精品解析：广西南宁市天桃实验学校2025-2026学年上学期九年级数学开学考试卷

2025年秋季学期九年级九月单元作业 数学 考试时间：120分钟 满分：120分 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效；考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，2，1 B. 1，，1 C. 0，2，1 D. 0，，1 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式是（ ） A B. C. D. 3. 最近人工智能引起了大家的热议，以下的是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较高且状态稳定的同学参加数学比赛，那么应选（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A. 甲 B. C. 丙 D. 丁 6. 小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的常量是（ ） A. 商品名称 B. 数量 C. 单价 D. 金额 7. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，已知点是一次函数图象上的一点，则方程的解是（ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 若三边长分别为，，，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 11. 二次函数（为常数，且）部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④图象过点．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 如图，边长为的正方形纸片，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形．再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点正好重合于上底面一点，且此长方体盒子的表面积为，其中．若设的长为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 要使二次根式有意义，则x需满足的条件是______． 14. 某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为________． 15. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 16. 如图，在矩形中，，，为的中点，以为边在矩形的外部作正方形，连接，为的中点，连接，，则的长为________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程： 18. 已知：与成正比例，当时，； （1）求与之间的函数解析式； （2）若点、均在该函数图象上，则______，______； （3）求线段的长． 19. 如图，是正方形中边上一点，把绕点顺时针旋转． （1）旋转后点与点______重合； （2）尺规作图：作出旋转后的图形，其中点的对应点为点（不写作法，标明字母，保留作图痕迹）； （3）若正方形边长为3，为1，连接，求长． 20. 4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校甲、乙两班联合举办了“航天知识”竞赛，竞赛满分为100分，80分及以上为优秀．从甲班和乙班各随机抽取8名学生，对这8名学生的成绩进行了收集、整理、分析． 【收集数据】 甲班8名学生竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75，75． 乙班8名学生竞赛成绩：100，90，79，90，83，85，56，75． 【整理数据】小康同学将甲、乙两个班级抽取学生的成绩进行了整理，并绘制了如下统计图． 特征数班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 82.25 80 n 乙班 82.25 m 90 【分析数据】甲、乙两个班级抽取学生的竞赛成绩统计表． 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： （1）填空：______，______，______（填“>”“<”或“=”）． （2）请选择以上数据进行分析，你认为哪个班成绩比较好，并说明理由．（写出一条即可） （3）甲班共有学生52人，乙班共有学生48人，按竞赛规定：80分及以上的学生可以获奖，估计这两个班获奖的总人数是多少？ 21. 某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克40元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价，且不得高于成本价的2倍．经市场调研发现，日销售量（千克）与销售单价（元）符合一次函数关系，如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）若该经销商希望每天获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （3）在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 22. 【项目式学习】 项目主题：无人机灌溉研究． 项目背景：无人机灌溉能高效精准供水，减少浪费，助力农业现代化． 驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉． 建立模型：如图1，设无人机控制中心为点，两个喷水口分别为点，且点在同一条水平直线上，．如图2，以为坐标原点，竖直方向为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．喷水口点和点到点的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴的交点为，． （1）求点所在抛物线函数表达式． 问题解决： （2）无人机控制中心距地面的初始高度为，为了精准灌溉，需要调整无人机的高度到合适位置，如图3，要使宽度为的田埂（高度忽略不计）恰好不被喷洒到水，求无人机应下降的高度． （3）如图4，在直线上再增加2个喷水口和，在左侧，在右侧，且，当无人机上升到距地面高度为时，求此时喷洒水覆盖区域宽度的长． 23. 【问题情境】如图1，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点． （1）【猜想证明】如图2，当时，判断四边形的形状并说明理由； （2）如图3，当时，连接，求此时的面积； （3）【能力提升】是否存在，使点三点共线．若存在，请直接写出此时的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季学期九年级九月单元作业 数学 考试时间：120分钟 满分：120分 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效；考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，2，1 B. 1，，1 C. 0，2，1 D. 0，，1 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查了一元二次方程， 根据一元二次方程的一般形式确定出所求即可． 【分析】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为1、、1． 故选：B． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式．根据最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因式和因数，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 3. 最近人工智能引起了大家的热议，以下的是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别；根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：C． 4. 如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边平行结合平行线的性质可证，再由已知条件即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 5. 甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较高且状态稳定的同学参加数学比赛，那么应选（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A. 甲 B. C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平均数和方差的意义，熟练掌握平均数和方差的意义是解题的关键；方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 此题有两个要求：①平均成绩较高，②状态稳定．于是应选平均数较大、方差较小的运动员参赛． 【详解】解：由于甲的平均数较大且方差较小， 故选：A 6. 小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的常量是（ ） A. 商品名称 B. 数量 C. 单价 D. 金额 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了常量与变量，根据常量是固定不变的量即可得解，熟练掌握常量的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵付款金额随购物数量的变换而变化， ∴单价是常量， 故选：C． 7. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的平移．根据平移规律：左加右减，上加下减进行计算即可． 【详解】解：由题意得：； 故选：B． 8. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质．根据旋转的性质可得，，证明是等边三角形，即可得的长． 【详解】解：连接，如图所示： 将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， 则， 故选：A． 9. 如图所示，已知点是一次函数图象上的一点，则方程的解是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合的数学思想是解题的关键．根据一次函数的性质判断即可． 【详解】解：根据题意，当时，， ∴方程的解是． 故选：B． 10. 若三边长分别为，，，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、二次根式的乘法，判断三角形是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理验证（两较短边的平方和等于最长边的平方）后，直接利用三角形的面积公式计算面积即可． 【详解】解：∵，，， ∴，满足两较短边的平方和等于最长边的平方， ∴故为直角三角形，且直角边为和， ∴的面积为， 故选：A． 11. 二次函数（为常数，且）的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④图象过点．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的知识；由抛物线的对称轴性质，可对③进行判断；利用抛物线的开口方向、对称轴位置、与y轴交点的位置，则可对①进行判断；结合当时，，可对②进行判断；最后根据抛物线的对称性计算，即可完成求解． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴，即③正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，即①正确； 根据图象，当时，， ∴将代入，得， 即②正确； ∵抛物线图象过点，对称轴为直线， ∴抛物线和x轴的另一个交点横坐标为， ∴抛物线图象过点，即④正确； 综上，正确的共有4个， 故选：D． 12. 如图，边长为的正方形纸片，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形．再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点正好重合于上底面一点，且此长方体盒子的表面积为，其中．若设的长为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设的长为，则，根据长方体盒子的表面积为，可知阴影部分面积为，而阴影部分可以拼接成一个边长为的正方形，据此建立方程即可． 【详解】解：设的长为，则， 由题意得， 故选：D． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 要使二次根式有意义，则x需满足条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义需被开方式大于等于0是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 14. 某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数．根据加权平均数的计算方法即可解答本题． 【详解】解：依题意，该学生的课堂评价成绩为 故答案为：． 15. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键． 由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，． 故答案：． 16. 如图，在矩形中，，，为的中点，以为边在矩形的外部作正方形，连接，为的中点，连接，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查矩形和正方形的性质，勾股定理以及直角三角形的性质等知识，延长交于点．证明，求出，由勾股定理得出，从而求出的长． 【详解】解：如图，延长交于点． 四边形为矩形， ，，． 为的中点， ． 四边形为正方形， ，，， ，，三点在一条直线上， ． ． ． 为的中点， ， 又， ． ，． ，， 在中，由勾股定理，得， ． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减混合运算，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先化简各二次根式，再进行加减即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 其中，，，，， 所以， 解得：，． 18 已知：与成正比例，当时，； （1）求与之间的函数解析式； （2）若点、均在该函数图象上，则______，______； （3）求线段的长． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，正比例的性质，求函数值或自变量的值，勾股定理求两点距离； （1）设出正比例函数解析式，代入、求出即可； （2）将点、代入函数解析式，即可求解； （3）根据（2）得出，进而根据两点距离公式，即可求解． 【小问1详解】 解：由于与成正比例，所以设． 当时，， ． ． 即． 【小问2详解】 解：点、均在该函数图象上， ∴， ∴ 故答案为：，． 【小问3详解】 由（2）可得 ∴ 19. 如图，是正方形中边上一点，把绕点顺时针旋转． （1）旋转后点与点______重合； （2）尺规作图：作出旋转后的图形，其中点的对应点为点（不写作法，标明字母，保留作图痕迹）； （3）若正方形边长为3，为1，连接，求长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定，尺规作图，熟练掌握旋转的性质和尺规作图的方法是解题的关键． （1）由正方形的性质得出，，即可得到旋转后点与点重合； （2）延长，以为圆心长为半径作弧，交的延长线于点，连接，即可得到旋转后的图形； （3）分别求出、，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：正方形， ，， ∵绕点A顺时针旋转， 旋转后点与点重合， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作： 证明：在正方形中，， ∴， 由作图知， 在与中， ， ∴， ∵， ∴即为绕点顺时针旋转的图形； 【小问3详解】 解：如图，∵正方形的边长为3， ∴, ∵， ∴，， ∴， ∴． 20. 4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校甲、乙两班联合举办了“航天知识”竞赛，竞赛满分为100分，80分及以上为优秀．从甲班和乙班各随机抽取8名学生，对这8名学生的成绩进行了收集、整理、分析． 【收集数据】 甲班8名学生竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75，75． 乙班8名学生竞赛成绩：100，90，79，90，83，85，56，75． 【整理数据】小康同学将甲、乙两个班级抽取学生的成绩进行了整理，并绘制了如下统计图． 特征数班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 82.25 80 n 乙班 82.25 m 90 【分析数据】甲、乙两个班级抽取学生的竞赛成绩统计表． 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： （1）填空：______，______，______（填“>”“<”或“=”）． （2）请选择以上数据进行分析，你认为哪个班成绩比较好，并说明理由．（写出一条即可） （3）甲班共有学生52人，乙班共有学生48人，按竞赛规定：80分及以上的学生可以获奖，估计这两个班获奖的总人数是多少？ 【答案】（1）84，80，； （2）乙班，理由见解析 （3）69人 【解析】 【分析】本题考查了统计图与统计表，求中位数、众数与根据数据的波动程度比较方差，样本估计总体等知识；掌握这些知识是关键． （1）按照求中位数与众数的方法进行即可；根据两个班抽取学生成绩的波动程度可判断方差的大小； （2）从中位数考虑或方差考虑即可； （3）求出甲班优秀人数与乙班优秀人数的和即可． 【小问1详解】 解：将乙班学生成绩按高低排列，第4、5两个数分别为85、83，则； 甲班抽取的学生成绩中，80分出现的次数最多，则； 由折线统计图知，甲班的成绩波动程度小于乙班，则； 故答案为：84，80，； 【小问2详解】 解：从中位数来看，乙班的中位数高于甲班的中位数，故乙班成绩较好； 【小问3详解】 解：（人）； 答：这两个班获奖的总人数大约是69人． 21. 某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克40元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价，且不得高于成本价的2倍．经市场调研发现，日销售量（千克）与销售单价（元）符合一次函数关系，如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）若该经销商希望每天获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （3）在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价为元或元 （3）销售单价为元时，利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查待定系数法，二次函数解决实际问题，二次函数的性质． （1）运用待定系数法求解即可，设与之间的函数关系式为，将点，代入，求出，的值，即可解答； （2）由题意，利润，将代入，求解即可解答； （3）根据二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， ∵该函数的图象过，， ∴，解得， ∴与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：由题意，设利润为，则， ∴当时，， 解得，， ∴销售单价为50元或70元． 【小问3详解】 解：由（2）得到， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当销售单价为元时，该经销商每天获得的利润最大，最大利润是元． 22. 【项目式学习】 项目主题：无人机灌溉研究． 项目背景：无人机灌溉能高效精准供水，减少浪费，助力农业现代化． 驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉． 建立模型：如图1，设无人机控制中心为点，两个喷水口分别为点，且点在同一条水平直线上，．如图2，以为坐标原点，竖直方向为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．喷水口点和点到点的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴的交点为，． （1）求点所在抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）无人机控制中心距地面的初始高度为，为了精准灌溉，需要调整无人机的高度到合适位置，如图3，要使宽度为的田埂（高度忽略不计）恰好不被喷洒到水，求无人机应下降的高度． （3）如图4，在直线上再增加2个喷水口和，在左侧，在右侧，且，当无人机上升到距地面高度为时，求此时喷洒水覆盖区域宽度的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，包括根据点坐标求二次函数表达式、利用函数性质解决高度和距离问题；解题关键是通过题干建立的平面直角坐标系，准确找出各点坐标并代入二次函数表达式进行求解． （1）首先根据喷水口A、B到O距离相等且长度，确定A点在x轴上的坐标；由抛物线与y轴交点特征确定C点坐标．设抛物线的函数表达式为，将代入求解即可； （2）以无人机控制中心为原点建立平面直角坐标系，且明确喷水抛物线函数表达式不变． 由于田埂宽度为且关于y轴对称，设点的坐标为． 将其代入已知抛物线表达式，求出该点纵坐标，此纵坐标即为调整高度时无人机距地面高度， 用无人机初始高度减去调整高度时距地面高度，得到无人机应下降的高度． （3）根据已知条件求出M的坐标．设所在抛物线表达式为，根据无人机相对高度对应的点坐标代入，求出表达式．求出与x轴交点的坐标，由于覆盖区域关于y轴对称，用求出的横坐标距离乘以2，得到喷洒水覆盖区域宽度． 【详解】解：（1），点与点到点的距离相等， ， 点的坐标为． ， 点的坐标为． 设点所在抛物线的函数表达式为， 将点代入得． 解得． 点所在抛物线的函数表达式为． （2）以无人机控制中心所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系， 喷药口喷出的水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变． ，由题可知点和点关于轴对称， 可以设点的坐标为． 将点代入， 得． 点的坐标为． 此时无人机喷水口距离地面的高度为． ． 答∶ 无人机应该下降的高度为． （3） ∵，点坐标为， ∴点坐标为 ． ∵所在抛物线形状与所在抛物线相同，二次项系数相同， ∴所在抛物线表达式为， ∵无人机高度为， ∴点P的纵坐标为， 把代入中，得 ． 解得， ． ， 关于y轴对称， ， 长． 23. 【问题情境】如图1，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点． （1）【猜想证明】如图2，当时，判断四边形的形状并说明理由； （2）如图3，当时，连接，求此时的面积； （3）【能力提升】是否存在，使点三点共线．若存在，请直接写出此时的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）四边形是正方形，理由见解析； （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和旋转的性质可得，，则四边形是正方形； （2）作于，可得，从而得到，再根据勾股定理求出，利用三角形面积公式计算即可； （3）分两种情况讨论：当点在上时；当点在的延长线上时，根据三角形全等可得，然后根据勾股定理列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是正方形，理由如下， 如图2， 四边形是矩形， ， 将边绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； 【小问2详解】 如图2，作于， ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∵将边绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ 在中，， ； 【小问3详解】 存在， ∵四边形是矩形 ， 如图，当点上时，连接， ， ∴ ，，， ， ， 设，则， 根据旋转的性质得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：； 如图，当点在的延长线上时， 同理，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$