第二章 平面向量（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）

编写说明：本套【四川专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。本专辑共10套。 本卷是第二章平面向量的单元测试卷，主要考查了向量的概念、向量的线性运算、向量的内积、向量的坐标表示。 第二章 平面向量 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列说法正确的是（    ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的大小为0，没有方向 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【答案】A 【分析】根据向量的定义，以及零向量和单位向量的概念求解. 【详解】对于A：向量与向量的长度相等，正确； 对于B：有共同起点，且长度相等的向量，若方向不同，它们的终点不同，错误； 对于C：零向量的大小为0，方向为任意方向，错误； 对于D：若两个单位向量平行，则它们的方向可能相反，此时它们不是相等向量，错误； 故选：A. 2．若向量，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】向量， 则，． 故选：B 3．向量（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法法则及运算律可求解. 【详解】 . 故选：C 4．已知，且，则向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件结合向量内积公式即可求解. 【详解】解：由于，且， 则， 解得， 则向量的夹角为． 故选：A． 5．已知非零向量与方向相反，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例排除ABD，利用向量相等与加法的几何意义判断C，从而得解. 【详解】A：当，且时，，，故A不成立； B：当，且时，，故B不成立； C：因为与方向相反，则与方向相同， 所以，故C成立； D：当，且时，，故D不成立. 故选：C. 6．已知向量，，且与共线，则等于（   ） A． B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据向量共线的坐标表示，列方程求解即可. 【详解】已知向量，， 由与共线，可得， 解得， 故选：A. 7．已知向量，则（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量， 所以. 故选：C. 8．如图所示，D是边AB的中点，记，，则（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题图结合向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为是边的中点，， 由题图，得， 故选：A. 9．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用坐标求向量内积即可. 【详解】因为向量，， ， 故选：A． 10．给出下列命题： ①； ②向量与向量的方向相同或相反，则； ③若都是单位向量，则； ④方向为南偏西的向量与方向为北偏东的向量是共线向量； 其中，正确的命题是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】由向量的概念分析即可. 【详解】和是相反向量，模相等，方向相反，因此①正确， 平行向量是指方向相同或相反的向量，因此②正确， 单位向量是指模等于1的向量，因此，但方向不一定相同，因此③错误， 方向为南偏西的向量与方向为北偏东的向量是相反向量，是共线向量，因此④正确. 故选:C. 11．已知，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形 【答案】A 【分析】先求出向量的模，即可判断三角形三条边的关系，进而求解. 【详解】， ， ， ， ， 为直角三角形． 故选：A 12．已知向量，，则（    ） A． B．5 C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】， . 故选：A． 13．已知，且，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量平行的坐标表示及充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】由，即，得； 反过来，若，取，可知不成立． 则是的充分不必要条件.     故选：A. 14．已知向量，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用向量垂直的坐标表示，计算得到答案. 【详解】已知，则， 解得， 故选：A. 15．若，且，则等于（    ）. A．12 B．28 C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的定义及向量模的计算公式即可求解. 【详解】 ， ． 故选：. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ． 【答案】 【分析】利用向量内积公式求内积即可. 【详解】设与的夹角为， 因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以， 所以. 故答案为：． 17．在三角形中，，则该三角形是 三角形 【答案】钝角 【分析】根据内积的定义判断的范围即可． 【详解】∵三角形中，， ∴， 又，则为钝角， ∴该三角形是钝角三角形． 故答案为：钝角． 18．已知夹角为的非零向量满足，则 ． 【答案】2 【分析】由两向量互相垂直其内积为，化简计算即可. 【详解】， ， ，即 . 故答案为：2. 19．已知向量，，，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的模长先求未知数，再代入易得向量内积. 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以. 故答案为：. 20．已知平面向量满足，则的最大值是 . 【答案】 【分析】根据向量数量积运算律，，，令，对平方求的范围，即可求得最大值. 【详解】因为，设 的夹角为，， 则，， 令，， 则， 因为，所以， 所以，又因为， 所以， 所以的最大值是， 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．如图所示，已知正六边形. (1)写出的相等向量； (2)写出的相反向量； (3)写出的共线向量. 【答案】(1)、、 (2)、、、 (3)、、、、、、、、 【分析】根据平面向量的相等、相反、共线的定义，观察图形得到答案. 【详解】（1）两向量相等，则长度、方向都相同， 结合定义，观察图形可得： 的相等向量：、、； （2）两向量相反则长度相同，方向相同， 结合定义，观察图形可得： 的相反向量：、、、； （3）两向量共线则两向量相互平行， 结合定义，观察图形可得： 的共线向量：、、、、、、、、. 22．如图，的对角线AC和BD交于点M，，，试用基底，表示，，和．      【答案】，，， 【分析】根据向量的加法、减法法则，以及数乘运算求解． 【详解】由向量加法的平行四边形法则． 因为平行四边形的对角线互相平分， 所以． 从而， ， ． 23．已知向量，满足，，. (1)求与的夹角； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用内积公式求夹角即可； （2）利用内积公式求模即可. 【详解】（1）因为，，， 所以， ， ， 解得，因为， 所以. （2）因为，，与的夹角， 所以 ． 24．已知向量，且， (1)求坐标； (2)求. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）设，由向量平行和向量垂直的坐标表示列方程求解即可. （2）先求出向量的坐标，再由坐标求模长即可. 【详解】（1）设向量， 因为， 所以，， 因为，， 可得，即，解得， 故. （2）由（）得，， 所以， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：本套【四川专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。本专辑共10套。 本卷是第二章平面向量的单元测试卷，主要考查了向量的概念、向量的线性运算、向量的内积、向量的坐标表示。 第二章 平面向量 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列说法正确的是（    ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的大小为0，没有方向 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 2．若向量，则等于（    ） A． B． C． D． 3．向量（    ） A． B． C． D． 4．已知，且，则向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 5．已知非零向量与方向相反，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，，且与共线，则等于（   ） A． B．3 C．1 D． 7．已知向量，则（　） A． B． C． D． 8．如图所示，D是边AB的中点，记，，则（      ） A． B． C． D． 9．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 10．给出下列命题： ①； ②向量与向量的方向相同或相反，则； ③若都是单位向量，则； ④方向为南偏西的向量与方向为北偏东的向量是共线向量； 其中，正确的命题是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③④ 11．已知，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形 12．已知向量，，则（    ） A． B．5 C．2 D．4 13．已知，且，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知向量，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 15．若，且，则等于（    ）. A．12 B．28 C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ． 17．在三角形中，，则该三角形是 三角形 18．已知夹角为的非零向量满足，则 ． 19．已知向量，，，则 ． 20．已知平面向量满足，则的最大值是 . 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．如图所示，已知正六边形. (1)写出的相等向量； (2)写出的相反向量； (3)写出的共线向量. 22．如图，的对角线AC和BD交于点M，，，试用基底，表示，，和． 23．已知向量，满足，，. (1)求与的夹角； (2)求的值. 24．已知向量，且， (1)求坐标； (2)求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$