2.6 应用一元二次方程（同步练习）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.6应用一元二次方程 一．选择题（共7小题） 1．（2025•岳麓区校级三模）据国家统计局发布的《2024年国民经济和社会发展统计公报》显示，2022年和2024年全国居民人均可支配收入分别为3.7万元和4.5万元．设2022年至2024年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（　　） A．3.7（1﹣x）2＝4.5 B．3.7（1+x）2＝4.5 C．4.5（1﹣x）2＝3.7 D．4.5（1+x）2＝3.7 2．（2025•青秀区校级三模）“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．如图是在一幅长80cm，宽60cm的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，且整个挂图的面积是6300cm2．设边框的宽度为x cm，则列出的方程为（　　） A．（60+x）（80+x）＝6300 B．（60﹣x）（80﹣x）＝6300 C．（60+2x）（80+2x）＝6300 D．（60﹣2x）（80﹣2x）＝6300 3．（2025春•田阳区期中）某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，可列出方程（　　） A．300（1﹣x）2＝500 B．300（1+x）2＝500 C．500（1﹣x）2＝300． D．500（1﹣x）2＝300 4．（2025•五华区校级模拟）在2025年的第五届中国国际消贵品博览会上，首次亮相的“低空经济展示专区”成为本届展会的一大亮点．在博览会上，某商家对一款无人机进行降价促销，其售价由最初的8000元经过两次降价后变为6480元，且两次降价的百分率相同．设每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（　　） A．8000（1﹣2x）＝6480 B．8000（1+x）2＝6480 C．8000（1﹣x）2＝6480 D．8000（1﹣x2）＝6480 5．（2025•吴川市校级模拟）如图，从一块长10m、宽8m的长方形中间截去一个小长方形，使剩下的长方形框四周的宽度一样，且小长方形的面积为24m2，求长方形框的宽度．设长方形框的宽度为x m，则可列方程为（　　） A．（10﹣2x）（8﹣2x）＝24 B．（10+2x）（8﹣2x）＝24 C．（10﹣2x）（8+2x）＝24 D．（10+2x）（8+2x）＝24 6．（2025•栾城区校级二模）如图所示，点阵M的层数用n表示，点数总和用S表示，当S＝66时，则n的值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 7．（2025•灵丘县三模）山西剪纸是一项古老的民间艺术，有极高的审美价值．某经销商销售“广灵剪纸”“浮山剪纸”“晋城剪纸”“中阳剪纸”等礼盒，进价均为每盒50元，售价为每盒70元，平均每天可售出100盒，经市场调查发现，单价每降低2元，平均每天可多售出20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，则每盒剪纸礼盒应降价多少元？设每盒剪纸礼盒应降价x元，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 8．（2024秋•绵阳期末）某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出200件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出10件，已知商品的进价为每件20元，在顾客得实惠的前提下，商家想获得6160元利润，应将销售单价定为　 　 元． 9．（2025•崂山区一模）为推进全民阅读，打造书香城市，崂山区图书馆创新园分馆已于2024年12月向市民开放．开馆后流量逐月增加，据统计，2025年1月进馆7000人次，3月进馆9000人次，若进馆人次的月平均增长率相同，设进馆人次的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为 　 　 ． 10．（2024秋•白云区期末）某种药品原售价为16元，经过连续两次降价后售价为9元，则平均每次降价的百分率为 　 　 ． 11．（2025春•庐江县校级月考）某汽车销售4S店10月份销售某型号新能源汽车20辆，由于该型号汽车优越的经济适用性，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆．设该4S店销售该型号汽车11月份和12月份的平均增长率为x，根据题意可列方程为 　 　 ． 12．（2024秋•宜城市期末）我国古代数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中有题：直田亩（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？ 答：阔为　 　 步；长为　 　 步． 三．解答题（共3小题） 13．（2025•铁岭模拟）某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为28米，长方形场地面积是250平方米． （1）据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有160平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； （2）如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去51米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽AB为多少米？ 14．（2025春•临淄区期中）某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x元． （1）根据题意，填表： 每件利润（元） 销售量（件） 利润（元） 降价前 44 20 880 降价后 ① ② （2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？ 15．（2024秋•内江期末）某地一村民，2022年承包种植橙子树100亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2024年一共种植144亩． （1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率； （2）某水果批发店销售该种橙子，经市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低2元，每天可多售出30千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 2.6应用一元二次方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2025•岳麓区校级三模）据国家统计局发布的《2024年国民经济和社会发展统计公报》显示，2022年和2024年全国居民人均可支配收入分别为3.7万元和4.5万元．设2022年至2024年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（　　） A．3.7（1﹣x）2＝4.5 B．3.7（1+x）2＝4.5 C．4.5（1﹣x）2＝3.7 D．4.5（1+x）2＝3.7 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】B 【分析】利用2024年全国居民人均可支配收入＝2022年全国居民人均可支配收入×（1+2022年至2024年全国居民人均可支配收入的年平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：3.7（1+x）2＝4.5． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（2025•青秀区校级三模）“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．如图是在一幅长80cm，宽60cm的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，且整个挂图的面积是6300cm2．设边框的宽度为x cm，则列出的方程为（　　） A．（60+x）（80+x）＝6300 B．（60﹣x）（80﹣x）＝6300 C．（60+2x）（80+2x）＝6300 D．（60﹣2x）（80﹣2x）＝6300 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】C 【分析】当边框的宽度为x cm时，矩形挂图的长为（80+2x）cm，宽为（60+2x）cm，根据整个挂图的面积是6300cm2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：当边框的宽度为x cm时，矩形挂图的长为（80+2x）cm，宽为（60+2x）cm， 根据题意得：（60+2x）（80+2x）＝6300． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（2025春•田阳区期中）某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，可列出方程（　　） A．300（1﹣x）2＝500 B．300（1+x）2＝500 C．500（1﹣x）2＝300． D．500（1﹣x）2＝300 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】B 【分析】利用该市第三个月新建智能充电桩个数＝该市第一个月新建智能充电桩个数×（1+该市新建智能充电桩个数的月平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意，列出方程为300（1+x）2＝500， 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键． 4．（2025•五华区校级模拟）在2025年的第五届中国国际消贵品博览会上，首次亮相的“低空经济展示专区”成为本届展会的一大亮点．在博览会上，某商家对一款无人机进行降价促销，其售价由最初的8000元经过两次降价后变为6480元，且两次降价的百分率相同．设每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（　　） A．8000（1﹣2x）＝6480 B．8000（1+x）2＝6480 C．8000（1﹣x）2＝6480 D．8000（1﹣x2）＝6480 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【答案】C 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程． 【解答】解：由题意可得， 8000（1﹣x）2＝6480， 故选：C． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 5．（2025•吴川市校级模拟）如图，从一块长10m、宽8m的长方形中间截去一个小长方形，使剩下的长方形框四周的宽度一样，且小长方形的面积为24m2，求长方形框的宽度．设长方形框的宽度为x m，则可列方程为（　　） A．（10﹣2x）（8﹣2x）＝24 B．（10+2x）（8﹣2x）＝24 C．（10﹣2x）（8+2x）＝24 D．（10+2x）（8+2x）＝24 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】A 【分析】根据长方形的长、宽及长方形框的宽度，可得出小长方形的长和宽，结合小长方形的面积，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵长方形的长为10m，宽为8m，且长方形框的宽度为x m， ∴小长方形的长为（10﹣2x）m，宽为（8﹣2x）m． 根据题意得：（10﹣2x）（8﹣2x）＝24． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．（2025•栾城区校级二模）如图所示，点阵M的层数用n表示，点数总和用S表示，当S＝66时，则n的值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】方程思想；一元二次方程及应用． 【答案】B 【分析】由Sn（n+1）结合S＝66，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：Sn（n+1）． ∵S＝66， ∴n（n+1）＝66， 解得：n1＝11，n2＝﹣12（舍去）． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．（2025•灵丘县三模）山西剪纸是一项古老的民间艺术，有极高的审美价值．某经销商销售“广灵剪纸”“浮山剪纸”“晋城剪纸”“中阳剪纸”等礼盒，进价均为每盒50元，售价为每盒70元，平均每天可售出100盒，经市场调查发现，单价每降低2元，平均每天可多售出20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，则每盒剪纸礼盒应降价多少元？设每盒剪纸礼盒应降价x元，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】B 【分析】根据该经销商想要平均每天获利2240元，列方程即可得到结论． 【解答】解：根据题意可列方程为（70﹣x﹣50）（10020）＝2240， 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确的理解题意列出方程是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 8．（2024秋•绵阳期末）某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出200件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出10件，已知商品的进价为每件20元，在顾客得实惠的前提下，商家想获得6160元利润，应将销售单价定为　42　 元． 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】42． 【分析】设降价x元，根据题意列出方程求出x即可求解． 【解答】解：设降价x元，根据题意得（50﹣x﹣20）（200+10x）＝6160， 解得x1＝2，x2＝8， ∵要让顾客得实惠， ∴应将销售单价定为50﹣8＝42元， 故答案为：42． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 9．（2025•崂山区一模）为推进全民阅读，打造书香城市，崂山区图书馆创新园分馆已于2024年12月向市民开放．开馆后流量逐月增加，据统计，2025年1月进馆7000人次，3月进馆9000人次，若进馆人次的月平均增长率相同，设进馆人次的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为 　7000（1+x）2＝9000　 ． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】7000（1+x）2＝9000． 【分析】利用2025年3月进馆人次＝2025年1月进馆人次×（1+进馆人次的月平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：7000（1+x）2＝9000． 故答案为：7000（1+x）2＝9000． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．（2024秋•白云区期末）某种药品原售价为16元，经过连续两次降价后售价为9元，则平均每次降价的百分率为 　25%　 ． 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】25%． 【分析】设平均每次降价百分率为x，利用经过两次降价后的售价＝原售价×（1﹣平均每次降价百分率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设平均每次降价百分率为x， 根据题意得：16（1﹣x）2＝9， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝1.75（不符合题意，舍去）， ∴平均每次降价百分率为25%． 故答案为：25%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11．（2025春•庐江县校级月考）某汽车销售4S店10月份销售某型号新能源汽车20辆，由于该型号汽车优越的经济适用性，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆．设该4S店销售该型号汽车11月份和12月份的平均增长率为x，根据题意可列方程为 　20（1+x）2＝45　 ． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】20（1+x）2＝45． 【分析】利用12月份该公司销售该型号汽车的数量＝10月份该公司销售该型号汽车的数量×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程． 【解答】解：设11月份和12月份的平均增长率为x， 依题意得：20（1+x）2＝45， 故答案为：20（1+x）2＝45． 【点评】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键． 12．（2024秋•宜城市期末）我国古代数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中有题：直田亩（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？ 答：阔为　24　 步；长为　36　 步． 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】24，36． 【分析】设阔为x步，则长为（x+12）步，根据直田亩（矩形面积）八百六十四步（平方步），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【解答】解：设阔为x步，则长为（x+12）步， 根据题意得：x（x+12）＝864， 整理得：x2+12x﹣864＝0， 解得：x1＝24，x2＝﹣36（不符合题意，舍去）， ∴x+12＝24+12＝36（步）， ∴阔为24步，长为36步． 故答案为：24，36． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 三．解答题（共3小题） 13．（2025•铁岭模拟）某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为28米，长方形场地面积是250平方米． （1）据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有160平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； （2）如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去51米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽AB为多少米？ 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】一元二次方程及应用． 【答案】（1）这个增长率为25%； （2）场地的宽AB为10米． 【分析】（1）设这个增长率为x，根据该场地2022年的面积只有160平方米，连续两年扩建后面积是250平方米，列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设重建后的养鸡场的宽AB为y米，则BC的长为（51+2×2﹣3y）米，根据养鸡场的面积是250平方米．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设这个增长率为x， 由题意得：160（1+x）2＝250， 解得：x1＝﹣2.25（不合题意舍去），x2＝0.25＝25%， 答：这个增长率为25%； （2）设重建后的养鸡场的宽AB为y米，则BC的长为（51+2×2﹣3y）米， 由题意得：y（51+2×2﹣3y）＝250， 整理得：3y2﹣55y+250＝0， 解得：， 当时，BC的长为：（米）＞28米，不合题意，舍去， 当y＝10时，BC的长为：51+2×2﹣3y＝51+2×2﹣3×10＝25（米）＜28米，符合题意， ∴AB＝10米， 答：场地的宽AB为10米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 14．（2025春•临淄区期中）某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x元． （1）根据题意，填表： 每件利润（元） 销售量（件） 利润（元） 降价前 44 20 880 降价后 ① ② （2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？ 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】应用题；一次方程（组）及应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意确定出降价后的利润与销售量，以及利润即可； （2）根据盈利的钱数，确定出应降的价即可． 【解答】解：（1）根据题意，填表： 每件利润（元） 销售量（件） 利润（元） 降价前 44 20 880 降价后 44﹣x 20+5x （2）根据题意得：（44﹣x）（20+5x）＝1600， 整理得：（x﹣4）（x﹣36）＝0， 解得：x＝4或x＝36， 则应降价4元或36元． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键． 15．（2024秋•内江期末）某地一村民，2022年承包种植橙子树100亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2024年一共种植144亩． （1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率； （2）某水果批发店销售该种橙子，经市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低2元，每天可多售出30千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用． 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】（1）该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为20%； （2）售价应降低6元． 【分析】（1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，利用该村民2024年种植橙子的亩数＝该村民2022年种植橙子的亩数×（1+该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设售价应降价y元，则每千克的销售利润为（18﹣y﹣8）元，每天能售出千克，利用总利润＝每千克的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，由到2024年一共种植144亩得： 100（1+x）2＝144， ∴（1+x）2＝1.44， 解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（负根舍去）， 答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为20%； （2）设售价应降价y元，则每千克的销售利润为（18﹣y﹣8）元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：y2﹣2y﹣24＝0， 解得：y1＝6，y2＝﹣4（不符合题意，舍去）． 答：售价应降低6元． 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找出列方程的等关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$