3.1 用树状图或表格求概率（同步练习）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

3.1 用树状图或表格求概率 一．选择题（共7小题） 1．（2025•河南模拟）暑假期间，小明的父母计划带小明外出进行研学，他们打算从3个红色基地（A．红旗渠；B．竹沟革命纪念馆；C．桐柏革命纪念馆）中随机选取一个，再从2个自然景点（D．云台山；E．嵩山）中随机选取一个，则他们恰好选中红旗渠和嵩山的概率是（　　） A． B． C． D． 2．（2025•沈丘县一模）为了更好地了解和感受河南历史，淇淇和茜茜分别游览了“只有河南•戏剧幻城”．景区拥有三个主剧场，分别是《李家村剧场》、《幻城剧场》、《火车站剧场》．淇淇、茜茜随机选择一个主剧场观看，则她俩恰好选择同一剧场的概率为（　　） A． B． C． D． 3．（2025•沈阳模拟）某展览大厅有2个入口和2个出口，其示意图如图所示，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开，小明从入口1进入并从出口A离开的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（2025•太康县一模）“燃动青春，跃享未来”2025春季体育节火热来袭！某班需从以下4个项目中随机选择2个参赛，①极限跳绳挑战赛；②力量拔河争霸赛；③欢乐趣味接力跑；④炫酷篮球技巧赛．则恰好选中极限跳绳挑战赛（　　） A． B． C． D． 5．（2025•郸城县二模）每年3月14日为国际数学日，2025年国际数学日的主题为“数学、艺术与创意”．某班计划从这3个主题中随机选取2个制作宣传展板，则同时选中“数学”和“创意”的概率为（　　） A． B． C． D． 6．（2025•鹿邑县二模）河南是中华人民和中华民族文明的重要发源地，其历史文化博大精深．为了更深入的了解河南历史文化，小明和小亮准备在“五一”期间去河南博物院、开封博物馆和洛阳博物馆中的一处景区进行学习，则小明和小亮都选择“洛阳博物馆”的概率是（　　） A． B． C． D． 7．（2025•平舆县一模）数学课上，刘老师拿出正面分别写有“A”“I”“O”“W”“Y”的五张不透明卡片（其中“A”“I”“O”为元音字母），它们除正面外完全相同．把这五张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，不放回洗匀，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片都是元音字母的概率为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 8．（2025•长沙模拟）十二生肖，作为中国传统文化的重要组成部分，具有深远的历史和丰富的文化内涵．小云购买了一套“十二生肖”主题邮票，他要将“猴”“牛”“蛇”“龙”四张邮票中的两张送给同学小南，小云将它们背面朝上放在桌面上，让小南从中随机抽取两张，四张邮票的大小、形状、质地、背面完全相同．则小南抽到的两张邮票恰好是“牛”和“龙”的概率是　 　 ． 9．（2025•重庆校级模拟）为了丰富学生的课外活动，某中学开设了多种兴趣小组．其中，两名学生想从摄影、舞蹈、编程、书法中选报一个兴趣小组．两名学生恰好选报同一个兴趣小组的概率为　 　 ． 10．（2025春•黄浦区校级月考）如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C，都可使小奵泡发光．现随机从A，B，C，D中抽取一个字母（每个字母被抽到的可能性相等）并闭合对应开关，则小灯泡发光的概率为 　 　 ． 11．（2025•通许县一模）通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．化学实验室中有四瓶标签被污染无法识别的无色溶液，分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．小周同学在这四瓶溶液中取样，用酚酞检测其碱性．若小周将酚酞随机滴入两种样本溶液中，两种样本溶液恰好都变红色的概率是　 　 ． 12．（2025•西峡县二模）小明同学在研究气体的性质时，制作了8个除正面字迹不同，其余均相同的卡片，并将这些卡片按如图的组别分类，然后将所有卡片背面向上放置，其中，A组为气体名称，B组为气体的性质，小明从A组和B组随机各抽取一张卡片，则抽取出卡片中一般情况下气体和性质对应正确的概率为　 　 ． A组 氧气 氢气 二氧化碳 一氧化碳 B组 可燃烧 可助燃 用向上排空气法收集 是化合物 三．解答题（共3小题） 13．（2025•雁塔区校级模拟）“曲江流饮，春日诗会”，曲江第一中学在七年级开展诗词大会活动．大会将学生分为5个小组，5个小组派代表依次从“立春A”“雨水B”“惊蛰C”“春分D”“清明E”五张主题卡片中随机摸出一张（不放回），根据所抽到的主题进行比赛． （1）第一组抽到“雨水B”的概率为 　 　 ； （2）第一组和第二组都擅长“雨水B”和“清明E”主题的题目，请用画树状图或列表的方法，求第一组和第二组至少有一个组抽到自己擅长主题的概率． 14．（2025•长沙模拟）为普及前沿科技知识，充分激发青少年对科技创新的浓厚兴趣，某中学于课后服务时段开设了人工智能实践课程，并在学校科技节活动期间举行了“人工智能知识竞赛”活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛． 收集数据：现随机抽取了初一年级20名同学的“人工智能知识竞赛“成绩，分数（单位：分）如下： 73，93，83，62，81，67，96，88，92，87 76，86，82，86，85，84，82，95，86，89 整理分析数据： 等级 成绩x（单位：分） 频数/人数 A 90≤x＜100 4 B 80≤x＜90 a C 70≤x＜80 b D 60≤x＜70 2 请根据图中信息，解答下列问题： （1）统计表中a＝　 　 ，b＝　 　 ，并补全频数分布直方图； （2）这20名学生成绩的中位数在　 　 （填“A”“B”“C”或“D”）等级； （3）据上面统计结果估计该校初一年级800人中，有多少人的成绩在80分及以下． （4）这20名同学中，得分在90分及以上的是两名男生和两名女生，现要在这4人中随机抽出两人代表学校参加区级竞赛，利用画树状图法或列表法求抽出的恰好是一名男生和一名女生的概率． 15．（2025•峡江县校级模拟）近年来，手机微信红包使用极其频繁．今年春节，小芳的爷爷也尝试用微信发红包，他分别将20元，50元，100元的三个红包发到只有爷爷、爸爸、妈妈和小芳的微信群里，他们每人只能抢一个红包，且抢到任何一个红包的机会均等（爷爷只发不抢，红包里钱的多少与抢红包的先后顺序无关）． （1）求小芳抢到100元红包的概率； （2）如果小芳的奶奶也加入这个微信群，他们四个人中将有一人抢不到红包，那么这种情况下，求小芳和奶奶两人抢到红包的钱数之和不少于120元的概率． 3.1 用树状图或表格求概率 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2025•河南模拟）暑假期间，小明的父母计划带小明外出进行研学，他们打算从3个红色基地（A．红旗渠；B．竹沟革命纪念馆；C．桐柏革命纪念馆）中随机选取一个，再从2个自然景点（D．云台山；E．嵩山）中随机选取一个，则他们恰好选中红旗渠和嵩山的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】A 【分析】利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出他们恰好选中红旗渠和嵩山的结果数，然后根据概率公式计算． 【解答】解：树状图如下所示： 由树状图可知：恰好选中红旗渠和嵩山的概率是． 故选：A． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：熟练掌握该知识点是关键． 2．（2025•沈丘县一模）为了更好地了解和感受河南历史，淇淇和茜茜分别游览了“只有河南•戏剧幻城”．景区拥有三个主剧场，分别是《李家村剧场》、《幻城剧场》、《火车站剧场》．淇淇、茜茜随机选择一个主剧场观看，则她俩恰好选择同一剧场的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】D 【分析】通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【解答】解：设《李家村剧场》、《幻城剧场》、《火车站剧场》分别为A、B、C， 列表如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 由列表可知：P（她俩恰好选择同一剧场）． 故选：D． 【点评】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． 3．（2025•沈阳模拟）某展览大厅有2个入口和2个出口，其示意图如图所示，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开，小明从入口1进入并从出口A离开的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法． 【专题】常规题型． 【答案】C 【分析】画树状图得出所有等可能的情况数，找出从入口1进入并从出口A离开的情况数，即可求出所求概率． 【解答】解：画树状图得： 所有等可能的情况有4种，其中从入口1进入并从出口A离开的情况有1种， 则P． 故选：C． 【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 4．（2025•太康县一模）“燃动青春，跃享未来”2025春季体育节火热来袭！某班需从以下4个项目中随机选择2个参赛，①极限跳绳挑战赛；②力量拔河争霸赛；③欢乐趣味接力跑；④炫酷篮球技巧赛．则恰好选中极限跳绳挑战赛（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】D 【分析】先列表得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【解答】解：由题意得，列表如下： ① ② ③ ④ ① （②，①） （③，①） （④，①） ② （①，②） （③，②） （④，②） ③ （①，③） （②，③） （④，③） ④ （①，④） （②，④） （③，④） 由列表可知：恰好选中极限跳绳挑战赛的概率是， 故选：D． 【点评】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 5．（2025•郸城县二模）每年3月14日为国际数学日，2025年国际数学日的主题为“数学、艺术与创意”．某班计划从这3个主题中随机选取2个制作宣传展板，则同时选中“数学”和“创意”的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】B 【分析】先列表得到所有等可能性的结果数，再找到同时选中“数学”和“创意”的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【解答】解：设分别用A、B、C表示数学，艺术，创意这三个主题，列表如下： 第一次第二次 A B C A （B，A） （C，A） B （A，B） （C，B） C （A，C） （B，C） 由表格可知：同时选中“数学”和“创意”的概率为， 故选：B． 【点评】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，熟练掌握该知识点是关键． 6．（2025•鹿邑县二模）河南是中华人民和中华民族文明的重要发源地，其历史文化博大精深．为了更深入的了解河南历史文化，小明和小亮准备在“五一”期间去河南博物院、开封博物馆和洛阳博物馆中的一处景区进行学习，则小明和小亮都选择“洛阳博物馆”的概率是（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】D 【分析】先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到小明和小亮都选择“洛阳博物馆”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【解答】解：设河南博物院、开封博物馆和洛阳博物馆分别用A、B、C表示， 列表如下： 小明 小亮 A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 由表格可知：小明和小亮都选择“洛阳博物馆”的概率是， 故答案为：D． 【点评】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 7．（2025•平舆县一模）数学课上，刘老师拿出正面分别写有“A”“I”“O”“W”“Y”的五张不透明卡片（其中“A”“I”“O”为元音字母），它们除正面外完全相同．把这五张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，不放回洗匀，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片都是元音字母的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】A 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片都是元音字母的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图得： 由树状图可知：两次抽取的卡片都是元音字母的概率为：， 故选：A． 【点评】本题主要考查用列表与树状图求概率，掌握列出树状图求概率是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 8．（2025•长沙模拟）十二生肖，作为中国传统文化的重要组成部分，具有深远的历史和丰富的文化内涵．小云购买了一套“十二生肖”主题邮票，他要将“猴”“牛”“蛇”“龙”四张邮票中的两张送给同学小南，小云将它们背面朝上放在桌面上，让小南从中随机抽取两张，四张邮票的大小、形状、质地、背面完全相同．则小南抽到的两张邮票恰好是“牛”和“龙”的概率是　　 ． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】． 【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小南抽到的两张邮票恰好是“牛”和“龙”的概率． 【解答】解：“猴”“牛”“蛇”“龙”四张邮票分别用A，B，C，D表示，画树状图如下， 由树状图可得：小南抽到的两张邮票恰好是“牛”和“龙”的概率是， 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 9．（2025•重庆校级模拟）为了丰富学生的课外活动，某中学开设了多种兴趣小组．其中，两名学生想从摄影、舞蹈、编程、书法中选报一个兴趣小组．两名学生恰好选报同一个兴趣小组的概率为　　 ． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】． 【分析】先根据题意列表求得所有等可能情况数以及两名学生恰好选报同一个兴趣小组的情况数，然后运用概率公式求解即可． 【解答】解：分别记摄影、舞蹈、编程、书法为A、B、C、D， 根据题意列表如下： 同学1 同学2 A B C D A A，A A，B A，C A，D B B，A B，B B，C B，D C C，A C，B C，C C，D D D，A D，B D，C D，D 由列表可知：两名学生恰好选报同一个兴趣小组的概率为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了运用列表法求概率，根据题意正确列表成为解题的关键． 10．（2025春•黄浦区校级月考）如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C，都可使小奵泡发光．现随机从A，B，C，D中抽取一个字母（每个字母被抽到的可能性相等）并闭合对应开关，则小灯泡发光的概率为 　　 ． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】． 【分析】所有可能的结果共有4种可能，而让小灯泡发光的只有抽到D，一种可能，由概率公式即可求解． 【解答】解：由概率公式可知：小灯泡发光的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查用概率公式计算事件发生的概率，熟练掌握概率公式：是解题的关键． 11．（2025•通许县一模）通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．化学实验室中有四瓶标签被污染无法识别的无色溶液，分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．小周同学在这四瓶溶液中取样，用酚酞检测其碱性．若小周将酚酞随机滴入两种样本溶液中，两种样本溶液恰好都变红色的概率是　　 ． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】． 【分析】根据题意画树状图，得到共有12种等可能的结果，其中两种样本溶液恰好都变红色的结果（C，D）有2种，利用概率公式计算即可． 【解答】解：画树状图如下， 由树状图可知：两种样本溶液恰好都变红色的概率是， 故答案为：． 【点评】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握用列表法或画树状图法求概率的方法是解题的关键． 12．（2025•西峡县二模）小明同学在研究气体的性质时，制作了8个除正面字迹不同，其余均相同的卡片，并将这些卡片按如图的组别分类，然后将所有卡片背面向上放置，其中，A组为气体名称，B组为气体的性质，小明从A组和B组随机各抽取一张卡片，则抽取出卡片中一般情况下气体和性质对应正确的概率为　　 ． A组 氧气 氢气 二氧化碳 一氧化碳 B组 可燃烧 可助燃 用向上排空气法收集 是化合物 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】． 【分析】根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【解答】解：由题意，列表如下： 可燃烧 可助燃 用向上排空气法收集 是化合物 氧气 氧气，可燃烧 氧气，可助燃 ∨ 氧气，用向上排空气法收集∨ 氧气，是化合物 氢气 氢气，可燃烧 ∨ 氢气，可助燃 氢气，用向上排空气法收集 氢气，是化合物 二氧化碳 二氧化碳，可燃烧 二氧化碳，可助燃 二氧化碳，用向上排空气法收集∨ 二氧化碳，是化合物∨ 一氧化碳 一氧化碳，可燃烧∨ 一氧化碳，可助燃 一氧化碳，用向上排空气法收集 一氧化碳，是化合物∨ 由列表可知：列表中打∨符号的是名称和性质对应正确的，有七种； ∴； 故答案为：． 【点评】本题考查列表法求概率，熟练掌握该知识点是关键． 三．解答题（共3小题） 13．（2025•雁塔区校级模拟）“曲江流饮，春日诗会”，曲江第一中学在七年级开展诗词大会活动．大会将学生分为5个小组，5个小组派代表依次从“立春A”“雨水B”“惊蛰C”“春分D”“清明E”五张主题卡片中随机摸出一张（不放回），根据所抽到的主题进行比赛． （1）第一组抽到“雨水B”的概率为 　　 ； （2）第一组和第二组都擅长“雨水B”和“清明E”主题的题目，请用画树状图或列表的方法，求第一组和第二组至少有一个组抽到自己擅长主题的概率． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】概率及其应用． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据概率的定义即可解决． （2）通过表格列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解可得． 【解答】解：（1）∵有“立春A”“雨水B”“惊蛰C”“春分D”“清明E”五张卡片， ∴第一组抽到“雨水B”的概率为； （2）列表格得： A B C D E A （A，B） （A，C） （A，D） （A，E） B （B，A） （B，C） （B，D） （B，E） C （C，A） （C，B） （C，D） （C，E） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，E） E （E，A） （E，B） （E，C） （E，D） ∵由表格可知，一共有20种等可能的结果，其中她们至少有一人抽到自己擅长的主题的有14种可能， ∴她们至少有一人抽到自己擅长的主题的概率为． 【点评】此题考查的是概率公式求概率，用树状图法求概率． 14．（2025•长沙模拟）为普及前沿科技知识，充分激发青少年对科技创新的浓厚兴趣，某中学于课后服务时段开设了人工智能实践课程，并在学校科技节活动期间举行了“人工智能知识竞赛”活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛． 收集数据：现随机抽取了初一年级20名同学的“人工智能知识竞赛“成绩，分数（单位：分）如下： 73，93，83，62，81，67，96，88，92，87 76，86，82，86，85，84，82，95，86，89 整理分析数据： 等级 成绩x（单位：分） 频数/人数 A 90≤x＜100 4 B 80≤x＜90 a C 70≤x＜80 b D 60≤x＜70 2 请根据图中信息，解答下列问题： （1）统计表中a＝　12　 ，b＝　2　 ，并补全频数分布直方图； （2）这20名学生成绩的中位数在　B　 （填“A”“B”“C”或“D”）等级； （3）据上面统计结果估计该校初一年级800人中，有多少人的成绩在80分及以下． （4）这20名同学中，得分在90分及以上的是两名男生和两名女生，现要在这4人中随机抽出两人代表学校参加区级竞赛，利用画树状图法或列表法求抽出的恰好是一名男生和一名女生的概率． 【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】（1）12，2；见解析； （2）B； （3）160人； （4）． 【分析】（1）根据给出的数据进行统计即可得出a、b的值，进而可补全统计图； （2）根据中位数的定义解答即可； （3）利用样本估计总体的知识求解即可； （4）画树状图展示所有等可能的结果数，找出符合题意的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）成绩在80≤x＜90的人数有12人，所以a＝12， 成绩在70≤x＜80的人数有2人，所以b＝2； 故答案为：12，2； 补全统计图如下： （2）∵2+2＜10，2+2+12＞10， ∴这20名学生成绩的中位数在B组， 故答案为：B； （3）利用样本估计总体可得： （人）， 答：据上面统计结果估计该校初一年级800人中，有160人的成绩在80分及以下． （4）画树状图如下： 由树状图可知抽出的恰好是一名男生和一名女生的概率． 【点评】本题考查了统计表、中位数、利用样本估计总体、画树状图法求概率等知识，熟练掌握统计与概率的相关知识是解题的关键． 15．（2025•峡江县校级模拟）近年来，手机微信红包使用极其频繁．今年春节，小芳的爷爷也尝试用微信发红包，他分别将20元，50元，100元的三个红包发到只有爷爷、爸爸、妈妈和小芳的微信群里，他们每人只能抢一个红包，且抢到任何一个红包的机会均等（爷爷只发不抢，红包里钱的多少与抢红包的先后顺序无关）． （1）求小芳抢到100元红包的概率； （2）如果小芳的奶奶也加入这个微信群，他们四个人中将有一人抢不到红包，那么这种情况下，求小芳和奶奶两人抢到红包的钱数之和不少于120元的概率． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）直接利用概率公式求解； （2）画树状图展示所有24种等可能的结果数，再找出小芳和奶奶两个人抢到红包的钱数之和不少于120元的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）小芳抢到100元红包的概率：； （2）画树状图为： 由树状图可知：小芳和奶奶两个人抢到红包的钱数之和不少于20元的概率． 【点评】本题考查了列表法与画树状图法求概率，熟练掌握该知识点是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$