5.4　函数的奇偶性（课件）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

苏教版2019高一数学（必修一）第五章 函数的概念与性质 5.4　函数的奇偶性 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结 课堂练习（含课本练习） 01 学习目标 目录/CONTENTS 学习目标 1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义(难点). 2、掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系(重点). 3、会利用函数的奇偶性解决简单问题(重点). 情景导入 在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象：美丽的蝴蝶，盛开的花朵，六角形的雪花晶体，有倒影的山水景色····· 观察函数f(x)＝x2和f(x)＝－ (x≠0)的图象(图5－4－1)，我们发现，函数 f(x)＝x2 的图象关于 y 轴对称，而函数 f(x)＝－ 的图象关于原点对称. 新知探究 ● 怎样用数量关系来刻画函数图象的这种对称性? 对于函数 f(x)＝x2，当自变量取一对相反数时，它们的函数值相等. 例如:f(－2)＝4＝f(2)， f(－1)＝1＝f(1)， f(－)＝＝f(). 实际上，对于函数f(x)＝x2定义域 R 内任意一个x，都有f(－x)＝x3＝f(x). 这时我们称函数 f(x)＝x2为偶函数. 对于函数 f(x)＝－ (x≠0)，当自变量取一对相反数时，它们的函数值也互为相反数. 例如: f(－2)＝＝－f(2)， f(－1)＝1＝ －f(1)，f(－)＝3＝－f(). 实际上，对于函数 f(x)＝－定义域{x∣x∈R，x≠0)内任意个x，都有 f(－x)＝＝－f(x). 这时我们称函数 f(x)＝－ (x≠0)为奇函数. 一般地 设函数y＝f(x)的定义域为A， 如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且 f(－x) ＝fx 那么称函数y=f（x）是偶函数 设函数y＝f(x)的定义域为A， 如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且 f(－x) ＝f（-x） 那么称函数y=f（x）是奇函数 如果函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们称函数f(x) 具有奇偶性. 根据函数奇偶性的定义可知,偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称. 课本例题 例 1 判定下列函数是否为偶函数或奇函数： (1) f(x)＝x2－1； 解：函数 f(x)＝x2－1的定义域是 R . 因为对于任意的x∈R，都有－x∈R， 且 f(－x)＝(－x)2－1＝ x2－1＝f(x)， 所以函数 f(x)＝－1是偶函数. (2) f(x)＝2x； 解：函数 f(x)＝2x 的定义域是 R . 因为对于任意的 x∈R，都有－x∈R， 且 f(－x)＝ 2(－x) ＝－2x＝－f(x)， 所以函数 f(x)＝2x 是奇函数. (3) f(x) ＝2∣x∣； 解：函数 f(x)＝2∣x∣的定义域是 R . 因为对于任意的 x∈R，都有－x∈R， 且 f(－x)＝ 2∣－x∣＝2∣x∣＝f(x)， 所以函数 f(x)＝2∣x∣ 是偶函数. (4) f(x)＝(x－1)2. 解：函数 f(x)＝(x－1)2 的定义域是 R . 因为f(1) ＝ 0，f(－1)＝4， ， 所以 f(1)≠f(－1)，f(1)≠－f(－1). 因此，根据函数奇偶性定义可以知道，函数 f(x)＝(x－1)2 既不是奇函数，也不是偶函数. 例 2 判断函数 f(x)＝x3＋5 是否具有奇偶性. 解 函数 f(x)的定义域为 R. 因为对于任意的 x∈R，都有－x∈R， 且f(－x) ＝(－x)3＋5(－x) ＝－ (x3＋5x)＝－ f(x)， 所以函数 y＝f(x) 为奇函数. 课本练习 1. 函数 f(x)＝ ( ). A. 是奇函数但不是偶函数 B. 是偶函数但不是奇函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数 B 2. 函数 f(x) ＝ x2＋2x 的图象是否关于某条直线对称?它是否为偶函数? 解 f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1， 由二次函数的性质可知，函数 f(x)＝x2＋2x 的图象关于直线 x＝－1 对称， ∵偶函数的图象关于 y 轴对称 ∴函数 f(x)＝x2＋2x 不是偶函数. 3. 已知函数 f(x) 在 y 轴右边的图象如图所示. (1)若f(x)是偶函数，试画出函数f(x)在y轴左边的图象； (2)若 f(x)是奇函数，试画出函数 f(x) 在 y 轴左边的图象. 4. 对于定义在 R 上的函数 f(x)，下列判断是否正确? (1) 若 f(x) 是偶函数，则 f(－2)＝f(2)； 解 若 f(x) 是偶函数，则对任意实数x都有 f(－x)＝f(x)， 所以，f(－2)＝f(2)成立，该判断正确； (2) 若 f(－2)＝f(2)，则函数 f(x) 是偶函数； 解 若 f(－2)＝f(2)，但是不一定有对任意实数x都有f(－x)＝f(x)成立， 不满足偶函数的定义，该判断错误； (3) 若 f(－2)≠f(2)，则函数 f(x)不是偶函数； 解 若 f(－2)≠f(2)， 则对任意实数 x 都有 f(－x)＝f(x) 不成立， 根据偶函数的定义可知，f(x)不是偶函数该判断正确； (4) 若 f(－2)＝f(2)，则函数 f(x)不是奇函数. 解 若取 f(x)＝x3－4x，满足 f(－2)＝f(2)，但 f(x)是奇函数，该判断错误. 5. 证明函数 f(x)＝x3－x 在 R 上是奇函数. 证明：∵f(x)＝x3－x，定义域为R， ∴f(－x)＝(－x)3－ (－x) ＝－x3＋x ＝－(x3－x)＝－f(x)， ∴函数 f(x)＝x3－x在R上是奇函数. 6. 判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)＝x＋； 解 ∵f(x)＝x＋的定义域为：(－∞，0) ∪(0，＋∞)，定义域关于原点对称， 又∵f(－x) ＝－x＋＝－(x＋) ＝ －f(x)，∴ f(x)＝x＋为奇函数. (2) f(x)＝； 解 ∵f(x)＝的定义域为：(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域关于原点对称， 又∵f(－x)＝ ＝＝ f(x)，∴ f(x)＝ 为偶函数. (3) f(x)＝ 2∣x∣－3. 解 ∵ f(x)＝2∣x∣－3 的定义域为R，其定义域关于原点对称， 又∵ f(－x)＝2∣－x∣－3＝2∣x∣－3＝f(x)，∴ f(x)＝2∣x∣－3 为偶函数. 7. 求证： (1) f(x)＝∣x＋3∣＋∣x－3∣是 R 上的偶函数； 解 ∵ f(x)＝∣x＋3∣＋∣x－3∣的定义域为R， ∴ f(－x) ＝∣－x＋3∣＋∣－x－3∣＝∣x－3∣＋∣x＋3∣＝f(x)， ∴函数 f(x) 为偶函数； (2) g(x)＝∣x＋3∣－∣x－3∣是 R 上的奇函数； 解 ∵g(x)＝∣x＋3∣－∣x－3∣的定义域为R， ∴g(－x) ＝∣－x＋3∣－∣－x－3∣ ＝∣x－3∣－∣x＋3∣＝－g(x). ∴ 函数g(x)为奇函数. 题型分类讲解 题型一　函数奇偶性判断 解　(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数. (2)由x2－1≥0且1－x2≥0，得x＝±1，故函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数. 解　f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. 当x>0时，－x<0， f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝f(x)； 当x<0时，－x>0， f(－x)＝(－x)＋1＝－x＋1＝f(x). 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数. 题型二　奇、偶函数的图象特征 ∴f(x)为偶函数，故f(x)的图象关于y轴对称，其图象如图所示， (2)求证：f(x)＋g(x)＝1(x≠0). 即f(x)＋g(x)＝1(x≠0). 题型三　由奇偶性求参数值 4.(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a，2a＋1]，则a＝________，b＝________. (2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________. 解析　(1)因为偶函数的定义域关于原点对称， 0 0 (2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0， 得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，又x∈R使其恒成立，故a＝0. 题型四　利用奇偶性求解析式 角度1　求对称区间上的解析式 5.(1)函数f(x)是R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________. 解析　设x>0，则－x<0，所以f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1).因为函数f(x)为R上的偶函数，故当x>0时，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)，即x>0时，f(x)＝x(x＋1). x(x＋1) (2)函数f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，则f(x)＝ 解析　设x<0，则－x>0， 所以f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1. 由于f(x)是R上的奇函数，故f(x)＝－f(－x)＝2x2＋3x－1， 即当x<0时，f(x)＝2x2＋3x－1.因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0. __________________. 用－x代替x， 解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 题型五　奇偶性与单调性的综合应用 角度1　比较大小 7.(1)若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则(　　) ∵对任意实数x总有f(－x)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数，∴f(2)＝f(－2). B (2)设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)， f(－3)的大小关系是(　　) A.f(π)>f(－3)>f(－2) 　 B.f(π)>f(－2)>f(－3) C.f(π)<f(－3)<f(－2) 　 D.f(π)<f(－2)<f(－3) 解析　因为函数f(x)为R上的偶函数， 所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2). 又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2， 所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2). A 角度2　利用奇偶性、单调性解不等式 8.(1)设定义在[－3，3]上的奇函数f(x)在区间[0，3]上是减函数，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围； 解　因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，3]上是减函数， 所以f(x)在[－3，3]上是减函数. (2)定义在[－2，2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数，若g(1－m)<g(m)成立，求实数m的取值范围. 解　∵g(x)在[－2，2]上为偶函数，且x≥0时为减函数， 题型六　奇偶性与对称性的应用 9.若函数y＝f(x)在(0，2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论正确 的是(　　) 解析　∵y＝f(x＋2)是偶函数，∴f(2－x)＝f(2＋x)， 故y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称， ∴f(1)＝f(3). 又f(x)在(0，2)上为增函数，∴f(x)在(2，4)上为减函数. B 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 既奇又偶函数 奇函数 偶函数 定义 定义域特征 非奇非偶函数 图象特征 函数奇偶性的几个结论: (1)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)=0,有时可用这个结论来否定个函数为奇函数 (2)若函数(x)为偶函数，则f(x)=f(|x|)=f(-x) (3) 偶±偶=偶，奇±奇=奇，偶×偶=奇×奇=偶，奇×偶=奇 （1）判断函数奇偶性第一步， 先判断函数定义域是否关于原点对称 （2）注意函数的奇偶性与单调性关系在比较大小中的应用 直观想象：研究函数奇偶性，通过运用函数图象利用数形结合思想解决问题，培养直观想象的核心素养 课堂小结 角度1　一般函数奇偶性的判断 1.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|；(2)f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2)；(3)f(x)＝eq \f(x,x－1). 角度2　分段函数奇偶性的判定 2.判断函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,－x＋1，x<0))的奇偶性. 又对任意x∈R，都有f(－x)＝eq \f(1,（－x）2＋1)＝eq \f(1,x2＋1)＝f(x)， 3.已知函数f(x)＝eq \f(1,x2＋1)，令g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x))). (1)已知f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，并说明你的作图依据； 解　∵f(x)＝eq \f(1,x2＋1)，∴f(x)的定义域为R. 证明　∵g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq \f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))\s\up12(2)＋1)＝eq \f(x2,1＋x2)(x≠0)， ∴f(x)＋g(x)＝eq \f(1,1＋x2)＋eq \f(x2,1＋x2)＝eq \f(1＋x2,1＋x2)＝1， － 所以a＋2a＋1＝0，解得a＝－， 又函数f(x)＝－eq \f(1,3)x2＋bx＋b－1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0. 综上，f(x)的解析式为f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x2＋3x＋1，x>0，,0，x＝0，,2x2＋3x－1，x<0.)) 得f(－x)＋g(－x)＝， ∴f(x)－g(x)＝，② (①＋②)÷2，得f(x)＝； (①－②)÷2，得g(x)＝. 角度2　构造方程组求解析式 6设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝eq \f(1,x－1)，求函数f(x)，g(x)的解析式. 由f(x)＋g(x)＝，① A.f<f(－1)<f(2) B.f(2)<f<f(－1) C.f(2)<f(－1)<f D.f(－1)<f<f(2) ∴f(2)<f<f(－1)，故选B. 又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，－2<－eq \f(3,2)<－1. 所以不等式f(1－m)<f(m)等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m>m，,－3≤m≤3，,－3≤1－m≤3，)) 解得－2≤m<eq \f(1,2)，即m的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2))). ∴g(1－m)＜g(m)⇔g(|1－m|)<g(|m|)⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，,|1－m|>|m|))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤m≤3，,－2≤m≤2，,（1－m）2>m2))⇒－1≤m<eq \f(1,2). 即m的取值范围为. 又2<<3<<4，∴f>f(3)>f， 即f<f(1)<f. A.f(1)<f<f B.f<f(1)<f C.f<f<f(1) D.f<f(1)<f $$