第五单元 小数乘法和除法（知识梳理+31个考点讲练+真题演练+难度分层练 共79题）-2025-2026学年苏教版数学五年级上册单元复习举一反三培优精讲练

第五单元 小数乘法和除法 （知识梳理+31个考点讲练+真题演练+难度分层练 共79题） 【原卷版】 资料简介 内容梳理 2 知识梳理 技巧点拨 3 知识点梳理01：小数乘整数 3 知识点梳理02：小数点向右移动与小数的大小变化 3 知识点梳理03：除数是整数的小数除法 3 知识点梳理04：小数点向左移动与小数的大小变化 3 知识点梳理05：小数乘小数 4 知识点梳理06：求积的近似值 4 知识点梳理07：一个数除以小数 4 知识点梳理08：商的近似值 5 知识点梳理09：小数四则混合运算 5 重点难点 考点讲练 5 高频考点讲练1：小数与整数的乘法计算与应用 5 高频考点讲练2：小数点向右移动引起小数大小变化的规律 6 高频考点讲练3：除数是整数的小数除法的计算与应用 7 高频考点讲练4：小数点向左移动引起小数大小变化的规律 7 高频考点讲练5：运用小数点移动解决小数的单位换算问题 8 高频考点讲练6：与小数点移动相关的和差倍问题 8 高频考点讲练7：小数与小数的乘法的计算与应用 8 高频考点讲练8：积的小数位数与乘数小数位数的关系 9 高频考点讲练9：积的变化规律（小数乘法) 9 高频考点讲练10：小数的连乘运算 9 高频考点讲练11：因数和积的大小关系（小数乘法) 10 高频考点讲练12：利用小数与小数的乘法解决问题 10 高频考点讲练13：用“四舍五入”法求积的近似数 11 高频考点讲练14：除数是小数的小数除法的计算与应用 12 高频考点讲练15：被除数和商的大小关系（小数除法） 12 高频考点讲练16：小数的连除运算 13 高频考点讲练17：用“四舍五入”法求商的近似数 13 高频考点讲练18：判定被除数的最大值和最小值 14 高频考点讲练19：循环小数的认识与简写 14 高频考点讲练20：有限小数和无限小数的认识 15 高频考点讲练21：用计算器探究规律 15 高频考点讲练22：用“进一法”解决问题 16 高频考点讲练23：用“去尾法”解决问题 16 高频考点讲练24：小数的乘、除法混合运算 16 高频考点讲练25：小数的四则运算及法则 17 高频考点讲练26：整数乘法运算定律推广到小数乘法 18 高频考点讲练27：运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 18 高频考点讲练28：小数除法相关的简便计算 19 高频考点讲练29：利用小数四则混合运算解决问题 20 高频考点讲练30：分段计费问题（小数乘法) 20 高频考点讲练31：分段计费问题（小数除法) 21 升学真题 实战演练 22 优选题型 培优强化 23 基础夯实 能力提升 23 创新拓展 拔尖冲刺 24 同学你好，该份讲义用于苏教版五年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：小数乘整数 小数与整数相乘，可以先按照整数乘法的计算方法算出积，再看乘数中一共有几位小数，就从积的右边起向左数出几位，点上小数点。 小数乘整数的计算方法 计算小数乘整数时，一般可以先按整数乘法算出积，再看乘数里有几位小数，就从积的右边起数出几位，并点上小数点。 知识点梳理02：小数点向右移动与小数的大小变化 一个小数乘10，小数点向右移动了一位。 一个小数乘100，小数点向右移动了两位。 一个小数乘10、100、1000……只要把这个小数的小数点向右移动一位、两位、三位…… 小数点向右移动引起小数大小变化的规律 一个小数乘10、100、1000……只要把这个小数的小数点向右移动一位，两位、三位…… 小数点向右移动引起小数大小变化的规律： 小数点向右移动一位，这个数就扩大到原来的10倍；小数点向右移动两位，这个数就扩大到原来的100倍；小数点向右移动三位，这个数就扩大到原来的1000倍；…… 把高级单位的数改写成低级单位的数方法 高级单位的数×进率=低级单位的数 知识点梳理03：除数是整数的小数除法 除数是整数的小数除法的计算方法 除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续；如果个位不够商1，就写上0，用0占位。 知识点梳理04：小数点向左移动与小数的大小变化 小数点向左移动引起小数大小变化的规律 一个小数除以10、100、1000……只要把这个小数的小数点向左移动一位，两位、三位…… 小数点向左移动引起小数大小变化的规律： 小数点向左移动一位，这个数就缩小到原来的十分之一；小数点向左移动两位，这个数就缩小到原来的百分之一；小数点向左移动三位，这个数就扩大到原来的千分之一；…… 把低级单位的数改写成高级单位的数方法 低级单位的数÷进率=高级单位的数 知识点梳理05：小数乘小数 小数乘小数的计算方法： 小数乘小数，先按整除乘法算出积，再看乘数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 在积里点小数点时，位数不够的，在前面用“0”补足；如果积的末尾有“0”应先点上小数点，再把末尾的0去掉。 两个数相乘时，一个乘数扩大到原来的m倍，另一个乘数扩大到原来的n倍，积就扩大到原来的(m×n)倍。 知识点梳理06：求积的近似值 积的近似值： 求积的近似值时，要弄清需要保留的小数位数，然后看比需要保留的小数位数多一位上的数字，再用“四舍五入”法求得近似值。注意近似值末尾得“0”不能舍去。 求近似值很容易，“四舍五入”心中记。看准保留的下一位，与5比较要仔细，满5向前加上1，小于5的全舍去。等号变成约等号，千万记住别大意。 在取小数近似数的时候，如果尾数的最高位数字是4或者比4小，就把尾数去掉。如果尾数的最高位数是5或者比5大，就把尾数舍去并且在它的前一位进“1”,这种取近似数的方法叫做四舍五入法。 求小数得近似数得方法与求整数的近似数的方法类似，即根据需要用四舍五入法保留一定的小数位数。 知识点梳理07：一个数除以小数 计算除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动几位；然后按照除数是整数的小数除法进行计算。 计算除数的小数位数少于除数的小数位数的小数除法时，被除数和除数的小数点向右移动相同的位数，当被除数的小数位数不够时要在末尾添“0”。 知识点梳理08：商的近似值 在取小数近似数的时候，如果尾数的最高位数字是4或者比4小，就把尾数去掉。如果尾数的最高位数是5或者比5大，就把尾数舍去并且在它的前一位进“1”,这种取近似数的方法叫做四舍五入法。 求商的近似值，一般先算出比需要保留的小数位数多一位的商，当这个商的末尾数字大于或等于“5”时，向前进“1”，当这个商的末尾小于“5”时，直接舍去。取近似值时，不能因为去掉小数末尾的“0”而小数的大小不变，就随意省略，要看题目要求保留几位小数。 求商的近似值，一般先算出比需要保留的小数位数多一位的商，再按照“四舍五入”法写出结果。 求商的近似值时，有时要根据实际需要用到“去尾”法，就是无论尾数最高位商的数字是几，都要直接舍去小数点后面的数字，而小数点前面的数不发生任何变化。 商的近似值的应用： 求商近似值的一般方法是使用“四舍五入”法。在实际生活中，需要合理选择不同的方法来求商的近似值。有时需要去掉后一位的数（无论后一位的数是否满5），有时需要进一（无论后一位的数字是否满5）。这里所用的方法分别叫“去尾法”、“进一法”。 知识点梳理09：小数四则混合运算 小数四则混合运算的顺序 （1）连乘式题或连除式题，从左往右依次计算； （2）加、减、乘、除混合式题，先算乘除，再算加减； （3）有小括号的，应先算小括号里面的，再算小括号外面的。 整数加法、乘法的运算律，对小数加法、乘法同样适用。 高频考点讲练1：小数与整数的乘法计算与应用 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·随堂练习）要围成一个等边三角形花圃，每条边需要2.4的篱笆，一共需要（    ）m的篱笆。 【变式训练】（25-26五年级上·全国·单元测试）最近菜市场鸡爪的价格如下表。杨师傅打算买20kg，周师傅打算买15kg。 质量/kg 1~20 21~50 50以上 价格/（元/kg） 35.5 30.8 28.5 （1）如果他们分别去买，一共需要多少钱？ （2）如果他们合起来买，可以节约多少钱？ 高频考点讲练2：小数点向右移动引起小数大小变化的规律 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏泰州·期中）下列说法中错误的是（    ）。 A．用0、1、2、3四个数组成的两位小数中，最小的是10.23。 B．一个小数的小数点向右移动一位，这个数就扩大到原来的10倍。 C．大于0.4且小于0.5的小数有无数个。 D．两个三角形等底等高，说明这两个三角形一定能拼成一个平行四边形。 【变式训练】（24-25五年级上·江苏·课后作业）下面是把一块长方形麦田的长和宽缩小到原来的后画出的图形。 （1）这块麦田实际的长和宽各是多少米？ （2）这块麦田的占地面积是多少公顷？（得数保留两位小数） 高频考点讲练3：除数是整数的小数除法的计算与应用 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·课后作业）列竖式计算。 89.2÷45≈  （得数保留整数） 4.5÷0.14≈ （得数保留一位小数） 6.04÷5.5≈ （得数保留两位小数）   5.89÷16≈ （得数保留两位小数） 【变式训练】（25-26五年级上·全国·课后作业）海海喜欢把生活中的旧物收集起来，然后卖给废品收购站。海海上个月卖旧物得到了18.9元，这个月他又得到了28.7元。根据海海的话，请求出日记本的单价。 高频考点讲练4：小数点向左移动引起小数大小变化的规律 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏·课后作业）在括号里填合适的数，再说说是怎样想的。 47.3÷（    ）＝0.473             10÷（    ）＝0.01 230.5÷（    ）＝0.2305            64.8÷（    ）＝6.48 【变式训练】（24-25五年级上·江苏·课后作业）一辆汽车行驶115千米耗油10升。照这样计算，1000升油可供这辆汽东行驶多少千米？ 高频考点讲练5：运用小数点移动解决小数的单位换算问题 【典例精讲】（24-25五年级上·广西防城港·期末）在括号里填上合适的数。 35厘米＝( )米    600毫升＝( )升     80000平方米＝( )公顷    3500公顷＝( )平方千米 【变式训练】（24-25五年级上·江苏宿迁·期末） 80公顷＝( )平方千米     0.54公顷＝( )平方米 4时45分＝( )时         3升50毫升＝( )升 高频考点讲练6：与小数点移动相关的和差倍问题 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏·课后作业）已知甲、乙两个数的和是24.2，当甲数的小数点向左移动一位时正好等于乙数。甲、乙两数各是多少？ 【变式训练】（23-24五年级上·江苏·课后作业）甲、乙两数的和是16.5，甲数的小数点向右移动一位正好等于乙数。你知道甲、乙两数各是多少吗？ 高频考点讲练7：小数与小数的乘法的计算与应用 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·课后作业）小宇的爸爸用某App（应用程序）订购蔬菜水果。如果配送员的速度是15.5千米/时，需要0.8小时送达。 （1）配送地距离小宇家多少千米？ （2）如果配送员将速度提至18.5千米/时，30分钟内能送达吗？ 【变式训练】（25-26五年级上·全国·课后作业）列竖式计算。 0.58×3.5＝        5.4×1.06＝        3.25×1.8＝        5.5×2.6＝ 高频考点讲练8：积的小数位数与乘数小数位数的关系 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏·课后作业）根据28×115＝3220，直接写出下面各题的积。 0.28×115＝        28×0.115＝        2.8×1.15＝ 2.8×115＝        28×11.5＝        0.28×11.5＝ 【变式训练】（23-24五年级上·广东东莞·期中）根据87×105＝9135，在括号里填上合适的数。 87×( )＝91.35        8.7×1.05＝( ) 9.135÷87＝( )        913.5÷0.87＝( ) 高频考点讲练9：积的变化规律（小数乘法) 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏淮安·期中）已知234×15＝3510，那么：23.4×15＝( )，234×0.15＝( )，( )×15＝3.51。 【变式训练】（24-25五年级上·贵州贵阳·期中）两个因数的积是0.48，若一个因数不变，另一个因数缩小到原来的，那么积是( )。 高频考点讲练10：小数的连乘运算 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏·课后作业）用简便方法计算。 0.25×32×12.5        45.2×99＋45.2        0.85×99 6.4×3.7＋6.4×6.3        2.78×1.25×8        6.28＋13.75＋3.72 【变式训练】（24-25五年级上·江苏·课后作业）填空。 7.8×0.15＝( )×7.8        0.125×19×8＝( )×( )×19 4.25×99＝4.25×( )－4.25        205×3.2＝( )×3.2＋( )×3.2 高频考点讲练11：因数和积的大小关系（小数乘法) 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏盐城·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 2.3÷0.6( )2.3      0.96×1.2( )1.2    4.56×0.1( )4.56÷10 【变式训练】（24-25五年级上·江苏宿迁·期末）在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 7.2×0.9( )64.8          7.59÷0.99( )7.59       1.6÷0.25( )1.6×4         0.85( )0.85×0.87 高频考点讲练12：利用小数与小数的乘法解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏·课后作业）下面是一块平行四边形菜地的示意图。如果把它分成一个三角形和一个梯形，三角形地里种茄子，梯形地里种辣椒。 （1）每棵茄子占地0.09平方米，一共可以种多少棵？ （2）种辣椒的地方有多少平方米？ 【变式训练】（25-26五年级上·全国·课后作业）某停车场的收费标准如下表所示。 时段 6：00—18：00 18：00—23：00 23：00—次日6：00 收费标准 2小时内（含2小时）5元，超过2小时的，超过部分每小时2.8元（不足半小时按半小时计算） 每小时1.7元（不足半小时按半小时计算） 每小时1.2元（不足半小时按半小时计算） （1）王师傅10：00驾车进入停车场，13：12驾车离开，需要付费多少元？ （2）李师傅21：00驾车进入停车场，第二天5：10驾车离开，需要付费多少元？ 高频考点讲练13：用“四舍五入”法求积的近似数 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏宿迁·期末）用竖式计算。（加☆的要验算，带△的保留两位小数） 3.9＋0.78＝      0.162－0.027＝       △0.32×0.48≈       ☆9.2÷0.23＝ 【变式训练】（24-25五年级上·江苏·课后作业）据统计，汽车发动机每燃烧1千克汽油，要消耗15千克新鲜空气，同时排出150~200克的一氧化碳。南京到苏州的里程是233千米，如果一辆汽车每行驶100千米的耗油量为4.5千克。 （1）这辆汽车从南京到苏州耗油多少千克？（保留一位小数） （2）这辆汽车从南京到苏州要消耗多少千克新鲜空气？最少要排放多少千克一氧化碳？（保留一位小数） 高频考点讲练14：除数是小数的小数除法的计算与应用 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·课后作业）湖北的黄鹤楼、湖南的岳阳楼和江西的滕王阁被人们誉为“江南三大名楼”。黄鹤楼的高度约为岳阳楼高度的多少倍？（得数保留整数） 【变式训练】（25-26五年级上·全国·课后作业）爸爸：“今天中午做什么菜呀？”妈妈：“酸菜鱼。看！这是我刚买的一条鱼和一包酸菜鱼料包。”爸爸：“这鱼真新鲜！”计算这条鱼每千克多少钱，并在需要用到的信息前面的里画“√”。 ①酸菜鱼料包每包14.5元 ②鱼重2.8kg ③买了一个购物袋0.5元 ④付了50元刚好用完 高频考点讲练15：被除数和商的大小关系（小数除法） 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·课后作业）下面各题的商哪些是小于1的？在括号里画“√”。 2.4÷3（    ）    8.64÷5（    ）  3.12÷3（    ）    11.7÷13（    ） 24.6÷6（    ）   7.7÷7（    ）  6.3÷3（    ）      5.2÷8（    ） 我发现：当被除数是小数、除数是整数时，被除数的整数部分小于除数，商（    ）1；被除数的整数部分大于或等于除数，商（    ）1。（填“大于”或“小于”） 【变式训练】（24-25五年级上·江苏苏州·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 0.8( )0.80       9.6×0.47( )9.6       6.7÷3( )6.7÷0.8 8.94×4( )8.94÷0.25   1.02＋0.97( )0.97＋1.2  4.28×3.2( )42.8×0.32 高频考点讲练16：小数的连除运算 【典例精讲】（24-25五年级上·贵州贵阳·期中）计算下面各题，怎样简便就怎样算。 10.5×2.5×0.4        6.8×5.7＋4.3×6.8 4.38÷0.25÷8        101×5.78－5.78 【变式训练】（23-24五年级上·江苏·课后作业）用计算器算出下面每种食品1千克各是多少元。 你会用不同方法计算吗？ 高频考点讲练17：用“四舍五入”法求商的近似数 【典例精讲】（24-25五年级上·安徽六安·期末）列竖式计算。（得数保留两位小数） 5.08÷0.65       246.4÷13           17.8×0.63 【变式训练】（24-25五年级上·江苏·单元测试）列竖式计算。 3.06×12＝      0.957÷4.65＝（得数保留两位小数） 6.92×0.84＝     26.35÷31＝（得数保留一位小数） 高频考点讲练18：判定被除数的最大值和最小值 【典例精讲】（2022五年级上·江苏·专题练习）一个数除以1.8，商是一个两位小数，商保留一位小数是3.2。被除数最大是多少？ 【变式训练】（20-21五年级上·江苏南通·期末）一个数除以2.4的商是两位小数，保留一位小数后的近似值是3.2。被除数最大是( )，最小是( )。 高频考点讲练19：循环小数的认识与简写 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·课后作业）列竖式计算，商是循环小数的用简便形式表示。 5.7÷9＝        69÷33＝        1.66÷0.15＝ 【变式训练】（24-25五年级上·江苏·课后作业）阳阳忘了给下面的四个小数加表示循环节的圆点了，请你帮帮他，使下面的式子成立。 7.8289＜7.8289＜7.8289＜7.8289 高频考点讲练20：有限小数和无限小数的认识 【典例精讲】（22-23五年级上·江苏连云港·期末）下面说法中，正确的有（    ）句。 （1）一个数乘10，只要在它的后面添上一个“0”就可得到结果。 （2）将一张厚0.02厘米的卡纸对折三次，这时卡纸的总厚度是0.06厘米。 （3）无限小数不一定是循环小数。 （4）两个两位小数相乘，积可能是五位小数。 A．3 B．2 C．1 【变式训练】（20-21五年级上·浙江衢州·期末）下列事件中能用“一定”描述的是（    ）。 A．小数比整数小 B．无限小数是循环小数 C．等腰三角形是锐角三角形 D．等边三角形是锐角三角形 高频考点讲练21：用计算器探究规律 【典例精讲】（23-24五年级上·河南信阳·期中）小红用计算器计算下面的题目时，发现计算器只能算出前4道题的答案，后面的题目，你能根据前4题的答案，帮她写出后面题目的答案吗？ 81÷9＝9   88.2÷9＝9.8   88.83÷9＝9.87   88.884÷9＝9.876 88.8885÷9＝( )   88.88886÷9＝( )   88.888887÷9＝( ) 【变式训练】（22-23五年级上·陕西延安·期中）用计算器计算前三题，先找出规律，再直接写出后五题的得数。 1.08÷0.9＝( ) 11.07÷0.9＝( ) 111.06÷0.9＝( ) 1111.05÷0.9＝( ) 11111.04÷0.9＝( ) ( )÷0.9＝123456.7 1111111.02÷0.9＝( ) ( )÷0.9＝( ) ①商中数字按自然数的顺序排列，并且商整数部分的位数( )被除数整数部分的位数。 ②商都是( )位小数。 ③被除数都是( )位小数。 ④被除数的整数部分各位上都是1，除数都是( )。 高频考点讲练22：用“进一法”解决问题 【典例精讲】（22-23五年级上·江苏泰州·期末）一种花生2.5千克可榨油0.75千克，照这样计算，榨18千克油，需要这样的花生( )千克。如果每个油壶可以装2.5千克油，装榨出的18千克油至少需准备( )个这样的油壶。 【变式训练】（22-23五年级上·江苏徐州·期末）一种成人服装，每套用布2.2米，150米布可以做这样的服装( )套；每只桶可以装3升油，装7.5升油需要( )只桶。 高频考点讲练23：用“去尾法”解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏·课后作业）李老师要用100元买一些文具作为年级运动会的奖品。他先花45.6元买了8本相册，并准备用剩下的钱买一些笔，每支笔2.5元。还可以买几支同样的笔？ 【变式训练】（24-25五年级上·江苏·课后作业）张阿姨到批发市场买毛巾，每条毛巾4.8元，用70元最多可以买这种毛巾多少条？ 高频考点讲练24：小数的乘、除法混合运算 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏·课后作业）一个三角形的底是4.5米，高是0.72米。与它面积相等的平行四边形的底是1.8米，这个平行四边形的高是多少米？ 【变式训练】（24-25五年级上·江苏·课后作业）货架上有两种糖果，花生糖每袋200克，售价8.5元；水果糖每袋250克，售价6.85元。推算一下每千克花生糖多少元，每千克水果糖多少元？ 高频考点讲练25：小数的四则运算及法则 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏无锡·期末）计算下面各题，能简算的要简算。 2.5×0.19×4                       7.02＋3.9＋2.98＋4.1 10.75÷2.5×101－4.3                 [5×（3.12＋4.08）]÷2.4 【变式训练】（24-25五年级上·广西防城港·期末）下面各题，怎样算简便就怎样算。 5.52＋0.55＋0.45          1.16×7.3－0.16×7.3 2.5×0.96×4              高频考点讲练26：整数乘法运算定律推广到小数乘法 【典例精讲】24-25五年级上·江苏宿迁·期末）计算下面各题，你认为怎样简便就怎样算。 27.87－7.99－0.01     58.3×101－58.3      1.25×3.2×25 3.53×4.5－0.53×4.5     4.2×1.01         13÷2.5÷0.4 【变式训练】（24-25五年级上·江苏徐州·期末）计算下面各题，能简算的要简算。 12.5×11×8        37.8×0.45＋6.22×4.5 19.87－（13.87＋5.98）     高频考点讲练27：运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏·课后作业）简便运算。 999.9＋99.9＋9.9＋0.9            2.4×3.7＋0.024×620＋0.24 【变式训练】（23-24五年级上·重庆垫江·期末）计算下面各题，能简算的要简算。 79－3.6－16.4    36÷[5.7－（9.2－5.9）]   1.25×48.6×0.8 10.1×46        15.8－15.8÷（10－2.1）   7.3×[15－（12.6＋1.6）] 高频考点讲练28：小数除法相关的简便计算 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏·课后作业）计算下列各题。 8.75－1.47－0.23          88×0.25×9 3.68÷0.5÷0.2         1.01÷[0.8×（12.5＋0.125）] 【变式训练】（24-25五年级上·江苏·课后作业）先算一算，再比一比。 0.72÷0.8÷0.6        5.4÷0.25÷0.4        6.9÷0.2÷5 0.72÷（0.8×0.6）        5.4÷（0.25×0.4）        6.9÷（0.2×5） 高频考点讲练29：利用小数四则混合运算解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏·单元测试）下面是男子110米栏比赛的赛道示意图。 第一栏到第十栏每相邻两栏的距离相等。每相邻两栏的距离是多少米？ 【变式训练】（23-24五年级上·福建宁德·期末）“双11”超市在搞促销活动：一次性购买毛巾不超过5条，每条8.9元；超过5条的，超过的部分，每条只要7.6元。小宁的妈妈买了一些毛巾，共花费74.9元。她一共买了多少条毛巾？ 高频考点讲练30：分段计费问题（小数乘法) 【典例精讲】（24-25六年级下·江苏南京·期末）某市出租车按下表的方法计费（不足1千米按1千米计算）。 行驶路程 收费标准 3千米及以内 10元 超过3千米的部分 每千米2.5元 (1)小芳和爸爸、妈妈三人坐一辆出租车看望奶奶，出租车行驶了a千米。 如果a≤3，需要付( )元。 (2)如果a＝7.8，需要付多少元？下面符合题中数量关系的是图（    ）。 A． B． C． D． (3)小芳和爸爸、妈妈三人从家出发坐一辆出租车看望外婆，一共付车费40元。小芳家到外婆家最多相距多少千米？ 【变式训练】（24-25五年级上·江苏徐州·期末）代驾是指车主不能自行开车到达目的地时，有专业驾驶人员驾驶车主的车，将其送到指定地点，并收取一定费用的行为，某平台日常代驾计费标准如下表： 行驶里程 8千米以内 超过8千米部分 7：00~21：59 35元 3.5元/千米 22：00~次日6：59 50元 4.5元/千米 说明：行驶里程不足1千米，按1千米计算。 （1）王阿姨在公司工作到21：00，在该平台预约了代驾服务回家，从公司到家共行驶了13.5千米，需要支付多少元代驾费？ （2）李叔叔在饭店参加聚会，22：30聚会结束，他在该平台预约了代驾服务，服务结束后，李叔叔支付了99.5元代驾费。这次代驾服务的行驶里程最多是多少千米？ 高频考点讲练31：分段计费问题（小数除法) 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏宿迁·期末）某城市出租车的计费标准是：3千米以内（含3千米）收费9元，超过3千米的部分，每千米收费1.4元。 （1）王叔叔从家到单位有8千米，坐出租车需要付多少钱？ （2）李阿姨坐出租车付费18.8元，李阿姨家到商场最多有多少千米？ 【变式训练】（24-25五年级上·江苏·课后作业）为鼓励居民节约用电，某市电力公司的电费计算方法规定如下：若每月用电量不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；若每月用电量超过100千瓦时，超过部分按每千瓦时0.6元收费。王平家十月份缴电费71.2元，他家这个月用电多少千瓦时？ 【演练1】（2024·江苏无锡·小升初真题）张叔叔在一家快递公司邮寄一些物品，收费标准如下：不超过1千克的物品需要付8元，以后每增加1千克（不足1千克按1千克计算）需要增加邮寄费6.5元。张叔叔一共付费79.5元，他邮寄的物品最多重（    ）。 A．11千克 B．11.9千克 C．12千克 D．13千克 【演练2】（2024·江苏泰州·小升初真题）周末爸爸带小明去超市购物，他们买了2大包餐巾纸，每包34.5元，他们还想买一瓶单价为43.9元的洗发水，100元钱够不够？下列估算方法（    ）最适合解决这个问题。 A．全部估小：30×2＋40＝100（元），所以不够。 B．全部估大：40×2＋50＝130（元），所以不够。 C．一个估大，一个估小：30×2＋50＝110（元），所以不够。 D．计算：2×34.5＋43.9＝112.9，所以不够。 【演练3】（2024·江苏泰州·小升初真题）据《三国志》记战，三国名将关羽“身长九尺”，特别高大威武。其中的“尺”是一个古代的长度单位。在现代，1尺≈33.33厘米，有趣的是，在不同的历史时期，“1尺”的标准是不同的（如表）。联系实际，想一想，朝代( )的标准最可能是三国时期“1尺”的标准。 朝代①：1尺≈16.95厘米 朝代②：1尺≈24.2厘米 朝代③：1尺≈29.6厘米 朝代④：1尺≈31.68厘米 【演练4】（2021·江苏南通·小升初真题）司机要将一批材料从540千米外的工厂拉回商场。早上9：00他从工厂出发，中午11：30时距离商场还有390千米。照这样的速度，下午2：30时距离商场还有多少千米？ 【演练5】（2022·江苏无锡·小升初真题）戴口罩仍然是防控新冠肺炎的有效手段之一。健康药房上个月售出了N95口罩360盒，售出的普通口罩比N95口罩的2.5倍还多了60盒。上个月售出了普通口罩多少盒？ 基础夯实 能力提升 1．（23-24五年级上·江苏·期末）在8.91÷a中（a≠0），当a（    ）1，所得的商大于8.91。 A．大于 B．小于 C．等于 2．（24-25五年级上·江苏·课后作业）买5块同样的香皂用去27.5元，每块香皂5.5元。( )（判断对错） 3．（23-24五年级上·江苏扬州·期末）用递等式计算，能简算的要简算。 0.125×32×0.25      2.9＋6.68＋7.1＋3.32        （0.74＋0.26）÷0.8 6.48÷[（1.4－0.8）×0.9]       9.8×10.1        9.37－4.8＋0.63 4．（25-26五年级上·全国·课后作业）“阅兵”包括“阅兵式”和“分列式”。在“分列式”中，受检阅的距离就是天安门前东西两个华表之间相隔的96m，走这段距离的要求如下：士兵每步长必须为0.75m，总用时为68秒。士兵在这段距离中，走一步大约需要多少秒？（得数保留两位小数） 5．（25-26五年级上·全国·课后作业）妈妈拿了一个容量为15L的桶去楼下接水。接水前显示卡内余额为46.8元，接了9L水后，显示卡内余额为44.1元。 (1)接1L水需要多少元？ (2)你还能提出其他数学问题并解答吗？ 创新拓展 拔尖冲刺 1．（24-25五年级上·贵州毕节·期末）根据乘法算式，下列算式正确的是（    ）。 A． B． C． 2．（25-26五年级上·全国·课后作业）在括号里填上“＞”或“＜”。 ( )3.666  3.15( )  ( )9.443  ( )0.3 1.413( )  ( )4.3  6.87( )   ( ) 3．（24-25五年级上·贵州毕节·期末）一位小数乘两位小数的积可能是一位小数。( )（判断对错） 4．（23-24五年级上·江苏扬州·期末）竖式计算，打★的要验算。 3.4＋6.56＝         2.05×6.5≈   （保留一位小数）        2.4÷0.16＝         ★19－9.48＝ 5．（23-24五年级上·广东江门·期末）有两块棉田，平均每亩产量是73.5千克，已知一块地是5亩，平均每亩产量是82.5千克；另一块田平均每亩产量是66千克。这块田是多少亩？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五单元 小数乘法和除法 （知识梳理+31个考点讲练+真题演练+难度分层练 共79题） 【解析版】 资料简介 内容梳理 2 知识梳理 技巧点拨 3 知识点梳理01：小数乘整数 3 知识点梳理02：小数点向右移动与小数的大小变化 3 知识点梳理03：除数是整数的小数除法 3 知识点梳理04：小数点向左移动与小数的大小变化 3 知识点梳理05：小数乘小数 4 知识点梳理06：求积的近似值 4 知识点梳理07：一个数除以小数 4 知识点梳理08：商的近似值 5 知识点梳理09：小数四则混合运算 5 重点难点 考点讲练 5 高频考点讲练1：小数与整数的乘法计算与应用 5 高频考点讲练2：小数点向右移动引起小数大小变化的规律 7 高频考点讲练3：除数是整数的小数除法的计算与应用 9 高频考点讲练4：小数点向左移动引起小数大小变化的规律 11 高频考点讲练5：运用小数点移动解决小数的单位换算问题 12 高频考点讲练6：与小数点移动相关的和差倍问题 13 高频考点讲练7：小数与小数的乘法的计算与应用 13 高频考点讲练8：积的小数位数与乘数小数位数的关系 14 高频考点讲练9：积的变化规律（小数乘法) 15 高频考点讲练10：小数的连乘运算 16 高频考点讲练11：因数和积的大小关系（小数乘法) 18 高频考点讲练12：利用小数与小数的乘法解决问题 19 高频考点讲练13：用“四舍五入”法求积的近似数 21 高频考点讲练14：除数是小数的小数除法的计算与应用 22 高频考点讲练15：被除数和商的大小关系（小数除法） 24 高频考点讲练16：小数的连除运算 25 高频考点讲练17：用“四舍五入”法求商的近似数 27 高频考点讲练18：判定被除数的最大值和最小值 29 高频考点讲练19：循环小数的认识与简写 30 高频考点讲练20：有限小数和无限小数的认识 31 高频考点讲练21：用计算器探究规律 32 高频考点讲练22：用“进一法”解决问题 34 高频考点讲练23：用“去尾法”解决问题 34 高频考点讲练24：小数的乘、除法混合运算 35 高频考点讲练25：小数的四则运算及法则 36 高频考点讲练26：整数乘法运算定律推广到小数乘法 38 高频考点讲练27：运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 40 高频考点讲练28：小数除法相关的简便计算 42 高频考点讲练29：利用小数四则混合运算解决问题 44 高频考点讲练30：分段计费问题（小数乘法) 45 高频考点讲练31：分段计费问题（小数除法) 48 升学真题 实战演练 49 优选题型 培优强化 52 基础夯实 能力提升 52 创新拓展 拔尖冲刺 55 同学你好，该份讲义用于苏教版五年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：小数乘整数 小数与整数相乘，可以先按照整数乘法的计算方法算出积，再看乘数中一共有几位小数，就从积的右边起向左数出几位，点上小数点。 小数乘整数的计算方法 计算小数乘整数时，一般可以先按整数乘法算出积，再看乘数里有几位小数，就从积的右边起数出几位，并点上小数点。 知识点梳理02：小数点向右移动与小数的大小变化 一个小数乘10，小数点向右移动了一位。 一个小数乘100，小数点向右移动了两位。 一个小数乘10、100、1000……只要把这个小数的小数点向右移动一位、两位、三位…… 小数点向右移动引起小数大小变化的规律 一个小数乘10、100、1000……只要把这个小数的小数点向右移动一位，两位、三位…… 小数点向右移动引起小数大小变化的规律： 小数点向右移动一位，这个数就扩大到原来的10倍；小数点向右移动两位，这个数就扩大到原来的100倍；小数点向右移动三位，这个数就扩大到原来的1000倍；…… 把高级单位的数改写成低级单位的数方法 高级单位的数×进率=低级单位的数 知识点梳理03：除数是整数的小数除法 除数是整数的小数除法的计算方法 除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续；如果个位不够商1，就写上0，用0占位。 知识点梳理04：小数点向左移动与小数的大小变化 小数点向左移动引起小数大小变化的规律 一个小数除以10、100、1000……只要把这个小数的小数点向左移动一位，两位、三位…… 小数点向左移动引起小数大小变化的规律： 小数点向左移动一位，这个数就缩小到原来的十分之一；小数点向左移动两位，这个数就缩小到原来的百分之一；小数点向左移动三位，这个数就扩大到原来的千分之一；…… 把低级单位的数改写成高级单位的数方法 低级单位的数÷进率=高级单位的数 知识点梳理05：小数乘小数 小数乘小数的计算方法： 小数乘小数，先按整除乘法算出积，再看乘数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 在积里点小数点时，位数不够的，在前面用“0”补足；如果积的末尾有“0”应先点上小数点，再把末尾的0去掉。 两个数相乘时，一个乘数扩大到原来的m倍，另一个乘数扩大到原来的n倍，积就扩大到原来的(m×n)倍。 知识点梳理06：求积的近似值 积的近似值： 求积的近似值时，要弄清需要保留的小数位数，然后看比需要保留的小数位数多一位上的数字，再用“四舍五入”法求得近似值。注意近似值末尾得“0”不能舍去。 求近似值很容易，“四舍五入”心中记。看准保留的下一位，与5比较要仔细，满5向前加上1，小于5的全舍去。等号变成约等号，千万记住别大意。 在取小数近似数的时候，如果尾数的最高位数字是4或者比4小，就把尾数去掉。如果尾数的最高位数是5或者比5大，就把尾数舍去并且在它的前一位进“1”,这种取近似数的方法叫做四舍五入法。 求小数得近似数得方法与求整数的近似数的方法类似，即根据需要用四舍五入法保留一定的小数位数。 知识点梳理07：一个数除以小数 计算除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动几位；然后按照除数是整数的小数除法进行计算。 计算除数的小数位数少于除数的小数位数的小数除法时，被除数和除数的小数点向右移动相同的位数，当被除数的小数位数不够时要在末尾添“0”。 知识点梳理08：商的近似值 在取小数近似数的时候，如果尾数的最高位数字是4或者比4小，就把尾数去掉。如果尾数的最高位数是5或者比5大，就把尾数舍去并且在它的前一位进“1”,这种取近似数的方法叫做四舍五入法。 求商的近似值，一般先算出比需要保留的小数位数多一位的商，当这个商的末尾数字大于或等于“5”时，向前进“1”，当这个商的末尾小于“5”时，直接舍去。取近似值时，不能因为去掉小数末尾的“0”而小数的大小不变，就随意省略，要看题目要求保留几位小数。 求商的近似值，一般先算出比需要保留的小数位数多一位的商，再按照“四舍五入”法写出结果。 求商的近似值时，有时要根据实际需要用到“去尾”法，就是无论尾数最高位商的数字是几，都要直接舍去小数点后面的数字，而小数点前面的数不发生任何变化。 商的近似值的应用： 求商近似值的一般方法是使用“四舍五入”法。在实际生活中，需要合理选择不同的方法来求商的近似值。有时需要去掉后一位的数（无论后一位的数是否满5），有时需要进一（无论后一位的数字是否满5）。这里所用的方法分别叫“去尾法”、“进一法”。 知识点梳理09：小数四则混合运算 小数四则混合运算的顺序 （1）连乘式题或连除式题，从左往右依次计算； （2）加、减、乘、除混合式题，先算乘除，再算加减； （3）有小括号的，应先算小括号里面的，再算小括号外面的。 整数加法、乘法的运算律，对小数加法、乘法同样适用。 高频考点讲练1：小数与整数的乘法计算与应用 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·随堂练习）要围成一个等边三角形花圃，每条边需要2.4的篱笆，一共需要（    ）m的篱笆。 【答案】7.2 方法一：7.2 方法二：24 方法三： 【思路引导】三角形的周长等于三条边长度之和。 方法一：加法计算 因为等边三角形三条边长度相等，所以求篱笆长度就是求3个2.4相加的和，2.4+2.4+2.4=7.2（m）。 方法二：单位换算后计算 因为1m=10dm，把2.4m看作24dm。先计算24×3=72（dm），再将72dm换算成m，72÷10=7.2m ，即2.4×3=7.2（m）。 方法三：利用积的变化规律计算 把2.4扩大10倍变成24，24×3=72，再把结果缩小10倍，72÷10=7.2，也就是2.4×3=7.2（m）。 【规范解答】由分析知： 方法一： 方法二： 方法三： 【变式训练】（25-26五年级上·全国·单元测试）最近菜市场鸡爪的价格如下表。杨师傅打算买20kg，周师傅打算买15kg。 质量/kg 1~20 21~50 50以上 价格/（元/kg） 35.5 30.8 28.5 （1）如果他们分别去买，一共需要多少钱？ （2）如果他们合起来买，可以节约多少钱？ 【答案】（1）35.5×20＋35.5×15＝1242.5（元） （2）20＋15＝35（kg）    30.8×35＝1078（元） 1242.5－1078＝164.5（元） 【思路引导】（1）如果他们分别去买，按单价35.50元，根据单价×数量＝总价计算。 （2）如果他们合起来去买，按单价30.8元，根据单价×数量＝总价计算。然后相减即可。 【规范解答】（1）35.5×20＋35.5×15 ＝35.5×（20＋15） ＝35.5×35 ＝1242.5（元） 答：如果他们分别去买，一共需要1242.5元。 （2）30.8×（20＋15） ＝30.8×35 ＝1078（元） 1242.5-1078=164.5（元） 答：如果他们合起来去买，可以节约164.5元。 高频考点讲练2：小数点向右移动引起小数大小变化的规律 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏泰州·期中）下列说法中错误的是（    ）。 A．用0、1、2、3四个数组成的两位小数中，最小的是10.23。 B．一个小数的小数点向右移动一位，这个数就扩大到原来的10倍。 C．大于0.4且小于0.5的小数有无数个。 D．两个三角形等底等高，说明这两个三角形一定能拼成一个平行四边形。 【答案】D 【思路引导】A．用0、1、2、3四个数组成两位小数，最高位上不能是0，写1，再按照数的大小排列其他数位，即可得到最小的两位数。 B．小数点向右移动一位，原数就扩大到原来的10倍。 C．大于0.4且小于0.5的小数有两位小数，三位小数…… D．两个三角形等底等高，只能说明面积相等，不能代表形状相同，所以两个面积相等的三角形它们不一定完全一样，所以两个面积相等的三角形不一定能拼成一个平行四边形。 【规范解答】A．用0、1、2、3四个数组成的两位小数中，最小的是10.23，原题说法是正确的。 B．一个小数的小数点向右移动一位，这个数就扩大到原来的10倍，原题说法是正确的。 C．大于0.4且小于0.5的小数有无数个，原题说法是正确的。 D．两个三角形等底等高，说明这两个三角形面积相等，但不一定能拼成一个平行四边形。原题说法是错误的。 故答案为：D 【变式训练】（24-25五年级上·江苏·课后作业）下面是把一块长方形麦田的长和宽缩小到原来的后画出的图形。 （1）这块麦田实际的长和宽各是多少米？ （2）这块麦田的占地面积是多少公顷？（得数保留两位小数） 【答案】（1）187米；50.6米； （2）0.95公顷 【思路引导】（1）根据题意可知，长方形麦田的长和宽缩小到原来的，则将现在的长、宽分别乘1000即可求出原来的长和宽，据此即可解答。 （2）根据长方形的面积＝长×宽，代入数据求出麦田的占地面积，再把单位转化为以公顷为单位，得数保留两位小数即可。 【规范解答】（1）18.7×1000＝18700（厘米） 18700厘米＝187米 5.06×1000＝5060（厘米） 5060厘米＝50.6米 答：这块麦田实际的长是187米，宽是50.6米。 （2）187×50.6＝9462.2（平方米） 9462.2平方米≈0.95公顷 答：这块麦田的占地面积是0.95公顷。 高频考点讲练3：除数是整数的小数除法的计算与应用 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·课后作业）列竖式计算。 89.2÷45≈  （得数保留整数） 4.5÷0.14≈ （得数保留一位小数） 6.04÷5.5≈ （得数保留两位小数）   5.89÷16≈ （得数保留两位小数） 【答案】2；32.1 1.10；0.37 【思路引导】（1）计算89.2÷45和 5.89÷16：根据除数是整数的小数除法，可以按照整数除法的计算方法计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐。保留整数时，看小数点后的第一个数，如果小数点后的第一个数大于或等于5，则进一，小于5，则舍去。保留两位小数时，看小数点后的第三个数，如果小数点后的第三个数大于或等于5，则进一，小于5，则舍去。 （2）计算4.5÷0.14和6.04÷5.5：除数是小数的除法的计算方法，先把除数转化成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动相应的位数，再根据除数是整数的小数除法计算方法即可，最后商的小数点要和被除数移动后的小数点对齐。保留一位小数，看小数点后的第二个数，如果小数点后的第二个数大于或等于5，则进一，小于5，则舍去。保留两位小数时，看小数点后的第三个数，如果小数点后的第三个数大于或等于5，则进一，小于5，则舍去。 【规范解答】89.2÷45≈2             4.5÷0.14≈32.1            6.04÷5.5≈1.10          5.89÷16≈0.37              【变式训练】（25-26五年级上·全国·课后作业）海海喜欢把生活中的旧物收集起来，然后卖给废品收购站。海海上个月卖旧物得到了18.9元，这个月他又得到了28.7元。根据海海的话，请求出日记本的单价。 【答案】（18.9＋28.7）÷8＝5.95（元） 【思路引导】由题意，可先求出海海上个月和这个月卖旧物得到的总钱：18.9+28.7=47.6元，这些钱正好可以买8本笔记本，则可求日记本单价=总价÷数量。 【规范解答】（18.9+28.7）÷8 =47.6÷8 =5.95（元） 答：日记本的单价为5.95元。 高频考点讲练4：小数点向左移动引起小数大小变化的规律 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏·课后作业）在括号里填合适的数，再说说是怎样想的。 47.3÷（    ）＝0.473             10÷（    ）＝0.01 230.5÷（    ）＝0.2305            64.8÷（    ）＝6.48 【答案】100；1000 1000；10 理由见详解 【思路引导】一个数的小数点向右移动一位、两位、三位……，相当于扩大到原来的10倍、100倍、1000倍……（乘10、乘100、乘1000……） 一个数的小数点向左移动一位、两位、三位……，相当于缩小到原来的十分之一、百分之一、千分之一……（除以10、除以100、除以1000……） 【规范解答】由分析可知： 47.3÷100＝0.473             10÷1000＝0.01 230.5÷1000＝0.2305            64.8÷10＝6.48 答：47.3的小数点向左移动两位，也就是除以100，得到0.743； 10的小数点向左移动三位，也就是除以1000，得到0.01； 230.5的小数点向左移动三位，也就是除以1000，得到0.2305； 64.8的小数点向左移动一位，也就是除以10，得到6.48。 【变式训练】（24-25五年级上·江苏·课后作业）一辆汽车行驶115千米耗油10升。照这样计算，1000升油可供这辆汽东行驶多少千米？ 【答案】11500千米 【思路引导】根据题意，先用115÷10求得每升油可以行驶的路程，再乘1000，求1000升油可以行驶的路程，据此列式计算即可。 【规范解答】115÷10×1000 ＝11.5×100 ＝11500（千米） 答：1000升油可供这辆汽东行驶11500千米。 【考点剖析】本题也可以这样思考：先求得1000升油是10升油的100倍，也就是说1000升油可以行驶100个115千米。 高频考点讲练5：运用小数点移动解决小数的单位换算问题 【典例精讲】（24-25五年级上·广西防城港·期末）在括号里填上合适的数。 35厘米＝( )米    600毫升＝( )升     80000平方米＝( )公顷    3500公顷＝( )平方千米 【答案】 0.35 0.6 8 35 【思路引导】高级单位化低级单位，乘单位之间的进率；低级单位化高级单位，除以单位之间的进率。1米＝100厘米，1升＝1000毫升，1公顷＝10000平方米，1平方千米＝100公顷。据此解答。 【规范解答】35÷100＝0.35，则35厘米＝0.35米；     600÷1000＝0.6，则600毫升＝0.6升；     80000÷10000＝8，则80000平方米＝8公顷；     3500÷100＝35，则3500公顷＝35平方千米。 【变式训练】（24-25五年级上·江苏宿迁·期末） 80公顷＝( )平方千米     0.54公顷＝( )平方米 4时45分＝( )时         3升50毫升＝( )升 【答案】 0.8 5400 4.75 3.05 【思路引导】根据进率：1平方千米＝100公顷，1公顷＝10000平方米，1时＝60分，1升＝1000毫升；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【规范解答】（1）80÷100＝0.8（平方千米） 80公顷＝0.8平方千米 （2）0.54×10000＝5400（平方米） 0.54公顷＝5400平方米 （3）45÷60＝0.75（时） 4＋0.75＝4.75（时） 4时45分＝4.75时 （4）50÷1000＝0.05（升） 3＋0.05＝3.05（升） 3升50毫升＝3.05升 高频考点讲练6：与小数点移动相关的和差倍问题 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏·课后作业）已知甲、乙两个数的和是24.2，当甲数的小数点向左移动一位时正好等于乙数。甲、乙两数各是多少？ 【答案】甲数是22；乙数是2.2 【思路引导】当甲数的小数点向左移动一位时，甲数缩小到原来的，这时正好等于乙数，说明原来甲数是乙数的10倍。根据和倍问题“小数＝和÷（倍数＋1）”，用24.2除以（10＋1）即可求出乙数，用乙数乘10即可求出甲数。 【规范解答】通过分析可得：甲数是乙数的10倍。 乙数：24.2÷（10＋1） ＝24.2÷11 ＝2.2 甲数：2.2×10＝22 答：甲数是22，乙数是2.2。 【变式训练】（23-24五年级上·江苏·课后作业）甲、乙两数的和是16.5，甲数的小数点向右移动一位正好等于乙数。你知道甲、乙两数各是多少吗？ 【答案】甲数1.5，乙数15 【思路引导】根据题意，甲数的小数点向右移动一位正好等于乙数，说明乙数是甲数的10倍；可以把甲数看作1份，则乙数是10份，一共是（10＋1）份； 用甲、乙两数的和除以总份数，求出一份数，即是甲数；再用甲数乘10，求出乙数。 【规范解答】甲数： 16.5÷（10＋1） ＝16.5÷11 ＝1.5 乙数：1.5×10＝15 答：甲数是1.5，乙数是15。 高频考点讲练7：小数与小数的乘法的计算与应用 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·课后作业）小宇的爸爸用某App（应用程序）订购蔬菜水果。如果配送员的速度是15.5千米/时，需要0.8小时送达。 （1）配送地距离小宇家多少千米？ （2）如果配送员将速度提至18.5千米/时，30分钟内能送达吗？ 【答案】（1）15.5×0.8＝12.4（km） （2）30分＝0.5小时     18.5×0.5＝9.25（km） 12.4＞9.25     不能。 【思路引导】由题意知，配送员速度是15.5千米/时，时间是0.8小时，可求出路程=速度×时间；提速后的速度乘对应的时间可得到路程，与前面的距离比较即可。 【规范解答】（1）15.5×0.8=12.4（km） 答：配送地距离小宇家12.4km。 （2）30分=0.5小时 18.5×0.5=9.25（km） 12.4＞9.25 答：30分钟内不能送达。 【变式训练】（25-26五年级上·全国·课后作业）列竖式计算。 0.58×3.5＝        5.4×1.06＝        3.25×1.8＝        5.5×2.6＝ 【答案】2.03；5.724；5.85；14.3 【思路引导】小数乘小数：先按照整数乘法的法则求出积； 再看被乘数和乘数一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 【规范解答】 高频考点讲练8：积的小数位数与乘数小数位数的关系 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏·课后作业）根据28×115＝3220，直接写出下面各题的积。 0.28×115＝        28×0.115＝        2.8×1.15＝ 2.8×115＝        28×11.5＝        0.28×11.5＝ 【答案】32.2；3.22；3.22 322；322；3.22 【思路引导】由于题干给出28×115的积是3220，观察题目，两个乘数里都是数字28和115相乘，只是有的是小数；那么根据小数乘法的计算方法：按照整数乘法的计算方法计算，最后看两个乘数一共有几个小数位，有几个小数位，就从积的右边数出几位点上小数点即可；据此看每个算式两个乘数一共有几个小数位，那么就从3220的右边数出几位点上小数点即可。 【规范解答】由分析可知： 0.28×115＝32.2            28×0.115＝3.22     2.8×1.15＝3.22 2.8×115＝322              28×11.5＝322      0.28×11.5＝3.22 【变式训练】（23-24五年级上·广东东莞·期中）根据87×105＝9135，在括号里填上合适的数。 87×( )＝91.35        8.7×1.05＝( ) 9.135÷87＝( )        913.5÷0.87＝( ) 【答案】 1.05 9.135 0.105 1050 【思路引导】根据“积的小数位数等于所有因数的小数位数之和”，以及87×105＝9135，可知： 87×（  ）＝91.35，积91.35是两位小数，其中一个因数87是整数，则另一个因数是两位小数即1.05； 8.7×1.05＝（  ），因数8.7是一位小数，因数1.05是两位小数，则它们的积是三位小数即9.135； 把9.135÷87＝（  ）想成：（  ）×87＝9.135，积9.135是三位小数，其中一个因数87是整数，则另一个因数是三位小数即0.105； 把913.5÷0.87＝（  ）想成：（  ）×0.87＝913.5，积913.5是一位小数，其中一个因数0.87是两位小数，则另一个因数一定是整数且末尾有一个0即1050。 【规范解答】根据87×105＝9135，可得： 87×1.05＝91.35 8.7×1.05＝9.135 9.135÷87＝0.105 913.5÷0.87＝1050 高频考点讲练9：积的变化规律（小数乘法) 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏淮安·期中）已知234×15＝3510，那么：23.4×15＝( )，234×0.15＝( )，( )×15＝3.51。 【答案】 351 35.1 0.234 【思路引导】一个数除以10、100、1000……，只需把这个数的小数点向左移动一位、二位、三位……。 如果一个乘数不变，另一个乘数乘或除以几，（0除外），积就乘或除以相同的数。 一个乘数15不变，另一个乘数234的小数点向左移动一位，也就是234÷10，那么积也除以10。 一个乘数234不变，另一个乘数15的小数点向左移动二位，也就是15÷100，那么积也除以100。 一个乘数15不变，积的小数点向左移动三位，也就是积除以1000，另一个乘数234也要除以1000，就是将234的小数点向左移动三位。 【规范解答】3510÷10＝351 23.4×15＝351； 3510÷100＝35.1 234×0.15＝35.1； 234÷1000＝0.234 0.234×15＝3.51 【变式训练】（24-25五年级上·贵州贵阳·期中）两个因数的积是0.48，若一个因数不变，另一个因数缩小到原来的，那么积是( )。 【答案】0.048 【思路引导】根据积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）几。已知两个因数的积，一个因数不变，另一个因数缩小到原来的，即另一个因数除以10，那么积也要除以10，据此解答。 【规范解答】0.48÷10＝0.048 因此两个因数的积是0.48，若一个因数不变，另一个因数缩小到原来的，那么积是0.048。 高频考点讲练10：小数的连乘运算 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏·课后作业）用简便方法计算。 0.25×32×12.5        45.2×99＋45.2        0.85×99 6.4×3.7＋6.4×6.3        2.78×1.25×8        6.28＋13.75＋3.72 【答案】100；4520；84.15 64；27.8；23.75 【思路引导】0.25×32×12.5，把32化为4×8，原式化为：0.25×（4×8）×12.5，再根据乘法结合律，原式化为：（0.25×4）×（8×12.5），再进行计算； 45.2×99＋45.2，根据乘法分配律的逆运算，原式化为：45.2×（99＋1），再进行计算； 0.85×99，把99化为100－1，原式化为：0.85×（100－1），再根据乘法分配律，原式化为：0.85×100－0.85×1，再进行计算； 6.4×3.7＋6.4×6.3，根据乘法分配律的逆运算，原式化为：6.4×（3.7＋6.3），再进行计算； 2.78×1.25×8，根据乘法结合律，原式化为：2.78×（1.25×8），再进行计算； 6.28＋13.75＋3.72，根据加法交换律，原式化为：6.28＋3.72＋13.75，再进行计算。 【规范解答】0.25×32×12.5 ＝0.25×（4×8）×12.5 ＝（0.25×4）×（8×12.5） ＝1×100 ＝100 45.2×99＋45.2 ＝45.2×（99＋1） ＝45.2×100 ＝4520 0.85×99 ＝0.85×（100－1） ＝0.85×100－0.85×1 ＝85－0.85 ＝84.15 6.4×3.7＋6.4×6.3 ＝6.4×（3.7＋6.3） ＝6.4×10 ＝64 2.78×1.25×8 ＝2.78×（1.25×8） ＝2.78×10 ＝27.8 6.28＋13.75＋3.72 ＝6.28＋3.72＋13.75 ＝10＋13.75 ＝23.75 【变式训练】（24-25五年级上·江苏·课后作业）填空。 7.8×0.15＝( )×7.8        0.125×19×8＝( )×( )×19 4.25×99＝4.25×( )－4.25        205×3.2＝( )×3.2＋( )×3.2 【答案】 0.15 0.125 8 100 200 5 【思路引导】乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加；（a＋b）×c＝a×c＋b×c； 三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变，叫做乘法结合律；a×b×c＝a×（b×c）； 乘法交换律是一种计算定律，两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变，叫做乘法交换律；a×b＝b×a；据此解答。 【规范解答】7.8×0.15＝0.15×7.8 0.125×19×8＝0.125×8×19 4.25×99 ＝4.25×（100－1） ＝4.25×100－4.25×1 ＝4.25×100－4.25 4.25×99＝4.25×100－4.25 205×3.2 ＝（200＋5）×3.2 ＝200×3.2＋5×3.2 205×3.2＝200×3.2＋5×3.2 高频考点讲练11：因数和积的大小关系（小数乘法) 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏盐城·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 2.3÷0.6( )2.3      0.96×1.2( )1.2    4.56×0.1( )4.56÷10 【答案】 ＞ ＜ ＝ 【思路引导】一个数（0除外）除以一个小于1的数，商大于原数；据此解答第一空； 一个数（0除外）乘一个小于1的数，积小于原数；据此解答第二空； 分别计算出括号两边算式的结果，再比较大小，据此解答第三空。 【规范解答】因为0.6＜1，所以2.3÷0.6＞2.3 因为0.96＜，所以0.96×1.2＜1.2 因为4.56×0.1＝0.456，4.56÷10＝0.456，所以4.56×0.1＝4.56÷10 【变式训练】（24-25五年级上·江苏宿迁·期末）在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 7.2×0.9( )64.8          7.59÷0.99( )7.59       1.6÷0.25( )1.6×4         0.85( )0.85×0.87 【答案】 ＜ ＞ ＝ ＞ 【思路引导】计算出7.2×0.9的积，再进行大小比较即可； 一个不为0的数除以一个比1小的，所得的商比这个数要大； 计算出两个算式的结果，再进行大小比较即可； 一个不为0的数乘一个比1小的数，所得的积比这个数要小。 【规范解答】7.2×0.9＝6.48，因为6.48＜64.8，所以7.2×0.9＜64.8； 因为0.99＜1，所以7.59÷0.99＞7.59； 1.6÷0.25＝6.4，1.6×4＝6.4，因为6.4＝6.4，所以1.6÷0.25＝1.6×4； 因为0.87＜1，所以0.85＞0.85×0.87。 高频考点讲练12：利用小数与小数的乘法解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏·课后作业）下面是一块平行四边形菜地的示意图。如果把它分成一个三角形和一个梯形，三角形地里种茄子，梯形地里种辣椒。 （1）每棵茄子占地0.09平方米，一共可以种多少棵？ （2）种辣椒的地方有多少平方米？ 【答案】（1）450棵 （2）165平方米 【思路引导】（1）三角形的面积＝底×高÷2，据此先代入数据求出茄子地的面积，再除以0.09即可得到一共可以种多少棵茄子； （2）梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此代入数据计算即可得到辣椒地的面积。 【规范解答】（1）10.8×7.5÷2 ＝81÷2 ＝40.5（平方米） 40.5÷0.09＝450（棵） 答：一共可以种450棵。 （2）（16.6＋16.6＋10.8）×7.5÷2 ＝44×7.5÷2 ＝330÷2 ＝165（平方米） 答：种辣椒的地方有165平方米。 【变式训练】（25-26五年级上·全国·课后作业）某停车场的收费标准如下表所示。 时段 6：00—18：00 18：00—23：00 23：00—次日6：00 收费标准 2小时内（含2小时）5元，超过2小时的，超过部分每小时2.8元（不足半小时按半小时计算） 每小时1.7元（不足半小时按半小时计算） 每小时1.2元（不足半小时按半小时计算） （1）王师傅10：00驾车进入停车场，13：12驾车离开，需要付费多少元？ （2）李师傅21：00驾车进入停车场，第二天5：10驾车离开，需要付费多少元？ 【答案】（1）9.2元 （2）11.2元 【思路引导】（1）从10：00到13：12是3小时12分，2小时内（含2小时）都是5元，所以还剩下1小时12分，超过2小时的，超过部分不足半小时按半小时计算，所以1小时12分按照1.5小时计算。所以每小时的费用乘时间等于超过2小时的所需费用。总费用等于5元加上超过2小时的所需费用。 （2）从21：00到23：00是2小时,这2小时的时间按照每小时1.7元进行计算，从23：00到第二天5：10是6小时10分，这6小时10分按照6.5小时进行计算，并且每小时1.2元乘6.5小时得23：00到第二天5：10所需的费用。总费用等于这两个时段的费用的和。 【规范解答】（1）从10：00到13：12是3小时12分，按3.5小时计算。 5＋（3.5－2）×2.8＝9.2（元） 答：需要付费9.2元。 （2）从21：00到23：00是2小时，从23：00到第二天5：10是6小时10分，按6.5小时计算。 1.7×2＋1.2×6.5＝11.2（元） 答：需要付费11.2元。 高频考点讲练13：用“四舍五入”法求积的近似数 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏宿迁·期末）用竖式计算。（加☆的要验算，带△的保留两位小数） 3.9＋0.78＝      0.162－0.027＝       △0.32×0.48≈       ☆9.2÷0.23＝ 【答案】4.68；0.135；0.15；40 【思路引导】小数的加法和减法的法则：相同数位对齐（小数点对齐），从低位算起，按整数加减法的法则进行计算，结果中的小数点和相加减的数里的小数点对齐。 小数乘法的计算法则：小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。 除数是小数的小数除法法则：先看除数中有几位小数，就把被除数的小数点向右移动几位，数位不够的用零补足；然后按照除数是整数的小数除法来除 。 得数保留两位小数，看小数点后第三位是几，再根据四舍五入法进行保留即可。除法用商×除数＝被除数进行验算。 【规范解答】3.9＋0.78＝4.68     0.162－0.027＝0.135      △0.32×0.48≈0.15                         ☆9.2÷0.23＝40 验算： 【变式训练】（24-25五年级上·江苏·课后作业）据统计，汽车发动机每燃烧1千克汽油，要消耗15千克新鲜空气，同时排出150~200克的一氧化碳。南京到苏州的里程是233千米，如果一辆汽车每行驶100千米的耗油量为4.5千克。 （1）这辆汽车从南京到苏州耗油多少千克？（保留一位小数） （2）这辆汽车从南京到苏州要消耗多少千克新鲜空气？最少要排放多少千克一氧化碳？（保留一位小数） 【答案】（1）10.5千克； （2）157.3千克；1.6千克 【思路引导】（1）由题意知，南京到苏州的里程为233千米，每100千米耗油4.5千克，用233除以100即可算出耗油多少个4.5千克，再乘4.5即可，最后乘得的积保留一位小数； （2）因每燃烧1千克汽油，要消耗15千克新鲜空气，同时排出150~200克的一氧化碳，所以用一共的耗油量乘15，即可求出消耗多少新鲜空气；求最少要排放多少千克一氧化碳，需先将150克换算成0.15千克，再用一共的耗油量乘0.15即可。两个结果均保留一位小数。 【规范解答】（1）（233÷100）×4.5 ＝2.33×4.5 ≈10.5（千克） 答：这辆汽车从南京到苏州耗油10.5千克。 （2）（233÷100）×4.5 ＝2.33×4.5 ＝10.485（千克） 10.485×15≈157.3（千克） 10. 485×（150÷1000） ＝10.485×0.15 ≈1.6（千克） 答：这辆汽车从南京到苏州要消耗157.3千克新鲜空气，最少要排放1.6千克一氧化碳。 高频考点讲练14：除数是小数的小数除法的计算与应用 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·课后作业）湖北的黄鹤楼、湖南的岳阳楼和江西的滕王阁被人们誉为“江南三大名楼”。黄鹤楼的高度约为岳阳楼高度的多少倍？（得数保留整数） 【答案】51.4÷19.42≈3 【思路引导】根据 “倍数 = 黄鹤楼高度 ÷ 岳阳楼高度” 的关系，通过除法运算得出结果后，按 “四舍五入” 法保留整数。 【规范解答】51.4÷19.42≈3 答：黄鹤楼的高度约为岳阳楼高度的3倍。 【变式训练】（25-26五年级上·全国·课后作业）爸爸：“今天中午做什么菜呀？”妈妈：“酸菜鱼。看！这是我刚买的一条鱼和一包酸菜鱼料包。”爸爸：“这鱼真新鲜！”计算这条鱼每千克多少钱，并在需要用到的信息前面的里画“√”。 ①酸菜鱼料包每包14.5元 ②鱼重2.8kg ③买了一个购物袋0.5元 ④付了50元刚好用完 【答案】①    ②    ③    ④ 50－14.5－0.5＝35（元） 35÷2.8＝12.5（元） 【思路引导】买一条鱼、一个购物袋和一包酸菜鱼料包的总价一共是50元，已知酸菜鱼料包每包14.5元，一条鱼重2.8千克，用总价减去买酸菜鱼料包的用去的钱和买一个购物袋用去的钱，所得差即为买鱼用去的钱；最后用买鱼的总钱数除以鱼的重量，所得结果即为这条鱼每千克多少元。所以①②③④4条信息都需要用到。 【规范解答】 ① ② ③ ④ 买鱼钱： 鱼每千克多钱： 答：这条鱼每千克12.5元。 高频考点讲练15：被除数和商的大小关系（小数除法） 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·课后作业）下面各题的商哪些是小于1的？在括号里画“√”。 2.4÷3（    ）    8.64÷5（    ）  3.12÷3（    ）    11.7÷13（    ） 24.6÷6（    ）   7.7÷7（    ）  6.3÷3（    ）      5.2÷8（    ） 我发现：当被除数是小数、除数是整数时，被除数的整数部分小于除数，商（    ）1；被除数的整数部分大于或等于除数，商（    ）1。（填“大于”或“小于”） 【答案】（√）    （    ）    （    ）    （√） （    ）    （    ）    （    ）    （√） 小于；大于 【思路引导】判断小数除以整数时商是否小于1，核心在于比较被除数的整数部分与除数的大小：若被除数的整数部分小于除数，则商一定小于1；若被除数的整数部分大于或等于除数，则商一定大于1。 【规范解答】（1）2.4÷3：被除数整数部分2＜除数3，故商＜1。（√） （2）8.64÷5：被除数整数部分8＞除数，故商＞1。（   ） （3）3.12÷3：被除数整数部分3=除数3，故商＞1。（   ） （4）11.7÷13：被除数整数部分11＜除数13，故商＜1。（√） （5）24.6÷6：被除数整数部分24＞除数6，故商＞1。（   ） （6）7.7÷7：被除数整数部分7=除数7，故商＞1。（   ） （7）6.3÷3：被除数整数部分6＞除数3，故商＞1。（   ） （8）5.2÷8：被除数整数部分5＜除数8，故商＜1。（√） （9）我发现：当被除数是小数、除数是整数时，被除数的整数部分小于除数，商（ 小于）1；被除数的整数部分大于或等于除数，商（ 大于）1。 【变式训练】（24-25五年级上·江苏苏州·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 0.8( )0.80       9.6×0.47( )9.6       6.7÷3( )6.7÷0.8 8.94×4( )8.94÷0.25   1.02＋0.97( )0.97＋1.2  4.28×3.2( )42.8×0.32 【答案】 ＝ ＜ ＜ ＝ ＜ ＝ 【思路引导】（1）根据在一个小数的末尾添上0，不改变数的大小判断。 （2）一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数，据此解答。 （3）一个数（0除外）除以大于1的数，商小于这个数；一个数（0除外）除以小于1的数（0除外），商大于这个数。据此解答。 （4）根据小数的乘除法计算法则，计算出结果再比较大小。 （5）根据两个数相加，一个加数变大，和也变大，据此解答。 （6）根据积的变化规律，乘数乘几或除以几，积也相应乘几或除以几。可知，当一个乘数乘10，另一个乘数除以10，积不变。据此解答。 【规范解答】在一个小数的末尾添上0，不改变数的大小，所以0.8＝0.80 因为0.47＜1，所以9.6×0.47＜9.6 因为3＞1，6.7÷3＜6.7，又因为0.8＜1，6.7÷0.8＞6.7，所以6.7÷3＜6.7÷0.8 因为8.94×4＝35.76，8.94÷0.25＝35.76，所以8.94×4＝8.94÷0.25 因为1.02＜1.2，所以1.02＋0.97＜0.97＋1.2 ，所以4.28×3.2＝42.8×0.32 高频考点讲练16：小数的连除运算 【典例精讲】（24-25五年级上·贵州贵阳·期中）计算下面各题，怎样简便就怎样算。 10.5×2.5×0.4        6.8×5.7＋4.3×6.8 4.38÷0.25÷8        101×5.78－5.78 【答案】10.5；68 2.19；578 【思路引导】（1）先计算（2.5×0.4）所得积再与10.5相乘； （2）根据乘法分配律可进行简算； （3）根据除法的性质，4.38连续除以0.25和8，可以改写成4.38除以（0.25×8）的积； （4）把5.78写成（5.78×1）形式，再根据乘法分配律进行简算。 【规范解答】（1）10.5×2.5×0.4 ＝10.5×（2.5×0.4） ＝10.5×1 ＝10.5 （2）6.8×5.7＋4.3×6.8 ＝6.8×（5.7＋4.3） ＝6.8×10 ＝68 （3）4.38÷0.25÷8 ＝4.38÷（0.25×8） ＝4.38÷2 ＝2.19 （4）101×5.78－5.78 ＝101×5.78－5.78×1 ＝5.78×（101－1） ＝5.78×100 ＝578 【变式训练】（23-24五年级上·江苏·课后作业）用计算器算出下面每种食品1千克各是多少元。 你会用不同方法计算吗？ 【答案】第一种：20元；第二种：63.75元；第三种：42.5元；第四种：26.8元 【思路引导】1千克＝1000克；根据单价＝总价÷数量，分别计算出每种食品的每克的钱数，再乘1000，即可求出每千克各是多少元；或先把克换成千克，再根据总价÷数量，求出每千克多少元，据此解答。 【规范解答】方法一： 第一种食品： 3.2÷160×1000 ＝0.02×1000 ＝20（元） 第二种食品： 5.1÷80×1000 ＝0.06375×1000 ＝63.75（元） 第三种食品： 8.5÷200×1000 ＝0.0425×1000 ＝42.5（元） 第四种食品： 6.7÷250×1000 ＝0.0268×1000 ＝26.8（元） 方法一： 第一种食品： 3.2÷（160÷1000） ＝3.2÷0.16 ＝20（元） 第二种食品： 5.1÷（80÷1000） ＝5.1÷0.08 ＝63.75（元） 第三种食品： 8.5÷（200÷1000） ＝8.5÷0.2 ＝42.5（元） 第四种食品： 6.7÷（250÷1000） ＝6.7÷0.25 ＝26.8（元） 答：第一种食品1千克20元，第二种食品1千克63.75元，第三种食品1千克42.5元，第四种食品1千克26.8元。 高频考点讲练17：用“四舍五入”法求商的近似数 【典例精讲】（24-25五年级上·安徽六安·期末）列竖式计算。（得数保留两位小数） 5.08÷0.65       246.4÷13           17.8×0.63 【答案】7.82；18.95；11.21 【思路引导】小数乘法：先按照整数乘法求出积，再点小数点。因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点； 除数是小数的小数除法：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动几位，然后按照除数是整数的小数除法计算； 除数是整数的小数除法：先按照整数除法求出商，再点小数点。商的小数点要和被除数的小数点对齐。 要求得数保留两位小数，看第三位小数的大小，然后按照“四舍五入”法求出近似数。 【规范解答】5.08÷0.65≈7.82    246.4÷13≈18.95      17.8×0.63≈11.21        【变式训练】（24-25五年级上·江苏·单元测试）列竖式计算。 3.06×12＝      0.957÷4.65＝（得数保留两位小数） 6.92×0.84＝     26.35÷31＝（得数保留一位小数） 【答案】36.72；0.21 5.8128；0.9 【思路引导】小数乘小数列竖式计算的方法是先按照整数乘整数的计算方法算出乘积；点小数点时，看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点即可；积的小数位数如果不够，前面用0补位再点小数点；点完小数点后，积的小数部分末尾的0要去掉。 小数除法列竖式和整数除法竖式一样，关键是要利用商不变的性质，即除数与被除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，把除数的小数点去掉后，再按整数除法计算，最后商的小数点与被除数的小数点对齐就行。商的结果应用四舍五入法保留相应的位数，据此解答。 【规范解答】3.06×12＝36.72            0.957÷4.65≈0.21 6.92×0.84＝5.8128       26.35÷31≈0.9         高频考点讲练18：判定被除数的最大值和最小值 【典例精讲】（2022五年级上·江苏·专题练习）一个数除以1.8，商是一个两位小数，商保留一位小数是3.2。被除数最大是多少？ 【答案】5.832 【思路引导】根据“四舍五入”可知，商保留一位小数是3.2，这商最大3.24。再根据被除数＝商×除数，可求出被除数最大是多少。 【规范解答】商最大是3.24； 被除数最大是：3.24×1.8＝5.832 【变式训练】（20-21五年级上·江苏南通·期末）一个数除以2.4的商是两位小数，保留一位小数后的近似值是3.2。被除数最大是( )，最小是( )。 【答案】 7.776 7.56 【思路引导】要考虑3.2是一个两位小数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的3.2最大是3.24，“五入”得到的3.2最小是3.15，因为除数不变，当商最大时，被除数最大，商最小时，被除数最小，根据“商×除数＝被除数”分别求出即可。 【规范解答】3.24×2.4＝7.776 3.15×2.4＝7.56 则被除数最大是7.776，最小是7.56。 【考点剖析】取一个数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大，根据题的要求灵活掌握解答方法。 高频考点讲练19：循环小数的认识与简写 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·课后作业）列竖式计算，商是循环小数的用简便形式表示。 5.7÷9＝        69÷33＝        1.66÷0.15＝ 【答案】；； 【思路引导】小数的除法：当除数是小数时，‌先把除数和被除数小数点同时向右移动相同的几位（‌位数不够时补0）‌，使除数变成整数，然后按照除数是整数的除法进行计算；除数是整数的小数除法，可以按照整数除法的计算方法计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐。 【规范解答】        5.7÷9=      69÷33=        1.66÷0.15=        【变式训练】（24-25五年级上·江苏·课后作业）阳阳忘了给下面的四个小数加表示循环节的圆点了，请你帮帮他，使下面的式子成立。 7.8289＜7.8289＜7.8289＜7.8289 【答案】 【思路引导】小数大小的比较方法：如果两个小数的小数部分相同，首先比较它们的整数部分，整数部分较大的那个数整体较大；如果整数部分相同，则比较小数部分的第一位（十分位）。十分位上的数字较大的那个数整体较大，如果十分位相同，则比较百分位，百分位上的数字较大的那个数整体较大。以此类推，逐位比较，直到比较出大小； 循环小数的意义：一个小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数‌； 由于四个小数都是四位小数，故循环节有四种情况：“8289”“289”“89”“9”。小数部分前四位上的数字相同，则第五位上是“9”时最大，“8”时次之，两个“8”相同就要比较第六位上的数字； 故这四个循环小数的循环节从左到右分别是：289、8289、89、9，据此给这四个循环小数点循环点即可解答。 【规范解答】由分析可知： 高频考点讲练20：有限小数和无限小数的认识 【典例精讲】（22-23五年级上·江苏连云港·期末）下面说法中，正确的有（    ）句。 （1）一个数乘10，只要在它的后面添上一个“0”就可得到结果。 （2）将一张厚0.02厘米的卡纸对折三次，这时卡纸的总厚度是0.06厘米。 （3）无限小数不一定是循环小数。 （4）两个两位小数相乘，积可能是五位小数。 A．3 B．2 C．1 【答案】C 【思路引导】（1）根据小数点的移动与小数的大小变化可知：一个数乘10，即小数点向右移动1位，不一定就是在这个数的后面添上1个0；据此判断。 （2）卡纸对折3次，相当于8个厚度，据此判断； （3）循环小数指一个数的小数部分从某一位起一个或几个数字依次重复出现，会无限循环下去，即小数位数无限。无限小数是指小数位数无限，但是这些数不一定存在循环。据此判断。 （4）两个两位小数相乘，积最多只能是四位小数。据此判断。 【规范解答】（1）一个数乘10，要将小数点向右移动一位，不一定是在它的后面添上一个“0”。说法错误。 （2）将一张厚0.02厘米的卡纸对折三次，这时卡纸的总厚度是0.02×8＝0.16厘米。说法错误。 （3）无限小数不一定是循环小数。说法正确。 （4）两个两位小数相乘，积最多是四位小数，不可能是五位小数。说法错误。 只有1个说法正确。 故答案为：C 【考点剖析】本题考查小数点移动的规律、无限小数和循环小数的认识以及小数的乘法，要重点掌握。 【变式训练】（20-21五年级上·浙江衢州·期末）下列事件中能用“一定”描述的是（    ）。 A．小数比整数小 B．无限小数是循环小数 C．等腰三角形是锐角三角形 D．等边三角形是锐角三角形 【答案】D 【思路引导】根据学过的相关知识，逐项分析。 【规范解答】A．小数不一定比整数小，如2.5＞1； B．无限小数包括循环小数和无限不循环小数，则无限小数不一定是循环小数； C．等腰三角形的两个底角是锐角，但顶角可能是直角或钝角，所以等腰三角形不一定是锐角三角形； D．等边三角形的三个角都是60°，则等边三角形一定是锐角三角形。 故答案为：D 【考点剖析】本题考查了小数、无限小数、循环小数、等腰三角形和等边三角形的认识，需牢固掌握这些知识并熟练运用。 高频考点讲练21：用计算器探究规律 【典例精讲】（23-24五年级上·河南信阳·期中）小红用计算器计算下面的题目时，发现计算器只能算出前4道题的答案，后面的题目，你能根据前4题的答案，帮她写出后面题目的答案吗？ 81÷9＝9   88.2÷9＝9.8   88.83÷9＝9.87   88.884÷9＝9.876 88.8885÷9＝( )   88.88886÷9＝( )   88.888887÷9＝( ) 【答案】 9.8765 9.87654 9.876543 【思路引导】观察算式中被除数、除数和商总结规律：从第二个算式起，被除数的整数部分是88，小数部分为2、83、884…，小数部分依次增加一个位数，并且数字为8，末尾数字依次增加1；每个算式的除数都是9；商的整数部分都是9，小数部分为从8开始依次递减的自然数，小数部分的位数与被除数的小数位数相同；根据规律写出算式即可解答。 【规范解答】由分析可知： 88.8885÷9＝9.8765 88.88886÷9＝9.87654 88.888887÷9＝9.87653 【变式训练】（22-23五年级上·陕西延安·期中）用计算器计算前三题，先找出规律，再直接写出后五题的得数。 1.08÷0.9＝( ) 11.07÷0.9＝( ) 111.06÷0.9＝( ) 1111.05÷0.9＝( ) 11111.04÷0.9＝( ) ( )÷0.9＝123456.7 1111111.02÷0.9＝( ) ( )÷0.9＝( ) ①商中数字按自然数的顺序排列，并且商整数部分的位数( )被除数整数部分的位数。 ②商都是( )位小数。 ③被除数都是( )位小数。 ④被除数的整数部分各位上都是1，除数都是( )。 【答案】 1.2 12.3 123.4 1234.5 12345.6 111111.03 1234567.8 1111111.01 12345678.9 等于 一 两 0.9 【思路引导】根据题意，先用计算器计算前三题：1.08÷0.9＝1.2，11.07÷0.9＝12.3，111.06÷0.9＝123.4，然后找规律发现：被除数都是两位小数，并且被除数的整数部分各位上都是1，十分位上都是0，百分位上从8开始依次递减，除数都是0.9，商都是一位小数，并且商中数字按自然数的顺序排列，并且商整数部分的位数等于被除数整数部分的位数，据此即可填出所有的空。 【规范解答】由分析可知： 1.08÷0.9＝1.2 11.07÷0.9＝12.3 111.06÷0.9＝123.4 1111.05÷0.9＝1234.5 11111.04÷0.9＝12345.6 111111.03÷0.9＝123456.7 1111111.02÷0.9＝1234567.8 11111111.01÷0.9＝12345678.9 ①商中数字按自然数的顺序排列，并且商整数部分的位数等于被除数整数部分的位数。 ②商都是一位小数。 ③被除数都是两位小数。 ④被除数的整数部分各位上都是1，除数都是0.9。 【考点剖析】本题考查用计算器计算除数是小数的除法和找规律，注意观察除法算式中被除数和商变化的规律。 高频考点讲练22：用“进一法”解决问题 【典例精讲】（22-23五年级上·江苏泰州·期末）一种花生2.5千克可榨油0.75千克，照这样计算，榨18千克油，需要这样的花生( )千克。如果每个油壶可以装2.5千克油，装榨出的18千克油至少需准备( )个这样的油壶。 【答案】 60 8 【思路引导】用2.5千克可榨油的质量除以2.5，求出1千克花生可榨油的质量，再用18除以1千克花生可榨油的质量，就是榨18千克油，需要这样的花生的质量；由题意得，实际上是求18里面有几个2.5，根据求一个数里面有几个另一个数的方法，用除法解答即可。根据题意，此题应使用“进一法”保留整数。 【规范解答】18÷（0.75÷2.5） ＝18÷0.3 ＝60（千克） 18÷2.5＝7（个）……0.5（千克） 7＋1＝8（个） 所以榨18千克油，需要这样的花生60千克，装榨出的18千克油至少需准备8个这样的油壶。 【变式训练】（22-23五年级上·江苏徐州·期末）一种成人服装，每套用布2.2米，150米布可以做这样的服装( )套；每只桶可以装3升油，装7.5升油需要( )只桶。 【答案】 68 3 【思路引导】第一个空，最后无论剩下多少布，只要不够一套成人服装的用量，就无法做一套成人服装，布的长度÷每套成人服装用的长度，结果用去尾法保留近似数即可； 第二个空，最后无论剩下多少油，都得需要一只桶来装，油的总量÷每只桶装的量，结果用进一法保留近似数即可。 【规范解答】150÷2.5≈68（套） 7.5÷3≈3（只） 一种成人服装，每套用布2.2米，150米布可以做这样的服装68套；每只桶可以装3升油，装7.5升油需要3只桶。 高频考点讲练23：用“去尾法”解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏·课后作业）李老师要用100元买一些文具作为年级运动会的奖品。他先花45.6元买了8本相册，并准备用剩下的钱买一些笔，每支笔2.5元。还可以买几支同样的笔？ 【答案】21支 【思路引导】先求买笔的总钱数，再求买几支笔。用李老师带的100元减去买8本相册花去的45.6元，求出买笔花的钱数，再除笔的单价即可解答；解此题时要注意买了8本相册是多余条件，如果结果不够买整支的，要用“去尾法”对结果进行处理。 【规范解答】100－45.6＝54.4（元） 54.4÷2.5≈21（支） 答：还可以买21支同样的笔。 【变式训练】（24-25五年级上·江苏·课后作业）张阿姨到批发市场买毛巾，每条毛巾4.8元，用70元最多可以买这种毛巾多少条？ 【答案】14条 【思路引导】最后无论剩下多少钱，只要不够1条毛巾的钱数，就无法购买1条毛巾，总钱数÷毛巾单价，结果用去尾法保留近似数即可。 【规范解答】70÷4.8≈14（条） 答：用70元最多可以买这种毛巾14条。 高频考点讲练24：小数的乘、除法混合运算 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏·课后作业）一个三角形的底是4.5米，高是0.72米。与它面积相等的平行四边形的底是1.8米，这个平行四边形的高是多少米？ 【答案】0.9米 【思路引导】已知三角形的底和高，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出这个三角形的面积； 已知与三角形面积相等的平行四边形的底是1.8米，根据平行四边形的高＝面积÷底，据此求出这个平行四边形的高。 【规范解答】4.5×0.72÷2 ＝3.24÷2 ＝1.62（平方米） 1.62÷1.8＝0.9（米） 答：这个平行四边形的高是0.9米。 【变式训练】（24-25五年级上·江苏·课后作业）货架上有两种糖果，花生糖每袋200克，售价8.5元；水果糖每袋250克，售价6.85元。推算一下每千克花生糖多少元，每千克水果糖多少元？ 【答案】花生糖42.5元；水果糖27.4元 【思路引导】已知花生糖每袋200克，售价8.5元；水果糖每袋250克，售价6.85元；先根据“单价＝总价÷数量”，分别求出每克花生糖、每克水果糖的价钱，再乘1000，即是每千克花生糖的价钱、每千克水果糖的价钱。 【规范解答】1千克＝1000克 8.5÷200×1000 ＝0.0425×1000 ＝42.5（元） 6.85÷250×1000 ＝0.0274×1000 ＝27.4（元） 答：每千克花生糖42.5元，每千克水果糖27.4元。 高频考点讲练25：小数的四则运算及法则 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏无锡·期末）计算下面各题，能简算的要简算。 2.5×0.19×4                       7.02＋3.9＋2.98＋4.1 10.75÷2.5×101－4.3                 [5×（3.12＋4.08）]÷2.4 【答案】1.9；18 430；15 【思路引导】2.5×0.19×4，根据乘法交换律，原式化为：2.5×4×0.19，再进行计算。 7.02＋3.9＋2.98＋4.1，根据加法交换律，原式化为：7.02＋2.98＋3.9＋4.1，再根据加法结合律，原式化为：（7.02＋2.98）＋（3.9＋4.1），再进行计算。 10.75÷2.5×101－4.3，先计算除法，原式化为：4.3×101－4.3，再根据乘法分配律的逆运算，原式化为：4.3×（101－1），再进行计算。 [5×（3.12＋4.08）]÷2.4，先计算小括号里的加法，再计算中括号里的乘法，最后计算括号外的除法。 【规范解答】2.5×0.19×4 ＝2.5×4×0.19 ＝10×0.19 ＝1.9 7.02＋3.9＋2.98＋4.1 ＝7.02＋2.98＋3.9＋4.1 ＝（7.02＋2.98）＋（3.9＋4.1） ＝10＋8 ＝18 10.75÷2.5×101－4.3 ＝4.3×101－4.3 ＝4.3×（101－1） ＝4.3×100 ＝430 [5×（3.12＋4.08）]÷2.4 ＝[5×7.2]÷2.4 ＝36÷2.4 ＝15 【变式训练】（24-25五年级上·广西防城港·期末）下面各题，怎样算简便就怎样算。 5.52＋0.55＋0.45          1.16×7.3－0.16×7.3 2.5×0.96×4              【答案】6.52；7.3； 9.6；0.8 【思路引导】第一个：根据加法结合律即可简便运算； 第二个：根据乘法分配律的逆运算，原式变为：（1.16－0.16）×7.3即可简便运算； 第三个：根据乘法交换律，原式变为2.5×4×0.96即可简便运算； 第四个：根据运算顺序，先算小括号里的加法，再算中括号里的除法，最后算括号外的除法。 【规范解答】 ＝5.52＋（0.55＋0.45） ＝5.52＋1 ＝6.52 ＝（1.16－0.16）×7.3 ＝1×7.3 ＝7.3 ＝2.5×4×0.96 ＝10×0.96 ＝9.6 ＝6.4÷[6.4÷0.8] ＝6.4÷8 ＝0.8 高频考点讲练26：整数乘法运算定律推广到小数乘法 【典例精讲】24-25五年级上·江苏宿迁·期末）计算下面各题，你认为怎样简便就怎样算。 27.87－7.99－0.01     58.3×101－58.3      1.25×3.2×25 3.53×4.5－0.53×4.5     4.2×1.01         13÷2.5÷0.4 【答案】19.87；5830；100； 13.5；4.242；13 【思路引导】（1）根据减法的运算性质，一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和，把原式变为27.87－（7.99＋0.01），据此进行简便运算。 （2）把58.3转化为，即58.3×101－58.3×1，再根据乘法分配律，把原式变为58.3×（101－1），进行简便运算。 （3）把3.2转化为，即1.25×8×0.4×25，再根据乘法交换律和乘法结合律，把原式变为（1.25×8）×（0.4×25），进行简便运算。 （4）根据乘法分配律，把原式变为（3.53－0.53）×4.5，进行简便运算。 （5）把1.01转化为，即4.2×（1＋0.01），再根据乘法分配律，把原式变为4.2×1＋4.2×0.01，进行简便运算。 （6）根据除法的运算性质，一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积，把原式变为13÷（2.5×0.4），据此进行简便运算。 【规范解答】27.87－7.99－0.01 ＝27.87－（7.99＋0.01） ＝27.87－8 ＝19.87 58.3×101－58.3 ＝58.3×101－58.3×1 ＝58.3×（101－1） ＝58.3×100 ＝5830 1.25×3.2×25 ＝1.25×8×0.4×25 ＝（1.25×8）×（0.4×25） ＝10×10 ＝100 3.53×4.5－0.53×4.5 ＝（3.53－0.53）×4.5 ＝3×4.5 ＝13.5 4.2×1.01 ＝4.2×（1＋0.01） ＝4.2×1＋4.2×0.01 ＝4.2＋0.042 ＝4.242 13÷2.5÷0.4 ＝13÷（2.5×0.4） ＝13÷1 ＝13 【变式训练】（24-25五年级上·江苏徐州·期末）计算下面各题，能简算的要简算。 12.5×11×8        37.8×0.45＋6.22×4.5 19.87－（13.87＋5.98）     【答案】1100；45 0.02；1.956 【思路引导】12.5×11×8，利用乘法交换律，先算12.5×8，再与11相乘； 37.8×0.45＋6.22×4.5，将37.8×0.45转化成3.78×4.5，逆用乘法分配律，先算（3.78＋6.22），再与4.5相乘； 19.87－（13.87＋5.98），去括号，括号里的加号变减号，再从左往右计算； ，先算加法，再算乘法，最后算除法。 【规范解答】12.5×11×8 ＝12.5×8×11 ＝100×11 ＝1100 37.8×0.45＋6.22×4.5 ＝3.78×4.5＋6.22×4.5 ＝（3.78＋6.22）×4.5 ＝10×4.5 ＝45 19.87－（13.87＋5.98） ＝19.87－13.87－5.98 ＝6－5.98 ＝0.02 高频考点讲练27：运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏·课后作业）简便运算。 999.9＋99.9＋9.9＋0.9            2.4×3.7＋0.024×620＋0.24 【答案】1110.6；24 【思路引导】观察题中的加数，发现它们与整数1000、100、10、1都相差0.1，可以先将它们看作1000、100、10、1来加，然后再将多加的4个0.1减去。 根据积不变的规律，先把0.024×620转化成2.4×6.2，再把0.24转化成2.4×0.1，然后利用乘法分配律进行简算。 【规范解答】999.9＋99.9＋9.9＋0.9 ＝1000＋100＋10＋1－0.1×4 ＝1111－0.4 ＝1110.6 2.4×3.7＋0.024×620＋0.24 ＝2.4×3.7＋2.4×6.2＋2.4×0.1 ＝2.4×（3.7＋6.2＋0.1） ＝2.4×10 ＝24 【变式训练】（23-24五年级上·重庆垫江·期末）计算下面各题，能简算的要简算。 79－3.6－16.4    36÷[5.7－（9.2－5.9）]   1.25×48.6×0.8 10.1×46        15.8－15.8÷（10－2.1）   7.3×[15－（12.6＋1.6）] 【答案】59；15；48.6 464.6；13.8；5.84 【思路引导】（1）根据减法的性质a－b－c＝a－（b＋c）进行简算； （2）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的减法，最后算中括号外面的除法； （3）根据乘法交换律a×b＝b×a进行简算； （4）先把10.1拆成10＋0.1，然后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （5）先算括号里面的减法，再算括号外面的除法，最后算括号外面的减法； （6）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的减法，最后算中括号外面的乘法。 【规范解答】（1）79－3.6－16.4 ＝79－（3.6＋16.4） ＝79－20 ＝59 （2）36÷[5.7－（9.2－5.9）] ＝36÷[5.7－3.3] ＝36÷2.4 ＝15 （3）1.25×48.6×0.8 ＝1.25×0.8×48.6 ＝1×48.6 ＝48.6 （4）10.1×46 ＝（10＋0.1）×46 ＝10×46＋0.1×46 ＝460＋4.6 ＝464.6 （5）15.8－15.8÷（10－2.1） ＝15.8－15.8÷7.9 ＝15.8－2 ＝13.8 （6）7.3×[15－（12.6＋1.6）] ＝7.3×[15－14.2] ＝7.3×0.8 ＝5.84 高频考点讲练28：小数除法相关的简便计算 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏·课后作业）计算下列各题。 8.75－1.47－0.23          88×0.25×9 3.68÷0.5÷0.2         1.01÷[0.8×（12.5＋0.125）] 【答案】7.05；198 36.8；0.1 【思路引导】根据减法的性质：减去一个数，再减去一个数，等于减去这两个数的和，据此把原式变为8.75－（1.47＋0.23）简算； 先把88拆成8×11，再根据乘法交换律和结合律把原式变为：（8×0.25）×（11×9）简算； 根据除法的性质：一个数除以一个数，再除以一个数，等于除以这两个数的积，把原式变为3.68÷（0.5×0.2）简算； 现根据乘法分配律：a×（b＋c）＝ab＋ac，把中括号的算式变为0.8×12.5＋0.8×0.125，计算出0.8×12.5＋0.8×0.125的结果，再计算中括号外的除法。 【规范解答】8.75－1.47－0.23 ＝8.75－（1.47＋0.23） ＝8.75－1.7 ＝7.05 88×0.25×9 ＝8×11×0.25×9 ＝（8×0.25）×（11×9） ＝2×99 ＝198 3.68÷0.5÷0.2 ＝3.68÷（0.5×0.2） ＝3.68÷0.1 ＝36.8 1.01÷[0.8×（12.5＋0.125）] ＝1.01÷[0.8×12.5＋0.8×0.125）] ＝1.01÷[10＋0.1] ＝1.01÷10.1 ＝0.1 【变式训练】（24-25五年级上·江苏·课后作业）先算一算，再比一比。 0.72÷0.8÷0.6        5.4÷0.25÷0.4        6.9÷0.2÷5 0.72÷（0.8×0.6）        5.4÷（0.25×0.4）        6.9÷（0.2×5） 【答案】1.5；54；6.9 1.5；54；6.9 每组中上下两个算式结果相等，即一个数连续除以两个数，等于一个数除以这两个数的积。 【思路引导】0.72÷0.8÷0.6，按照运算顺序，进行计算； 0.72÷（0.8×0.6），先计算括号里的乘法，再计算括号外的除法； 5.4÷0.25÷0.4，按照运算顺序，进行计算； 5.4÷（0.25×0.4），先计算括号里的乘法，再计算括号外的除法； 6.9÷0.2÷5，按照运算顺序，进行计算； 6.9÷（0.2×5），先计算括号里的乘法，再计算括号外的除法。 再进行比较，说出比较好的发现，进而解答。 【规范解答】0.72÷0.8÷0.6 ＝0.9÷0.6 ＝1.5 0.72÷（0.8×0.6） ＝0.72÷0.48 ＝1.5 5.4÷0.25÷0.4 ＝21.6÷0.4 ＝54 5.4÷（0.25×0.4） ＝5.4÷0.1 ＝54 6.9÷0.2÷5 ＝34.5÷5 ＝6.9 6.9÷（0.2×5） ＝6.9÷1 ＝6.9 每组中上下两个算式结果相等，即一个数连续除以两个数，等于一个数除以这两个数的积。 高频考点讲练29：利用小数四则混合运算解决问题 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏·单元测试）下面是男子110米栏比赛的赛道示意图。 第一栏到第十栏每相邻两栏的距离相等。每相邻两栏的距离是多少米？ 【答案】9.14米 【思路引导】根据题意和图意，先用110米减去起点到第一栏的距离、再减去第十栏到终点的距离，求出第一栏与第十栏的距离；第一栏与第十栏之间有（10－1）个间隔，用第一栏与第十栏的距离除以间隔数，即是每相邻两栏的距离。 【规范解答】（110－13.72－14.02）÷（10－1） ＝82.26÷9 ＝9.14（米） 答：每相邻两栏的距离是9.14米。 【变式训练】（23-24五年级上·福建宁德·期末）“双11”超市在搞促销活动：一次性购买毛巾不超过5条，每条8.9元；超过5条的，超过的部分，每条只要7.6元。小宁的妈妈买了一些毛巾，共花费74.9元。她一共买了多少条毛巾？ 【答案】9条 【思路引导】一次性购买毛巾不超过5条，每条8.9元，根据乘法的意义，5条需要5×8.9＝44.5（元），则74.9元中的74.9－44.5＝30.4（元）是超过5条后的购买的毛巾花的钱，又超过5条的，超过的每条只要7.6元，所以超过5条的数量是（30.4÷7.6）条，则她一共买了5＋（74.9－44.5）÷7.6条毛巾。 【规范解答】74.9－5×8.9 ＝74.9－44.5 ＝30.4（元） 30.4÷7.6＝4（条） 4＋5＝9（条） 答：她一共买了9条毛巾。 高频考点讲练30：分段计费问题（小数乘法) 【典例精讲】（24-25六年级下·江苏南京·期末）某市出租车按下表的方法计费（不足1千米按1千米计算）。 行驶路程 收费标准 3千米及以内 10元 超过3千米的部分 每千米2.5元 (1)小芳和爸爸、妈妈三人坐一辆出租车看望奶奶，出租车行驶了a千米。 如果a≤3，需要付( )元。 (2)如果a＝7.8，需要付多少元？下面符合题中数量关系的是图（    ）。 A． B． C． D． (3)小芳和爸爸、妈妈三人从家出发坐一辆出租车看望外婆，一共付车费40元。小芳家到外婆家最多相距多少千米？ 【答案】(1)10 (2)D (3)15千米 【思路引导】（1）因为出租车行驶路程a≤3千米时，收费标准是固定的 10 元，所以需要付 10 元。 （2）不足1千米按1千米算，把7.8千米看作8千米，需要付的钱数＝3千米以内的收费10元＋超过3千米的收费，8千米超过3千米的千米数为8－3＝5千米，用5×2.5列式求出超过3千米的收费，再加上10元就是a＝7.8时，需要付的费用，据此可知图中应有1段表示10元，5小段表示2.5元，据此逐项判断。 （3）40元＞10元，所以乘坐出租车的路程超过了3千米，用一共付的40元减去3千米以内的收费10元，求出超过千米的费用，再除以2.5求出超过3千米多少千米，再加上3千米就是小芳家到外婆家最多相距多少千米。 【规范解答】（1）由分析可知，如果a≤3，需要付10元。 （2）7.8千米看作8千米： 10＋（8－3）×2.5 ＝10＋5×2.5 ＝10＋12.5 ＝22.5（元） A．图中表示的是先有10元，后面有8个 2.5元，不符合先收了3千米内的10元，再收超过3千米部分（5千米）的费用； B．图表示有8个2.5元，即超过3千米8千米，这与先收了3千米内的10元，再收超过3千米部分（5千米）的费用不符合，所以该选项错误； C．表示先收了3千米以内的10元，又收了超过3千米1千米的钱，不符合题中的数量关系； D．图中表示的是先有10元，后面有5个2.5元，符合先收了3千米内的10元，再收超过3千米部分（5千米）的费用。 故答案为：D （3）（40－10）÷2.5＋3 ＝30÷2.5＋3 ＝12＋3 ＝15（千米） 答：小芳家到外婆家最多相距15千米。 【变式训练】（24-25五年级上·江苏徐州·期末）代驾是指车主不能自行开车到达目的地时，有专业驾驶人员驾驶车主的车，将其送到指定地点，并收取一定费用的行为，某平台日常代驾计费标准如下表： 行驶里程 8千米以内 超过8千米部分 7：00~21：59 35元 3.5元/千米 22：00~次日6：59 50元 4.5元/千米 说明：行驶里程不足1千米，按1千米计算。 （1）王阿姨在公司工作到21：00，在该平台预约了代驾服务回家，从公司到家共行驶了13.5千米，需要支付多少元代驾费？ （2）李叔叔在饭店参加聚会，22：30聚会结束，他在该平台预约了代驾服务，服务结束后，李叔叔支付了99.5元代驾费。这次代驾服务的行驶里程最多是多少千米？ 【答案】（1）56元 （2）19千米 【思路引导】（1）王阿姨21：00叫代驾，按8千米以内35元，超过8千米部分3.5元/千米进行计费， 行驶里程不足1千米，按1千米计算，13.5千米按14千米计费。先求出超过8千米的部分，乘对应收费标准，再加上8千米以内的费用即可。 （2）李叔叔22：30叫代驾，按8千米以内50元，超过8千米部分4.5元/千米进行计费，代驾费－50元＝超出8千米的费用，超出8千米的费用÷对应收费标准＝超出8千米的距离，再加上8千米即可。 【规范解答】（1）13.5千米≈14千米 （14－8）×3.5＋35 ＝6×3.5＋35 ＝21＋35 ＝56（元） 答：需要支付56元代驾费。 （2）（99.5－50）÷4.5＋8 ＝49.5÷4.5＋8 ＝11＋8 ＝19（千米） 答：这次代驾服务的行驶里程最多是19千米。 高频考点讲练31：分段计费问题（小数除法) 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏宿迁·期末）某城市出租车的计费标准是：3千米以内（含3千米）收费9元，超过3千米的部分，每千米收费1.4元。 （1）王叔叔从家到单位有8千米，坐出租车需要付多少钱？ （2）李阿姨坐出租车付费18.8元，李阿姨家到商场最多有多少千米？ 【答案】（1）16元 （2）10千米 【思路引导】（1）王叔叔乘出租车从家到单位有8千米，8千米＞3千米，所以分成两段收费： 第一段，行驶3千米，收费9元； 第二段，行驶超过3千米的部分，单价1.4元，路程（8－3）千米，根据“单价×数量＝总价”，求出这一段路程的费用； 最后把这两段的车费相加，即是坐出租车需要付的车费。 （2）李阿姨坐出租车付费18.8元，18.8元＞9元，所以分成两段收费： 第一段，行驶3千米，收费9元； 第二段，行驶超过3千米的部分，单价1.4元，收费（18.8－9）元，根据“总价÷单价＝数量”，求出这一段的路程； 最后把两段的路程相加，即是李阿姨坐出租车从家到商场最多的路程。 【规范解答】（1）9＋1.4×（8－3） ＝9＋1.4×5 ＝9＋7 ＝16（元） 答：坐出租车需要付16元。 （2）3＋（18.8－9）÷1.4 ＝3＋9.8÷1.4 ＝3＋7 ＝10（千米） 答：李阿姨家到商场最多有10千米。 【变式训练】（24-25五年级上·江苏·课后作业）为鼓励居民节约用电，某市电力公司的电费计算方法规定如下：若每月用电量不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；若每月用电量超过100千瓦时，超过部分按每千瓦时0.6元收费。王平家十月份缴电费71.2元，他家这个月用电多少千瓦时？ 【答案】132千瓦时 【思路引导】由71.2元可知，王平家十月份用电超过100千瓦时，可用计算不超过100千瓦时的总价，再用71.2减去不超过100千瓦时的总价，得到超过100千瓦时的总价，再用超过100千瓦时的总价除以0.6，得到超过100千瓦时的电量，最后用100加超过100千瓦时的电量，即可得解。 【规范解答】 （千瓦时） 答：他家这个月用电132千瓦时。 【演练1】（2024·江苏无锡·小升初真题）张叔叔在一家快递公司邮寄一些物品，收费标准如下：不超过1千克的物品需要付8元，以后每增加1千克（不足1千克按1千克计算）需要增加邮寄费6.5元。张叔叔一共付费79.5元，他邮寄的物品最多重（    ）。 A．11千克 B．11.9千克 C．12千克 D．13千克 【答案】C 【思路引导】已知不超过1千克需付8元，张叔叔一共付费79.5元，那么超出1千克部分的费用为：79.5－8＝71.5元；因为每增加1千克（不足1千克按1千克计算）需增加邮费6.5元，所以超出1千克部分的重量为：71.5÷6.5＝11千克；最后物品总重量＝基础的1千克＋超出1千克部分的重量，即1＋11＝12千克。 【规范解答】（79.5－8）÷6.5 ＝71.5÷6.5 ＝11（千克） 11＋1＝12（千克） 所以他邮寄的物品最多重12千克。 故答案为：C 【演练2】（2024·江苏泰州·小升初真题）周末爸爸带小明去超市购物，他们买了2大包餐巾纸，每包34.5元，他们还想买一瓶单价为43.9元的洗发水，100元钱够不够？下列估算方法（    ）最适合解决这个问题。 A．全部估小：30×2＋40＝100（元），所以不够。 B．全部估大：40×2＋50＝130（元），所以不够。 C．一个估大，一个估小：30×2＋50＝110（元），所以不够。 D．计算：2×34.5＋43.9＝112.9，所以不够。 【答案】A 【思路引导】将单价全部估小，如果估计总价大于或等于100元，则实际的总价比100元还要多，如果估计总价小于100元，则实际的总价小于100元；如果全部估大，得出的估计总价大于或等于100元，实际的总价也不能保证大于100元，得出的估计总价小于100元，实际的总价小于100元；如果一个估小，一个估大，也不能判断原来总价比100元多还是少。据此逐项分析。 【规范解答】A．如果全部估小，总价恰好是100元，则实际的总价比100元还要多，所以不够，估算合理； B．如果全部估大，总价是130元，得出的估计总价大于100元，实际的总价也不能保证大于100元，所以不合理； C．如果一个估小，一个估大，得出的估计总价大于100元，实际的总价也不能保证大于100元，所以不合理； D．2×34.5＋43.9＝112.9，因为题干要求估算，所以本选项不合理。 故答案为：A 【演练3】（2024·江苏泰州·小升初真题）据《三国志》记战，三国名将关羽“身长九尺”，特别高大威武。其中的“尺”是一个古代的长度单位。在现代，1尺≈33.33厘米，有趣的是，在不同的历史时期，“1尺”的标准是不同的（如表）。联系实际，想一想，朝代( )的标准最可能是三国时期“1尺”的标准。 朝代①：1尺≈16.95厘米 朝代②：1尺≈24.2厘米 朝代③：1尺≈29.6厘米 朝代④：1尺≈31.68厘米 【答案】② 【思路引导】分析题目，成年男子的身高大概在170厘米到190厘米之间，据此用9分别乘每个朝代1尺对应的厘米数，再根据计算出的身高判断即可。 【规范解答】朝代①：9×16.95＝152.55（厘米） 朝代②：9×24.2＝217.8（厘米） 朝代③：9×29.6＝266.4（厘米） 朝代④：9×31.68＝285.12（厘米） 因为三国名将关羽“身长九尺”，特别高大威武，所以他的身高不可能是152.55厘米，而266.6厘米和285.12厘米又太高，不符合实际情况，所以他的身高可能是217.8厘米。 填空如下： 朝代（②）的标准最可能是三国时期“1尺”的标准。 【演练4】（2021·江苏南通·小升初真题）司机要将一批材料从540千米外的工厂拉回商场。早上9：00他从工厂出发，中午11：30时距离商场还有390千米。照这样的速度，下午2：30时距离商场还有多少千米？ 【答案】210千米 【思路引导】早上9：00他从工厂出发，中午11：30，经过了11时30分－9时＝2时30分的时间，行驶了540－390＝150（千米），根据路程÷时间＝速度，先求出行驶的速度；再求出中午11：30到下午2：30所经过的时间，根据速度×时间＝路程，求出这段时间所经过的路程；最后用390减去中午11：30时到下午2：30时行驶的路程，即可求出距离商场还有多少千米。 【规范解答】11时30分－9时＝2时30分＝2.5时 （540－390）÷2.5 ＝150÷2.5 ＝60（千米/时） 下午2：30＝14：30 14时30分－11时30分＝3时 60×3＝180（千米） 390－180＝210（千米） 答：下午2：30时距离商场还有210千米。 【考点剖析】本题主要考查速度、时间、路程三者之间关系，根据三者的关系进行解答。 【演练5】（2022·江苏无锡·小升初真题）戴口罩仍然是防控新冠肺炎的有效手段之一。健康药房上个月售出了N95口罩360盒，售出的普通口罩比N95口罩的2.5倍还多了60盒。上个月售出了普通口罩多少盒？ 【答案】960盒 【思路引导】根据题意，用上个月售出N95口罩的盒数乘2.5，再加上60盒，即可求出上个月售出了普通口罩多少盒。 【规范解答】360×2.5＋60 ＝900＋60 ＝960（盒） 答：上个月售出了普通口罩960盒。 【考点剖析】熟练掌握小数与整数乘法的计算方法，是解答此题的关键。 基础夯实 能力提升 1．（23-24五年级上·江苏·期末）在8.91÷a中（a≠0），当a（    ）1，所得的商大于8.91。 A．大于 B．小于 C．等于 【答案】B 【思路引导】一个数（0除外）除以大于1的数，商比原来的数小； 一个数（0除外）除以小于1的数，商比原来的数大； 一个数（0除外）除以1，商等于原来的数。 【规范解答】当a＞1时，8.91÷a＜8.91； 当a＜1时，8.91÷a＞8.91； 当a＝1时，8.91÷a＝8.91； 所以，在8.91÷a中（a≠0），当a小于1，所得的商大于8.91。 故答案为：B 2．（24-25五年级上·江苏·课后作业）买5块同样的香皂用去27.5元，每块香皂5.5元。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】总价÷数量＝单价，已知购买香皂的总价是27.5元，数量是5块，所以列式：27.5÷5，求出每块香皂的单价，即可判断。 【规范解答】27.5÷5＝5.5（元） 所以，每块香皂的单价是5.5元。原题表述正确。 故答案为：√ 3．（23-24五年级上·江苏扬州·期末）用递等式计算，能简算的要简算。 0.125×32×0.25      2.9＋6.68＋7.1＋3.32        （0.74＋0.26）÷0.8 6.48÷[（1.4－0.8）×0.9]       9.8×10.1        9.37－4.8＋0.63 【答案】1；20；1.25 12；98.98；5.2 【思路引导】把32拆成8×4，利用乘法结合律，（0.125×8）和（4×0.25）凑整简便计算； 用加法交换律和结合律，把2.9与7.1、6.68与3.32分别结合，凑整求和； 先算小括号里加法得1，再算除法1÷0.8； 先算小括号减法得0.6，再算中括号乘法0.6×0.9，最后算括号外除法； 把10.1拆成10＋0.1，用乘法分配律a×（b＋c）＝a×b＋a×c，分别计算9.8×10和9.8×0.1，再相加； 连同数字前面的符号一起交换数字位置，先算9.37＋0.63凑整，再算减法。 【规范解答】0.125×32×0.25 ＝0.125×（8×4）×0.25 ＝（0.125×8）×（4×0.25） ＝1×1 ＝1 2.9＋6.68＋7.1＋3.32 ＝（2.9＋7.1）＋（6.68＋3.32） ＝10＋10 ＝20 （0.74＋0.26）÷0.8 ＝1÷0.8 ＝1.25 6.48÷[（1.4－0.8）×0.9] ＝6.48÷[0.6×0.9] ＝6.48÷0.54 ＝12 9.8×10.1 ＝9.8×（10＋0.1） ＝9.8×10＋9.8×0.1 ＝98＋0.98 ＝98.98 9.37－4.8＋0.63 ＝9.37＋0.63－4.8 ＝10－4.8 ＝5.2 4．（25-26五年级上·全国·课后作业）“阅兵”包括“阅兵式”和“分列式”。在“分列式”中，受检阅的距离就是天安门前东西两个华表之间相隔的96m，走这段距离的要求如下：士兵每步长必须为0.75m，总用时为68秒。士兵在这段距离中，走一步大约需要多少秒？（得数保留两位小数） 【答案】68÷（96÷0.75）≈0.53（秒） 【思路引导】先根据“总路程÷每步长=步数”求出士兵在受检阅的这段距离中总共要走的步数，再用总时长除以总步数计算出走一步的时长。根据“四舍五入”法保留两位小数即可。 【规范解答】 答：走一步大约需要0.53秒。 5．（25-26五年级上·全国·课后作业）妈妈拿了一个容量为15L的桶去楼下接水。接水前显示卡内余额为46.8元，接了9L水后，显示卡内余额为44.1元。 (1)接1L水需要多少元？ (2)你还能提出其他数学问题并解答吗？ 【答案】(1)（46.8－44.1）÷9＝0.3（元） (2)示例：接满这桶水，卡内还剩多少元？ 46.8－15×0.3＝42.3（元） 【思路引导】（1）由题意知，接水前余额为46.8元，接水后余额为44.1元，两次余额相减即可求出9L对应花的总钱，然后求1L水的单价=总价÷数量； （2）开放性提问，只要符合题意即可。 【规范解答】（1）（46.8-44.1）÷9           =2.7÷9           =0.3（元 ） 答：接1L水需要0.3元。 （2）接满这桶水，卡内还剩多少元？       46.8-15×0.3     =46.8-4.5    =42.3（元） 答：接满这桶水，卡内还剩42.3元。 创新拓展 拔尖冲刺 1．（24-25五年级上·贵州毕节·期末）根据乘法算式，下列算式正确的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【思路引导】根据积的变化规律，两数相乘，一个因数除以几，积除以几，另一个因数除以几，积再跟着除以几，由此可以推导出小数乘法的计算法则：（1）按整数乘法的法则先求出积；（2）看因数中一个有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点，据此分析。 【规范解答】根据乘法算式，可得： A．，选项算式错误； B．，正确； C．，选项算式错误。 算式正确的是。 故答案为：B 2．（25-26五年级上·全国·课后作业）在括号里填上“＞”或“＜”。 ( )3.666  3.15( )  ( )9.443  ( )0.3 1.413( )  ( )4.3  6.87( )   ( ) 【答案】 ＞ ＜ ＞ ＞ ＜ ＜ ＞ ＜ 【思路引导】（1）根据循环小数的定义：从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断重复出现的小数叫作循环小数； （2）比较两个小数的大小：先看它们的整数部分，整数大的那个数就大，如果整数部分相同，十分位大的那个数就大，如果十分位上的那个数也相同，百分位上大的那个数就大，依次类推对几个数进行判断即可； （3）有限小数和无限小数，当有限小数的小数位和无限小数的循环节相同，那么无限小数大于有限小数，据此即可比较。 【规范解答】 （＞）3.666 3.15（＜） （＞）9.443 （＞）0.3 1.413（＜） （＜）4.3 6.87（＞） （＜） 3．（24-25五年级上·贵州毕节·期末）一位小数乘两位小数的积可能是一位小数。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】计算小数乘法时，因数中一共有几位小数就从积的右边起数出几位点上小数点，最后把小数部分末尾的0去掉；如果积的小数部分末尾有0，那么积的小数位数小于两个因数的小数位数和；如果积的小数部分末尾不是0，那么积的小数位数等于两个因数的小数位数和，举例说明即可。 【规范解答】一位小数乘两位小数的积可能是一位小数，说法正确，比如0.4×0.25＝0.1。 故答案为：√ 4．（23-24五年级上·江苏扬州·期末）竖式计算，打★的要验算。 3.4＋6.56＝         2.05×6.5≈   （保留一位小数）       2.4÷0.16＝         ★19－9.48＝ 【答案】9.96；13.3 15；9.52 【思路引导】小数加法计算方法：相同数位对齐，即小数点对齐，然后按照整数加法的计算方法进行计算，从低位起，哪一位上的数相加满十要向前一位进1。 小数乘法的计算法则：先按照整数乘法的计算方法进行，再看因数共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足），然后按整数除法进行计算。 小数减法计算方法：相同数位对齐，即小数点对齐，然后按照整数减法的计算方法进行计算，从低位减起，如果哪一位上的数不够减，就向前一位退1当10。 减法验算方法：根据减数＋差＝被减数或被减数－差＝减数，据此解答。 【规范解答】3.4＋6.56＝9.96                    2.05×6.5≈13.3                    2.4÷0.16＝15                        19－9.48＝9.52               验算： 5．（23-24五年级上·广东江门·期末）有两块棉田，平均每亩产量是73.5千克，已知一块地是5亩，平均每亩产量是82.5千克；另一块田平均每亩产量是66千克。这块田是多少亩？ 【答案】6亩 【思路引导】平均数×总份数＝总数量，设这块田是x亩，根据已知的平均每亩产量×亩数＋另一块田平均每亩产量×亩数＝两块田平均每亩产量×两块天的总亩数，列出方程解答即可。 【规范解答】解：设这块田是x亩。 82.5×5＋66x＝73.5×（5＋x） 412.5＋66x＝367.5＋73.5x 412.5＋66x－367.5－66x ＝367.5＋73.5x－367.5－66x 7.5x＝45 7.5x÷7.5＝45÷7.5 x＝6 答：这块田是6亩。 【考点剖析】关键是理解平均数的意义，掌握平均数的求法，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$