2.5 一元二次方程的根与系数的关系（同步练习）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.5一元二次方程的根与系数的关系 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•诸暨市期末）已知方程x2﹣6x+9＝0，那么这个方程（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 2．（2025•富锦市三模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m＞﹣1 C．m＜1 D．m＜﹣1 3．（2025春•金东区期末）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+2＝0的两个实数根相等，则a的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．0或2 4．（2025春•余姚市期末）关于x的一元二次方程x2+3x﹣m2＝0根的情况，下列说法正确的是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．根的个数与m的取值有关 5．（2025•内江）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则实数a的取值范围是（　　） A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠1 D．a＜2且a≠1 6．（2025•兴隆县一模）a、b是一元二次方程x2+2x﹣4＝0的两个根，则（a﹣1）（b﹣1）的值是（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．3 D．7 7．（2025春•天津校级月考）已知x1，x2分别是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，则代数式的值为（　　） A．4 B．5 C．2 D．6 二．填空题（共5小题） 8．（2025•连云港一模）已知关于x的方程x2﹣2x+k＝0有实数根，则k的取值范围是　 　 ． 9．（2025•无锡校级二模）已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝　 　 ． 10．（2025•利通区校级二模）若x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两根，则的值为　 　 ． 11．（2025•凉山州模拟）关于x的一元二次方程mx2+（m﹣2）xm﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　 ． 12．（2025•中原区校级三模）嘉阳准备解一元二次方程4x2+7x+■＝0，发现常数项“■”印刷不清楚，嘉阳妈妈看了该题的答案后说：“这个方程是有实数根的．”则印刷不清楚的常数项“■”可能是 　 　 ． 三．解答题（共3小题） 13．（2025•中牟县模拟）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果方程有一个根为2，求另一个根． 14．（2025春•重庆校级月考）已知关于x的一元二次方程（x﹣a）（x﹣b）＝p2（a、b、p为常数）． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若a﹣b＝16，p为非负整数，且方程的两个实数根均为整数，求p的值． 15．（2024秋•兴隆县期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程一定有两个实数根； （2）若等腰△ABC的一边长a＝1，另两边b，c的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 2.5一元二次方程的根与系数的关系 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•诸暨市期末）已知方程x2﹣6x+9＝0，那么这个方程（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【考点】根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】求出Δ的值，即可判断方程根的情况． 【解答】解：在x2﹣6x+9＝0中，Δ＝（﹣6）2﹣4×1×9＝0， ∴方程有两个相等的实数根； 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握Δ＝0时，对应的一元二次方程有两根相等的实数根． 2．（2025•富锦市三模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m＞﹣1 C．m＜1 D．m＜﹣1 【考点】根的判别式． 【答案】C 【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出Δ＝4﹣4m＞0，解之即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4m＝4﹣4m＞0， 解得：m＜1． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 3．（2025春•金东区期末）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+2＝0的两个实数根相等，则a的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义． 【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ＝0，可列出关于a的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出a的值． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+2＝0的两个实数根相等， ∴， 解得：a＝2． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 4．（2025春•余姚市期末）关于x的一元二次方程x2+3x﹣m2＝0根的情况，下列说法正确的是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．根的个数与m的取值有关 【考点】根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】根据题目中的方程和根的判别式，可以求得该方程的根的情况，从而可以判断哪个选项符合题意． 【解答】解：∵一元二次方程x2+3x﹣m2＝0， ∴Δ＝32﹣4×1×（﹣m2）＝9+4m2≥9＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确题意，求出根的判别式的正负情况． 5．（2025•内江）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则实数a的取值范围是（　　） A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠1 D．a＜2且a≠1 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义． 【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，可列出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出实数a的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根， ∴， 解得：a≤2且a≠1， ∴实数a的取值范围是a≤2且a≠1． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，找出关于a的一元一次不等式组是解题的关键． 6．（2025•兴隆县一模）a、b是一元二次方程x2+2x﹣4＝0的两个根，则（a﹣1）（b﹣1）的值是（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．3 D．7 【考点】根与系数的关系． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系，可得出ab和a+b的值，把（a﹣1）（b﹣1）变形为ab﹣（a+b）+1，再代入即可． 【解答】解：由条件可知a+b＝﹣2，ab＝﹣4， ∴（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1＝﹣4﹣（﹣2）+1＝﹣1， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 7．（2025春•天津校级月考）已知x1，x2分别是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，则代数式的值为（　　） A．4 B．5 C．2 D．6 【考点】根与系数的关系． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系，得到x1+x2＝4，x1x2＝3，整体代入法求值即可． 【解答】解：由条件可得x1+x2＝4，x1x2＝3， ∴； 故选：A． 【点评】本题考查根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 二．填空题（共5小题） 8．（2025•连云港一模）已知关于x的方程x2﹣2x+k＝0有实数根，则k的取值范围是　k≤1　 ． 【考点】根的判别式． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0列出关于k的不等式，通过解不等式即可求得k的取值范围． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即4﹣4k≥0， 解得，k≤1． 故答案为：k≤1． 【点评】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式Δ＝b2﹣4ac的关系： （1）Δ＝b2﹣4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）Δ＝b2﹣4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）Δ＝b2﹣4ac＜0⇔方程没有实数根． 9．（2025•无锡校级二模）已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝　　 ． 【考点】根与系数的关系． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】． 【分析】根据根与系数的关系得到，然后利用整体思想代入进行计算即可． 【解答】解：由条件可知， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，理解并掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 10．（2025•利通区校级二模）若x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两根，则的值为　﹣6　 ． 【考点】根与系数的关系． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝1，x1x2＝﹣6，再将其代入原式＝x1x2（x1+x2）中，即可求出结论． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两根， ∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣6， ∴x2+x1x1x2（x1+x2）＝﹣6×1＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 11．（2025•凉山州模拟）关于x的一元二次方程mx2+（m﹣2）xm﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　m＞﹣1且m≠0　 ． 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义． 【答案】见试题解答内容 【分析】由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m的范围即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+（m﹣2）xm﹣2＝0有两个不相等的实数根， ∴m≠0且Δ＝（m﹣2）2﹣4m（m﹣2）＝4m+4＞0， 则m的范围为m＞﹣1且m≠0． 故答案为：m＞﹣1且m≠0． 【点评】此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 12．（2025•中原区校级三模）嘉阳准备解一元二次方程4x2+7x+■＝0，发现常数项“■”印刷不清楚，嘉阳妈妈看了该题的答案后说：“这个方程是有实数根的．”则印刷不清楚的常数项“■”可能是 　3（答案不唯一）　 ． 【考点】根的判别式． 【专题】判别式法；运算能力． 【答案】3（答案不唯一）． 【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ≥0，可列出关于■的一元一次不等式，解之可得出■的取值范围，再取其中的任意一值，即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程4x2+7x+■＝0有实数根， ∴Δ＝72﹣4×4×■＝49﹣16×■≥0， 解得：■， ∴■可能是3． 故答案为：3（答案不唯一）． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”是解题的关键． 三．解答题（共3小题） 13．（2025•中牟县模拟）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果方程有一个根为2，求另一个根． 【考点】根与系数的关系；根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）见解析； （2）1． 【分析】（1）先计算判别式的值得到Δ＝（m+2）2﹣4m×2＝（m﹣2）2，再根据非负数的值得到△≥0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根； （2）设方程的另一个根为α，先把x＝2代入方程求出m的值，再由根与系数的关系即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵m≠0， Δ＝（m+2）2﹣4m×2 ＝m2﹣4m+4 ＝（m﹣2）2， 而（m﹣2）2≥0，即△≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：设方程的另一个根为α， ∵方程有一个根为2， ∴4m﹣2（m+2）+2＝0， 解得m＝1， ∴α+23， ∴α＝1． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 14．（2025春•重庆校级月考）已知关于x的一元二次方程（x﹣a）（x﹣b）＝p2（a、b、p为常数）． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若a﹣b＝16，p为非负整数，且方程的两个实数根均为整数，求p的值． 【考点】根与系数的关系；根的判别式． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）见解析； （2）0或6或15． 【分析】（1）计算方程的判别式得出Δ＝（a﹣b）2+4p2≥0即可证明结论； （2）设方程x2﹣（a+b）x+ab﹣p2＝0的两个根为x1，x2，得x1+x2＝a+b，．由求根公式得．进而得必须是整数． 设（k为整数），则p2＝k2﹣64＝（k+8）（k﹣8）．可得p2＝（16+n）n＝n2+16n＝（n+8）2﹣64，即（n+8+p）（n+8﹣p）＝64，由m，n，k均为整数，且p为非负整数，可得1×64＝64，2×32＝64，4×16＝64，8×8＝64，再验证即可求得答案． 【解答】（1）证明：由条件可知x2﹣（a+b）x+ab﹣p2＝0， ∴Δ＝[﹣（a+b）]2﹣4（ab﹣p2）＝（a﹣b）2+4p2， ∵（a﹣b）2≥0，p2≥0， ∴Δ＝（a﹣b）2+4p2≥0， ∴方程（x﹣a）（x﹣b）＝p2总有两个实数根； （2）解：由条件可知x2﹣（a+b）x+ab﹣p2＝0， 设方程x2﹣（a+b）x+ab﹣p2＝0的两个根为x1，x2． ∴x1+x2＝a+b，． 方程x2﹣（a+b）x+ab﹣p2＝0的求根公式为． ∵a﹣b＝16，则． ∴必须是整数． 设（k为整数），则p2＝k2﹣64＝（k+8）（k﹣8）． 当（m，n为整数，且mn＝p2），两式相减得m﹣n＝16，p2＝mn． ∴p2＝（16+n）n＝n2+16n＝（n+8）2﹣64， ∴（n+8）2﹣p2＝64， ∴（n+8）2＞p2， ∴（n+8+p）（n+8﹣p）＝64， ∴1×64＝64，2×32＝64，4×16＝64，8×8＝64， 当k﹣8＝0＝n时，k＝8，此时p＝0． 当k﹣8＝2＝n，k+8＝18，p＝6（舍负）， 当k﹣8＝9＝n，k＝17时，k+8＝25，p2＝225，p＝15（舍负）， 其它情况不合题意， 综上，p的值为0或6或15． 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式及解方程，掌握公式准确计算是本题的解题关键． 15．（2024秋•兴隆县期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程一定有两个实数根； （2）若等腰△ABC的一边长a＝1，另两边b，c的长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 【考点】根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先计算判别式的值得到Δ＝（k﹣2）2，然后根据非负数的性质得△≥0，则根据判别式的意义得到结论； （2）把x＝1代入方程得出关于k的方程，求得k的数值即可．已知a＝6，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出△ABC的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验 【解答】解：（1）证明：∵Δ＝（k+2）2﹣4×2k＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0， ∴无论k取何实数，该方程总有实数根； （2）①若a＝1为底边，则b，c为腰长，则b＝c，则Δ＝0． ∴（k﹣2）2＝0，解得：k＝2． 此时原方程化为x2﹣4x+4＝0 ∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2． 此时△ABC三边为1，2，2能构成三角形， 故周长为1+2+2＝5； ②若a＝b为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b＝a＝1 代入方程：12﹣（k+2）+2k＝0 解得k＝1， 则原方程化为x2﹣3x+2＝0， 解得x1＝1，x2＝2， 即b＝1，c＝2， 此时△ABC三边为1，1，2不能构成三角形，则舍去； ∴△ABC的周长为5． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根． 学科网（北京）股份有限公司 $$