学易金卷：高二数学上学期第一次月考03（全国通用，人教A版2019选择性必修第一册：空间向量与立体几何+直线）

数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 / 6 2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟，分值：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教 A版（2019）选修第一册第 1--2 章空间向量与立体几何+直线方程。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．在空间直角坐标系中，  1, 2,3B  关于 x轴的对称点为点B，若点  1,1, 2C  关于Oxz平面的对称点为点C， 则 B C  （ ） A． 2 B． 6 C． 14 D． 30 2．若直线 1l ： 8 0x y   与直线 2l ：  2 3 3 0x y     平行，则＝（ ） A． 1 B． 1 或 3 C． 1 2 D．3 3．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已 知四棱锥P ABCD 是阳马，PA 平面 ABCD，且 1 4 PE PC ，若 , ,AB a AD b AP c       ，则BE   （ ） A． 5 1 5 4 4 4 a b c     B． 5 1 5 4 4 4 a b c    C． 3 1 3 4 4 4 a b c    D． 3 1 3 4 4 4 a b c     4．直线 y kx b  经过点  1,8 ，在两坐标轴上的截距互为相反数，则 k的所有可能取值之和为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 2 / 6 5．已知两点  3,0A ，  0, 4B ，动点  ,P x y 在线段 AB上运动，则 xy的最大值为（ ） A． 12 5 B． 144 49 C．3 D．4 6．PA，PB，PC是从点 P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60， 1A， 1B ， 1C 分别是射线PA，PB， PC上的点，且 1 2PA  ， 1 4PB  ， 1 3PC  ，D，E，F分别为 1PA， 1PB ， 1 1BC 的中点，则点 E到直线DF的 距离为（ ）． A． 15 3 B． 21 3 C． 33 6 D． 39 6 7．在等腰直角 ABC 中， 3AB AC  ，点 P是边 AB上异于端点的一点，光线从点 P出发经BC，CA边反 射后又回到点 P，若光线QR经过 ABC 的重心，则 PQR 的周长等于（ ） A． 2 5 B．2 7 C．3 2 D．4 2 8．如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A BC 中， AC AB ， 1 1AC AB CC   ，E是线段 AB的中点，在 1A BC 内 有一动点 P（包括边界），则 PA PE   的最小值是（ ）． A． 33 2 B． 2 33 3 C． 33 6 D． 33 3 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．若两直线 1 2,l l 的倾斜角分别为 1 2,  ，斜率分别是 1 2,k k ，则下列命题正确的是（ ） A．若 1 2k k ，则 1 2  B．若 1 2k k ，则 1 2  C．若 1 2  ，则 1 2k k D．若 2 10k k  ，则 1 290   3 / 6 10．已知正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 4，动点 P在正方体表面 1111 DCBA 上（不包括边界），则下列说法 正确的是（ ） A．存在点 P，使得CP∥面 1ABD B．存在点 P，使得 AP 面 1ABD C．若 AP与 1CC 的夹角为 π 6 ，则点 P的轨迹长度为 2 3 π 3 D．若M 为面 1 1C CDD 的中心，则 AP PM＋ 的最小值为2 14 11．定义点  0 0,P x y 到直线 2 2: 0( 0)l ax by c a b     的有向距离为 0 02 2     ax by c d a b .已知点 1 2,P P 到直线 l 的有向距离分别是 1 2,d d 以下命题不正确的是（ ） A．若 1 2 1d d  ，则直线 1 2PP 与直线 l平行 B．若 1 21, 1d d   ，则直线 1 2PP 与直线 l垂直 C．若 1 2 0d d  ，则直线 1 2PP 与直线 l垂直 D．若 1 2 0d d  ，则直线 1 2PP 与直线 l相交 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．若两条平行直线 1l ： 2 0x y m   与 2l ：2 6 0x ny   之间的距离是 2 5 ，则直线 1l 在x轴上的截距为 ． 13．如图，二面角 l   的棱上有两个点 A B， ，线段BD与 AC 分别在这个二面角两个面内，并且都垂直 于棱 l．若二面角 l   的平面角为 π 3 ，且 4AB  ， 6 5AC BD ， ，则CD  ． 14．棱长为2 的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，E为棱 1DD 的中点，F 为正方形 1 1C CDD 内一个动点（包括边界）， 且 1 //B F 平面 1A BE，则当三棱锥 1 1B D DF 体积取最大时，其外接球的表面积为 . 4 / 6 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分）已知直线 l过点 (1, 2)，且直线 l的倾斜角比直线 3 3 1 0x y   的倾斜角大 π 12 ． (1)求直线 l的方程； (2)若点  1 1,M x y 在直线 l上，且 1 [ 2,1)x   ，求 1 1 2 1 y x   的取值范围． 16．（15 分）如图，在几何体 ABCDE中，平面 ABC 平面 ACD， 2BE  ， 3AC  ， 4CD  ， =90ACD ， BE ∥CD . (1)若 F 为 AC 的中点，求证： //BF 平面 AED； (2)若 ABC 为等边三角形，求平面 ABC与平面 AED夹角的余弦值. 5 / 6 17．（15 分）已知 ABC 的三个顶点是      2,3 , 1,2 , 4, 4A B C  ． (1)若直线 1l 过点C，且点A ， B到直线 1l 的距离相等，求直线 1l 的方程； (2)若直线 2l 过点A ，且与 x轴、 y轴的正半轴分别交于 P、Q两点，O为坐标原点，求三角形OPQ 面积取 最小值时直线 2l 的方程． 18．（17 分）如图，圆台 1 2OO 的一个轴截面为等腰梯形 1 1 1 1 1, 2 2 4A ACC AC AA AC   ，B为底面圆周上异 于A 、C的点． (1)求该圆台的侧面积S ； (2)若 P是线段BC的中点，求证：直线 1 / /C P 平面 1A AB； (3)若 AB BC ，设直线 l为平面 1A AB与平面 1C CB的交线，设 l平面 1 1AACC D ，点Q在线段BD上（不含 端点），直线 1BC 与平面QAC所成的角大小为 ，求sin 的最大值． 6 / 6 19．（17 分）在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．由于任意两个空间向量都可以通过平 移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算．请根据以上信 息，解决下列问题：在三棱锥 A BCD 中，若 2 3 0AB CD AC BD AD BC            ，则称这样的三棱锥为完美 三棱锥. (1)在三棱锥 A BCD 中， , ,AB AC AC AD AB AD   ，求证：该三棱锥是完美三棱锥； (2)已知三棱锥中， ABD△ 为正三角形， 2AB AC  . ①若 2 2CB CD  ，判断该三棱锥是否为完美三棱锥，并说明理由； ②若 3CB  ，且该三棱锥 A BCD 为完美三棱锥，求二面角 A CD B  的余弦值. 11 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂)一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分） 16.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17. （15分） 18.（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条 形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 学科网（北京）股份有限公司 三、（本大题共 5 个小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 16.（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 17. （15 分） 18.（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 19.（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选修第一册第1--2章空间向量与立体几何+直线方程。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为点，若点关于平面的对称点为点，则（    ） A． B． C． D． 2．若直线：与直线：平行，则＝（   ） A． B．或3 C． D．3 3．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 4．直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．已知两点，，动点在线段AB上运动，则xy的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 6．，，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（    ）． A． B． C． D． 7．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 8．如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得∥面 B．存在点，使得面 C．若与的夹角为，则点的轨迹长度为 D．若为面的中心，则的最小值为 11．定义点到直线的有向距离为.已知点到直线的有向距离分别是以下命题不正确的是（    ） A．若，则直线与直线平行 B．若，则直线与直线垂直 C．若，则直线与直线垂直 D．若，则直线与直线相交 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为 ． 13．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则 ． 14．棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则当三棱锥体积取最大时，其外接球的表面积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知直线过点，且直线的倾斜角比直线的倾斜角大． (1)求直线的方程； (2)若点在直线上，且，求的取值范围． 16． （15分）如图，在几何体中，平面平面，，，，，∥. (1)若为的中点，求证：平面； (2)若为等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值. 17． （15分）已知的三个顶点是． (1)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程； (2)若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 18． （17分）如图，圆台的一个轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于、的点． (1)求该圆台的侧面积； (2)若是线段的中点，求证：直线平面； (3)若，设直线为平面与平面的交线，设平面，点在线段上（不含端点），直线与平面所成的角大小为，求的最大值． 19． （17分）在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算．请根据以上信息，解决下列问题：在三棱锥中，若，则称这样的三棱锥为完美三棱锥. (1)在三棱锥中，，求证：该三棱锥是完美三棱锥； (2)已知三棱锥中，为正三角形，. ①若，判断该三棱锥是否为完美三棱锥，并说明理由； ②若，且该三棱锥为完美三棱锥，求二面角的余弦值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B D C C C A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD ACD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 或13 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据直线方程确定斜率，进而得到倾斜角，再求直线的斜率，应用点斜式写出直线方程； （2）根据目标式的几何意义，数形结合求其范围. 【详解】（1）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为， 则的倾斜角为，可知的斜率， 所以的方程为，即；（6分） （2）表示与点连线的斜率， 又是直线在部分上的动点，如下图示： 则，直线AB的斜率不存在，则， 即的取值范围为.（13分） 16.（15分） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接，，通过证明四边形为平行四边形得到，再利用线面平行的判定定理即可证得结论； （2）法一：延长，交于，连接，由此作出二面角的平面角.并证明，再求的余弦值即可. 法二：先证得两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法计算二面角的余弦值即可. 【详解】（1）取中点，连接，，则为的中位线. ， 又且. 四边形为平行四边形. 又平面，平面∥平面.(6分） （2）法一：延长，交于，连接 是等边三角形，为的中点,         又且. 为的中位线,为的中点又为的中点，为的中位线，，.               ∵平面平面，平面平面，平面平面. 平面，.因此，二面角的平面角为. 因此，平面与平面夹角的余弦值为.  （15分） 法二：∵平面平面，平面平面， 平面.            平面.     又等边三角形，为的中点                                   所以两两垂直，以为原点，如图建立空间直角坐标系. 因为， 所以，，，    设为平面的一个法向量，则 即   令，解得 设为平面的一个法向量.易得. 设平面与平面夹角为， . 因此，平面与平面夹角的余弦值为.（15分） 17.（15分） 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分别讨论当直线与平行，当直线通过的中点两种情况下，根据已知条件分别求出直线的方程. （2）利用基本不等式的性质求出三角形面积的最小值. 【详解】（1）因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点， ①当直线与平行，因为，且过点，所以方程为，即； （3分） ②当直线通过的中点，所以，所以的方程为，即． 综上：直线的方程为或．（7分） （2）由题意设，其中为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以，由基本不等式可得， 所以， 当且仅当即时，取得最小值24，所以面积， 所以当时，面积最小，此时直线的方程为，即．（15分） 18.（17分） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由圆台侧面积公式即可求解； （2）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形得到，然后根据线面平行的判定定理完成证明； （3）延长交于点，建立合适空间直角坐标系，然后利用向量法表示出，再根据二次函数的性质求解出最大值即可. 【详解】（1）因为， 所以圆台的侧面积为；（3分） （2）取中点，连接，如图， 因为为中点，所以， 在等腰梯形中，， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面；（9分） （3）延长交于点，作直线， 因为两点分别在平面与平面内， 所以直线即为直线， 又平面， 所以点，即为点， ，则， 以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 在等腰梯形中，， 此梯形的高为， 因为，所以为的中位线， 则， 所以， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得， 则有：， 令，则， 当时，，此时， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 综上所述，的最大值为.（17分） 19.（17分） 【答案】(1)证明见详解 (2)①不是，证明见详解；② 【分析】（1）根据空间性向量基本定理，以为基底并结合完美三棱锥的定义化简得到，再结合向量垂直的性质得到证明等式即可. （2）①结合题意得到对应向量的数量积，再利用完美三棱锥的定义判断即可. ②由棱锥为完美三棱锥可得长，由两点间距离公式求得点坐标，进而求出关键平面的法向量，最后利用二面角的向量求法得到余弦值即可. 【详解】（1）由题意结合空间向量的线性运算化简得 ， ， 因为，所以， 即， 故该三棱锥是完美三棱锥，（4分） （2） ①该三棱锥不是完美三棱锥，为正三角形，，故，，又， 得到，由勾股定理逆定理得， 即，同理可得， 所以， 则该三棱锥不是完美三棱锥.（10分） ②如图，以为原点建立空间直角坐标系，则， 因为，由余弦定理得， 所以，， 因为该三棱锥为完美三棱锥， 所以， ， 解得，由余弦定理得，解得， 设，，解得， 即，设平面的一个法向量， 则，不妨取，则， 设平面的一个法向量，则， 不妨取，则，则， 由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为.(17分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选修第一册第1--2章空间向量与立体几何+直线方程。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为点，若点关于平面的对称点为点，则（    ） A． B． C． D． 2．若直线：与直线：平行，则＝（   ） A． B．或3 C． D．3 3．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 4．直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．已知两点，，动点在线段AB上运动，则xy的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 6．，，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（    ）． A． B． C． D． 7．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 8．如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得∥面 B．存在点，使得面 C．若与的夹角为，则点的轨迹长度为 D．若为面的中心，则的最小值为 11．定义点到直线的有向距离为.已知点到直线的有向距离分别是以下命题不正确的是（    ） A．若，则直线与直线平行 B．若，则直线与直线垂直 C．若，则直线与直线垂直 D．若，则直线与直线相交 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为 ． 13．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则 ． 14．棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则当三棱锥体积取最大时，其外接球的表面积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知直线过点，且直线的倾斜角比直线的倾斜角大． (1)求直线的方程； (2)若点在直线上，且，求的取值范围． 16． （15分）如图，在几何体中，平面平面，，，，，∥. (1)若为的中点，求证：平面； (2)若为等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值. 17． （15分）已知的三个顶点是． (1)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程； (2)若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 18． （17分）如图，圆台的一个轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于、的点． (1)求该圆台的侧面积； (2)若是线段的中点，求证：直线平面； (3)若，设直线为平面与平面的交线，设平面，点在线段上（不含端点），直线与平面所成的角大小为，求的最大值． 19． （17分）在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算．请根据以上信息，解决下列问题：在三棱锥中，若，则称这样的三棱锥为完美三棱锥. (1)在三棱锥中，，求证：该三棱锥是完美三棱锥； (2)已知三棱锥中，为正三角形，. ①若，判断该三棱锥是否为完美三棱锥，并说明理由； ②若，且该三棱锥为完美三棱锥，求二面角的余弦值. 3 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选修第一册第1--2章空间向量与立体几何+直线方程。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为点，若点关于平面的对称点为点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出关于轴的对称点，点关于平面的对称点，再计算的值． 【详解】空间直角坐标系中，关于轴的对称点为， 点关于平面的对称点为点， 所以． 故选：B． 2．若直线：与直线：平行，则＝（   ） A． B．或3 C． D．3 【答案】B 【分析】根据两直线平行，系数满足的关系求的值即可. 【详解】因为两直线平行，所以： ， 所以或. 故选：B 3．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量线性运算原则求解即可. 【详解】由题意，， ， 则， 故选：D. 4．直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】由直线经过点得，然后计算直线在两坐标轴上的截距，然后根据截距相反列式计算即可. 【详解】由题意，因为直线经过点，所以，则直线. 当时，直线在轴上不存在截距，不满足题意； 所以，令，则，令，则. 由题意，化简得，解得或， 故的所有可能取值之和为. 故选：C. 5．已知两点，，动点在线段AB上运动，则xy的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】先写出直线AB的方程；再利用基本不等式即可求解. 【详解】由，可得：， 则直线AB的方程为：，即. 又因为动点在线段AB上运动， 所以， 则，当且仅当，即，时等号成立， 所以.最大值为3. 故选：C. 6．，，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，，表示出与，由点E到直线的距离为可计算得到答案 【详解】    如图所示，为的中点，则，，又， ， ， ， 点E到直线DF的距离为． 故选：C 7．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立如图所示的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，由反射性质得四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可． 【详解】 建立如图所求的直角坐标系，得，， 则直线方程为， 且的重心为，即， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，则， 易知关于轴的对称点为， 根据光线反射原理知四点共线，且，， 所以直线的方程为，即， 又直线过， 所以，解得或（舍去）， 所以，，, 所以， 所以的周长为. 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用对称性，把的三边转化到同一条直线上，利用直线方程求得点的坐标. 8．如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当的空间直角坐标系，因为位于的同侧，设关于平面的对称点为，根据求解. 【详解】以为原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，． 设A关于平面的对称点为，， 则，． 设平面的法向量，则， 令，则，，所以， 所以A与到平面的距离， 即        ①． 又，所以，即        ②． 由①②得，由可得，，， 所以， 所以， 当且仅当，，三点共线时取等号， 所以的最小值为． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据斜率与倾斜角关系及正切函数性质依次判断各项的正误. 【详解】A：由表明斜率存在，则， 由正切函数在上，倾斜角和斜率一一对应，故，对； B：若，时，相应的倾斜角，，不满足，错； C：由正切函数的图象知： 当和时，； 当，时，； 当或时，或不存在，错； D：因为，结合正切函数的图象知，， 所以，对. 故选：AD 10．已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得∥面 B．存在点，使得面 C．若与的夹角为，则点的轨迹长度为 D．若为面的中心，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】A项，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，通过证明∥即可得出结论；B项，求出面的法向量，计算出面时点的坐标，即可得出结论；C项，求出点的轨迹，即可求出点的轨迹长度；D项，作出取最小值时的图，根据对称性和两点之间距离公式即可求出的最小值. 【详解】由题意， 在正方体中，棱长为4， 动点在正方体表面上（不包括边界）， 连接，设的中点为，连接，设两线段交点为，连接， 建立空间直角坐标系如下图所示， ，.∴，∴∥， ∵面，面，∴∥面，∴当点在处时，面， ∴存在点，使得∥面，故A正确； B项，在面中，，设面的法向量为， 即，解得，当时，， 若面，则，，∵动点在正方体表面上， ∴，此时，与重合，∵点不在边界上，故不存在点，使得面，B错误； C项，因为，与的夹角为，所以与所成的角为， 则 由几何知识得，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆的四分之一（即）， 在中，，，， ∴， ∴点的轨迹长度为：，C正确； D项，为面的中心，作点关于平面的对称点， 连接，当最小时，， ∴，， ∴，D正确. 故选：ACD. 11．定义点到直线的有向距离为.已知点到直线的有向距离分别是以下命题不正确的是（    ） A．若，则直线与直线平行 B．若，则直线与直线垂直 C．若，则直线与直线垂直 D．若，则直线与直线相交 【答案】BCD 【分析】根据有向距离的定义可得直线的方程，故可判断A的正误，根据反例可判断BCD的正误. 【详解】设， 对于A，即为， 故， 所以直线的方程为：， 因为，直线与直线平行，故A正确； 对于B，设直线，取， 则，但，此时直线与直线不垂直，故B错误； 此时也成立，故C错误； 对于D，仍取直线，取， 此时，故成立，此时与直线重合，故D错误. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为 ． 【答案】或13 【分析】由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，即可得到答案． 【详解】由题意，，因为，所以，解得，所以：，即， 由两平行直线间的距离公式得，解得或． 在中，令，得，故直线在x轴上的截距为或13. 故答案为：或13. 13．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则 ． 【答案】 【分析】根据已知条件用空间向量的模的公式求出的长. 【详解】由条件知， 又二面角的平面角为，则，所以 ， 所以． 故答案为：. 14．棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则当三棱锥体积取最大时，其外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】先过作平面的平行面从而确定点的轨迹，再确定三棱锥体积取最大时的位置，进而找到球心所在方位即可求解. 【详解】如图，当点位于的中点时，取中点G，连接， 则由正方体性质有， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又且都在面，所以平面平面， 又面，所以平面， 所以的轨迹是以的中点为端点的线段， 因为， 所以当F点离平面距离最远时三棱锥体积最大， 此时，点与的中点重合， 取中点O，连接，则由正方体性质可得平面， 所以三棱锥的外接球球心在所在直线上， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则，球心为，则 于是，，所以外接球半径为， 所以.故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知直线过点，且直线的倾斜角比直线的倾斜角大． (1)求直线的方程； (2)若点在直线上，且，求的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据直线方程确定斜率，进而得到倾斜角，再求直线的斜率，应用点斜式写出直线方程； （2）根据目标式的几何意义，数形结合求其范围. 【详解】（1）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为， 则的倾斜角为，可知的斜率， 所以的方程为，即；（6分） （2）表示与点连线的斜率， 又是直线在部分上的动点，如下图示： 则，直线AB的斜率不存在，则， 即的取值范围为.（13分） 16.（15分）如图，在几何体中，平面平面，，，，，∥. (1)若为的中点，求证：平面； (2)若为等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接，，通过证明四边形为平行四边形得到，再利用线面平行的判定定理即可证得结论； （2）法一：延长，交于，连接，由此作出二面角的平面角.并证明，再求的余弦值即可. 法二：先证得两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法计算二面角的余弦值即可. 【详解】（1）取中点，连接，，则为的中位线. ， 又且. 四边形为平行四边形. 又平面，平面∥平面.(6分） （2）法一：延长，交于，连接 是等边三角形，为的中点,         又且. 为的中位线,为的中点又为的中点，为的中位线，，.               ∵平面平面，平面平面，平面平面. 平面，.因此，二面角的平面角为. 因此，平面与平面夹角的余弦值为.  （15分） 法二：∵平面平面，平面平面， 平面.            平面.     又等边三角形，为的中点                                   所以两两垂直，以为原点，如图建立空间直角坐标系. 因为， 所以，，，    设为平面的一个法向量，则 即   令，解得 设为平面的一个法向量.易得. 设平面与平面夹角为， . 因此，平面与平面夹角的余弦值为.（15分） 17.（15分） 已知的三个顶点是． (1)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程； (2)若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分别讨论当直线与平行，当直线通过的中点两种情况下，根据已知条件分别求出直线的方程. （2）利用基本不等式的性质求出三角形面积的最小值. 【详解】（1）因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点， ①当直线与平行，因为，且过点，所以方程为，即； （3分） ②当直线通过的中点，所以，所以的方程为，即． 综上：直线的方程为或．（7分） （2）由题意设，其中为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以，由基本不等式可得， 所以， 当且仅当即时，取得最小值24，所以面积， 所以当时，面积最小，此时直线的方程为，即．（15分） 18.（17分） 如图，圆台的一个轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于、的点． (1)求该圆台的侧面积； (2)若是线段的中点，求证：直线平面； (3)若，设直线为平面与平面的交线，设平面，点在线段上（不含端点），直线与平面所成的角大小为，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由圆台侧面积公式即可求解； （2）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形得到，然后根据线面平行的判定定理完成证明； （3）延长交于点，建立合适空间直角坐标系，然后利用向量法表示出，再根据二次函数的性质求解出最大值即可. 【详解】（1）因为， 所以圆台的侧面积为；（3分） （2）取中点，连接，如图， 因为为中点，所以， 在等腰梯形中，， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面；（9分） （3）延长交于点，作直线， 因为两点分别在平面与平面内， 所以直线即为直线， 又平面， 所以点，即为点， ，则， 以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 在等腰梯形中，， 此梯形的高为， 因为，所以为的中位线， 则， 所以， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得， 则有：， 令，则， 当时，，此时， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 综上所述，的最大值为.（17分） 19.（17分） 在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算．请根据以上信息，解决下列问题：在三棱锥中，若，则称这样的三棱锥为完美三棱锥. (1)在三棱锥中，，求证：该三棱锥是完美三棱锥； (2)已知三棱锥中，为正三角形，. ①若，判断该三棱锥是否为完美三棱锥，并说明理由； ②若，且该三棱锥为完美三棱锥，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2)①不是，证明见详解；② 【分析】（1）根据空间性向量基本定理，以为基底并结合完美三棱锥的定义化简得到，再结合向量垂直的性质得到证明等式即可. （2）①结合题意得到对应向量的数量积，再利用完美三棱锥的定义判断即可. ②由棱锥为完美三棱锥可得长，由两点间距离公式求得点坐标，进而求出关键平面的法向量，最后利用二面角的向量求法得到余弦值即可. 【详解】（1）由题意结合空间向量的线性运算化简得 ， ， 因为，所以， 即， 故该三棱锥是完美三棱锥，（4分） （2） ①该三棱锥不是完美三棱锥，为正三角形，，故，，又， 得到，由勾股定理逆定理得， 即，同理可得， 所以， 则该三棱锥不是完美三棱锥.（10分） ②如图，以为原点建立空间直角坐标系，则， 因为，由余弦定理得， 所以，， 因为该三棱锥为完美三棱锥， 所以， ， 解得，由余弦定理得，解得， 设，，解得， 即，设平面的一个法向量， 则，不妨取，则， 设平面的一个法向量，则， 不妨取，则，则， 由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为.(17分） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教 A版（2019）选修第一册第 1--2 章空间向量与立体几何+直线方程。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．在空间直角坐标系中，  1, 2,3B  关于 x轴的对称点为点B，若点  1,1, 2C  关于Oxz平面的对称点为点 C，则 B C  （ ） A． 2 B． 6 C． 14 D． 30 2．若直线 1l ： 8 0x y   与直线 2l ：  2 3 3 0x y     平行，则＝（ ） A． 1 B． 1 或 3 C． 1 2 D．3 3．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示， 已知四棱锥P ABCD 是阳马，PA 平面 ABCD，且 1 4 PE PC ，若 , ,AB a AD b AP c       ，则BE   （ ） A． 5 1 5 4 4 4 a b c     B． 5 1 5 4 4 4 a b c    C． 3 1 3 4 4 4 a b c    D． 3 1 3 4 4 4 a b c     4．直线 y kx b  经过点  1,8 ，在两坐标轴上的截距互为相反数，则 k的所有可能取值之和为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．已知两点  3,0A ，  0, 4B ，动点  ,P x y 在线段 AB上运动，则 xy的最大值为（ ） A． 12 5 B． 144 49 C．3 D．4 6．PA，PB，PC是从点 P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60， 1A， 1B ， 1C 分别是射线PA，PB， PC上的点，且 1 2PA  ， 1 4PB  ， 1 3PC  ，D，E，F分别为 1PA， 1PB ， 1 1BC 的中点，则点 E到直线DF 的距离为（ ）． A． 15 3 B． 21 3 C． 33 6 D． 39 6 7．在等腰直角 ABC 中， 3AB AC  ，点 P是边 AB上异于端点的一点，光线从点 P出发经BC，CA边 反射后又回到点 P，若光线QR经过 ABC 的重心，则 PQR 的周长等于（ ） A． 2 5 B．2 7 C．3 2 D．4 2 8．如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A BC 中，AC AB ， 1 1AC AB CC   ，E是线段 AB的中点，在 1A BC 内 有一动点 P（包括边界），则 PA PE   的最小值是（ ）． A． 33 2 B． 2 33 3 C． 33 6 D． 33 3 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．若两直线 1 2,l l 的倾斜角分别为 1 2,  ，斜率分别是 1 2,k k ，则下列命题正确的是（ ） A．若 1 2k k ，则 1 2  B．若 1 2k k ，则 1 2  C．若 1 2  ，则 1 2k k D．若 2 10k k  ，则 1 290   10．已知正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 4，动点 P在正方体表面 1111 DCBA 上（不包括边界），则下列说 法正确的是（ ） A．存在点 P，使得CP∥面 1ABD B．存在点 P，使得 AP 面 1ABD 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 C．若 AP与 1CC 的夹角为 π 6 ，则点 P的轨迹长度为 2 3 π 3 D．若M 为面 1 1C CDD 的中心，则 AP PM＋ 的最小值为2 14 11．定义点  0 0,P x y 到直线 2 2: 0( 0)l ax by c a b     的有向距离为 0 02 2     ax by c d a b .已知点 1 2,P P 到直线 l 的有向距离分别是 1 2,d d 以下命题不正确的是（ ） A．若 1 2 1d d  ，则直线 1 2PP 与直线 l平行 B．若 1 21, 1d d   ，则直线 1 2PP 与直线 l垂直 C．若 1 2 0d d  ，则直线 1 2PP 与直线 l垂直 D．若 1 2 0d d  ，则直线 1 2PP 与直线 l相交 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．若两条平行直线 1l ： 2 0x y m   与 2l ：2 6 0x ny   之间的距离是 2 5 ，则直线 1l 在 x轴上的截距 为 ． 13．如图，二面角 l   的棱上有两个点 A B， ，线段BD与 AC 分别在这个二面角两个面内，并且都垂 直于棱 l．若二面角 l   的平面角为 π 3 ，且 4AB  ， 6 5AC BD ， ，则CD  ． 14．棱长为2 的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，E为棱 1DD 的中点，F 为正方形 1 1C CDD 内一个动点（包括边 界），且 1 //B F 平面 1A BE，则当三棱锥 1 1B D DF 体积取最大时，其外接球的表面积为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分）已知直线 l过点 (1, 2)，且直线 l的倾斜角比直线 3 3 1 0x y   的倾斜角大 π 12 ． (1)求直线 l的方程； (2)若点  1 1,M x y 在直线 l上，且 1 [ 2,1)x   ，求 1 1 2 1 y x   的取值范围． 16．（15 分）如图，在几何体 ABCDE中，平面 ABC 平面 ACD， 2BE  ， 3AC  ， 4CD  ， =90ACD ， BE ∥CD . (1)若F 为 AC 的中点，求证： //BF 平面 AED； (2)若 ABC 为等边三角形，求平面 ABC与平面 AED夹角的余弦值. 17．（15 分）已知 ABC 的三个顶点是      2,3 , 1,2 , 4, 4A B C  ． (1)若直线 1l 过点C，且点A ， B到直线 1l 的距离相等，求直线 1l 的方程； (2)若直线 2l 过点A ，且与 x轴、 y轴的正半轴分别交于 P、Q两点，O为坐标原点，求三角形OPQ 面积取 最小值时直线 2l 的方程． 18．（17 分）如图，圆台 1 2OO 的一个轴截面为等腰梯形 1 1 1 1 1, 2 2 4A ACC AC AA AC   ， B为底面圆周上 异于A 、C的点． (1)求该圆台的侧面积S ； (2)若 P是线段BC的中点，求证：直线 1 / /C P 平面 1A AB； (3)若 AB BC ，设直线 l为平面 1A AB与平面 1C CB的交线，设 l平面 1 1AACC D ，点Q在线段BD上（不 含端点），直线 1BC 与平面QAC所成的角大小为 ，求 sin 的最大值． 19．（17 分）在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．由于任意两个空间向量都可以通过平 移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算．请根据以上信 息，解决下列问题：在三棱锥 A BCD 中，若 2 3 0AB CD AC BD AD BC            ，则称这样的三棱锥为完美 三棱锥. (1)在三棱锥 A BCD 中， , ,AB AC AC AD AB AD   ，求证：该三棱锥是完美三棱锥； (2)已知三棱锥中， ABD△ 为正三角形， 2AB AC  . ①若 2 2CB CD  ，判断该三棱锥是否为完美三棱锥，并说明理由； ②若 3CB  ，且该三棱锥 A BCD 为完美三棱锥，求二面角 A CD B  的余弦值.