1.2 矩形的性质与判定（同步练习）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

1.2矩形的性质与判定 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•西乡塘区期末）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 2．（2025春•中山市期末）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线互相平分 3．（2025•新安县模拟）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝2BE，BF＝2CF，连接EC，FD，M，N分别是EC，FD的中点，连接MN，若AB＝6，BC＝9，则MN的长为（　　） A． B． C． D．2 4．（2025•聊城三模）如图，四边形ABCD是矩形，一副三角板如图放置，直角顶点重合于点A，则∠1﹣∠2＝（　　） A．45° B．30° C．25° D．随△EAG的位置的变化而变化 5．（2024秋•威宁县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论不一定成立的是（　　） A．AC＝BD B．OA＝OC，OB＝OD C．AC⊥BD D．AB＝CD，AD＝BC 6．（2025•潮阳区三模）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB∥DC，AB，BC，CD分别为2，2，22，则∠BAD的度数等于（　　） A．120° B．135° C．150° D．以上都不对 7．（2025•普陀区三模）如图，在矩形ABCD中，E、F分别为CD、AB上的点，且ED＝2BF，连结CF、EF、DF，其中∠CFE＝∠CDF，CF＝2，则DF＝（　　） A． B．3 C． D． 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•望城区期末）古代建筑中的榫卯结构精妙绝伦，体现了古人的智慧．如图，这是一种古代建筑构件“榫头”的示意图，其中两直角边长分别为6cm和8cm，斜面（阴影部分）为长方形，其中长方形的一边长为3cm，则此长方形的面积为　 　 cm2． 9．（2025•衡阳模拟）如图，在矩形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，BF，添加下列条件之一：①AE＝CF；②DE＝BF；③DE∥BF；④∠ADE＝∠CBF；仍然不能判定△ADE≌△CBF的是　 　 （填写序号）． 10．（2025春•平舆县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D为AB的中点，连接CD，则∠BCD＝ 　 　 度． 11．（2025•长沙模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8．若D是AB的中点，则CD的长为 　 　 ． 12．（2025•思明区校级模拟）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E为边CB中点，若∠A＝52°，则∠EDB＝ 　 　 °． 三．解答题（共3小题） 13．（2025•昆明三模）如图，点E，F是矩形ABCD的边AD上的两点，且AE＝DF．求证：△ABE≌△DCF． 14．（2025春•惠城区期中）如图，在矩形ABCD中，点E，F在BC边上，AF，DE交于点M，且AM＝DM．求证：BF＝CE． 15．（2024秋•福山区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）． （1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？ （2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？求出此时菱形AQCP的面积． 1.2矩形的性质与判定 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•西乡塘区期末）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 【考点】矩形的判定． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】A 【分析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【解答】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量是否有三个角是直角； 故选：A． 【点评】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解答本题的关键． 2．（2025春•中山市期末）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线互相平分 【考点】矩形的性质；平行四边形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】A 【分析】由于矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有一般平行四边形的性质；矩形具有对角线相等这个性质，一般的平行四边形不具有，根据选项即可得到本题答案． 【解答】解：由于矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等， 故矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是对角线相等． 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的性质及矩形的性质，侧重考查知识点的理解、应用能力． 3．（2025•新安县模拟）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝2BE，BF＝2CF，连接EC，FD，M，N分别是EC，FD的中点，连接MN，若AB＝6，BC＝9，则MN的长为（　　） A． B． C． D．2 【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理． 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力． 【答案】A 【分析】连接CN并延长交AD于点G，连接EG，根据中点定义，矩形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，再证△GND≌△CNF，得到GN＝CN，根据三角形的中位线定理和勾股定理即可得到结论． 【解答】解：在矩形ABCD中，M，N分别是EC，FD的中点，如图，连接CN并延长交AD于点G，连接EG， ∴AD∥BC，AB＝BC，BC＝AD，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，DN＝FN， ∴∠GDN＝∠CFN， 在△GND和△CNF中， ， ∴△GND≌△CNF（ASA）， ∴GN＝CN，即N是CG的中点． ∴MN是△CEG的中位线． ∴． ∵AE＝2BE，BF＝2CF，AB＝6，BC＝9， ∴，，AG＝AD﹣DG＝6． 在Rt△AEG中 AE2+AG2＝EG2 ∴． ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（2025•聊城三模）如图，四边形ABCD是矩形，一副三角板如图放置，直角顶点重合于点A，则∠1﹣∠2＝（　　） A．45° B．30° C．25° D．随△EAG的位置的变化而变化 【考点】矩形的性质；平行线的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得出AB∥CD，再根据平行线的性质得出∠1＝∠DGA，结合三角板的性质即可求出∠1﹣∠2的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠1＝∠DGA， 即∠1＝∠2+∠AGE， 由题意得∠AGE＝30°， ∴∠1＝∠2+30°， ∴∠1﹣∠2＝30°， 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，正确计算是解题的关键． 5．（2024秋•威宁县期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论不一定成立的是（　　） A．AC＝BD B．OA＝OC，OB＝OD C．AC⊥BD D．AB＝CD，AD＝BC 【考点】矩形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质即可一一判断． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC， 则A、B、D成立，不符合题意；C不成立，符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键． 6．（2025•潮阳区三模）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB∥DC，AB，BC，CD分别为2，2，22，则∠BAD的度数等于（　　） A．120° B．135° C．150° D．以上都不对 【考点】矩形的判定与性质． 【答案】C 【分析】过A作AE⊥CD于E，得出四边形ABCE是矩形，根据矩形的性质求出AB＝CE＝2，AE＝BC＝2，∠BAE＝90°，根据勾股定理求出AD＝4，即可求出∠DAE的度数，求出答案即可． 【解答】解：过A作AE⊥CD于E， ∵AB⊥BC，AB∥DC， ∴∠B＝∠C＝∠AED＝∠AEC＝90°， ∴四边形ABCE是矩形， ∴AB＝CE＝2，AE＝BC＝2，∠BAE＝90°， ∵CD＝22， ∴DE＝2， 由勾股定理得：AD＝4＝2AE， ∴∠D＝30°，∠DAE＝60°， ∵∠BAE＝90°， ∴∠BAD＝90°+60°＝150°， 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的性质和判定，含30°角的直角三角形性质，勾股定理的应用，能构造直角三角形并求出∠DAE的度数是解此题的关键． 7．（2025•普陀区三模）如图，在矩形ABCD中，E、F分别为CD、AB上的点，且ED＝2BF，连结CF、EF、DF，其中∠CFE＝∠CDF，CF＝2，则DF＝（　　） A． B．3 C． D． 【考点】矩形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质，设CD＝AB＝m，BF＝x，ED＝2x，AF＝m﹣x，AD＝BC＝y，先证明△CFE∽△CDF，得出m2﹣2mx＝4，在Rt△BCF中，根据勾股定理得出y2+x2＝22＝4，最后在Rt△ADF 中，利用勾股定理求得DF． 【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°， ∵∠CFE＝∠CDF，∠FCE＝∠DCF， ∴△CFE∽△CDF， ∴， 由ED＝2BF，CF＝2， 设CD＝AB＝m，BF＝x，ED＝2x，AF＝m﹣x，AD＝BC＝y， ∴， ∴m2﹣2mx＝4， 在Rt△BCF中，BC2+BF2＝FC2，即y2+x2＝22＝4， 在Rt△ADF中，DF2＝AF2+AD2＝y（m﹣x）2+y2＝m2﹣2mx+x2+y2＝4+4＝8， ∴DF＝2， 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，设未知数，利用勾股定理，用整体代入的思想是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•望城区期末）古代建筑中的榫卯结构精妙绝伦，体现了古人的智慧．如图，这是一种古代建筑构件“榫头”的示意图，其中两直角边长分别为6cm和8cm，斜面（阴影部分）为长方形，其中长方形的一边长为3cm，则此长方形的面积为　30　 cm2． 【考点】矩形的性质；勾股定理． 【专题】推理能力． 【答案】30． 【分析】首先利用勾股定理求出AB＝10cm，再根据长方形的面积公式求出结果即可． 【解答】解：∵AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°， ∴AB10（cm）， ∴． 故答案为：30． 【点评】本题考查了勾股定理，掌握矩形的面积公式是解题的关键． 9．（2025•衡阳模拟）如图，在矩形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，BF，添加下列条件之一：①AE＝CF；②DE＝BF；③DE∥BF；④∠ADE＝∠CBF；仍然不能判定△ADE≌△CBF的是　②　 （填写序号）． 【考点】矩形的性质；全等三角形的判定． 【专题】三角形；图形的全等；矩形 菱形 正方形． 【答案】②． 【分析】先根据矩形的性质可得AD＝CB，AD∥CB，根据平行线的性质可得∠DAE＝∠BCF，再根据三角形全等的判定定理（SAS、AAS和ASA）即可得． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝CB，AD∥CB， ∴∠DAE＝∠BCF． 当选择①AE＝CF时， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）； 当选择②DE＝BF时，不能判定△ADE≌△CBF； 当选择③DE∥BF时， ∵DE∥BF， ∴∠DEF＝∠BFE， ∴180°﹣∠DEF＝180°﹣∠BFE，即∠AED＝∠CFB． 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（AAS）； 当选择④∠ADE＝∠CBF时， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（ASA）； 综上，添加条件后，仍然不能判定△ADE≌△CBF的是②， 故答案为：②． 【点评】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、三角形全等的判定，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 10．（2025春•平舆县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D为AB的中点，连接CD，则∠BCD＝ 　50　 度． 【考点】直角三角形斜边上的中线． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】50． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠B＝50°，根据直角三角形斜边上中线的性质求出CDAB＝BD，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝40°， ∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝50°， ∵D为AB的中点， ∴CDAB＝BD， ∴∠BCD＝∠B＝50°， 故答案为：50． 【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，熟记“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键． 11．（2025•长沙模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8．若D是AB的中点，则CD的长为 　4　 ． 【考点】直角三角形斜边上的中线． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】4． 【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由此即可计算． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，AB＝8， ∴CDAB＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 12．（2025•思明区校级模拟）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E为边CB中点，若∠A＝52°，则∠EDB＝ 　38　 °． 【考点】直角三角形斜边上的中线． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】38． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠B＝38°，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求出DEBC＝BE，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝52°， ∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝38°， ∵CD⊥AB，点E为边CB中点， ∴DEBC＝BE， ∴∠EDB＝∠B＝38°， 故答案为：38． 【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键． 三．解答题（共3小题） 13．（2025•昆明三模）如图，点E，F是矩形ABCD的边AD上的两点，且AE＝DF．求证：△ABE≌△DCF． 【考点】矩形的性质；全等三角形的判定． 【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力． 【答案】见解析． 【分析】根据矩形的性质可得∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，然后利用“SAS”证明结论即可． 【解答】证明：∵点E，F是矩形ABCD的边AD上的两点，AE＝DF， ∴∠BAE＝∠CDF＝90°，AB＝CD， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）． 【点评】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定等知识，理解并掌握矩形的性质是解题关键． 14．（2025春•惠城区期中）如图，在矩形ABCD中，点E，F在BC边上，AF，DE交于点M，且AM＝DM．求证：BF＝CE． 【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 【专题】三角形；图形的全等；矩形 菱形 正方形． 【答案】见试题解答内容 【分析】由矩形的性质得出AB＝CD，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，由等边对等角得出∠MAD＝∠MDA，推出∠BAF＝∠CDE，再由ASA证明△ABF≌△DCE，即可得证． 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°， ∵AM＝DM， ∴∠MAD＝∠MDA， ∴∠BAD﹣∠MAD＝∠ADC﹣∠MDA，即∠BAF＝∠CDE， ∴△ABF≌△DCE（ASA）， ∴BF＝CE． 【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质，掌握以上性质是解题的关键． 15．（2024秋•福山区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）． （1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？ （2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？求出此时菱形AQCP的面积． 【考点】矩形的判定与性质；菱形的判定与性质． 【专题】矩形 菱形 正方形． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意，得到当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，得到当四边形AQCP是菱形时，AP＝AQ，列出方程求出t的值，根据菱形的面积公式求出面积即可． 【解答】解：（1）由题意，得：BQ＝t，DP＝t， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝8， ∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝8， ∴AP＝8﹣t， 当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP， ∴t＝8﹣t， 解得：t＝4， ∴当t＝4s时，四边形ABQP是矩形； （2）∵AB＝4，BQ＝t，∠B＝90°， ∴， 当四边形AQCP是菱形时，AP＝AQ， ∴， 解得：t＝3， 当t＝3时，BQ＝3， ∴CQ＝BC﹣BQ＝5， 菱形AQCP的面积为CQ•AB＝5×4＝20cm2． 【点评】本题考查矩形的判定，菱形的判定和性质．掌握相关判定方法和性质，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$