kπ ,k∈Z, 当k是奇数时,α2 是第二象限角,cosα2<0 ,tanα2<0 , 点P 在 第 三 象 限,当k 是 偶 数 时,α2 是 第 四 象 限 角, cosα2>0 ,tanα2<0 ,点P 在第四象限,所以点P 在第 三或四象限.故选:CD. 12.答案:π2 解析:设圆心角为α,则α=CD ︵ OD= AB︵ OA , 所以 2π 3 OA+1= π 3 OA ,解得OA=1m,所以OD=2m, 所以此扇环形砖雕的面积为1 2 ·CD︵·OD-12AB ︵·OA =12× 2π 3×2- 1 2× π 3×1= π 2m 2. 故答案为:π 2 13.答案:5π3 分析:根据坐标值符号确定α所在象限,由三角函数定 义求sinα,最后确定其对应的最小正角. 解析:因为sin5π6>0 ,cos5π6<0 ,所以角α的终边在第四 象限,根据三角函数的定义,可知sinα=cos5π6=- 3 2 , cosα=sin5π6= 1 2 ,故 角α 的 最 小 正 值 为5π3. 故 答 案 为:5π 3 14.答案:11π6 解析:sin2π3= 3 2>0 ,cos2π3=- 1 2<0 ,因此α在第四象 限,又0≤α≤2π,所以3π2<α<2π , tanα= -12 3 2 =- 33 ,所以α=11π6 . 故答案为:11π 6 . 高考预测练(十八) 1.B 根据题意有cosα-sinαcosα = 3 3 ,即1-tanα= 33 ,所以 tanα=1- 33 ,所 以tanα+π4 =tanα+11-tanα= 2- 33 3 3 = 2 3-1,故选B. 2.D 方法一:∵α 为第二象限角,∴sinα= 1-cos2α= 1- -13 2 =2 23 , ∴tanα=sinαcosα= 2 2 3 -13 =-2 2. 方法二:∵cosα=-13 , ∴角α终边一点P 的坐标为(-1,2 2), 则tanα=2 2-1=-2 2. 故选:D. 3.A 因为tanθ=43 ,所以sinθ cosθ= 4 3 ; 因为sin2θ+cos2θ=1, 所以16 9cos 2θ+cos2θ=1,解得cosθ=±35 ; 因为tanθ=43>0 ,θ∈(0,π),所以θ∈ 0,π2 , 所以cosθ=35. 故选:A. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —243— 4.C 因为sinα=35 ,α∈ 0,π2 , 故cosα= 1-sin2α= 1-(35 )2=45 ,故选:C. 5.A 因为sinα+cosα=3cosαtanα=3sinα, 可得tanα=12 , 可得cos2αtanα=cosαsinα= sinαcosα sin2α+cos2α = tanα tan2α+1 = 1 2 1 4+1 =25 , 所以cos2αtanα-1=25-1=- 3 5. 故选:A. 6.C 由sinα+cosα=1713 , 两边平方得sin2α+cos2α+2sinαcosα=289169 , 因为sin2α+cos2α=1,所以2sinαcosα=120169 ,又(sinα- cosα)2=sin2α+cos2α-2sinαcosα=1-120169= 49 169 , 又因为α∈(0,π4 ),所以sinα<cosα,sinα-cosα<0,得 sinα-cosα=-713 ,联立sinα-cosα=-713 与sinα+cosα =1713 , 求得sinα=513 ,cosα=1213 ,故tanα=sinαcosα= 5 12 ,故选:C 7.C 因为α的终边有一点P(1,3), 所以cos= 1 12+32 = 1010 , cos(π+α)=-cosα= 1010 , 故选:C. 8.D 因为α∈ -π4 ,π 4 ,所以π6+α∈ -π12,5π12 ,又 sin π6+α = 33 > 0, 所 以 sin π3-α = sin π2- π 6+α =cos π6+α = 1-sin2 π6+α = 63. 故选:D. 9.B 由题意可得tanα=2, 所以原式=sin 3α+cos3α sin3α-2cos3α =tan 3α+1 tan3α-2 =8+18-2= 3 2. 故选:B. 10.ACD 由cosθ=4-2mm+5 ,tanθ= m-34-2m ,可 得sinθ= cosθ×tanθ=m-3m+5 , ∵sin2θ+cos2θ=1,∴ m-3m+5 2 + 4-2mm+5 2 =1, 解得m=0或m=8. ∵sinθ>0,cosθ<0,经检验,当m=0时,cosθ=4-2mm+5 >0,不合题意,∴m=8, 此时sinθ=513 ,cosθ=-1213 ,sin2θ+2sinθcosθ=-95169. 故A项正确,B项错误,C、D项正确.故选:ACD. 11.答案:34 /0.75 解析:由 同 角 三 角 函 数 的 平 方 关 系 及 已 知 条 件 可 知: sin22α+cos22α=1 3sin2α-cos2α=1 ⇒sin22α+(3sin2α-1)2=1⇒ 10sin22α-6sin2α=0, 当sin2α=0,cos2α=-1,此时cosα=1+cos2α2 =0 ,不 合题意;当sin2α= 35 ,cos2α= 45 ,符 合 题 意;所 以 tan2α=sin2αcos2α= 3 4. 故答案为:3 4 12.答案:-1225 解析:由sinθ,cosθ是关于x 的方程5x2-x+5m=0的 两根,所以 sinθ+cosθ=15 sinθcosθ=m Δ=1-100m>0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 , 由(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,可得(15 )2=1+2m, 则m=-1225 , 经检验符合题意,所以实数m 的值为-1225. 故答案为:-1225 13.解:(1)由 题 意 得 f(α)=cosα (-sinα)(-tanα) tanα(-sinα) = -cosα. (2)由(1)知f α-3π2 =-cosα-3π2 =-cosα+π2 = sinα. ∵f(α)·f α-3π2 =-38, ∴cosαsinα=38 , ∴(sinα-cosα)2=1-2cosαsinα=14. 又-3π4<α<- π 2 , ∴cosα>sinα, ∴sinα-cosα=-12. ∴f(α)+f α-3π2 =-cosα+sinα=-12. 高考预测练(十九) 1.A 由cos(α+β)=m 得cosαcosβ-sinαsinβ=m ①. 由tanαtanβ=2得 sinαsinβ cosαcosβ =2 ②, 由①②得 cosαcosβ=-m sinαsinβ=-2m , 所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-3m,故选A. 2.B cos2 π4+α = 1+cos π2+2α 2 = 1-sin2α 2 = 4 5 ,解 得:sin2α=-35. 故选:B. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —343— 高考预测练(十七) 任意角和弧度制及三角函数的概念 1.下列各角中,与43°角终边重合的是 ( ) A.137° B.143° C.-317° D.-343° 2.(2025·湖南省祁东县第一中学校联考阶段 练习)已知一扇形的圆心角为40°,半径为 9,则该扇形的面积为 ( ) A.9π B.12π C.18π D.36π 3.集合 αkπ+π4≤α≤kπ+ π 2 ,k∈Z 中 的 角 所表示的范围(阴影部分)是 ( ) A. B. C. D. 4.已知角α第二象限角,且 cosα2 =-cos α 2 , 则角α 2 是 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 5.若扇形的面积是4cm2,它的周长是10cm, 则扇形圆心角(正角)的弧度数为 ( ) A.12 B. π 2 C.14 D. π 4 6.已知角α的顶点在原点,始边与x轴的非负 半轴重合,终边在第三象限且与单位圆交于 点P - 55 ,m ,则sinα= ( ) A.- 55 B. 5 5 C.-2 55 D. 2 5 5 7.(2025·大理白族自治州民族中学质量检 测)已知角α 的终边落在直线y=2x,则 sinα的值为 ( ) A.2 55 B. 5 5 C.-2 55 D.± 2 5 5 8.(多选)已知角α的终边经过点P(-4m, 3m),(m≠0),则2sina+cosa的值可能为 ( ) A.35 B.- 3 5 C.25 D.- 2 5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —032— 高考预测练 9.(多选)(2025·江西萍乡统考质量检测)已 知角θ的终边有一点P(a,2a),若a<0,则 ( ) A.sinθ=- 55 B.sinθ=-2 55 C.tanθ=12 D.tanθ=2 10.(多选)下列各角中,与角495°终边相同的 角为 ( ) A.3π4 B.- 5π 4 C.-9π4 D. 13π 4 11.若α是第四象限角,则点Pcosα2 ,tanα2 在 第 象限. ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 12.建于明朝的杜氏雕 花楼被誉为“松江 最美的一座楼”,该 建筑内有很多精美的砖雕,砖雕是我国古 建筑雕刻中很重要的一种艺术形式,传统 砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如 图是一扇环形砖雕,可视为扇形OCD 截去 同心扇形OAB 所得部分,已知AD=1m, 弧AB=π3m ,弧CD=2π3m ,则此扇环形砖 雕的面积为 m2. 13.已 知 角 α 的 终 边 一 点 P 的 坐 标 为 sin5π6 ,cos5π6 ,则 角 α 的 最 小 正 值 为 . 14.已 知 角 α(0≤α≤2π)的 终 边 过 点 Psin2π3 ,cos2π3 ,则α= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —132— 班级: 姓名: 高考预测练(十八) 同角三角函数的基本关系与诱导公式 1.(2024·全国甲卷)已知 cosαcosα-sinα= 3 , 则tan α+π4 = ( ) A.2 3+1 B.2 3-1 C.32 D.1- 3 2.已知α是第二象限角,且cosα=-13 ,则tanα 的值是 ( ) A.13 B.- 2 3 C.24 D.-2 2 3.(2025·遂宁质量检测)若tanθ=43 ,θ∈(0, π),则cosθ的值为 ( ) A.35 B.- 3 5 C.45 D.- 4 5 4.已知sinα=35 ,α∈ 0,π2 ,则cosα= ( ) A.35 B.- 3 5 C.45 D.- 4 5 5.已知sinα+cosα=3cosαtanα,则cos2αtan α-1= ( ) A.-35 B.- 4 5 C.-23 D.- 1 3 6.已知α∈ 0,π4 ,且sinα+cosα=1713则tanα 的值为 ( ) A.125 B.- 12 5 C.512 D.- 5 12 7.(2025·哈尔滨三中质量检测)已知α的终 边有一点P(1,3),则cos(π+α)的值为 ( ) A.13 B. 10 10 C.- 1010 D.- 3 10 10 8.已知sin π6+α = 33,且α∈ -π4,π4 ,则 sin π3-α = ( ) A.- 33 B. 3 3 C.23 D. 6 3 9.已知在平面直角坐标系中,点 M(2,4)在角 α终边,则sin 3(π-α)+cos3(-α) sin3α-2cos3α = ( ) A.23 B. 3 2 C.-35 D.- 5 3 10.(多选)(2025·河南周口统考质量检测)已 知cosθ=4-2mm+5 ,tanθ= m-34-2m ,且θ∈ π 2 ,π ,下面选项正确的是 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —232— 高考预测练 A.m=8 B.m=0或m=8 C.sinθ>cosθ D.sin2θ+2sinθcosθ=-95169 11.已知cosθ≠0,3sin2α-cos2α=1,则 tan2α= . 12.已知sinθ,cosθ是关于x 的方程5x2- x+5m=0的两根,则实数m= . 13.已知函数 f(α)= sin π2+α cos3π2-α tan(π-α) tan(π+α)sin(2π-α) . (1)化简f(α); (2)若f(α)·fα-3π2 =38,且-3π4<α< -π2 ,求f(α)+fα-3π2 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —332— 班级: 姓名: