3.2 用频率估计概率（同步练习）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

3.2用频率估计概率 一．选择题（共7小题） 1．（2024秋•市中区校级月考）某校为了解本校九年级男生在“新冠肺炎“疫情期间每天在家进行锻炼的时长情况，随机抽查了100名九年级男学生进行问卷调查，将收集到的数据整理如下： 时间x（分） x＜10 0≤x＜20 20≤x＜30 30≤x＜40 40≤x＜50 50≤x＜60 x＞60 人数 1 8 10 34 22 15 10 根据以上统计结果，抽查该校一名九年级男生，估计他每天进行锻炼的时间不少于40分钟的概率是（　　） A．0.22 B．0.53 C．0.47 D．0.81 2．（2024秋•二七区期末）以下说法合理的是（　　） A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖 C．某运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 D．下表记录了一名球员在罚球线上罚篮的结果：由此频率表可知，这名球员投篮一次，投中的概率约是0.6 投篮次数n 100 150 300 500 800 1000 投中次数m 58 96 174 302 484 601 投中频率n/m 0.580 0.640 0.580 0.604 0.605 0.601 3．（2024秋•夹江县期末）盒子中有白色小球和黄色小球若干个，某同学进行了如下实验：每次摸出一个小球记下它的颜色并放回盒中，如此重复400次，摸出白色小球100次，由此估计摸出黄色小球的概率为（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•太和区期末）下列说法不正确的（　　） A．抛掷一枚硬币，正面向上或者反面向上是无法预测的 B．抛掷一枚硬币，正面向上和反面向上的机会一样 C．抛掷一枚硬币，六次中必有3次正面向上 D．抛掷一枚硬币，随着试验次数的大量增加，正面向上的频率逐渐趋于稳定 5．（2024秋•江夏区校级期末）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图，则符合这一结果的实验可能是（　　） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面的概率 C．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 D．任意写一个整数，它能被2整除的概率 6．（2024秋•曲靖一模）如图，这是一幅2018年俄罗斯世界杯的长方形宣传画，长为4m，宽为2m．为测量画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4左右．由此可估计宣传画上世界杯图案的面积为（　　） A．2.4m2 B．3.2m2 C．4.8m2 D．7.2m2 7．（2024秋•汶上县期末）在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球试验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•宿豫区期中）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 650 1180 1890 3100 4820 6013 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.6025 0.6013 试估计袋子中有黑球　 　 个． 9．（2025春•长安区期中）在一个不透明的袋子里装有白球和黄球共20个，这些球除颜色外完全相同．小红通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在0.35左右，估计袋子中白球的个数可能是 　 　 ． 10．（2025•涟水县一模）一个暗箱中放有除颜色外其他完全相同的n个红球，18个黄球，9个白球，现将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%附近，由此可以估算的n值是　 　 ． 11．（2024秋•玉溪校级期末）在一个不透明的口袋中装有红球、白球共40个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了200次球，若其中有20次摸到红球，则估计这个口袋中红球的数量为 　 　 个． 12．（2024秋•长沙期末）为了鼓励学生培养创新思维，某校为1000名学生各准备了一件创新作品盲盒，小星为了估计汽车模型盲盒的个数，对30位同学的盲盒统计，发现有9位同学抽中小汽车模型，由此可估计小汽车模型的总数为 　 　 件． 三．解答题（共3小题） 13．（2024秋•雨花区期末）在一个不透明的箱子中装有形状、大小均一样的小球，其中红色小球有3个，蓝色小球有1个． （1）从箱子中任意摸出两个小球，利用树状图或表格求两个小球颜色恰好不同的概率； （2）将摸出的小球全部放回后，又放入n个蓝色小球，摇晃均匀后任意摸出一个，记下颜色，经过大量反复的实验，发现摸到蓝色小球的概率约为，求n的值． 14．（2024春•莱州市期中）某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数n 500 1000 1500 2000 2500 优等品频数m 471 946 1426 1898 2370 优等品频率 0.942 0.946 0.951 0.949 0.948 （1）这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是 　 　 ；（精确到0.01） （2）从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； （3）现从第（2）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？ 15．（2024秋•大荔县期末）在一个不透明的袋子里有1个红球，1个黄球和n个白球，它们除颜色外其余都相同． （1）从这个袋子里摸出一个球，记录其颜色，然后放回，摇均匀后，重复该实验，经过大量实验后，发现摸到白球的频率稳定于0.5左右，求n的值； （2）在（1）的条件下，先从这个袋中摸出一个球，记录其颜色，不放回，摇均匀后，再从袋中摸出一个球，记录其颜色，请用画树状图的方法，求出先后两次摸出不同颜色的两个球的概率． 3.2用频率估计概率 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2024秋•市中区校级月考）某校为了解本校九年级男生在“新冠肺炎“疫情期间每天在家进行锻炼的时长情况，随机抽查了100名九年级男学生进行问卷调查，将收集到的数据整理如下： 时间x（分） x＜10 0≤x＜20 20≤x＜30 30≤x＜40 40≤x＜50 50≤x＜60 x＞60 人数 1 8 10 34 22 15 10 根据以上统计结果，抽查该校一名九年级男生，估计他每天进行锻炼的时间不少于40分钟的概率是（　　） A．0.22 B．0.53 C．0.47 D．0.81 【考点】利用频率估计概率；调查收集数据的过程与方法；频数（率）分布表． 【专题】概率及其应用；运算能力． 【答案】C 【分析】用第5、6、7组的人数和除以总人数即可得． 【解答】解：估计他每天进行锻炼的时间不少于40分钟的概率是0.47， 故选：C． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 2．（2024秋•二七区期末）以下说法合理的是（　　） A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖 C．某运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 D．下表记录了一名球员在罚球线上罚篮的结果：由此频率表可知，这名球员投篮一次，投中的概率约是0.6 投篮次数n 100 150 300 500 800 1000 投中次数m 58 96 174 302 484 601 投中频率n/m 0.580 0.640 0.580 0.604 0.605 0.601 【考点】利用频率估计概率． 【专题】概率及其应用． 【答案】D 【分析】利用频率与概率的意义对A、B进行判断；根据概率公式对C进行判断；根据频率估计概率对D进行判断． 【解答】解：A、小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的频率是，所以A选项的说法错误； B、某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票不一定中奖，所以B选项的说法错误； C、某运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，它们发生的可能性不等，所以C选项的说法错误； D、由此频率表可知，这名球员投篮一次，投中的概率约是0.6，所以D选项的说法正确． 故选：D． 【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 3．（2024秋•夹江县期末）盒子中有白色小球和黄色小球若干个，某同学进行了如下实验：每次摸出一个小球记下它的颜色并放回盒中，如此重复400次，摸出白色小球100次，由此估计摸出黄色小球的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】利用频率估计概率． 【专题】应用题；应用意识． 【答案】D 【分析】在根据同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，利用概率公式解答即可． 【解答】解：估计摸出黄色小球的概率， 故选：D． 【点评】此题考查利用频率估计概率，解答此题的关键是要计算出口袋中白色球所占的比例即白球的概率． 4．（2024秋•太和区期末）下列说法不正确的（　　） A．抛掷一枚硬币，正面向上或者反面向上是无法预测的 B．抛掷一枚硬币，正面向上和反面向上的机会一样 C．抛掷一枚硬币，六次中必有3次正面向上 D．抛掷一枚硬币，随着试验次数的大量增加，正面向上的频率逐渐趋于稳定 【考点】利用频率估计概率． 【答案】C 【分析】大量反复试验时，某某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果． 【解答】解：A、正确，是随机事件，故无法预测； B、正确，因为一枚硬币只有正反两面，故正面向上和反面向上的机会一样； C、错误，是随机事件，故无法预测； D、正确，因为随着试验次数的大量增加，正面向上的频率逐渐接近概率，故逐渐趋于稳定． 故选：C． 【点评】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件可能发生，也可能不发生． 5．（2024秋•江夏区校级期末）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图，则符合这一结果的实验可能是（　　） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面的概率 C．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 D．任意写一个整数，它能被2整除的概率 【考点】利用频率估计概率． 【答案】C 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【解答】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项错误； B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项错误； C、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是：0.33；故此选项正确； D、任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故此选项错误． 故选：C． 【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 6．（2024秋•曲靖一模）如图，这是一幅2018年俄罗斯世界杯的长方形宣传画，长为4m，宽为2m．为测量画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4左右．由此可估计宣传画上世界杯图案的面积为（　　） A．2.4m2 B．3.2m2 C．4.8m2 D．7.2m2 【考点】利用频率估计概率． 【专题】概率及其应用． 【答案】B 【分析】利用频率估计概率得到估计骰子落在世界杯图案中的概率为0.4，然后根据几何概率的计算方法计算世界杯图案的面积． 【解答】解：∵骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4左右， ∴估计骰子落在世界杯图案中的概率为0.4， ∴估计宣传画上世界杯图案的面积＝0.4×（4×2）＝3.2（m2）． 故选：B． 【点评】本题考查了频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 7．（2024秋•汶上县期末）在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球试验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 【考点】利用频率估计概率． 【答案】D 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答． 【解答】解：根据题意得，， 解得，m＝20． 故选：D． 【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•宿豫区期中）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 650 1180 1890 3100 4820 6013 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.6025 0.6013 试估计袋子中有黑球　30　 个． 【考点】利用频率估计概率． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】30． 【分析】根据表格中的数据可知到黑球的概率约为0.6，然后计算出袋子中有黑球个数即可． 【解答】解：由表格中的数据，可知摸到黑球的概率约为0.6， ∴估计袋子中有黑球有50×0.6＝30（个）， 故答案为：30． 【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，会用频率估计概率． 9．（2025春•长安区期中）在一个不透明的袋子里装有白球和黄球共20个，这些球除颜色外完全相同．小红通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在0.35左右，估计袋子中白球的个数可能是 　13　 ． 【考点】利用频率估计概率． 【专题】概率及其应用；应用意识． 【答案】13． 【分析】根据摸出黄球的频率稳定在0.35左右知摸出白球的概率约为1﹣0.35，再乘以球的总个数，从而得出答案． 【解答】解：袋子中白球的个数最有可能是20×（1﹣0.35）＝13（个）． 故答案为：13． 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 10．（2025•涟水县一模）一个暗箱中放有除颜色外其他完全相同的n个红球，18个黄球，9个白球，现将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%附近，由此可以估算的n值是　33　 ． 【考点】利用频率估计概率． 【专题】概率及其应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用频率估计概率，进而得出关于n的等式求出答案． 【解答】解：由题意可得：， 解得：n＝33， 故答案为：33． 【点评】此题主要考查了用频率估计概率，正确得出关于n的等式是解题关键． 11．（2024秋•玉溪校级期末）在一个不透明的口袋中装有红球、白球共40个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了200次球，若其中有20次摸到红球，则估计这个口袋中红球的数量为 　4　 个． 【考点】利用频率估计概率． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意和题目中的数据，可知口袋中红球的个数约为：40，然后计算即可． 【解答】解：由题意可得： 口袋中红球的个数约为：404（个）， 故答案为：4． 【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，求出相应的红球个数． 12．（2024秋•长沙期末）为了鼓励学生培养创新思维，某校为1000名学生各准备了一件创新作品盲盒，小星为了估计汽车模型盲盒的个数，对30位同学的盲盒统计，发现有9位同学抽中小汽车模型，由此可估计小汽车模型的总数为 　300　 件． 【考点】利用频率估计概率． 【专题】统计与概率；数据分析观念． 【答案】见试题解答内容 【分析】先计算出抽到小汽车模型概率为，则这1000件盲盒里小汽车模型的数量为1000×0.3＝300（件）． 【解答】解：抽到小汽车模型概率为， ∴这1000件盲盒里小汽车模型的数量为1000×0.3＝300（件）， 故答案为：300． 【点评】本题考查了用频率估计概率，用样本估计总体，熟练掌握知识点是解题的关键． 三．解答题（共3小题） 13．（2024秋•雨花区期末）在一个不透明的箱子中装有形状、大小均一样的小球，其中红色小球有3个，蓝色小球有1个． （1）从箱子中任意摸出两个小球，利用树状图或表格求两个小球颜色恰好不同的概率； （2）将摸出的小球全部放回后，又放入n个蓝色小球，摇晃均匀后任意摸出一个，记下颜色，经过大量反复的实验，发现摸到蓝色小球的概率约为，求n的值． 【考点】利用频率估计概率；列表法与树状图法． 【专题】概率及其应用；运算能力． 【答案】（1）． （2）5． 【分析】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可； （2）根据概率公式列出关于n的方程，解之即可． 【解答】解：（1）列表如下： 红 红 红 蓝 红 （红，红） （红，红） （蓝，红） 红 （红，红） （红，红） （蓝，红） 红 （红，红） （红，红） （蓝，红） 蓝 （红，蓝） （红，蓝） （红，蓝） 由表知，共有12种等可能结果，其中两个小球颜色恰好不同的有6种结果， 所以两个小球颜色恰好不同的概率为， （2）根据题意，得：， 解得n＝5， 经检验n＝5是分式方程的解， ∴n＝5， 答：n的值为5． 【点评】此题主要考查了利用树状图求概率及利用频率估计概率，总体数目＝部分数目÷相应百分比；如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）．注意本题是不放回实验． 14．（2024春•莱州市期中）某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数n 500 1000 1500 2000 2500 优等品频数m 471 946 1426 1898 2370 优等品频率 0.942 0.946 0.951 0.949 0.948 （1）这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是 　0.95　 ；（精确到0.01） （2）从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； （3）现从第（2）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？ 【考点】利用频率估计概率；概率公式；列表法与树状图法． 【专题】概率及其应用． 【答案】（1）0.95； （2）； （3）取出了5个黑球． 【分析】（1）利用表格即可解答； （2）根据概率公式计算即可； （3）设取出x个黑球，则放入x个黄球，构建方程即可解决问题． 【解答】解：（1）随着抽取彩色弹力球数量的增加，抽到优等品的频率在0.95附近， 所以估计这批彩色弹力球“优等品”的概率是0.95， 故答案为：0.95； （2）从袋子中摸出一个球，所有可能的结果有40种，因为除了颜色外都相同，所以每种结果出现的可能性相等，其中摸到黄球的结果有5种， ∴； （3）设取出x个黑球，则放入x个黄球， 由题意得：， 解得x＝5． 答：取出了5个黑球． 【点评】本题考查频数分布表、用频率估计概率，概率公式求概率，一元一次方程的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 15．（2024秋•大荔县期末）在一个不透明的袋子里有1个红球，1个黄球和n个白球，它们除颜色外其余都相同． （1）从这个袋子里摸出一个球，记录其颜色，然后放回，摇均匀后，重复该实验，经过大量实验后，发现摸到白球的频率稳定于0.5左右，求n的值； （2）在（1）的条件下，先从这个袋中摸出一个球，记录其颜色，不放回，摇均匀后，再从袋中摸出一个球，记录其颜色，请用画树状图的方法，求出先后两次摸出不同颜色的两个球的概率． 【考点】利用频率估计概率；列表法与树状图法． 【专题】概率及其应用；运算能力． 【答案】（1）2； （2）． 【分析】（1）由“摸到白球的频率稳定于0.5左右”利用概率公式列方程计算可得； （2）画树状图展示所有可能的结果数，找出两次摸出的球颜色不同的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）根据题意，得， 解得n＝2， 所以n的值是2． （2）画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中先后两次摸出不同颜色的两个球的结果数为10， ∴先后两次摸出不同颜色的两个球的概率为． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 学科网（北京）股份有限公司 $$