高考预测练(13、14)函数模型及其应用、导数的概念及运算-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备(课时作业)

高考预测练(十三) 函数模型及其应用 1.(2025·福建漳州质量检测)某工厂产生的 废气经过滤后排放,过滤过程中废气中的污 染物含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h) 间的关系为P=P0e-kt,其中P0,k>0,若在 前5h内消除了10%的污染物,则15h后 污染物含量还剩余 ( ) A.70% B.85% C.81% D.72.9% 2.(2025·重庆九龙坡统考质量检测)某同学 参加研究性学习活动,得到如实验数据: x 3 9 27 81 y 2 3.1 4.1 5.2 以函数中最符合变量y与x 的对应关系的 是 ( ) A.y=19x+2 B.y=49x 2 C.y=14×2 x-110 D.y=log3x+1 3.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了 列一组实验数据.现准备用列四个函数中的 一个近似地表示这些数据的规律,其中最接 近的一个是 ( ) x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12 y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61 A.y=2x B.y=log2x C.y=12 (x2-1) D.y=2.61x 4.(2025·北京四中检测)点声源亦称“球面声 源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传 播时.衰减量 ΔL(单位:dB)与传播距离r (单位:m)的关系式为ΔL=10·lg(πr2)+ k,其中k为常数.当传播距离为r1 时,衰减 量为ΔL1;当传播距离为r2 时,衰减量为 ΔL2.若r2=2r1,则ΔL2-ΔL1 约为(参考数 据:lg2≈0.3) ( ) A.6dB B.4dB C.3dB D.2dB 5.陕西榆林神木石峁遗址发现于1976,经过 数十年的发掘研究,已证实是中国已发现的 龙山晚期到夏早期规模最大的城址,出土了 大量玉器、陶器、壁画、房屋、城池、人体骨骼 等遗迹,2019年科技人员对遗迹中发现的 某具人娄骨骼化石进行碳14测定年代,公 式为:t=5730lnA0A ÷0.693(其中t为样 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —422— 高考预测练 本距今年代,A0 为现代活体中碳14放射性 丰度,A 为测定样本中碳14放射性丰度),已 知现代活体中碳14放射性丰度A0=1.2× 10-12,该人类骨骼碳14放射性丰度A=7.4× 10-13,则该骨骼化石距今的年份大约为( ) (附:ln1.6216≈0.4834,ln1.7≈0.5306, ln1.5≈0.4055) A.3353 B.3997 C.4125 D.4387 6.(预测)(多选)(2025·重庆八中月考)吸光 度是指物体在一定波长范围内透过光子的 能量占收到光能量的比例.透光率是指光子 通过物体的能量占发出光能量的比例.在实 际应用中,通常用吸光度A 和透光率T 来 衡量物体的透光性能,它们之间的换算公式 为T= 1 10A ,下表为不同玻璃材料的透光率: 玻璃材料 材料1 材料2 材料3 T 0.6 0.7 0.8 设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为 A1、A2、A3,则 ( ) A.A1>2A2 B.A2+A3>A1 C.A1+A3>2A2 D.A1A3<A22 7.一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装 配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x (单位:辆)与创造的价值y(单位:元)之间 的关系为:y=-20x2+2200x.如果这家工 厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 60000元以,请你给出一个该工厂在这周内 生成的摩托车数量的建议,使工厂能够达成 这个周创收目标,那么你的建议是 . 8.(2025·湖北武汉四调)为了响应节能减排 号召,某地政府决定大规模铺设光伏太阳能 板,该地区未来第x年年底光伏太阳能板的 保有 量 y(单 位:万 块)满 足 模 型 y= N 1+ Ny0-1 e -px ,其中N 为饱和度,y0 为初 始值,p为年增长率.若该地区2024年年底 的光伏太阳能板保有量约为20万块,以此 为初始值,以后每年的增长率均为10%,饱 和度为1020万块,那么2030年年底该地 区光伏太阳能板的保有量约 万块. (结果四舍五入保留到整数,参考数据:e-0.5 ≈0.61,e-0.6≈0.55,e-0.7≈0.49) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —522— 班级: 姓名: 高考预测练(十四) 导数的概念及运算 1.(2024·全国甲卷(理))设函数 f(x)= ex+2sinx 1+x2 ,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的 切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ( ) A.16 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 2.(2025·广东湛江二模)已知函数f(x)=ex +2x,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的 切线方程为 ( ) A.y=2x+1 B.y=3x+1 C.y=2x D.y=3x 3.(2025·吉林长统考质量检测)若f(x)= 2xf'(1)+x2,则f'(0)等于 ( ) A.2 B.0 C.-2 D.-4 4.若直线l过原点,且与函数y=lnxx 的图象 相切,则该直线的斜率为 ( ) A.1 B.12e C. 1 e D. 1 e2 5.函数f(x)=x2+2lnx-bx+a(b>0,a∈ R)在点(b,f(b))处的切线斜率的最小值是 ( ) A.2 B.3 C.2 2 D.1 6.(2025·广东揭阳高三统考质量检测)设 a∈R,函数f(x)=x3-2ax2+(a+3)x 的 导函数为f'(x),若f'(x)是偶函数,则曲线 y=f(x)在原点处的切线方程为 ( ) A.y=3x B.y=-2x C.y=-3x D.y=2x 7.已知曲线y=x3+2ax2+x+b在点(1,0)处 的切线的倾斜角为3π 4 ,则a+b= ( ) A.-34 B.- 5 4 C.-2 D.- 11 4 8.若曲线f(x)=ax-lnx与直线x-2y+2 -2ln2=0相切,则实数a= ( ) A.-1 B.1 C.2 D.e 9.(多选)列导数的运算中正确的是 ( ) A.(3x)'=3xln3 B.(x2lnx)'=2xlnx+x C.cosxx '=xsinx-cosxx2 D.(sinxcosx)'=cos2x 10.已知函数f(x)=x3-3x+1,则过点(1, -1)且与曲线y=f(x)相切的直线方程可 以为 ( ) A.2x+y-1=0 B.y=-1 C.9x+4y-5=0 D.3x+2y-1=0 11.(2025·四川成都二诊)设函数f(x)=2x3 +ax2+bx,若f(x)的图象过点P(1,3), 且曲线y=f(x)在(0,0)处的切线也过点 P,则a= . 12.(2025·福建福州模拟)若曲线y1= 1 3x 3 与曲线y2=alnx相切,则a= . 13.(2025·辽宁名校联盟调研)设a≠0,若曲 线f(x)=aln(x-1)在点(2,f(2))处的切 线也是曲线g(x)=eax-2的切线,则a= . 14.(预测)(2025·河南新乡二模)曲率是用于 描述曲线在某一点处弯曲程度的量,对于 平 面 曲 线 y =f (x),其 曲 率 K = |y″| [1+(y')2] 3 2 (y'是y 的导数,y″是y'的导 数),曲率半径ρ是曲率K 的倒数,其表示 与曲线在某点处具有相同弯曲程度圆的半 径.已知质点以恒定速率v沿曲率半径为ρ 的曲线做曲线运动时,向心加速度的大小 为v 2 ρ .若该质点以恒定速率v0 沿形状满足 y=x3-x2 的光滑轨道运动,则其在点(0, 0)处的向心加速度的大小为 ( ) A.12v 2 0 B.2v20 C. 2 2v 2 0 D.2v20 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —622— 高考预测练 由二分法可得零点的近似值可取为1.5562+1.5625 2 = 1.55935,所以f(x)=3x-x-4的一个零点的近似值可 取为1.55935,误差不超过0.005.故答案为:1.55935(答 案不唯一). 高考预测练(十三) 1.D 当t=0时,P=P0·e-k·0=P0; 当t=5时, P0·e-5k P0 =0.9,即e-5k=0.9; 当t=15时, P0·e-15k P0 =e-15k=(e-5k)3=0.93=0.729 =72.9%,故选D. 2.D 根据表格给出的数据,函数的增长速度越来越慢,对 选项A:增长速度不变,不满足;对选项B:x≥3时,增长 速度越来越大,不满足;对选项C:x≥3时,增长速度越来 越大,不满足;对选项D:函数的增长速度越来越慢,满足. 故选:D. 3.B 法一:由表格数据得到如散点图,为递增趋势,随x变 大增长率变小,只有B符合; 法二:对于A,函数y=2x 是指数函数,增长速度很快,且 在x=2时y=4,x=4时y=16,代入值偏差较大,不符合 要求;对于B,函数y=log2x,是对数函数,增长速度缓 慢,且在x=2时y=1,x=4时y=2,基本符合要求;对于 C,函数y=12 (x2-1)是二次函数,且当x=2时y=1.5, x=4时y=7.5,代入值偏差较大,不符合要求;对于D, 函数y=2.61x,当x=3时y=7.83,代入值偏差较大,不 符合要求,故选:B. 4.A 依题意,知ΔL2-ΔL1=10·lg(πr22)+k-10·lg(πr21) -k=20lg r2 r1 =20lg2≈20×0.3=6(dB).故选A. 5.B 由题知, A0 A = 1.2×10-12 7.4×10-13 ≈1.6216, ∴t=5730ln1.6216÷0.693≈5730×0.4834÷0.693≈ 3997.故选:B. 6.BCD 由T= 1 10A ,得A=-lgT,则A1=-lg0.6,A2= -lg0.7,A3=-lg0.8,2A2=-2lg0.7=-lg0.49,因 为lg0.6>lg0.49,所以-lg0.6<-lg0.49,即 A1< 2A2,A错误;A2+A3=-lg0.7-lg0.8=-lg0.56> -lg0.6=A1,B正确;A1+A3=-lg0.6-lg0.8=-lg0.48 >-lg0.49=-2lg0.7=2A2,C正确;A1A3=(-lg0.6) (-lg0.8)=lg0.6·lg0.8,A22=(-lg0.7)2=(lg0.7)2, A1A3 lg0.7·lg0.8 = lg0.6·lg0.8 lg0.7·lg0.8 = log0.7 0.6 , A22 lg0.7·lg0.8= (lg0.7)2 lg0.7·lg0.8=log0.80.7 ,log0.70.6- 3 2=log0.7 0.6 0.7 3 2 =log0.7 0.620.73 1 2 =log0.7 0.360.343 1 2 < log0.7=0,log0.80.7- 3 2=log0.8 0.7 0.8 3 2 =log0.8 0.720.83 1 2 =log0.8 0.490.512 1 2 >log0.81=0,所以log0.70.6<log0.8 0.7,则有 A1A3 lg0.7·lg0.8< A22 lg0.7·lg0.8 ,又lg0.7lg0.8 >0,则A1A3<A22,D正确.故选BCD. 7.答案:摩托车数量在51到59辆 解析:由题意得-20x2+2200x>60000,化简得x2-110x +3000<0, 得(x-50)(x-60)<0,解得50<x<60, 因为x取正整数, 所以该工厂在这周内生成的摩托车数量在51到59辆时, 工厂能够达成这个周创收目标.故答案为:摩托车数量在 51到59辆. 8.答案:36 解析:由题意知y0=20,p=10%,N=1020,x=6,则 2030 年 年 底 该 地 区 光 伏 太 阳 能 板 的 保 有 量 约 1020 1+ 102020 -1 e-10%×6 = 1020 1+50e-0.6 ≈ 10201+50×0.55≈ 36(万块). 高考预测练(十四) 1.A f'(x)= (ex+2cosx)(1+x2)-(ex+2sinx)·2x (1+x2)2 ,所以f'(0)= 3,所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1= 3(x-0),即3x-y+1=0,切线与两坐标轴的交点分别 为(0,1),-13 ,0 ,所以切线与两坐标轴所围成的三角 形的面积为1 2×1× 1 3= 1 6 ,故选A. 2.B 由f(x)=ex+2x,得f'(x)=ex+2,则f'(0)=3,又 f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程 为y=3x+1.故选B. 3.D 因为f(x)=2xf'(1)+x2,所以f'(x)=2f'(1)+2x 所以f'(1)=2f'(1)+2,得f'(1)=-2 所以f'(x)=-4+2x,所以f'(0)=-4 故选:D. 4.B 因为y=lnxx ,所以y'=1-lnxx2 , 设切点为 x0, lnx0 x0 ,所以y' x=x0=1-lnx0x20 , 所以切线方程为y- lnx0 x0 = 1-lnx0 x0 (x-x0), 又切线过坐标原点,所以- lnx0 x0 = 1-lnx0 x20 (-x0),解得 x0=e, 所以切 线 方 程 的 斜 率 为k= 1-lnx0 x20 = 1-12 (e)2 =12e. 故 选:B 5.C f'(x)=2x+2x-b (x>0),所以在点(b,f(b))处的切 线斜率是f'(b)=2b+2b -b=b+ 2 b ,因为b>0,所以 f'(b)=b+2b≥2 2 ,当且仅当b=2b 即b= 2时等号成 立,故选:C. 6.A 由题设f'(x)=3x2-2ax+(a+3)是偶函数,∴3(-x)2 -2a(-x)+(a+3)=3x2-2ax+(a+3),解得a=0, ∴k=f'(0)=3, ∴曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=3x.故选:A. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —733— 7.A f'(x)=3x2+4ax+1,由题意可知,切线的斜率k= tan3π4=-1 ,则 f (1)=2+2a+b=0 f'(1)=3+4a+1=-1 ,解得:a=-54, b=12 ,所以a+b=-34. 故选:A. 8.B 直线x-2y+2-2ln2=0,即y=12x+1-ln2 , 对于f(x)=ax-lnx,则f'(x)=a-1x , 设切点坐标为(x0,ax0-lnx0),切 线 斜 率k=f'(x0) =a-1x0 , 则切线方程为y-(ax0-lnx0)= a- 1 x0 (x-x0),即 y= a-1x0 x+1-lnx0, 由题意可得 a-1x0 =12 1-lnx0=1-ln2 ,解得 x0=2 a=1 .故选:B. 9.ABD (3x)'=3xln3,A正确;(x2lnx)'=(x2)'lnx+x2(ln x)'=2xln+x,B正确;(sinxcosx)'=(sinx)'cosx+ sinx(cosx)'=cos2x-sin2x=cos2x,D 正 确;因 为 cosx x '=-xsinx-cosxx2 ,所 以 C项 错 误,其 余 都 正 确.故选:ABD. 10.BC 由f(x)=x3-3x+1,得f'(x)=3x2-3,设切点 坐标为(t,t3-3t+1),则f'(t)=3t2-3,则过切点的切 线方程为y=(3t2-3)(x-t)+t3-3t+1,把点(1,-1) 代入,可得-1=(3t2-3)(1-t)+t3-3t+1,整理得: (t-1)2(2t+1)=0,即t=1或t=-12. 当t=-12 时, 切线方程为9x+4y-5=0;当t=1时,切线方程为y= -1.故选:BC. 11.答案:-2 解析:因为f(x)=2x3+ax2+bx, 所以f'(x)=6x2+2ax+b, 又f(x)的图象过点P(1,3), 所以3=2+a+b,所以a+b=1, 又曲线y=f(x)在(0,0)处的切线方程为y=bx,直线y =bx过点P(1,3), 所以b=3,则a=-2. 12.答案:e 解析:由已知得y1'=x2,y2'= a x , 设切点为 b,b33 ,b>0,则该点也在曲线y2=alnx上, 则b 3 3=alnb , 因为两曲线相切,所以两曲线在切点处的切线相同, 因为y1'|x=b=b2,y2'|x=b= a b ,所以b2=ab , 则a=b3,a>0, 代入b 3 3=alnb ,得a 3=alnb ,所以lnb=13 ,解得b=e 1 3, 则a=e. 13.答案:12 解析:∵f(x)=aln(x-1),∴f'(x)= ax-1 , ∴f'(2)=a,又f(2)=0, ∴曲线f(x)=aln(x-1)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=a(x-2), 根据题意可知直线y=a(x-2)也是曲线g(x)=eax-2 的切线, 设直线y=a(x-2)与曲线g(x)=eax-2切于点(x0, eax0-2), ∵g'(x)=aeax-2,∴g'(x0)=aeax0-2, ∴ a=aeax0-2, eax0-2=a(x0-2), 解得a=12. 14.B 设f(x)=x3-x2,则f'(x)=3x2-2x,f″(x)=6x -2,所以f'(0)=0,f″(0)=-2,则曲线在点(0,0)处的 曲率K= |-2| (1+02) 3 2 =2,曲率半径p=12 ,故曲线y=x3 -x2在点(0,0)处的向心加速度的大小为 v20 1 2 =2v20.故 选B. 高考预测练(十五) 1.B 由f(x)=ex(ax-1),得f'(x)=ex(ax-1+a), 由题图知x=1是函数f(x)的极小值点, 则f'(1)=e(2a-1)=0,解得a=12 , 当x<1时,f'(x)<0;当x>1时,f'(x)>0, 则x=1是函数f(x)的极小值点, 故f(x)=ex 12x-1 ,f'(x)=ex 12x-12 , 不等式f(x)f'(x)<0⇔14e 2x(x-1)(x-2)<0,解得 1<x<2, 所以不等式f(x)f'(x)<0的解集为(1,2).故选B. 2.D f'(x)=2-5x ,定义域为(0,+∞),令f'(x)<0,解 得0<x<52 ,所以f(x)在 0,52 单调递减.故选:D. 3.C 由f(x)=(x+1)lnx-ax⇒f'(x)=lnx+1x+1- a,当函数f(x)=(x+1)lnx-ax 在(0,+∞)单调递增 时,f'(x)≥0恒成立,得a≤lnx+1x+1 ,设g(x)=lnx +1x+1⇒g' (x)=1x- 1 x2 =x-1 x2 ,当x>1时,g'(x)> 0,g(x)单调递增,当0<x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递 减,所以g(x)min=g(1)=2,因此有a≤2,当函数f(x)= (x+1)lnx-ax在(0,+∞)单调递减时,f'(x)≤0恒成 立,得a≥lnx+1x+1 ,设g(x)=lnx+1x+1⇒g' (x)= 1 x- 1 x2 =x-1 x2 ,当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当 0<x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)min= g(1)=2,显然无论a取何实数,不等式f'(x)≤0不能恒 成立,综所述,a的取值范围是(-∞,2),故选:C. 4.ABD 由题意f'(x)=lnx+1,f'(x)=lnx+1>0,x> 1 e ,因此f(x)的增区间是 1e ,+∞ ,因此ABD正确,C 错误.故选:ABD. 5.BD f(x)的定义域为(0,+∞),故f(x)为非奇非偶函 数,故A错误;f(x)=(x3-x)lnx=x(x+1)(x-1)lnx,且 x>0,故x+1>0,当x>1时,lnx>0,此时f(x)>0,当 0<x<1时,lnx<0,此时f(x)>0,当x=1时,f(x)= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —833—