专题08 全等三角形及其性质【知识考点+题型梳理+中考真题】2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

专题08 全等三角形及其性质【2大考点9大题型] （重难点常考题型精讲精练） 【知识考点 全等三角形及其性质】 【解题知识必备】 1.全等三角形的有关概念 （1）全等图形：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，这样的两个图形叫作全等形。 （2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形． （3）互相重合的顶点叫作对应顶点，互相重合的边叫作对应边，互相重合的角叫作对应角． （4）全等三角形的表示方法： ①全等用符号“”表示，读作“全等于”． ②表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．这样容易写出对应边、对应角．如图中的与全等，记作“”，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点． 2.全等三角形的性质 （1）全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等． 如图（1），把沿BC所在直线向右平移一段距离，得到，则． 如图（2），把沿BC所在直线翻折，得到，则． 如图（3），把绕点A旋转，得到，则． （2）全等三角形的基本性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等． 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 全等图形的识别 【题型02】 全等三角形概念的理解 【题型03】 利用全等三角形的性质判断结论正误 【题型04】 利用全等三角形的性质求角度 【题型05】 利用全等三角形的性质求线段长度 【题型06】 利用全等三角形的性质求周长 【题型07】 利用全等三角形的性质求面积 【题型08】 利用全等三角形的性质证明 【题型09】 利用全等三角形的性质解决动点问题 【特训10】 直通中考真题 【核心考点板块1 全等三角形的有关概念 】 方法与技巧： 1.全等图形具有以下两个性质特征（“两相同”与“两无关”） （1）“两相同”： ①形状相同；两个图形的对应的角度、边数等几何结构完全一致，没有任何形状上的差异； ②大小相同：两个图形的所有对应线段长度相等，对应角的度数相等，面积、周长等度量值也完全相同。 (2)“两无关”：①与位置无关；②与方向无关. 2.特别注意：写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角. 【题型01】 全等图形的识别 【例1】（2024-2025八年级上·贵州贵阳·期中）下列各组图形中，属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等图形，根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解． 【解答】解：A、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故A选项不符合题意； B、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故B选项不符合题意； C、由图可知两个图形可以完全重合，所以是全等图形，故C选项符合题意； D、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】（2024-2025八年级上·吉林白城·阶段练习）下列各组图形中全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的识别，根据全等图形是能够完全重合的两个图形进行分析即可得出答案，熟练掌握全等图形的定义是解此题的关键． 【解答】解：根据全等图形的定义可得：只有D选项符合题意， 故选：D． 【变式1-2】（2023-2024七年级下·全国·假期作业）下列叙述中错误的是（   ） A．能够完全重合的两个图形称为全等图形 B．全等图形的形状和大小都相同 C．所有正方形都是全等图形 D．平移、翻折、旋转前后的图形全等 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，全等形的性质，由全等图形的性质和平移，折叠，旋转的性质依次判断可求解． 【解答】解：A、能够完全重合的两个图形称为全等形，故A选项不符合题意； B、全等形的形状和大小都相同，故B选项不符合题意； C、所有正方形不一定是全等形，故D选项符合题意； D、平移、翻折、旋转前后的图形全等，故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-3】（2024-2025八年级上·河北唐山·期中）下列图形中，是全等图形的是（ ） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，掌握全等的定义是解题的关键．根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断． 【解答】解：考虑三角形的阴影，图形顺时针旋转可得到图形， 因此，与是全等图形， 故选：D． 【题型02】 全等三角形概念的理解 【例2】（2024-2025八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念即可判断，正确找出对应边，对应角是解题的关键． 【解答】解：∵，点和是对应点，点和是对应点， ∴的对应角是， 故选：． 【变式2-1】（2024-2025七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 【解答】解： ， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 【变式2-2】（2024-2025八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，熟练寻找全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．根据全等三角形中的对应边、对应角的定义依次判定即可． 【解答】解：由得： ①与是对应边，故①不符合题意； ②与是对应边，故②符合题意； ③与是对应角，故③符合题意； ④与是对应角，与是对应角，故④不符合题意； 故正确的有②③， 故选：B． 【变式2-3】（2024-2025八年级上·江苏连云港·期中）若，则的对应边是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念判断即可． 【解答】解：∵， ∴的对应边是， 故答案为：． 【核心考点板块2 全等三角形的性质】 方法与技巧： 1.全等三角形的基本性质：对应边相等，对应角相等． 2.全等三角形的性质拓展： （1）全等三角形的周长相等； （2）全等三角形的面积相等； （3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 【题型03】 利用全等三角形的性质判断结论正误 【例3】（2024-2025八年级上·天津·期末）如图，已知，且点D恰好在的边上，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．根据全等三角形的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得到，继而得到，从而得解； 【解答】∵ ∴，， ， ∴是等腰三角形， ∴ ∴， 故正确的为：A，B，C，不正确的为D 故选：D 【变式3-1】（2024-2025七年级下·上海杨浦·期中）如图，如果，且点D在上，那么下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．根据全等三角形的对应角相等，结合等腰三角形的性质和三角形的外角性质逐项判断即可． 【解答】解：∵， ∴，，，， ∴，， ∴， 又， ∴， 故选项A、B、C正确，不符合题意； 现有条件无法证明，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【变式3-2】（2024-2025八年级上·河北邢台·期中）如图，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，延长交于，由全等三角形的性质可得，，，，再由三角形内角和定理得出，即，即可得解． 【解答】解：如图，延长交于， ∵， ∴，，，，故选项A、C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故选项B正确，不符合题意； 和不一定相等，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【变式3-3】（2024-2025七年级下·甘肃兰州·期中）如图：、是的边、上的点，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，逐项分析判断，即可求解． 【解答】， ，，，，故①正确 ， ，， ，，故③④正确 是的中点， ， 又， ；所以②正确 故答案为：①②③④． 【题型04】 利用全等三角形的性质求角度 【例4】（2024-2025七年级下·四川雅安·期中）如图，，且，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 利用全等三角形的性质结合三角形内角和定理以及三角形外角的性质得出答案． 【解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式4-1】（2024-2025八年级上·江苏南通·期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形对应角相等是解题的关键． 先根据三角形内角和定理求出，再由全等三角形的性质即可求解． 【解答】解：如图， 由题意得：， ∵这两个三角形是全等三角形，均是的夹角， ∴， 故选：C． 【变式4-2】（2024-2025七年级下·贵州贵阳·期中）如图，已知，其中，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据，可得，继而推导出，则，即可解答． 【解答】解：∵， ∴． 故答案为：． 【变式4-3】（2024-2025八年级上·山东德州·期中）如图，，，，点E在边上，则的度数为 ． 【答案】/65度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定及性质；由全等三角形的性质得，，由等腰三角形的判定及性质得，即可求解；掌握全等三角形的性质，等腰三角形的判定及性质是解题的关键． 【解答】解：， ，， ，， ； 故答案为：． 【题型05】 利用全等三角形的性质求线段长度 【例5】（2024-2025七年级下·四川巴中·期末）如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，即可得到答案． 【解答】解：， ， ， ． 故选B． 【变式5-1】（2024-2025八年级上·北京·期末）如图，和是对应角．在中，是最长边，在中，是最长边，，则线段的长度及的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，即可求解． 【解答】解：∵和是对应角． ∴， 故选：C． 【变式5-2】（2023-2024八年级上·河南商丘·期中）已知的三边长为x，2，6，的三边长为5，6，y，若与全等，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质并准确识图是解题的关键．根据全等三角形对应边相等解答即可求出． 【解答】解：因为与全等，的三边长为x，2，6，的三边长为5，6，y， ∴， ∴所， 故答案为：7． 【变式5-3】（2024-2025七年级下·广东深圳·期中）如图，已知，点在边上，与交于点． （1）若，，求线段的长； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）22；（2） 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角、对应边相等，是解题的关键． （1）由全等三角形的对应边相等得出，结合即可求解； （2）由全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和定理，即可求解． 【解答】解：（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型06】 利用全等三角形的性质求周长 【例6】（2022-2023八年级上·广东中山·阶段练习）如图，中，点D、点E分别在边、上，连结、，若，，且的周长比的周长大6．求的周长． 【答案】12 【分析】由可得，由，设，，，则可分别表示的周长与的周长，由的周长比的周长大6得，则可得的值，从而可求得的周长． 【解答】解：， ， ，设，，， ，， 的周长比的周长大6， ， ， 的周长为． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，由比的关系引入参数并建立方程求解是本题的关键． 【变式6-1】（2024-2025八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图， ， 的周长为，且，则 的周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【分析】此题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质得出的周长为．由全等三角形的性质得出的周长为，进而得出的周长的周长即可． 【解答】解：∵ ，的周长为， ∴的周长为，， ∴的周长 的周长 ． 故选：A． 【变式6-2】（2024-2025七年级下·山东济南·期中）如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【解答】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为． 故答案为：． 【变式6-3】（2024-2025八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，，， （1）求的度数 （2）若，，求四边形的周长 【答案】（1）；（2）20 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解答本题的关键． （1）由全等三角形的性质得，求出，，然后根据三角形内角和即可求出的度数． （2）由全等三角形的性质得，，然后根据周长公式求解即可． 【解答】解：（1）解：∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴四边形的周长． 【题型07】 利用全等三角形的性质求面积 【例7】（2024-2025八年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，在四边形中，点C在边上，连接，．已知，若，．记，，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积公式，过点作，交于点，由得到，再根据三角形面积公式求出，，即可得出结论，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【解答】解：过点作，交于点，如图： ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式7-1】（2023-2024八年级上·全国·专题练习）如图，若，且，则阴影部分的面积 ． 【答案】16 【分析】根据“全等三角形的对应边相等”推知，然后结合三角形的面积公式作答． 【解答】解：∵，， ∴， ∴． ∴． 故答案为：16． 【点评】本题考查全等三角形的性质和三角形的面积，熟记知识点是关键． 【变式7-2】（2024-2025七年级下·河北张家口·期中）如图，，若的面积为，的面积为2，则的面积为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了全等三角形的性质、与三角形中线有关的面积的计算，由全等三角形的性质可得，，求出，即可得解． 【解答】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-3】（2024-2025七年级下·浙江绍兴·期中）如图，在中，，将沿方向向右平移得到，交于G，已知，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，全等的性质；由平移得到三角形全等、线段相等是解题的关键． 由平移得，于是阴影部分面积等于梯形的面积，求得梯形的面积=，于是阴影部分的面积． 【解答】解：∵沿着点A到点C的方向平移到的位置， ∴， ∴阴影部分面积等于梯形的面积， 由平移的性质得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴梯形的面积=， ∴阴影部分的面积． 故答案为：35． 【题型08】 利用全等三角形的性质证明 【例8】（2024-2025七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知，是锐角，，，延长交于点F，交于点G． （1）判断直线与是否垂直？请说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1），理由见分析；（2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理应用，平行线的性质，垂线定义理解，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据，得出，证明，求出，即可得出结论； （2）根据，得出，根据平行线的性质得出，最后求出结果即可． 【解答】解：（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式8-1】（2024-2025八年级上·河北保定·期中）如图，，点，，，在一条直线上． (1)求证：； (2)连接．若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，正确理解全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据得出,根据，问题得证； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【解答】（1）解：， ，即， ； （2）， ， ， ， 平分， ， 设，则 在中，根据三角形内角和定理，得 ， 【变式8-2】（2024-2025七年级下·山东济南·期中）如图：在中，、分别是、两边上的高． (1)求证：； (2)当时，与的位置关系如何，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，三角形的高线，全等三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由三角形的高线，得出，再结合直角三角形的两个锐角互余，即可作答． （2）先由得出，根据三角形的高线，得出，再结合直角三角形的两个锐角互余，以及角的等量代换，即可作答． 【解答】（1）解：∵、分别是、两边上的高． ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵是两边上的高． ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【变式8-3】（2024-2025八年级上·北京·期中）如图，已知，，，且点在线段上． （1）求的长． （2）求证：． （3）猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）证明见分析；（3）直线与直线垂直，理由见分析． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解； （）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证； （）延长交于点，根据全等三角形的性质得出，最后由三角形内角和即可求解． 【解答】解：（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴ ∴， ∴； （3）解：直线与直线垂直，理由： 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴． 【题型09】 利用全等三角形的性质解决动点问题 【例9】（2024-2025七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解． 【解答】解：设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，， ∴， ∵， ∴或， 当时，，， ∴，解得：， ∴， 解得：； 当时，， ∴，解得：； 综上所述，点运动速度为或． 故选：A． 【变式9-1】（2024-2025八年级上·海南·期中）如图，在长方形中，，，延长至点使，连接，动点从点出发，以每秒的速度沿折线运动．当点运动 秒时，和全等． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，①点在上时，由全等三角形的性质，即可求解；②点在上时，同理可求；掌握全等三角形的性质，能根据点的位置进行分类讨论是解题的关键． 【解答】解：①点在上时，如图， ， ， 运动秒； ②点在上时，如图， ， ， ， 的运动路程为： ， ， 运动秒； 运动或秒； 故答案为：或． 【变式9-2】（2024-2025八年级·山西晋中·期中）某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考．现将两个全等的和重叠在一起，固定不变，将沿射线平移．若的周长为8，平移的距离为2，则四边形的周长 ． 【答案】12 【分析】本题考查平移性质，根据平移性质得到，进而可求解． 【解答】解：∵沿方向平移的距离为2， ∴，， ∵的周长为8，即， ∴ ∴四边形的周长为， 故答案为：12． 【变式9-3】（2024-2025八年级上·江苏无锡·期中）如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】(1)或 (2)点Q的运动速度为或 【分析】本题考查三角形面积的求法，三角形中线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用．理解题意，利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可求出，分类讨论：①当点P在上时；②当点P在上时；③当点P在上时，分别列方程求解即可； （2）分类讨论：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时，结合全等三角形的性质分别列方程求解即可． 【解答】（1）解：∵在中，， ∴， ∴． 分类讨论：①当点P在上时，不存在； ②当点P在上时，此时，如图， ∴， ∴； ③当点P在上时，此时，如图， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴． 综上可知当或时，的面积等于面积的一半； （2）解：∵， ∴只存在两种情况：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时． 设点Q的运动速度为， ①当点P位于，点Q位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为； ②当点Q位于，点P位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为． 综上可知点Q的运动速度为或． 【特训10】 直通中考真题 【选择题】 1．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键． 先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答． 【解答】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故选C． 2．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质．由旋转的性质得到，推出，即可求解． 【解答】解：∵， ∴，， ∵将绕点O逆时针旋转到， ∴， ∴，， ∴点B坐标为， 故选：A． 3．（2021·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意易得，，然后问题可求解． 【解答】解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键． 【填空题】 4．（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【解答】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 5．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．根据点在第一象限（不与点重合），且与全等，画出图形，结合图形的对称性可直接得出． 【解答】解：∵点在第一象限（不与点重合），且与全等， ∴，， ∴可画图形如下， 由图可知点C、D关于线段的垂直平分线对称，则． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 全等三角形及其性质【2大考点9大题型] （重难点常考题型精讲精练） 【知识考点 全等三角形及其性质】 【解题知识必备】 1.全等三角形的有关概念 （1）全等图形：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，这样的两个图形叫作全等形。 （2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形． （3）互相重合的顶点叫作对应顶点，互相重合的边叫作对应边，互相重合的角叫作对应角． （4）全等三角形的表示方法： ①全等用符号“”表示，读作“全等于”． ②表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．这样容易写出对应边、对应角．如图中的与全等，记作“”，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点． 2.全等三角形的性质 （1）全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等． 如图（1），把沿BC所在直线向右平移一段距离，得到，则． 如图（2），把沿BC所在直线翻折，得到，则． 如图（3），把绕点A旋转，得到，则． （2）全等三角形的基本性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等． 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 全等图形的识别 【题型02】 全等三角形概念的理解 【题型03】 利用全等三角形的性质判断结论正误 【题型04】 利用全等三角形的性质求角度 【题型05】 利用全等三角形的性质求线段长度 【题型06】 利用全等三角形的性质求周长 【题型07】 利用全等三角形的性质求面积 【题型08】 利用全等三角形的性质证明 【题型09】 利用全等三角形的性质解决动点问题 【特训10】 直通中考真题 【核心考点板块1 全等三角形的有关概念 】 方法与技巧： 1.全等图形具有以下两个性质特征（“两相同”与“两无关”） （1）“两相同”： ①形状相同；两个图形的对应的角度、边数等几何结构完全一致，没有任何形状上的差异； ②大小相同：两个图形的所有对应线段长度相等，对应角的度数相等，面积、周长等度量值也完全相同。 (2)“两无关”：①与位置无关；②与方向无关. 2.特别注意：写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角. 【题型01】 全等图形的识别 【例1】（2024-2025八年级上·贵州贵阳·期中）下列各组图形中，属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024-2025八年级上·吉林白城·阶段练习）下列各组图形中全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023-2024七年级下·全国·假期作业）下列叙述中错误的是（   ） A．能够完全重合的两个图形称为全等图形 B．全等图形的形状和大小都相同 C．所有正方形都是全等图形 D．平移、翻折、旋转前后的图形全等 【变式1-3】（2024-2025八年级上·河北唐山·期中）下列图形中，是全等图形的是（ ） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 【题型02】 全等三角形概念的理解 【例2】（2024-2025八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024-2025七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（2024-2025八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【变式2-3】（2024-2025八年级上·江苏连云港·期中）若，则的对应边是 ． 【核心考点板块2 全等三角形的性质】 方法与技巧： 1.全等三角形的基本性质：对应边相等，对应角相等． 2.全等三角形的性质拓展： （1）全等三角形的周长相等； （2）全等三角形的面积相等； （3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 【题型03】 利用全等三角形的性质判断结论正误 【例3】（2024-2025八年级上·天津·期末）如图，已知，且点D恰好在的边上，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024-2025七年级下·上海杨浦·期中）如图，如果，且点D在上，那么下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024-2025八年级上·河北邢台·期中）如图，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024-2025七年级下·甘肃兰州·期中）如图：、是的边、上的点，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 （填序号）． 【题型04】 利用全等三角形的性质求角度 【例4】（2024-2025七年级下·四川雅安·期中）如图，，且，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024-2025八年级上·江苏南通·期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024-2025七年级下·贵州贵阳·期中）如图，已知，其中，则的度数是 ． 【变式4-3】（2024-2025八年级上·山东德州·期中）如图，，，，点E在边上，则的度数为 ． 【题型05】 利用全等三角形的性质求线段长度 【例5】（2024-2025七年级下·四川巴中·期末）如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式5-1】（2024-2025八年级上·北京·期末）如图，和是对应角．在中，是最长边，在中，是最长边，，则线段的长度及的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2023-2024八年级上·河南商丘·期中）已知的三边长为x，2，6，的三边长为5，6，y，若与全等，则 ． 【变式5-3】（2024-2025七年级下·广东深圳·期中）如图，已知，点在边上，与交于点． （1）若，，求线段的长； （2）若，，求的度数． 【题型06】 利用全等三角形的性质求周长 【例6】（2022-2023八年级上·广东中山·阶段练习）如图，中，点D、点E分别在边、上，连结、，若，，且的周长比的周长大6．求的周长． 【变式6-1】（2024-2025八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图， ， 的周长为，且，则 的周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式6-2】（2024-2025七年级下·山东济南·期中）如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ． 【变式6-3】（2024-2025八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，，， （1）求的度数 （2）若，，求四边形的周长 【题型07】 利用全等三角形的性质求面积 【例7】（2024-2025八年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，在四边形中，点C在边上，连接，．已知，若，．记，，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式7-1】（2023-2024八年级上·全国·专题练习）如图，若，且，则阴影部分的面积 ． 【变式7-2】（2024-2025七年级下·河北张家口·期中）如图，，若的面积为，的面积为2，则的面积为 ． 【变式7-3】（2024-2025七年级下·浙江绍兴·期中）如图，在中，，将沿方向向右平移得到，交于G，已知，则阴影部分的面积为 ． 【题型08】 利用全等三角形的性质证明 【例8】（2024-2025七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知，是锐角，，，延长交于点F，交于点G． （1）判断直线与是否垂直？请说明理由； （2）若，求的度数． 【变式8-1】（2024-2025八年级上·河北保定·期中）如图，，点，，，在一条直线上． (1)求证：； (2)连接．若，求的度数． 【变式8-2】（2024-2025七年级下·山东济南·期中）如图：在中，、分别是、两边上的高． (1)求证：； (2)当时，与的位置关系如何，请说明理由． 【变式8-3】（2024-2025八年级上·北京·期中）如图，已知，，，且点在线段上． （1）求的长． （2）求证：． （3）猜想与的位置关系，并说明理由． 【题型09】 利用全等三角形的性质解决动点问题 【例9】（2024-2025七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（   ） A．或 B． C．或 D． 【变式9-1】（2024-2025八年级上·海南·期中）如图，在长方形中，，，延长至点使，连接，动点从点出发，以每秒的速度沿折线运动．当点运动 秒时，和全等． 【变式9-2】（2024-2025八年级·山西晋中·期中）某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考．现将两个全等的和重叠在一起，固定不变，将沿射线平移．若的周长为8，平移的距离为2，则四边形的周长 ． 【变式9-3】（2024-2025八年级上·江苏无锡·期中）如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【特训10】 直通中考真题 【选择题】 1．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 2．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2021·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【填空题】 4．（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ． 5．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$