第五单元 简易方程（知识梳理+18个考点讲练+真题演练+难度分层练 共61题）-2025-2026学年人教版数学五年级上册单元复习举一反三培优精讲练

第五单元 简易方程 （知识梳理+18个考点讲练+真题演练+难度分层练 共61题） 【原卷版】 资料简介 内容梳理 2 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：用字母表示数量关系 2 知识点梳理02：用字母表示运算定律和计算公式 3 知识点梳理03：解决形如a±bx的实际问题 3 知识点梳理04：解决形如ax±bx的实际问题 3 知识点梳理05：方程的意义 3 知识点梳理06：等式的性质 3 知识点梳理07：方程的解 4 知识点梳理08：解简单的方程 4 知识点梳理09：解稍复杂的方程 4 知识点梳理10：列方程解决实际问题 4 知识点梳理10：x±bx=c的应用 5 知识点梳理12：ɑx±bx=c的应用 5 重点难点 考点讲练 5 高频考点讲练1：用字母表示数、数量关系 5 高频考点讲练2：用字母表示运算定律及计算公式 5 高频考点讲练3：用字母表示稍复杂的数量关系 6 高频考点讲练4：含有字母式子的化简与求值 6 高频考点讲练5：方程的意义 7 高频考点讲练6：等式的认识及列等量关系式 7 高频考点讲练7：方程的认识 7 高频考点讲练8：列简易方程 8 高频考点讲练9：等式的性质1 8 高频考点讲练10：等式的性质2 8 高频考点讲练11：应用等式的性质1解方程 9 高频考点讲练12：应用等式的性质2解方程 9 高频考点讲练13：应用等式的性质1和2解方程 10 高频考点讲练14：解等号两边都有未知数的方程 10 高频考点讲练15：方程的检验 11 高频考点讲练16：列方程解含一个未知数的问题 11 高频考点讲练17：列方程解含两个未知数的问题 12 高频考点讲练18：列方程解决稍复杂的实际问题 12 升学真题 实战演练 13 优选题型 培优强化 14 基础夯实 能力提升 14 创新拓展 拔尖冲刺 16 同学你好，该份讲义用于人教版五年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：用字母表示数量关系 1. 像a，x，n，m……这样的字母或□、△……这样的符号都可以用来表示数。 2. 用字母a，x，n，m……表示数时，应注意字母的取值范围。 3. 将字母用其所取的值代替，可以求含有字母式子的值。 知识点梳理02：用字母表示运算定律和计算公式 运算定律： 加法交换律 α+b=b+α 加法结合律 α+b+c=α+(b+c) 乘法交换律 αb=bα 乘法结合律 (αb)c=α(bc) 乘法分配律 (α+b)c=αc+bc 计算公式： S=αb S=α2 C=2(α+b) C=4α 知识点梳理03：解决形如a±bx的实际问题 实际问题中的数量关系，如速度×时间=路程，单价×数量=总价等，用字母表示时，认真理解题意，明确字母表示的量，正确地列出式子。 将已知数据代入计算公式求值，应注意还原省去的运算符号。 知识点梳理04：解决形如ax±bx的实际问题 ac+bc=(a+b)c 在利用乘法分配律对含字母的式子进行化简时，要先判断字母是否相同，若相同，再将字母前面的数进行加减。 知识点梳理05：方程的意义 含有未知数的等式叫做方程，如x+8=92，6y=400。 方程都是等式，但等式不一定都是方程。 知识点梳理06：等式的性质 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 知识点梳理07：方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 形如x±ɑ=b 的方程的解法: 知识点梳理08：解简单的方程 形如ɑx=b的方程的解法: 解：ɑx÷ɑ=b÷ɑ x=b÷ɑ 形如ɑ−x=b的方程的解法: 解：ɑ−x+x=b+x b+x =ɑ x =ɑ−b 知识点梳理09：解稍复杂的方程 形如ɑx±b=c的方程的解法： 如解形如b（x±ɑ）=c的方程，可以把（x±ɑ）看作一个整体，先求出这个整体是多少，再求x是多少；或利用乘法分配律将其化为bx±ɑb=c的形式，再解方程。 解稍复杂的方程时，要灵活运用等式的基本性质求解。 知识点梳理10：列方程解决实际问题 列方程解决实际问题的步骤: （1）找出未知数，用字母x表示； （2）分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，列方程； （3）解方程并检验作答。 解形如ɑx±b=c的方程，可以把ɑx看作一个整体，先求出这个整体是多少，再求x是多少。 知识点梳理10：x±bx=c的应用 1. 用方程解含有两个未知数的实际问题，可设其中的1倍数（标准量）为x，另一个未知数则用含有x的式子表示出来。 2. 形如ɑx±bx=c的方程的解法： 知识点梳理12：ɑx±bx=c的应用 通过画线段图可以清楚地分析数量之间的相等关系，结合常用的数量关系式能帮助我们快速列出方程。 行程问题：根据速度、时间和路程三者之间的数量关系列方程解答。 高频考点讲练1：用字母表示数、数量关系 【典例精讲】（25-26五年级上·海南海口·单元测试）一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐10人，三张桌子并起来坐14人……照这样计算，n张桌子并成一排可以坐多少人？（请用你喜欢的方法写出解答的过程） 【变式训练】（25-26五年级上·海南海口·单元测试）三个连续的自然数，中间的数用表示，用含有字母的式子表示最大的数是( )，最小的数是( )。 高频考点讲练2：用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】（（24-25五年级上·湖北武汉·期中）某市的出租车收费标准为：起步价为3千米9元，白天超出部分每千米收2.4元；晚间（23：00到次日5：00）超出部分每千米收2.7元。（不足1千米均按1千米计算） （1）如果用x（x为整数，且x＞3）表示白天打车行驶的千米数，用y表示付的钱数，那么它们之间的关系可以用式子表示为y＝_____。 （2）王叔叔凌晨1：00从家赶到医院，乘出租车付了22.5元。他家到医院最多有多少千米？ 【变式训练】（24-25五年级上·广西柳州·期末）下图中与梯形面积相等的有（    ）。 A．A、B、C B．B、C、D C．A、C、D D．A、B、C、D 高频考点讲练3：用字母表示稍复杂的数量关系 【典例精讲】（（24-25五年级上·河北保定·期末）甲乙两艘货轮同时从A、B两港出发相向而行。甲的速度是x千米/小时，乙货轮每小时比甲快2千米，5小时相遇。5（x＋2）表示（    ）。 A．A、B两港的路程 B．相遇时乙货轮行驶的路程 C．相遇时乙货轮比甲货轮多行的路程 【变式训练】（23-24五年级上·山西长治·期末）如果按下列方式摆放桌椅，1张桌子旁边能放4张椅子，2张桌子旁边能放6张椅子，n张桌子旁边能放（    ）张椅子。 A．2n＋4 B．n＋2 C．4n＋4 D．2n＋2 高频考点讲练4：含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（（2025五年级上·海南海口·专题练习）①甲数是7.6，甲数比乙数多，乙数是( )。 ②大米的价格是5.8元/千克，妈妈买a千克大米需付( )元。 ③当时，( )，( )。 【变式训练】（20-21五年级上·重庆潼南·期末）如图都是由完全一样的等边三角形堆成的“宝塔”。仔细观察，请回答： (1)五层“宝塔”的最底层有( )个三角形。 (2)如果小三角形的边长是1厘米，那么，第五个“宝塔”大三角形的周长是( )厘米。 高频考点讲练5：方程的意义 【典例精讲】（（24-25五年级上·山西忻州·期末）下面这些式子中，等式有( )，方程有( )。（填序号） ①x－30＝26   ②25×2＝50   ③6＋m  ④ 5a＜2.5  ⑤ x÷0.3＝1.2 【变式训练】（23-24五年级上·全国·周测）下面的式子中，哪些是等式？哪些是方程？哪些是含有未知数的式子？（填序号） ①    ②    ③    ④ ⑤    ⑥    ⑦    ⑧    ⑨ 等式有：( )；方程有：( )；含有未知数的式子有：( )。 高频考点讲练6：等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】（（24-25五年级上·江西宜春·期末）下面说法正确的是（    ）。 A．x＋y＞5是方程。 B．a2＞2a C．如果a＝b，那么a＋3b＝4b 【变式训练】（24-25五年级上·湖北鄂州·期末）2y＋1.6x＝15，8＋2.3a＝2.4a，5x＋7＝12，96＋x这些式子都是方程。( )（判断对错】） 高频考点讲练7：方程的认识 【典例精讲】（（24-25五年级上·北京大兴·期末）下面四幅图，图（    ）中的数量关系可以用“2a＋20＝100”表示。 A． B． C． D． 【变式训练】据图示判断，等量关系不成立的是（    ）。 A．20＋35－x＝48 B．20＋x＋35＝48 C．48－35＝20－x D．48＋x＝35＋20 高频考点讲练8：列简易方程 【典例精讲】（（24-25五年级上·浙江嘉兴·期末）小宇和姐姐各买了一本书，价格分别是a元和b元，已知b－2＝a，那么下列等式成立的是（    ）。 A．b＝a－2 B．b＋2＝a＋2 C．b－2＋2＝a＋2 D．2b＝2a＋2 【变式训练】（24-25五年级上·福建三明·期末）在天平的“？”处添加下列物品后，天平不能保持平衡的是（    ）。 A． B． C． D． 高频考点讲练9：等式的性质1 【典例精讲】（（24-25五年级上·北京延庆·期末）图形□，☆表示两个不为0的数，并且☆＝□，依据等式的性质，下面等式中（    ）不成立。 A．☆＋3＝□＋0.3B．☆□ C．☆□ D．☆□ 【变式训练】（22-23五年级上·吉林长春·期末）如果，那么下面的式子正确的是（    ）。 A． B． C． 高频考点讲练10：等式的性质2 【典例精讲】（（24-25五年级上·重庆巫山·期末）解方程。 5.5＋x＝9.3          3x－4.8＝16.2 x÷2.4＝7.5          6×8.4＋4x＝87.2 【变式训练】（24-25五年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）解方程。                       高频考点讲练11：应用等式的性质1解方程 【典例精讲】（（22-23五年级上·新疆昌吉·期末）解下列方程。 96－4x＝15        5.5x＋x＝13        2x－23×4＝134 【变式训练】（24-25五年级上·河北衡水·期末）解方程。 9x＋0.65×12＝19.5        31x－15－13x＝31.8        （4x－4）÷15＝4 高频考点讲练12：应用等式的性质2解方程 【典例精讲】（（23-24五年级上·新疆昌吉·期末）解方程。（带☆的要写出检验过程。） 1.4x＋9.2x＝53         （3x－7）÷5＝16              ☆6.8＋3.2x＝14.8 【变式训练】（23-24五年级上·新疆·期末）解方程。 5x＋5.5＝7        6×4－0.5x＝12.8        3（x＋2.1）＝10.5 高频考点讲练13：应用等式的性质1和2解方程 【典例精讲】（（24-25五年级上·重庆·期末）解方程。 18＋6x＝72.6          5（1.4＋x）＝18          4x－2×8＝26 【变式训练】（24-25五年级上·浙江杭州·期末）解方程。 ①x÷12＝2.4       ②5x＝3x＋6       ③2（8.5＋x）＝30 高频考点讲练14：解等号两边都有未知数的方程 【典例精讲】（（24-25五年级上·浙江杭州·期末）在下面各数中，（    ）是方程2x＋8＝4x＋2的解。 A．x＝6 B．x＝5 C．x＝3 D．x＝1 【变式训练】（23-24五年级上·全国·单元测试）小军原有书的本数是小力的3倍，小军买来7本书，小力买来6本书后，小军所有的书是小力的2倍，小力原来有多少本书？ 高频考点讲练15：方程的检验 【典例精讲】（（24-25五年级上·重庆巫山·期末）已知4x＝32，下面等式不成立的是（    ）。 A．x＝8 B．3x＋12＝36 C．5x÷2＝15 【变式训练】（24-25五年级上·江西萍乡·期末）解方程，带*的要检验。 5x÷3.5＝67.2           *9x－4.8＝1.5           50.7－1.6x＝13.9 高频考点讲练16：列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】（（25-26五年级上·海南海口·单元测试）实验小学有2800名学生，比实验幼儿园人数的5倍多300人，实验幼儿园有多少人？ 【变式训练】（24-25五年级上·重庆·期末）周六，平平和爸爸去金海湾公园参加骑行运动，上午9：00父子俩同时从金海湾滨江公园停车场向距离出发点10千米远的礼嘉智慧公园方向骑行，平平爸爸每分钟行0.3千米，平平每分钟行0.2千米，平平爸爸到达礼嘉智慧公园后立即返回，出发后多长时间两人相遇？ 高频考点讲练17：列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】（（23-24五年级上·新疆昌吉·期末）一条公路长3.6千米，甲乙两只施工队同时从公路的两端往中间铺柏油。甲队的施工速度是乙队的1.25倍，4天后这条公路全部铺完。甲、乙两队每天分别铺柏油多少米？ 【变式训练】（24-25五年级上·河北沧州·期末）有两袋大米，甲袋大米的质量是乙袋大米的2.8倍，如果从甲袋中取出14.4千克后，两袋大米的质量就相等了，两袋大米原来各有多少千克？ 高频考点讲练18：列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】（（2023五年级上·全国·专题练习）“水是生命之源”，某市自来水供水公司为鼓励企业节约用水，按表规定收取水费： 用水量 单价（元/吨） 不超过40吨的部分 1.8 超过40吨的部分 2.2 另：每吨用水加收0.2元的城市污水处理费 某企业一月份共缴水费128元，则一月份用水多少吨？ 【变式训练】（23-24五年级上·湖北鄂州·期末）一天傍晚，爷爷骑自行车从家里、小聪从学校同时出发，相向而行。爷爷的速度是小聪的3倍少20米/分钟，经过5分钟相遇，相遇时爷爷超过中点450米。小聪家距离学校多少千米？（列方程解答） 【演练1】（2025·北京西城·小升初真题）用正方形和等边三角形按下面的方法摆图案。按照这样的方法摆第6幅图案需要( )个等边三角形，摆第n幅图案需要( )个等边三角形。 【演练2】（2025·北京西城·小升初真题）a、b是两个非0自然数。a÷b的计算结果有两种表达方式，如下所示。 第一种：a÷b＝5……3 第二种：a÷b＝5.25 根据以上两种表达方式，可以推断出b＝（    ）。 A．3 B．4 C．12 D．20 【演练3】（2024·河南郑州·小升初真题）六年级参加合唱社团的有45人，比参加书法社团的2倍还多3人，参加书法社团的有多少人？设参加书法社团的有x人，则下列方程正确的是（    ）。 A．2x＋3＝45 B．2x－3＝45 C．x÷2＋3＝45 D．（x－3）÷2＝45 【演练4】（2024·重庆城口·小升初真题）李强和王刚在操场200米的环形跑道上赛跑，李强的速度是4.5米/秒，王刚的速度是6.1米/秒，两人同时从同一起跑线向同一方向跑，经过多少秒两人第一次相遇？ 【演练5】（2024·北京房山·小升初真题）同学们用围棋子按照如图的规律摆图形，第5幅图用( )枚棋子，第n幅图用( )枚棋子。 基础夯实 能力提升 1．（25-26五年级上·海南海口·单元测试）下列式子中，是方程的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 2．（24-25五年级上·广西南宁·期末）某品牌儿童自行车的价格是元，成人自行车的价格是1399元，比儿童自行车价格的2.5倍还多154元。下列方程正确的是（    ）。 A．＋154＝1399×2.5 B．－154＝1399×2.5 C．2.5－154＝1399 D．2.5＋154＝1399 3．（24-25五年级上·广西南宁·期末）如图，根据第一个天平的等量关系，在第二个天平的右边应添上（    ）才能保持平衡。 A． B． C． D． 4．（25-26五年级上·海南海口·单元测试）如图中阴影部分的面积是( )平方厘米。 5．（25-26五年级上·海南海口·单元测试）在括号里填上合适的数。 ( )    ( )    ( ) ( )    ( )    ( ) 6．（25-26五年级上·海南海口·单元测试）果园里梨树有a棵，苹果树的棵数比梨树的3倍少8棵，苹果树有( )棵。 7．（24-25五年级上·河北衡水·期末）x＝4是方程7x＋9＝37和8＋3x＝20的解。( )（判断对错） 8．（2025五年级上·全国·专题练习）解方程。 ①    ②    ③ 9．（25-26五年级上·全国·单元测试）将连续的奇数1、3、5、7、9…排成如下数表，用十字框框五个数。 （1）如果中间的数是x，那么左边的数是（    ），右边的数是（    ），上面的数是（    ），下面的数是（    ）。 （2）任意框几次，看看每次框出的5个数的和与中间的数有什么关系？ （3）如果中间的数是x，并且5个数之和是225。请用方程表示出中间的数x和5个数之和之间的关系。 10． （25-26五年级上·全国·单元测试）甲、乙两人正在长为100米的直道AB（A、B为直道的两个端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立刻转身跑向A点，到达A点后，又立刻转身跑向B点……若甲的速度为2米/秒，乙的速度为3米/秒，起跑后2分钟内，两人在这段时间内共相遇多少次？ 11． 创新拓展 拔尖冲刺 11．（25-26五年级上·海南海口·单元测试）一个正方形的边长是厘米，它的周长是（    ）厘米。 A． B． C．4x 12．（25-26五年级上·海南海口·单元测试）一盒巧克力售价25元，比3瓶果汁贵1元。设每瓶果汁元，列方程为（    ）。 A． B． C． 13．（25-26五年级上·海南海口·单元测试）甲、乙两地相距千米，一辆汽车从甲地出发，每小时行60千米，行驶了小时后，距离乙地还剩( )千米。当S＝300，t＝3.5时，还剩( )千米。 14．（24-25五年级上·北京丰台·期末）漏窗是中国古典园林建筑中的装饰性透空窗，有景中有画、画中有景的艺术效果。下面是“灯笼锦”样式的漏窗设计示意图，第1幅图有5个正八边形，第2幅图有8个。按照这样的规律设计，第6幅图有( )个正八边形，第n幅图有( )个正八边形。 15．（24-25五年级上·河北沧州·期末）如果6x＋3＝21，那么4x－2.8的值是9.2。( )（判断对错） 16．（23-24五年级上·新疆乌鲁木齐·期末）解下列方程。 （1）18＋7x＝39   （2）1.4x＋9.2x＝53   （3）（3x－7）÷5＝16 17．（25-26五年级上·海南海口·单元测试）夏末的傍晚，李奶奶站在新开垦长方形的菜地旁，望着菜地发愁。前些天播种的白菜苗刚冒头，就被小动物踩倒了好几棵。她决定用仓库里的66米旧竹篱笆，把这块长方形菜地严严实实围起来。可当她量得菜地的长是25米后，却发现忘记标记菜地的宽度，你能帮李奶奶算出来吗？ 18．（25-26五年级上·全国·单元测试）在一个900米的环形跑道上，妙妙和甜甜两人同时从同一起点出发按顺时针方向跑步，两人每隔30分钟相遇一次，若两人速度不变，还是在原来出发点同时出发，妙妙开始按逆时针方向跑，甜甜依旧按顺时针方向跑，则两人每隔6分钟相遇一次，那么两人各跑一圈分别需要多长时间？ 19．（25-26五年级上·全国·单元测试）驴和骡子背上都驮着沉重的包裹。驴抱怨说：“我驮这么多包裹，路还远着呢！负担太重了。”骡子说：“你瞧，如果从你背上拿下一个包裹给我，我的负担就是你的两倍；如果从我背上拿走一个包裹给你，你驮的也不过和我驮的一样多。”驴和骡子各驮了多少个包裹？ 20．（23-24五年级下·重庆合川·期末）晓峰的爸爸在离家4000米的动物园上班，如果以每分钟200米的速度骑车上班，正好准时到动物园。有一天，他出发几分钟后，因车出现小故障停车3分钟，为了保证安全，后面的路必须每分钟少行50米，结果比平时晚到8分钟。爸爸的车是在离动物园多远处出现的故障？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五单元 简易方程 （知识梳理+18个考点讲练+真题演练+难度分层练 共61题） 【解析版】 资料简介 内容梳理 2 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：用字母表示数量关系 2 知识点梳理02：用字母表示运算定律和计算公式 3 知识点梳理03：解决形如a±bx的实际问题 3 知识点梳理04：解决形如ax±bx的实际问题 3 知识点梳理05：方程的意义 3 知识点梳理06：等式的性质 3 知识点梳理07：方程的解 4 知识点梳理08：解简单的方程 4 知识点梳理09：解稍复杂的方程 4 知识点梳理10：列方程解决实际问题 4 知识点梳理10：x±bx=c的应用 5 知识点梳理12：ɑx±bx=c的应用 5 重点难点 考点讲练 5 高频考点讲练1：用字母表示数、数量关系 5 高频考点讲练2：用字母表示运算定律及计算公式 6 高频考点讲练3：用字母表示稍复杂的数量关系 7 高频考点讲练4：含有字母式子的化简与求值 8 高频考点讲练5：方程的意义 10 高频考点讲练6：等式的认识及列等量关系式 11 高频考点讲练7：方程的认识 12 高频考点讲练8：列简易方程 13 高频考点讲练9：等式的性质1 15 高频考点讲练10：等式的性质2 16 高频考点讲练11：应用等式的性质1解方程 17 高频考点讲练12：应用等式的性质2解方程 19 高频考点讲练13：应用等式的性质1和2解方程 21 高频考点讲练14：解等号两边都有未知数的方程 22 高频考点讲练15：方程的检验 23 高频考点讲练16：列方程解含一个未知数的问题 25 高频考点讲练17：列方程解含两个未知数的问题 26 高频考点讲练18：列方程解决稍复杂的实际问题 27 升学真题 实战演练 29 优选题型 培优强化 32 基础夯实 能力提升 32 创新拓展 拔尖冲刺 37 同学你好，该份讲义用于人教版五年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：用字母表示数量关系 1. 像a，x，n，m……这样的字母或□、△……这样的符号都可以用来表示数。 2. 用字母a，x，n，m……表示数时，应注意字母的取值范围。 3. 将字母用其所取的值代替，可以求含有字母式子的值。 知识点梳理02：用字母表示运算定律和计算公式 运算定律： 加法交换律 α+b=b+α 加法结合律 α+b+c=α+(b+c) 乘法交换律 αb=bα 乘法结合律 (αb)c=α(bc) 乘法分配律 (α+b)c=αc+bc 计算公式： S=αb S=α2 C=2(α+b) C=4α 知识点梳理03：解决形如a±bx的实际问题 实际问题中的数量关系，如速度×时间=路程，单价×数量=总价等，用字母表示时，认真理解题意，明确字母表示的量，正确地列出式子。 将已知数据代入计算公式求值，应注意还原省去的运算符号。 知识点梳理04：解决形如ax±bx的实际问题 ac+bc=(a+b)c 在利用乘法分配律对含字母的式子进行化简时，要先判断字母是否相同，若相同，再将字母前面的数进行加减。 知识点梳理05：方程的意义 含有未知数的等式叫做方程，如x+8=92，6y=400。 方程都是等式，但等式不一定都是方程。 知识点梳理06：等式的性质 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 知识点梳理07：方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 形如x±ɑ=b 的方程的解法: 知识点梳理08：解简单的方程 形如ɑx=b的方程的解法: 解：ɑx÷ɑ=b÷ɑ x=b÷ɑ 形如ɑ−x=b的方程的解法: 解：ɑ−x+x=b+x b+x =ɑ x =ɑ−b 知识点梳理09：解稍复杂的方程 形如ɑx±b=c的方程的解法： 如解形如b（x±ɑ）=c的方程，可以把（x±ɑ）看作一个整体，先求出这个整体是多少，再求x是多少；或利用乘法分配律将其化为bx±ɑb=c的形式，再解方程。 解稍复杂的方程时，要灵活运用等式的基本性质求解。 知识点梳理10：列方程解决实际问题 列方程解决实际问题的步骤: （1）找出未知数，用字母x表示； （2）分析实际问题中的数量关系，找出等量关系，列方程； （3）解方程并检验作答。 解形如ɑx±b=c的方程，可以把ɑx看作一个整体，先求出这个整体是多少，再求x是多少。 知识点梳理10：x±bx=c的应用 1. 用方程解含有两个未知数的实际问题，可设其中的1倍数（标准量）为x，另一个未知数则用含有x的式子表示出来。 2. 形如ɑx±bx=c的方程的解法： 知识点梳理12：ɑx±bx=c的应用 通过画线段图可以清楚地分析数量之间的相等关系，结合常用的数量关系式能帮助我们快速列出方程。 行程问题：根据速度、时间和路程三者之间的数量关系列方程解答。 高频考点讲练1：用字母表示数、数量关系 【典例精讲】（25-26五年级上·海南海口·单元测试）一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐10人，三张桌子并起来坐14人……照这样计算，n张桌子并成一排可以坐多少人？（请用你喜欢的方法写出解答的过程） 【答案】（4n ＋ 2）人 【思路引导】 如图，一张桌子坐6人，6＝1×4＋2；两张桌子并起来坐10人，10＝2×4＋2；三张桌子并起来坐14人，14＝3×4＋2……由此可知，坐的人数＝桌子张数×4＋2，据此解答。 【规范解答】一张桌子：6人，1×4＋2＝4＋2＝6 两张桌子：10人，2×4＋2＝8＋2＝10 三张桌子：14人，3×4＋2＝12＋2＝14 …… n张桌子：n×4＋2＝（4n ＋ 2）人 答：n张桌子并成一排可以坐（4n ＋ 2）人。 【变式训练】（25-26五年级上·海南海口·单元测试）三个连续的自然数，中间的数用表示，用含有字母的式子表示最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 m＋1 m－1 【思路引导】连续的自然数是依次递增1的数，中间的数是m，那么前面的数比中间的数小1，后面的数比中间的数大1，据此可得出最大数和最小数，据此解答。 【规范解答】因为三个数是连续的自然数，中间的数是m，所以最小的数是m－1，最大的数是m＋1。 用含有字母的式子表示最大的数是m＋1，最小的数是m－1。 高频考点讲练2：用字母表示运算定律及计算公式 【典例精讲】（（24-25五年级上·湖北武汉·期中）某市的出租车收费标准为：起步价为3千米9元，白天超出部分每千米收2.4元；晚间（23：00到次日5：00）超出部分每千米收2.7元。（不足1千米均按1千米计算） （1）如果用x（x为整数，且x＞3）表示白天打车行驶的千米数，用y表示付的钱数，那么它们之间的关系可以用式子表示为y＝_____。 （2）王叔叔凌晨1：00从家赶到医院，乘出租车付了22.5元。他家到医院最多有多少千米？ 【答案】（1）2.4x＋1.8 （2）8千米 【思路引导】（1）行驶千米数－3千米＝超出3千米的部分，乘对应收费标准，再加上起步价就是付的钱数，据此用字母表示出付的钱数。 （2）付的钱数－起步价，先求出超出起步价的钱数，除以对应收费标准，求出超出3千米的距离，再加上3千米即可。 【规范解答】（1）y＝（x－3）×2.4＋9＝2.4x－7.2＋9＝2.4x＋1.8 它们之间的关系可以用式子表示为y＝2.4x＋1.8。 （2）（22.5－9）÷2.7＋3 ＝13.5÷2.7＋3 ＝5＋3 ＝8（千米） 答：他家到医院最多有8千米。 【变式训练】（24-25五年级上·广西柳州·期末）下图中与梯形面积相等的有（    ）。 A．A、B、C B．B、C、D C．A、C、D D．A、B、C、D 【答案】D 【思路引导】根据图可知，梯形的高是2a，根据梯形的面积公式：（上底＋下底）×高÷2；平行四边形的面积公式：底×高；三角形的面积公式：底×高÷2；长方形的面积公式：长×宽，把数代入分别求出四个图形的面积，找出和梯形面积相等的即可。 【规范解答】梯形面积：（1＋2）×2a÷2 ＝3×2a÷2 ＝3a A图形：1.5×2a＝3a B图形：3×2a÷2＝3a C图形：3×a＝3a D图形：1.5×2a＝3a 由此可知图形A、图形B、图形C、图形D四个面积都和梯形面积相等。 故答案为：D 高频考点讲练3：用字母表示稍复杂的数量关系 【典例精讲】（（24-25五年级上·河北保定·期末）甲乙两艘货轮同时从A、B两港出发相向而行。甲的速度是x千米/小时，乙货轮每小时比甲快2千米，5小时相遇。5（x＋2）表示（    ）。 A．A、B两港的路程 B．相遇时乙货轮行驶的路程 C．相遇时乙货轮比甲货轮多行的路程 【答案】B 【思路引导】甲乙两艘货轮的相遇问题，A、B两港的路程＝甲乙的速度和×相遇时间。甲（乙）相遇时的路程＝甲（乙）的速度×相遇时间。字母与数相乘的时候，数字写在前面，乘号可省略，据此逐项分析解答。 【规范解答】甲的速度是x千米/小时，则乙的速度是（x＋2）千米/小时， [x＋（x＋2）]×5 ＝（2x＋2）×5 ＝5（2x＋2）千米 （x＋2）×5＝5（x＋2）千米 （x＋2）×5－x×5 ＝5（x＋2）－5x ＝5x＋10－5x ＝10（千米） A．求A、B两港的路程，列式[x＋（x＋2）]×5整理后是5（2x＋2）千米； B．求相遇时乙货轮行驶的路程，列式（x＋2）×5化简后是5（x＋2）千米； C．求相遇时乙货轮比甲货轮多行的路程，列式（x＋2）×5－x×5整理后是10千米。 故答案为：B 【变式训练】（23-24五年级上·山西长治·期末）如果按下列方式摆放桌椅，1张桌子旁边能放4张椅子，2张桌子旁边能放6张椅子，n张桌子旁边能放（    ）张椅子。 A．2n＋4 B．n＋2 C．4n＋4 D．2n＋2 【答案】D 【思路引导】观察图形可知，1张桌子旁边能放4张椅子，2张桌子旁边能放6张椅子，3张桌子旁边能放8张椅子……发现规律：每增加一张桌子，椅子的数量增加2张，据此找到规律。 【规范解答】1张桌子旁边能放4张椅子，4＝2×1＋2； 2张桌子旁边能放6张椅子，6＝2×2＋2； 3张桌子旁边能放8张椅子，8＝2×3＋2； …… 规律：n张桌子旁边能放（2n＋2）张椅子。 故答案为：D 高频考点讲练4：含有字母式子的化简与求值 【典例精讲】（（2025五年级上·海南海口·专题练习）①甲数是7.6，甲数比乙数多，乙数是( )。 ②大米的价格是5.8元/千克，妈妈买a千克大米需付( )元。 ③当时，( )，( )。 【答案】 7.6－m 5.8a 25 24 【思路引导】①甲数比乙数多m，说明乙数＝甲数－m； ②总价＝单价×数量，代入数值和字母即可； ③将x＝5代入x2和3x＋9中，按运算顺序计算。 【规范解答】①7.6－m，乙数是7.6－m； ②5.8×a＝5.8a（元），妈妈买a千克大米需付5.8a元； ③x2＝52＝25，3x＋9＝3×5＋9＝15＋9＝24 当x＝5时，x2＝25，3x＋9＝24 【变式训练】（20-21五年级上·重庆潼南·期末）如图都是由完全一样的等边三角形堆成的“宝塔”。仔细观察，请回答： (1)五层“宝塔”的最底层有( )个三角形。 (2)如果小三角形的边长是1厘米，那么，第五个“宝塔”大三角形的周长是( )厘米。 【答案】(1)9 (2)15 【思路引导】（1）观察每个“宝塔”可知： 一层“宝塔”的最底层有1个小三角形，1＝2×1－1； 二层“宝塔”的最底层有3个小三角形，3＝2×2－1； 三层“宝塔”的最底层有5个小三角形，5＝2×3－1； …… 规律：n层“宝塔”的最底层有三角形（2n－1）个；按此规律解答。 （2）第1个“宝塔”大三角形的边长是1厘米，周长是1×3＝3（厘米）； 第2个“宝塔”大三角形的边长是2厘米，周长是2×3＝6（厘米）； 第3个“宝塔”大三角形的边长是3厘米，周长是3×3＝9（厘米）； …… 规律：第n个“宝塔”大三角形的边长是n厘米，周长是3n厘米；按此规律解答。 【规范解答】（1）规律：n层“宝塔”的最底层有三角形（2n－1）个； 当n＝5时 2n－1 ＝2×5－1 ＝10－1 ＝9（个） 五层“宝塔”的最底层有9个三角形。 （2）规律：第n个“宝塔”大三角形的周长是3n厘米； 当n＝5时 3n＝5×3＝15（厘米） 第五个“宝塔”大三角形的周长是15厘米。 【考点剖析】从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 高频考点讲练5：方程的意义 【典例精讲】（（24-25五年级上·山西忻州·期末）下面这些式子中，等式有( )，方程有( )。（填序号） ①x－30＝26   ②25×2＝50   ③6＋m  ④ 5a＜2.5  ⑤ x÷0.3＝1.2 【答案】 ①②⑤ ①⑤ 【思路引导】等式是含有等号的式子，而方程是含有未知数的等式，据此解答。 【规范解答】①x－30＝26式子中含有等号，所以是等式； ②25×2＝50式子中含有等号，所以是等式； ③6＋m式子中不含等号，所以不是等式； ④5a＜2.5式子中不含等号，所以不是等式； ⑤x÷0.3＝1.2式子中含有等号，所以是等式。 所以等式有①、②、⑤。 在等式①、②、⑤中，①和⑤的式子中含有未知数，所以①和⑤是方程，②的式子中不含未知数，所以②不是方程。 即在这些式子中，等式有①②⑤，方程有①⑤。 【变式训练】（23-24五年级上·全国·周测）下面的式子中，哪些是等式？哪些是方程？哪些是含有未知数的式子？（填序号） ①    ②    ③    ④ ⑤    ⑥    ⑦    ⑧    ⑨ 等式有：( )；方程有：( )；含有未知数的式子有：( )。 【答案】 ①②④⑥⑦⑧ ②④⑥⑦⑧ ②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 【思路引导】等式是表示两个数或两个代数式相等的式子；方程是含有未知数的等式；含有未知数的式子是含有未知数的表达式，它不一定是等式，也不一定是方程。 【规范解答】据分析可知 等式有：①②④⑥⑦⑧；方程有：②④⑥⑦⑧；含有未知数的式子有：②③④⑤⑥⑦⑧⑨。 高频考点讲练6：等式的认识及列等量关系式 【典例精讲】（（24-25五年级上·江西宜春·期末）下面说法正确的是（    ）。 A．x＋y＞5是方程。 B．a2＞2a C．如果a＝b，那么a＋3b＝4b 【答案】C 【思路引导】含有未知数的等式叫做方程，由方程的意义可知，方程必须同时满足以下两个条件：（1））是等式；（2）含有未知数；两个条件缺一不可；a的值不确定，a2和2a的大小关系也不能确定，举例说明即可；把4b化为（b＋3b），等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等；据此解答。 【规范解答】A．x＋y＞5含有未知数x和y，但x＋y＞5不是等式，所以x＋y＞5不是方程，说法错误； B．当a＝0.2时， a2＝0.22＝0.2×0.2＝0.04 2a＝2×0.2＝0.4 因为0.04＜0.4，所以a2＜2a， 当a＝0时， a2＝02＝0 2a＝2×0＝0 此时a2＝2a； 所以a的数值未知，无法确定a2＞2a，说法错误； C．如果a＝b，a＋3b＝4b，a＋3b＝b＋3b，等式两边同时加上3b，左右两边仍然相等；说法正确。 故答案为：C 【变式训练】（24-25五年级上·湖北鄂州·期末）2y＋1.6x＝15，8＋2.3a＝2.4a，5x＋7＝12，96＋x这些式子都是方程。( )（判断对错】） 【答案】× 【思路引导】含有未知数的等式叫做方程；方程必须具备两个条件：（1）含有未知数；（2）是等式，据此解答。 【规范解答】2y＋1.6x＝15，含有未知数，是等式，是方程； 8＋2.3a＝2.4a，含有未知数，是等式，是方程； 5x＋7＝12，含有未知数，是等式，是方程； 96＋x，含有未知数，不是等式，不是方程。 2y＋1.6x＝15，8＋2.3a＝2.4a，5x＋7＝12这些式子是方程，96＋x不是方程。 原题干说法错误。 故答案为：× 高频考点讲练7：方程的认识 【典例精讲】（（24-25五年级上·北京大兴·期末）下面四幅图，图（    ）中的数量关系可以用“2a＋20＝100”表示。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】A．表示天平左边的重量是（2a＋20）克，右边表示100克，天平不平衡，所以用数量关系式表示为：2a＋20＞100； B．表示天平平衡，左边表示2a克，右边表示（100＋20）克，用数量关系式表示为：2a＝100＋20，不符合题意； C．一天线段长a米，另一条线段比它少20米，两条线段长的和为：（2a－20）米，列式表示为：2a－20＝100，不符合题意； D．表示左边有2a元，右边有20元，一共有100元，列式为2a＋20＝100，符合题意。 【规范解答】根据分析可知：图D中的数量关系可以用“2a＋20＝100”表示。 故答案为：D 【变式训练】据图示判断，等量关系不成立的是（    ）。 A．20＋35－x＝48 B．20＋x＋35＝48 C．48－35＝20－x D．48＋x＝35＋20 【答案】B 【解析】题目中的线段图就相当于一个近似的“韦恩图”，是用重叠的两条线段将三种数量关系表示出来，要我们列出正确的等量关系。 【规范解答】如图：x既属于20的一部分，又属于35的一部分。所以当20和35相加时，相当于把x重复加了一次，因此需要减去一次，才能得到总长度48。 A．等式表示在将20和35相加后，减去重复的x，就是两条线段重叠后的长度； B．等式表示的含义与题目本身相反，不符合题意； C．等式表示：从总长度48里减去35的差，恰好等于从20里面减去x的差； D．等式表示：35与20相加时，重复加了x一次，就等于总长度48加上重复部分x。 故答案为：B。 【考点剖析】解题关键是在于对重叠部分的理解，也可以由一个正确的等式经过变形，得到其它正确的等式。 高频考点讲练8：列简易方程 【典例精讲】（（24-25五年级上·浙江嘉兴·期末）小宇和姐姐各买了一本书，价格分别是a元和b元，已知b－2＝a，那么下列等式成立的是（    ）。 A．b＝a－2 B．b＋2＝a＋2 C．b－2＋2＝a＋2 D．2b＝2a＋2 【答案】C 【思路引导】根据等式的基本性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立。逐项计算即可得解。 【规范解答】A．b－2＝a b－2＋2＝a＋2 b＝a＋2 所以该选项不成立。 B．b－2＝a b－2＋4＝a＋4 b＋2＝a＋4 所以该选项不成立。 C．b－2＝a b－2＋2＝a＋2 所以该选项成立。 D．b－2＝a b－2＋2＝a＋2 b＝a＋2 2×b＝2×（a＋2） 2b＝2a＋4 所以该选项不成立。 小宇和姐姐各买了一本书，价格分别是a元和b元，已知b－2＝a，那么下列等式成立的是b－2＋2＝a＋2。 故答案为：C 【变式训练】（24-25五年级上·福建三明·期末）在天平的“？”处添加下列物品后，天平不能保持平衡的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】从图中可知，1个球的质量相当于2个正方体的质量，那么3个球的质量相当于6个正方体的质量；右图中天平的右端已有2个正方体，再添加4个正方体，天平能保持平衡；否则天平不能保持平衡。 【规范解答】 A．天平右端原有2个正方体，再添加6个正方体，则右端有2＋6＝8个正方体，天平不能保持平衡； B．天平右端原有2个正方体，再添加，相当于添加2＋2＝4个正方体，则右端有2＋4＝6个正方体，天平能保持平衡； C．天平右端原有2个正方体，再添加，相当于添加2＋2＝4个正方体，则右端有2＋4＝6个正方体，天平能保持平衡； D．天平右端原有2个正方体，再添加4个正方体，则右端有2＋4＝6个正方体，天平能保持平衡。 故答案为：A 高频考点讲练9：等式的性质1 【典例精讲】（（24-25五年级上·北京延庆·期末）图形□，☆表示两个不为0的数，并且☆＝□，依据等式的性质，下面等式中（    ）不成立。 A．☆＋3＝□＋0.3B．☆□ C．☆□ D．☆□ 【答案】A 【思路引导】等式两边同时加上、减去、乘上或除以一个相同的数（0除外），等式的左右两边仍相等，据此解答即可。 【规范解答】A．等式左边加的是3，等式右边加的是0.3，所以等式不成立； B．等式的左右两边同时除以7.2，所以等式成立； C．等式的左右两边同时减去4.6，所以等式成立； D． 等式左边除以2，即乘0.5，等式右边乘0.5，所以等式左右两边同时乘0.5，等式成立； 故答案为：A 【变式训练】（22-23五年级上·吉林长春·期末）如果，那么下面的式子正确的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】等式的性质1：在等式的左右两边同时加或减同一个数，等式仍然成立； 等式的性质2：在等式的左右两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 【规范解答】A． ，等式的左边减15，右边减25，等式不成立； B． ，等式的左边加10，右边减10，等式不成立； C． ，等式的左边乘3，等式的右边也乘3，等式仍然成立； 故答案为：C 高频考点讲练10：等式的性质2 【典例精讲】（（24-25五年级上·重庆巫山·期末）解方程。 5.5＋x＝9.3          3x－4.8＝16.2 x÷2.4＝7.5          6×8.4＋4x＝87.2 【答案】x＝3.8；x＝7 x＝18；x＝9.2 【思路引导】（1）利用等式的性质1，等式两边同时减去5.5； （2）先利用等式的性质1，等式两边同时加上4.8，再利用等式的性质2，等式两边同时除以3； （3）利用等式的性质2，等式两边同时乘2.4； （4）先计算出6×8.4＝50.4，再利用等式的性质1，等式两边同时减去50.4，再利用等式的性质2，等式两边同时除以4； 【规范解答】5.5＋x＝9.3 解：5.5＋x－5.5＝9.3－5.5 x＝3.8 3x－4.8＝16.2 解：3x－4.8＋4.8＝16.2＋4.8 3x＝21 3x÷3＝21÷3 x＝7 x÷2.4＝7.5 解：x÷2.4×2.4＝7.5×2.4 x＝18 6×8.4＋4x＝87.2 解：50.4＋4x＝87.2 50.4＋4x－50.4＝87.2－50.4 4x＝36.8 4x÷4＝36.8÷4 x＝9.2 【变式训练】（24-25五年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）解方程。                       【答案】x＝1.4；x＝16；x＝3.51 【思路引导】根据等式的性质1：方程两边同时减去3.2； 根据等式的性质2：方程两边同时除以5； 根据等式的性质2：方程两边同时乘3，方程两边再同时除以7。 【规范解答】x＋3.2＝4.6 解：x＋3.2－3.2＝4.6－3.2 x＝1.4 5x＝80 解：5x÷5＝80÷5 x＝16 7x÷3＝8.19 解：7x÷3×3＝8.19×3 7x＝24.57 7x÷7＝24.57÷7 x＝3.51 高频考点讲练11：应用等式的性质1解方程 【典例精讲】（（22-23五年级上·新疆昌吉·期末）解下列方程。 96－4x＝15        5.5x＋x＝13        2x－23×4＝134 【答案】x＝20.25；x＝2；x＝113 【思路引导】（1）96－4x＝15，根据等式的性质1，将方程左右两边同时加上4x，再交换两边的位置，然后根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时减去15，再同时除以4即可。 （2）5.5x＋x＝13，先将左边合并为6.5x，再根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以6.5即可。 （3）2x－23×4＝134，先计算出23×4等于92，然后根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时加上92，再同时除以2即可。 【规范解答】（1）96－4x＝15 解：96－4x＋4x＝15＋4x 15＋4x＝96 15＋4x－15＝96－15 4x＝81 4x÷4＝81÷4 x＝20.25 （2）5.5x＋x＝13 解：6.5x＝13 6.5x÷6.5＝13÷6.5 x＝2 （3）2x－23×4＝134 解：2x－92＝134 2x－92＋92＝134＋92 2x＝226 2x÷2＝226÷2 x＝113 【变式训练】（24-25五年级上·河北衡水·期末）解方程。 9x＋0.65×12＝19.5        31x－15－13x＝31.8        （4x－4）÷15＝4 【答案】x＝1.3；x＝2.6；x＝16 【思路引导】9x＋0.65×12＝19.5，先计算出0.65×12的积，再根据等式的性质1，方程两边同时减去0.65×12的积，再根据等式的性质2，方程两边同时除以9即可。 31x－15－13x＝31.8，先化简方程左边含有x的算式，即求出31－13的差，以及根据等式的性质1，方程两边同时加上15，再根据等式的性质2，方程两边同时除以31－13的差即可。 （4x－4）÷15＝4，根据等式的性质2，方程两边同时乘15，再根据等式的性质1，方程两边同时加上4，再根据等式的性质2，方程两边同时除以4即可。 【规范解答】9x＋0.65×12＝19.5 解：9x＋7.8＝19.5 9x＋7.8－7.8＝19.5－7.8 9x＝11.7 9x÷9＝11.7÷9 x＝1.3 31x－15－13x＝31.8 解：18x－15＝31.8 18x－15＋15＝31.8＋15 18x＝46.8 18x÷18＝46.8÷18 x＝2.6 （4x－4）÷15＝4 解：（4x－4）÷15×15＝4×15 4x－4＝60 4x－4＋4＝60＋4 4x＝64 4x÷4＝64÷4 x＝16 高频考点讲练12：应用等式的性质2解方程 【典例精讲】（（23-24五年级上·新疆昌吉·期末）解方程。（带☆的要写出检验过程。） 1.4x＋9.2x＝53         （3x－7）÷5＝16              ☆6.8＋3.2x＝14.8 【答案】x＝5；x＝29；x＝2.5 【思路引导】（1）先计算等式左边的加法，再根据等式的基本性质2，等式两边同时除以10.6，计算即可。 （2）根据等式的基本性质2，等式两边同时乘5，再根据等式的基本性质1，等式两边同时加7，再根据等式的基本性质2，等式两边同时除以3，计算即可。 （3）根据等式的基本性质1，等式两边同时减6.8，再根据等式的基本性质2，等式两边同时除以3.2，计算即可。检验就把x的解代入等式的左边，计算出左边的结果如与右边的数相等，即所得的解正确。 【规范解答】1.4x＋9.2x＝53 解：10.6x＝53 10.6x÷10.6＝53÷10.6 x＝5 （3x－7）÷5＝16 解：（3x－7）÷5×5＝16×5 3x－7＝80 3x－7＋7＝80＋7 3x＝87 3x÷3＝87÷3 x＝29 6.8＋3.2x＝14.8 解：6.8＋3.2x－6.8＝14.8－6.8 3.2x＝8 3.2x÷3.2＝8÷3.2 x＝2.5 检验：当x＝2.5 左边＝6.8＋3.2×2.5 ＝6.8＋8 ＝14.8 右边＝14.8 左边＝右边，所以x＝2.5是方程的解。 【变式训练】（23-24五年级上·新疆·期末）解方程。 5x＋5.5＝7        6×4－0.5x＝12.8        3（x＋2.1）＝10.5 【答案】x＝0.3；x＝22.4；x＝1.4 【思路引导】依据等式的性质，方程两边同时减去5.5，再同时除以5求解出x； 首先计算6×4，然后依据等式的性质，方程两边同时加0.5x，同时减去12.8，再同时除以0.5求解出x； 依据等式的性质，方程两边同时除以0.3，再同时减去2.1求解出x。 【规范解答】5x＋5.5＝7 解：5x＋5.5－5.5＝7－5.5 5x＝1.5 5x÷5＝1.5÷5 x＝0.3 6×4－0.5x＝12.8 解：24－0.5x＝12.8 24－0.5x＋0.5x＝12.8＋0.5x 12.8＋0.5x－12.8＝24－12.8 0.5x＝11.2 0.5x÷0.5＝11.2÷0.5 x＝22.4 3（x＋2.1）＝10.5 解：3（x＋2.1）÷3＝10.5÷3 x＋2.1＝3.5 x＋2.1－2.1＝3.5－2.1 x＝1.4 高频考点讲练13：应用等式的性质1和2解方程 【典例精讲】（（24-25五年级上·重庆·期末）解方程。 18＋6x＝72.6          5（1.4＋x）＝18          4x－2×8＝26 【答案】x＝9.1；x＝2.2；x＝10.5 【思路引导】根据等式的性质，方程两边同时减去18，再同时除以6求解出x； 根据等式的性质，方程两边同时除以5，再同时减去1.4求解出x； 先计算出2×8，然后根据等式的性质，方程两边同时加上16，再同时除以4求解出x。 【规范解答】18＋6x＝72.6 解：18＋6x－18＝72.6－18 6x＝54.6 6x÷6＝54.6÷6 x＝9.1 5（1.4＋x）＝18 解：5（1.4＋x）÷5＝18÷5 1.4＋x＝3.6 1.4＋x－1.4＝3.6－1.4 x＝2.2 4x－2×8＝26 解：4x－16＝26 4x－16＋16＝26＋16 4x＝42 4x÷4＝42÷4 x＝10.5 【变式训练】（24-25五年级上·浙江杭州·期末）解方程。 ①x÷12＝2.4       ②5x＝3x＋6       ③2（8.5＋x）＝30 【答案】①x＝28.8；②x＝3；③x＝6.5 【思路引导】①方程左右两边同时乘12，求出方程的解； ②方程左右两边同时减去3x，再把方程左右两边同时除以2，求出方程的解； ③先把方程左右两边同时除以2，再把方程左右两边同时减去8.5，求出方程的解。 【规范解答】①x÷12＝2.4 解：x÷12×12＝2.4×12 x＝28.8 ②5x＝3x＋6 解：5x－3x＝3x＋6－3x 2x＝6 2x÷2＝6÷2 x＝3 ③2（8.5＋x）＝30 解：2（8.5＋x）÷2＝30÷2 8.5＋x＝15 8.5＋x－8.5＝15－8.5 x＝6.5 高频考点讲练14：解等号两边都有未知数的方程 【典例精讲】（（24-25五年级上·浙江杭州·期末）在下面各数中，（    ）是方程2x＋8＝4x＋2的解。 A．x＝6 B．x＝5 C．x＝3 D．x＝1 【答案】C 【思路引导】根据等式的性质求出方程2x＋8＝4x＋2的解，方程两边先同时减去2x，把方程变成2x＋2＝8，然后方程两边先同时减去2，再同时除以2，即可求出方程的解。 【规范解答】2x＋8＝4x＋2 解：2x＋8－2x＝4x＋2－2x 2x＋2＝8 2x＋2－2＝8－2 2x＝6 2x÷2＝6÷2 x＝3 x＝3是方程2x＋8＝4x＋2的解。 故答案为：C 【变式训练】（23-24五年级上·全国·单元测试）小军原有书的本数是小力的3倍，小军买来7本书，小力买来6本书后，小军所有的书是小力的2倍，小力原来有多少本书？ 【答案】5本 【思路引导】根据“小军原有书的本数是小力的3倍”，可以设小力原来有本，那么小军原来有3本； 根据“小军所有的书是小力的2倍”，可得出等量关系：（小力原有书的本数＋6）×2＝小军原有书的本数＋7，据此列出方程，并求解。 【规范解答】解：设小力原来有本，那么小军原来有3本。 2（＋6）＝3＋7 2＋12＝3＋7 2＋12－2＝3＋7－2 12＝＋7 ＋7＝12 ＋7－7＝12－7 ＝5 答：小力原来有5本书。 高频考点讲练15：方程的检验 【典例精讲】（（24-25五年级上·重庆巫山·期末）已知4x＝32，下面等式不成立的是（    ）。 A．x＝8 B．3x＋12＝36 C．5x÷2＝15 【答案】C 【思路引导】根据等式的性质2，方程4x＝32的两边同时除以4，求出x的值，再将x的值代入各选项等式进行判断。 【规范解答】4x＝32 解：4x÷4＝32÷4 x＝8 A．该选项为x＝8，与我们计算得出的结果一致，所以该选项等式成立； B．将x＝8代入3x＋12，得到3×8＋12＝24＋12＝36，与该选项等式右边36相等，所以该选项等式成立； C．将x＝8代入5x÷2，得到5×8÷2＝40÷2＝20，而该选项等式右边是15，20≠15，所以该选项等式不成立。 所以等式不成立的是5x÷2＝15。 故答案为：C 【变式训练】（24-25五年级上·江西萍乡·期末）解方程，带*的要检验。 5x÷3.5＝67.2           *9x－4.8＝1.5           50.7－1.6x＝13.9 【答案】x＝47.04；x＝0.7；x＝23 【思路引导】5x÷3.5＝67.2，根据等式的性质2，方程两边同时乘3.5，再同时除以5即可。 9x－4.8＝1.5，根据等式的性质1，方程两边同时加上4.8，再根据等式的性质2，方程两边同时除以9即可，将x的值带入方程两边看是否相等即可检验。 50.7－1.6x＝13.9，根据等式的性质1，方程两边同时加上1.6x，再同时减去13.9，再根据等式的性质2，方程两边同时除以1.6即可。 【规范解答】5x÷3.5＝67.2 解：5x÷3.5×3.5＝67.2×3.5 5x＝235.2 5x÷5＝235.2÷5 x＝47.04 9x－4.8＝1.5 解：9x－4.8＋4.8＝1.5＋4.8 9x＝6.3 9x÷9＝6.3÷9 x＝0.7 检验：左边＝9×0.7－4.8 ＝6.3－4.8 ＝1.5 右边＝1.5 左边＝右边 x＝1.5是方程的解。 50.7－1.6x＝13.9 解：50.7－1.6x＋1.6x－13.9＝13.9－13.9＋1.6x 1.6x＝50.7－13.9 1.6x＝36.8 1.6x÷1.6＝36.8÷1.6 x＝23 高频考点讲练16：列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】（（25-26五年级上·海南海口·单元测试）实验小学有2800名学生，比实验幼儿园人数的5倍多300人，实验幼儿园有多少人？ 【答案】500人 【思路引导】把实验幼儿园的人数设为未知数，等量关系式：实验幼儿园的人数×5＋300人＝实验小学的人数，先列方程，再利用等式的性质1和等式的性质2求出未知数，据此解答。 【规范解答】解：设实验幼儿园有x人。 5x＋300＝2800 5x＋300－300＝2800－300 5x＝2500 5x÷5＝2500÷5 x＝500 答：实验幼儿园有500人。 【变式训练】（24-25五年级上·重庆·期末）周六，平平和爸爸去金海湾公园参加骑行运动，上午9：00父子俩同时从金海湾滨江公园停车场向距离出发点10千米远的礼嘉智慧公园方向骑行，平平爸爸每分钟行0.3千米，平平每分钟行0.2千米，平平爸爸到达礼嘉智慧公园后立即返回，出发后多长时间两人相遇？ 【答案】40分钟 【思路引导】根据题意可知，爸爸的速度＞平平的速度，所以爸爸骑的路程和平平骑的路程和一共是两个10千米，即爸爸骑的路程＋平平骑的路程＝10×2千米，设出发后x分钟两人相遇，列方程：0.3x＋0.2x＝10×2，解方程，即可解答。 【规范解答】解：设出发后x分钟两人相遇。 0.3x＋0.2x＝10×2 0.3x＋0.2x＝20 0.5x＝20 0.5x÷0.5＝20÷0.5 x＝40 答：出发后40分钟两人相遇。 高频考点讲练17：列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】（（23-24五年级上·新疆昌吉·期末）一条公路长3.6千米，甲乙两只施工队同时从公路的两端往中间铺柏油。甲队的施工速度是乙队的1.25倍，4天后这条公路全部铺完。甲、乙两队每天分别铺柏油多少米？ 【答案】500米；400米 【思路引导】把乙队每天铺柏油的长度设为未知数，甲队每天铺柏油的长度＝乙队每天铺柏油的长度×1.25，等量关系式：（甲队每天铺柏油的长度＋乙队每天铺柏油的长度）×一共铺柏油的天数＝这条公路的总长度，据此解答。 【规范解答】解：设乙队每天铺柏油米，则甲队每天铺柏油米。 3.6千米＝3600米 （米） 答：甲队每天铺柏油500米，乙队每天铺柏油400米。 【变式训练】（24-25五年级上·河北沧州·期末）有两袋大米，甲袋大米的质量是乙袋大米的2.8倍，如果从甲袋中取出14.4千克后，两袋大米的质量就相等了，两袋大米原来各有多少千克？ 【答案】甲袋：22.4千克；乙袋：8千克 【思路引导】分析题目，可得到等量关系为：甲袋大米原有的质量－乙袋大米的质量＝14.4，可以设乙袋大米原来有x千克，则甲袋大米原来有2.8x千克，再根据等量关系式列出方程并进一步解方程可得到乙袋大米原来的质量，最后用乙袋大米的质量乘2.8即可得到甲袋大米原来的质量。 【规范解答】解：设乙袋大米原来有x千克，则甲袋大米原来有2.8x千克。 2.8x－x＝14.4 1.8x＝14.4 1.8x÷1.8＝14.4÷1.8 x＝8 2.8×8＝22.4（千克） 答：甲袋大米原来有22.4千克，乙袋大米原来有8千克。 高频考点讲练18：列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】（（2023五年级上·全国·专题练习）“水是生命之源”，某市自来水供水公司为鼓励企业节约用水，按表规定收取水费： 用水量 单价（元/吨） 不超过40吨的部分 1.8 超过40吨的部分 2.2 另：每吨用水加收0.2元的城市污水处理费 某企业一月份共缴水费128元，则一月份用水多少吨？ 【答案】60吨 【思路引导】根据条件，每吨用水加收0.2元的城市污水处理费，则不超过40吨的部分实际收费2元/吨，超过的部分实际收费2.4元/吨。正好用40吨水是交费：40×2元＝80元＜128元，因而一月份用水一定超过40吨，题目中的相等关系是：40吨水的收费＋超过部分的费用＝128元。 【规范解答】1.8＋0.2＝2（元） 2.2＋0.2＝2.4（元） 解：设一月份用水x吨，根据题意得： 40×2＋2.4（x－40）＝128 80＋（2.4x－96）＝128 80＋（2.4x－96）－80＝128－80 2.4x－96＝48 2.4x－96＋96＝48＋96 2.4x＝144 2.4x÷2.4＝144÷2.4 x＝60 答：一月份用水是60吨。 【考点剖析】本题主要考查的方程的应用，根据水费为128元列出方程是解题的关键。 【变式训练】（23-24五年级上·湖北鄂州·期末）一天傍晚，爷爷骑自行车从家里、小聪从学校同时出发，相向而行。爷爷的速度是小聪的3倍少20米/分钟，经过5分钟相遇，相遇时爷爷超过中点450米。小聪家距离学校多少千米？（列方程解答） 【答案】1.9千米 【思路引导】速度×时间＝路程，设小明的速度是x米/分钟，则爷爷的速度是（3x－20）米/分钟，相遇时爷爷超过中点450米，说明爷爷比小明多行驶（450×2）米，根据爷爷的速度×相遇时间－小聪的速度×相遇时间＝两人路程差，列出方程求出x的值是小聪速度，小聪速度×3－20＝爷爷速度。再根据两人速度和×相遇时间＝总路程，即可求出小聪家距离学校的距离。 【规范解答】解：设小聪的速度是x米/分钟。 （3x－20）×5－5x＝450×2 15x－100－5x＝900 10x－100＝900 10x－100＋100＝900＋100 10x＝1000 10x÷10＝1000÷10 x＝100 100×3－20 ＝300－20 ＝280（米/分钟） （280＋100）×5 ＝380×5 ＝1900（米） ＝1.9（千米） 答：小聪家距离学校1.9千米。 【考点剖析】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，用方程解决问题的关键是找到等量关系，理解相遇时爷爷超过中点450米比小明多行驶的路程。 【演练1】（2025·北京西城·小升初真题）用正方形和等边三角形按下面的方法摆图案。按照这样的方法摆第6幅图案需要( )个等边三角形，摆第n幅图案需要( )个等边三角形。 【答案】 19 3n＋1 【思路引导】根据图中可得：第1幅有4个等边三角形：3×1＋1，第2幅有7个等边三角形：3×2＋1，第3幅有10个等边三角形：3×3＋1，第4幅有13个等边三角形：3×4＋1，等等.可以看出图形中的等边三角形个数＝第几个图形×3＋1，第n个图形就有3n＋1个等边三角形。据此可得出答案。 【规范解答】3×6＋1 ＝18＋1 ＝19（个） 按照这样的方法摆第6幅图案需要19个等边三角形，摆第n幅图案需要（3n＋1）个等边三角形。 【演练2】（2025·北京西城·小升初真题）a、b是两个非0自然数。a÷b的计算结果有两种表达方式，如下所示。 第一种：a÷b＝5……3 第二种：a÷b＝5.25 根据以上两种表达方式，可以推断出b＝（    ）。 A．3 B．4 C．12 D．20 【答案】C 【思路引导】第一种：a÷b＝5……3；则a＝5b＋3；第二种a÷b＝5.25，则a＝5.25b；把a＝5.25b代入a＝5b＋3，即5.25b＝5b＋3，根据等式的性质，解方程，即可求出b的值，据此解答。 【规范解答】a÷b＝5……3；则a＝5b＋3；第二种a÷b＝5.25，则a＝5.25b； 5.25b＝5b＋3 5.25b－5b＝5b－5b＋3 0.25b＝3 0.25b÷0.25＝3÷0.25 b＝12 可以推断出b＝12。 故答案为：C 【演练3】（2024·河南郑州·小升初真题）六年级参加合唱社团的有45人，比参加书法社团的2倍还多3人，参加书法社团的有多少人？设参加书法社团的有x人，则下列方程正确的是（    ）。 A．2x＋3＝45 B．2x－3＝45 C．x÷2＋3＝45 D．（x－3）÷2＝45 【答案】A 【思路引导】由题可知：参加合唱社团的人数比参加书法社团的2倍还多3人，对此写出等量关系式：书法社团的人数×2＋3＝合唱社团的人数，据此列方程求解即可。 【规范解答】设参加书法社团的有x人，已知 “六年级参加合唱社团的有45人，比参加书法社团的2倍还多3人”，那么书法社团人数的2倍就是2x，再加上3人就等于合唱社团的人数45人，根据上述数量关系，可列出方程2x＋3＝45。 解：设参加书法社团的有x人。 2x＋3＝45 2x＋3－3＝45－3 2x＝42 2x÷2＝42÷2 x＝21 所以参加书法社团的有21人。 故答案为：A 【演练4】（2024·重庆城口·小升初真题）李强和王刚在操场200米的环形跑道上赛跑，李强的速度是4.5米/秒，王刚的速度是6.1米/秒，两人同时从同一起跑线向同一方向跑，经过多少秒两人第一次相遇？ 【答案】125秒 【思路引导】根据“追及时间＝路程差÷速度差”，设经过x秒两人第一次相遇。则：6.1x－4.5x＝200，解出x即可解答本题。 【规范解答】解：设经过x秒两人第一次相遇。则： 6.1x－4.5x＝200 1.6x＝200 1.6x÷1.6＝200÷1.6 x＝125 答：经过125秒两人第一次相遇。 【演练5】（2024·北京房山·小升初真题）同学们用围棋子按照如图的规律摆图形，第5幅图用( )枚棋子，第n幅图用( )枚棋子。 【答案】 31 （6n＋1） 【思路引导】第1幅图有7枚棋子，第2幅图有13枚棋子，第3幅图有19枚棋子，由此可知，下一幅图比上一幅图多6枚棋子。 第1幅图有7枚棋子，可以写成：6×1＋1； 第2幅图有13枚棋子，可以写成：6×2＋1； 第3幅图有19枚棋子，可以写成：6×3＋1； …… 由此可知，第n幅图有（6n＋1）枚棋子，据此求出第5幅图有棋子的个数，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，第n幅图有（6n＋1）枚棋子。 当n＝5时： 6×5＋1 ＝30＋1 ＝31（枚） 同学们用围棋子按照如图的规律摆图形，第5幅图用31枚棋子，第n幅图用（6n＋1）枚棋子。 基础夯实 能力提升 1．（25-26五年级上·海南海口·单元测试）下列式子中，是方程的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】方程是含有未知数的等式。需要依次分析每个选项是否符合方程的定义，判断出正确的方程，据此解答。 【规范解答】A．25＋15＝40，这是一个等式，但不含未知数，所以不是方程。 B．3x－7＞5，这是一个不等式，不是等式，所以不是方程。 C．4y＝28，既含有未知数y，又是等式，符合方程的定义，所以是方程。 故答案为：C 2．（24-25五年级上·广西南宁·期末）某品牌儿童自行车的价格是元，成人自行车的价格是1399元，比儿童自行车价格的2.5倍还多154元。下列方程正确的是（    ）。 A．＋154＝1399×2.5 B．－154＝1399×2.5 C．2.5－154＝1399 D．2.5＋154＝1399 【答案】D 【思路引导】根据“成人自行车的价格比儿童自行车价格的2.5倍还多154元”可得出等量关系：儿童自行车的价格×2.5＋154＝成人自行车的价格，据此列出方程。 【规范解答】2.5＋154＝1399 解：2.5＋154－154＝1399－154 2.5＝1245 2.5÷2.5＝1245÷2.5 ＝498 儿童自行车的价格是498元。 方程正确的是2.5＋154＝1399。 故答案为：D 3．（24-25五年级上·广西南宁·期末）如图，根据第一个天平的等量关系，在第二个天平的右边应添上（    ）才能保持平衡。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】由图可知，2个正方体的质量＝1个球的质量，根据等式的性质2，等式两边同时乘2，等式依然成立，即4个正方体的质量＝2个球的质量，所以，需要在天平的右边添上3个正方体，据此解答即可。 【规范解答】由分析可知： 根据第一个天平的等量关系，在第二个天平的右边应添上3个正方体才能保持平衡。 故答案为：A 4．（25-26五年级上·海南海口·单元测试）如图中阴影部分的面积是( )平方厘米。 【答案】3x－9/3（x－3） 【思路引导】由图可知，阴影部分是一个长方形，长方形的长是（x－3）厘米，长方形的宽是3厘米，根据“长方形的面积＝长×宽”表示出阴影部分的面积，据此解答。 【规范解答】（x－3）×3 ＝x×3－3×3 ＝（3x－9）平方厘米 所以，阴影部分的面积是（3x－9）平方厘米。 5．（25-26五年级上·海南海口·单元测试）在括号里填上合适的数。 ( )    ( )    ( ) ( )    ( )    ( ) 【答案】 3.5 6.8 6.4 0.8 10 5 【思路引导】先把题目中的括号看作未知数，再利用等式的性质解方程，最后求出未知数的值。 （1）利用等式的性质1，方程两边同时减去3.6； （2）利用等式的性质1，方程两边同时加上5； （3）先利用等式的性质1，方程两边同时加上未知数，方程两边再同时减去2； （4）利用等式的性质2，方程两边同时除以3； （5）利用等式的性质2，方程两边同时乘2.5； （6）先利用等式的性质2，方程两边同时乘未知数，方程两边再同时除以13。 【规范解答】把题目中的括号看作a。 （1）3.6＋a＝7.1 解：3.6＋a－3.6＝7.1－3.6 a＝3.5 （2）a－5＝1.8 解：a－5＋5＝1.8＋5 a＝6.8 （3）8.4－a＝2 解：8.4－a＋a＝2＋a 2＋a＝8.4 2＋a－2＝8.4－2 a＝6.4 （4）3×a＝2.4 解：3×a÷3＝2.4÷3 a＝0.8 （5）a÷2.5＝4 解：a÷2.5×2.5＝4×2.5 a＝10 （6）65÷a＝13 解：65÷a×a＝13×a 13a＝65 13a÷13＝65÷13 a＝5 综上所述，3.6＋3.5＝7.1，6.8－5＝1.8，8.4－6.4＝2，3×0.8＝2.4，10÷2.5＝4，65÷5＝13。 6．（25-26五年级上·海南海口·单元测试）果园里梨树有a棵，苹果树的棵数比梨树的3倍少8棵，苹果树有( )棵。 【答案】3a－8 【思路引导】根据题意，苹果树的棵数比梨树的3倍少8棵，即梨树的棵数×3－8棵，即可求出苹果树的棵数。 【规范解答】a×3－8＝（3a－8）棵 果园里梨树有a棵，苹果树的棵数比梨树的3倍少8棵，苹果树有（3a－8）棵。 7．（24-25五年级上·河北衡水·期末）x＝4是方程7x＋9＝37和8＋3x＝20的解。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】要判断x＝4是否是方程7x＋9＝37和8＋3x＝20的解，需将x＝4分别代入两个方程验证左右两边是否相等，据此解答。 【规范解答】把x＝4代入方程7x＋9＝37 等式左边：7×4＋9 ＝28＋9 ＝37 所以等式左右两边相等，x＝4是方程7x＋9＝37的解； 把x＝4代入方程8＋3x＝20 等式左边：8＋3×4 ＝8＋12 ＝20 所以等式左右两边相等，x＝4是方程8＋3x＝20的解； 综上所述，x＝4是方程7x＋9＝37和8＋3x＝20的解。 故答案为：√ 8．（2025五年级上·全国·专题练习）解方程。 ①    ②    ③ 【答案】①；②；③ 【思路引导】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式；利用这些性质逐步将方程变形，求出未知数的值。 ①根据等式的性质2，等式两边同时乘1.6即可； ②根据等式的性质，等式两边先同时减2.4，再同时除以3即可； ③先计算方程的左边，，将方程变为，再根据等式的性质2，等式两边同时除以1.5即可。 【规范解答】① 解： ② 解： ③ 解： 9．（25-26五年级上·全国·单元测试）将连续的奇数1、3、5、7、9…排成如下数表，用十字框框五个数。 （1）如果中间的数是x，那么左边的数是（    ），右边的数是（    ），上面的数是（    ），下面的数是（    ）。 （2）任意框几次，看看每次框出的5个数的和与中间的数有什么关系？ （3）如果中间的数是x，并且5个数之和是225。请用方程表示出中间的数x和5个数之和之间的关系。 【答案】（1）x－2；x＋2；x－16；x＋16 （2）每次框出的5个数的和总是中间数的5倍。 （3）5x＝225 【思路引导】（1）由题图可知，左边的数比中间的数小2，右边的数比中间的数大2，上面的数比中间的数小16，下面的数比中间的数大16，据此规律解答。 （2）把上一题用x表示的5个数相加，得出这5个数的和与中间的数的关系。 （3）根据框出的5个数的和＝中间的数的5倍，可用方程表示出中间的数x和5个数之和之间的关系。 【规范解答】（1）如果中间的数是x，那么左边的数是（x－2），右边的数是（x＋2），上面的数是（x－16），下面的数是（x＋16）。 （2）设中间的数为x，则这五个数的和为： x+(x－2)+(x＋2)+(x－16)+(x＋16)＝5x 说明每次框出的5个数的和总是中间数的5倍。 （3）中间的数x和5个数之和之间的关系为：5x＝225。 10．（25-26五年级上·全国·单元测试）甲、乙两人正在长为100米的直道AB（A、B为直道的两个端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立刻转身跑向A点，到达A点后，又立刻转身跑向B点……若甲的速度为2米/秒，乙的速度为3米/秒，起跑后2分钟内，两人在这段时间内共相遇多少次？ 【答案】3次 【思路引导】解决本题的关键是求出两人每次相遇的间隔时间，相遇时，两人的总路程是（100×2）米，根据相遇时间＝总路程÷速度和，求出两人每次相遇间隔的时间，设两人在这段时间内共相遇x次，根据每次相遇间隔的时间×相遇次数＝总时间，列出方程解答即可。 【规范解答】2分＝120秒 两人每次相遇间隔的时间：100×2÷（2＋3） ＝200÷5 ＝40（秒） 解：设两人在这段时间内共相遇x次。 40x＝120 40x÷40＝120÷40 x＝3 答：两人在这段时间内共相遇3次。 创新拓展 拔尖冲刺 11．（25-26五年级上·海南海口·单元测试）一个正方形的边长是厘米，它的周长是（    ）厘米。 A． B． C．4x 【答案】C 【思路引导】正方形的周长＝边长×4，据此用字母表示出正方形的周长。 【规范解答】正方形边长是厘米，它的周长是（4）厘米。 故答案为：C 12．（25-26五年级上·海南海口·单元测试）一盒巧克力售价25元，比3瓶果汁贵1元。设每瓶果汁元，列方程为（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【思路引导】由“总价＝单价×数量”可知果汁的总价为元，一盒巧克力比3瓶果汁贵1元，等量关系式：3瓶果汁的总价＋1元＝一盒巧克力的价格，据此解答。 【规范解答】A．表示一盒巧克力比3瓶果汁贵1元，符合题目中的等量关系式； B．表示3瓶果汁比一盒巧克力贵1元，不符合题目中的等量关系式； C．表示一盒巧克力比1瓶果汁贵1元，不符合题目中的等量关系式。 故答案为：A 13．（25-26五年级上·海南海口·单元测试）甲、乙两地相距千米，一辆汽车从甲地出发，每小时行60千米，行驶了小时后，距离乙地还剩( )千米。当S＝300，t＝3.5时，还剩( )千米。 【答案】 s－60t 90 【思路引导】根据“路程＝速度×时间”，先求出汽车行驶t小时的路程，再用甲、乙两地的总距离S减去已经行驶的路程，就得到距离乙地还剩的路程。然后将s＝300，t＝3.5代入式子计算，据此解答。 【规范解答】汽车行驶t小时的路程：60×t＝60t（千米） 距离乙地还剩的路程：s－60t（千米）当s＝300，t＝3.5时： 300－60×3.5 ＝300－210 ＝90（千米） 距离乙地还剩s－60t千米。当S＝300，t＝3.5时，还剩90千米。 14．（24-25五年级上·北京丰台·期末）漏窗是中国古典园林建筑中的装饰性透空窗，有景中有画、画中有景的艺术效果。下面是“灯笼锦”样式的漏窗设计示意图，第1幅图有5个正八边形，第2幅图有8个。按照这样的规律设计，第6幅图有( )个正八边形，第n幅图有( )个正八边形。 【答案】 20 3n＋2 【思路引导】观察图形可知，第1幅图、第2幅图、第3幅图分别有5个、8个、11个正八边形，发现：每增加1幅图，正八边形的数量就增加3个，据此找出规律，并按规律解答。 【规范解答】第1幅图，有5个正八边形，5＝3×1＋2； 第2幅图，有8个正八边形，8＝3×2＋2； 第3幅图，有11个正八边形，11＝3×3＋2； …… 规律：第n幅图有（3n＋2）个正八边形。 当n＝6时 3n＋2 ＝3×6＋2 ＝18＋2 ＝20（个） 填空如下： 按照这样的规律设计，第6幅图有（20）个正八边形，第n幅图有（3n＋2）个正八边形。 【考点剖析】关键是从已知的图形或数据中找出规律，并用含字母的式子表示规律。 15．（24-25五年级上·河北沧州·期末）如果6x＋3＝21，那么4x－2.8的值是9.2。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据等式的基本性质，方程两边先同时减去3，再同时除以6求出方程6x＋3＝21的解，再将x的值代入式子（4x－2.8）化简，据此判断。 【规范解答】 解： 把代入式子（4x－2.8）得： 4×3－2.8 ＝12－2.8 ＝9.2 因此如果6x＋3＝21，那么4x－2.8的值是9.2，原题干的说法是正确的。 故答案为：√ 16．（23-24五年级上·新疆乌鲁木齐·期末）解下列方程。 （1）18＋7x＝39   （2）1.4x＋9.2x＝53   （3）（3x－7）÷5＝16 【答案】（1）x＝3；（2）x＝5；（3）x＝29 【思路引导】（1）根据等式的性质，方程两边同时减去18，再同时除以7求解出x； （2）先计算出1.4x＋9.2x，然后根据等式的性质，方程两边同时除以10.6求解出x； （3）根据等式的性质，方程两边同时乘5，再同时加上7，最后同时除以3求解出x。 【规范解答】（1）18＋7x＝39 解：18＋7x－18＝39－18 7x＝21 7x÷7＝21÷7 x＝3 （2）1.4x＋9.2x＝53 解：10.6x＝53 10.6x÷10.6＝53÷10.6 x＝5 （3）（3x－7）÷5＝16 解：（3x－7）÷5×5＝16×5 3x－7＝80 3x－7＋7＝80＋7 3x＝87 3x÷3＝87÷3 x＝29 17．（25-26五年级上·海南海口·单元测试）夏末的傍晚，李奶奶站在新开垦长方形的菜地旁，望着菜地发愁。前些天播种的白菜苗刚冒头，就被小动物踩倒了好几棵。她决定用仓库里的66米旧竹篱笆，把这块长方形菜地严严实实围起来。可当她量得菜地的长是25米后，却发现忘记标记菜地的宽度，你能帮李奶奶算出来吗？ 【答案】8米 【思路引导】由题意可知，把菜地的宽度设为未知数，菜地的周长是66米，菜地的长是25米，根据“（长＋宽）×2＝长方形的周长”列方程求出菜地的宽度，据此解答。 【规范解答】解：设菜地的宽度是x米。 （25＋x）×2＝66 （25＋x）×2÷2＝66÷2 25＋x＝33 25＋x－25＝33－25 x＝8 答：菜地的宽度是8米。 18．（25-26五年级上·全国·单元测试）在一个900米的环形跑道上，妙妙和甜甜两人同时从同一起点出发按顺时针方向跑步，两人每隔30分钟相遇一次，若两人速度不变，还是在原来出发点同时出发，妙妙开始按逆时针方向跑，甜甜依旧按顺时针方向跑，则两人每隔6分钟相遇一次，那么两人各跑一圈分别需要多长时间？ 【答案】10分钟；15分钟 【思路引导】当两人同时同地顺时针跑步时，每隔30分钟相遇一次，这是追及问题，此时两人的速度差为跑道一圈的长度除以追及时间，即900÷30＝30米/分钟； 当妙妙逆时针、甜甜顺时针跑步时，每隔6分钟相遇一次，这是相遇问题，此时两人的速度和为跑道一圈的长度除以相遇时间，即900÷6＝150米/分钟； 设两人中，跑得慢的人每分钟跑x米，则跑得快的人每分钟跑（30＋x）米，根据速度和为150米/分钟即可列方程为x＋（30＋x）＝150，求解出x以及（30＋x）的值，即为两人的速度；再根据“时间＝路程÷速度”即可分别求出两人各跑一圈分别所需时间。 【规范解答】900÷30＝30（米/分钟） 900÷6＝150（米/分钟） 解：设妙妙和甜甜两人中，跑得慢的人每分钟跑x米，则跑得快的人每分钟跑（30＋x）米。 x＋（30＋x）＝150 x＋x＋30＝150 2x＋30＝150 2x＋30－30＝150－30 2x＝120 2x÷2＝120÷2 x＝60 30＋x ＝30＋60 ＝90 900÷90＝10（分钟） 900÷60＝15（分钟） 答：两人各跑一圈分别需要10分钟、15分钟。 【考点剖析】将环形跑道上的追及问题和相遇问题结合，通过“速度和”与“速度差”这两个关键量，利用和差问题的公式列方程求出两人各自的速度，进而算出跑一圈的时间。 19．（25-26五年级上·全国·单元测试）驴和骡子背上都驮着沉重的包裹。驴抱怨说：“我驮这么多包裹，路还远着呢！负担太重了。”骡子说：“你瞧，如果从你背上拿下一个包裹给我，我的负担就是你的两倍；如果从我背上拿走一个包裹给你，你驮的也不过和我驮的一样多。”驴和骡子各驮了多少个包裹？ 【答案】驴5个；骡子7个 【思路引导】由题意可知，如果从骡子背上拿走一个包裹给驴，那么它们两个驮的包裹一样多，骡子驮的包裹数量－1＝驴驮的包裹数量＋1，骡子驮的包裹数量＝驴驮的包裹数量＋2，说明骡子比驴多驮2个包裹，把驴驮的包裹数量设为未知数，用含有字母的式子表示出骡子驮的包裹数量，等量关系式：（驴驮的包裹数量－1）×2＝骡子驮的包裹数量＋1，据此列方程解答。 【规范解答】解：设驴驮了x个包裹，则骡子驮了（x＋2）个包裹。 2×（x－1）＝x＋2＋1 2x－2×1＝x＋3 2x－2＝x＋3 2x－2＋2＝x＋3＋2 2x＝x＋5 2x－x＝x＋5－x x＝5 5＋2＝7（个） 答：驴驮了5个包裹，骡子驮了7个包裹。 【考点剖析】本题主要考查列方程解决实际问题，准确设出未知数并找出等量关系式，最后根据等量关系式列出方程是解答题目的关键。 20．（23-24五年级下·重庆合川·期末）晓峰的爸爸在离家4000米的动物园上班，如果以每分钟200米的速度骑车上班，正好准时到动物园。有一天，他出发几分钟后，因车出现小故障停车3分钟，为了保证安全，后面的路必须每分钟少行50米，结果比平时晚到8分钟。爸爸的车是在离动物园多远处出现的故障？ 【答案】3000米 【思路引导】根据时间＝路程÷速度，用4000÷200＝20分钟，求出晓峰的爸爸上班需要的时间；设出发x分钟后车出现小故障，x分钟前的速度是每分钟200米，x分钟行驶200x米；晓峰爸爸这天上班时间是20＋8＝28分钟；用28－出现小故障前的时间－停留的时间，就是出现小故障后到动物园上班的时间；为了保证安全，后面的路必须每分钟少行50米，这时的速度是200－50＝150米；用出现小故障前行驶的路程＋出现小故障后行驶的路程＝晓峰家到动物园的路程，列方程：200x＋（4000÷200＋8－x－3）×（200－50）＝4000，求出出发x分钟后车出现小故障，再根据速度×时间＝路程，用200×出现小故障前的时间，即可求出爸爸的车是在离家多远出现的故障，再用家到动物园的路程－从家到车出现小故障的距离，即可求出爸爸的车离动物园多远处出现的故障。 【规范解答】解：设出发x分钟后车出现小故障。 200x＋（4000÷200＋8－x－3）×（200－50）＝4000 200x＋（20＋8－x－3）×150＝4000 200x＋（28－x－3）×150＝4000 200x＋（25－x）×150＝4000 200x＋25×150－150x＝4000 50x＋3750＝4000 50x＋3750－3750＝4000＝3750 50x＝250 50x÷50＝250÷50 x＝5 4000－200×5 ＝4000－1000 ＝3000（米） 答：爸爸的车是在离动物园3000米处出现的故障。 【考点剖析】本题考查方程的实际应用，关键是求出出现小故障的时间，进而利用速度、时间和路程三者的关系，列方程，解方程，进行解答。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$