第一章 充要条件（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块上册》（高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【浙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第一章充要条件的考点梳理卷，主要梳理和考查了命题的结构与真假判断、逆命题的写出与真假判断、充分条件的定义与判断、必要条件的定义与判断、充要条件的判断、四种条件关系的辨析、数学具体情境中的条件判断等常见考点。 第一章 充要条件 目录 考点一 命题的结构与真假判断 1 考点二 逆命题的写出与真假判断 2 考点三 充分条件的定义与判断 2 考点四 必要条件的定义与判断 3 考点五 充要条件的判断 3 考点六 四种条件关系的辨析 4 考点七 数学具体情境中的条件判断 4 考点一 命题的结构与真假判断 1. 下列语句中，属于命题的是（ ） A. 今天天气真好啊！ B. 你吃饭了吗？ C. 如果 x 是整数，那么 x 是有理数 D. 请勿吸烟。 2. 下命题“如果一个角是直角，那么它等于90°”的真假性是（ ） A. 真命题 B. 假命题 C. 无法判断 D. 不是命题 3. 命题“如果 x > 3，那么 x > 5”的条件p和结论q分别是（ ） A. p：x > 3，q：x > 5 B. p：x > 5，q：x > 3 C. p：x 是实数，q：x > 5 D. p：x > 3，q：x 是实数 考点二 逆命题的写出与真假判断 4. 原命题“如果 x > 2，那么 x > 1” 的逆命题是（ ） A. 如果 x > 1，那么 x > 2 B. 如果 x ≤ 2，那么 x ≤ 1 C. 如果 x ≤ 1，那么 x ≤ 2 D. 以上都不对 5. 原命题“如果 a = 0，那么 ab = 0” 的逆命题是（ ） A. 如果 ab = 0，那么 a = 0 B. 如果 ab ≠ 0，那么 a ≠ 0 C. 如果 a ≠ 0，那么 ab ≠ 0 D. 以上都不对 6. 原命题“如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两个角相等” 的逆命题是（ ） A. 如果一个三角形有两个角相等，那么它是等腰三角形 B. 如果一个三角形不是等腰三角形，那么它没有两个角相等 C. 如果一个三角形没有两个角相等，那么它不是等腰三角形 D. 以上都不对 考点三 充分条件的定义与判断 7. 下列选项中，p是q的充分条件的是（ ） A. p：a = 0，q：ab = 0 B. p：x > 3，q：x > 5 C. p：ab = 0，q：a = 0 D. p：x 是实数，q：x 是有理数 8. 下列命题中，p是q的充分条件的是（ ） A. p：x 是偶数，q：x 是4的倍数 B. p：x > 0，q：x² > 0 C. p：x 是三角形，q：x 是等边三角形 D. p：x 是锐角，q：x 是第一象限角 9. 如果 p 是 q 的充分条件，那么 p ⇒ q 是______命题（填“真”或“假”）。 考点四 必要条件的定义与判断 10. “ab = 0” 是 “a = 0” 的必要条件吗？（ ） A. 是 B. 不是 C. 无法判断 D. 以上都不对 11. 下列命题中，p是q的必要条件的是（ ） A. p：“x > 1”，q：“x > 5” B. p：“x 是4的倍数”，q：“x 是偶数” C. p：“x 是等腰三角形”，q：“x 是三角形” D. p：“x² > 0”，q：“x > 0” 12. “” 是 “” 的 条件。 考点五 充要条件的判断 13. 下列选项中，p是q的充要条件的是（ ） A. p：“圆心到直线的距离等于半径”，q：“直线与圆相切” B. p：“a = 0”，q：“ab = 0” C. p：“x > 3”，q：“x > 5” D. p：“x 是有理数”，q：“x 是实数” 14. 下列命题中，p是q的充要条件的是（ ） A. p：“x 是偶数”，q：“x 是4的倍数” B. p：“x > 0”，q：“x² > 0” C. p：“x 是三角形”，q：“x 是等边三角形” D. p：“x = 0”，q：“x² = 0” 15. “x = 2” 是 “x² - 4 = 0” 的 条件。 考点六 四种条件关系的辨析 16. “x > 3” 是 “x > 2” 的（ ）条件。 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 17. “x 是实数” 是 “x 是有理数” 的（ ）条件。 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 18. “α = β” 是 “sinα = sinβ” 的（ ）条件。 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 19. 如果 p ⇒ q 但 q ⇏ p，那么 p 是 q 的______条件。 考点七 数学具体情境中的条件判断 20. “a > 1”是“指数函数 y = 在 R 上递增”的（ ）条件。 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 21. “”的充要条件是 。 22. “集合”是“集合”的充要条件，则m= 。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 从编写说明：本套【浙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第一章充要条件的考点梳理卷，主要梳理和考查了命题的结构与真假判断、逆命题的写出与真假判断、充分条件的定义与判断、必要条件的定义与判断、充要条件的判断、四种条件关系的辨析、数学具体情境中的条件判断等常见考点。 第一章 充要条件 目录 考点一 命题的结构与真假判断 1 考点二 逆命题的写出与真假判断 2 考点三 充分条件的定义与判断 3 考点四 必要条件的定义与判断 5 考点五 充要条件的判断 6 考点六 四种条件关系的辨析 7 考点七 数学具体情境中的条件判断 8 考点一 命题的结构与真假判断 1. 下列语句中，属于命题的是（ ） A. 今天天气真好啊！ B. 你吃饭了吗？ C. 如果 x 是整数，那么 x 是有理数 D. 请勿吸烟。 【答案】C 【分析】本题考查命题的定义（可以判断真假的陈述句）。 【详解】对于A选项：感叹句，无法判断真假，不是命题； 对于选项B：疑问句，无法判断真假，不是命题； 对于选项C：陈述句，“x 是整数”是条件（p），“x 是有理数”是结论（q），可以判断真假（真），是命题； 对于选项D：祈使句，无法判断真假，不是命题。 故选：C． 2. 下命题“如果一个角是直角，那么它等于90°”的真假性是（ ） A. 真命题 B. 假命题 C. 无法判断 D. 不是命题 【答案】A 【分析】本题考查命题的真假判断（几何定义的应用）。 【详解】直角的定义是“等于90°的角”，因此“一个角是直角”（p）必然推出“它等于90°”（q），命题为真。 故选：A． 3. 命题“如果 x > 3，那么 x > 5”的条件p和结论q分别是（ ） A. p：x > 3，q：x > 5 B. p：x > 5，q：x > 3 C. p：x 是实数，q：x > 5 D. p：x > 3，q：x 是实数 【答案】A 【分析】本题考查命题的结构（“如果p，那么q”）。 【详解】命题的结构为“如果[条件p]，那么[结论q]”，因此“x > 3”是条件（p），“x > 5”是结论（q）。 故选：A． 考点二 逆命题的写出与真假判断 4. 原命题“如果 x > 2，那么 x > 1” 的逆命题是（ ） A. 如果 x > 1，那么 x > 2 B. 如果 x ≤ 2，那么 x ≤ 1 C. 如果 x ≤ 1，那么 x ≤ 2 D. 以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查逆命题的定义（调换条件和结论）。 【详解】原命题的条件是“x > 2”（p），结论是“x > 1”（q），因此逆命题是“如果 q，那么 p”，即“如果 x > 1，那么 x > 2”。 故选：A． 5. 原命题“如果 a = 0，那么 ab = 0” 的逆命题是（ ） A. 如果 ab = 0，那么 a = 0 B. 如果 ab ≠ 0，那么 a ≠ 0 C. 如果 a ≠ 0，那么 ab ≠ 0 D. 以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查逆命题的定义（调换条件和结论）。 【详解】原命题的条件是“a = 0”（p），结论是“ab = 0”（q），因此逆命题是“如果 q，那么 p”，即“如果 ab = 0，那么 a = 0”。 故选：A． 6. 原命题“如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两个角相等” 的逆命题是（ ） A. 如果一个三角形有两个角相等，那么它是等腰三角形 B. 如果一个三角形不是等腰三角形，那么它没有两个角相等 C. 如果一个三角形没有两个角相等，那么它不是等腰三角形 D. 以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查逆命题的几何应用（等腰三角形的判定）。 【详解】原命题的条件是“一个三角形是等腰三角形”（p），结论是“它有两个角相等”（q），因此逆命题是“如果 q，那么 p”，即“如果一个三角形有两个角相等，那么它是等腰三角形”（等腰三角形的判定定理）。 故选：A． 考点三 充分条件的定义与判断 7. 下列选项中，p是q的充分条件的是（ ） A. p：a = 0，q：ab = 0 B. p：x > 3，q：x > 5 C. p：ab = 0，q：a = 0 D. p：x 是实数，q：x 是有理数 【答案】A 【分析】本题考查充分条件的定义（p ⇒ q 为真）。 【详解】对于选项A：a = 0 ⇒ ab = 0（0乘任何数都为0），因此p是q的充分条件； 对于选项B：x > 3 不一定推出 x > 5（如x = 4），因此不是； 对于选项C：ab = 0 可能是 b = 0（如a = 1，b = 0），不一定推出 a = 0，因此不是； 对于选项D：实数包括有理数和无理数（如x = 是实数但不是有理数），因此不是。 故选：A． 8. 下列命题中，p是q的充分条件的是（ ） A. p：x 是偶数，q：x 是4的倍数 B. p：x > 0，q：x² > 0 C. p：x 是三角形，q：x 是等边三角形 D. p：x 是锐角，q：x 是第一象限角 【答案】B 【分析】本题考查充分条件的综合判断。 【详解】对于A选项：偶数不一定是4的倍数（如x = 2），因此不是； 对于选项B：x > 0 ⇒ x² > 0（正数的平方为正数），因此是； 对于选项C：三角形不一定是等边三角形（如等腰三角形），因此不是； 对于选项D：锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角（如x = 370° 是第一象限角但不是锐角），因此p是q的充分条件，但q不是p的充分条件（本题问p是q的充分条件，因此是，但需注意选项设计）。 故选：B． 9. 如果 p 是 q 的充分条件，那么 p ⇒ q 是______命题（填“真”或“假”）。 【答案】真 【分析】本题考查充分条件的定义（p ⇒ q 为真）。 【详解】充分条件的定义是“由p能推出q”，因此p ⇒ q 必为真命题。 考点四 必要条件的定义与判断 10. “ab = 0” 是 “a = 0” 的必要条件吗？（ ） A. 是 B. 不是 C. 无法判断 D. 以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查必要条件的判断（逆命题 q ⇒ p 为真）。 【详解】“a = 0”（q）的逆命题是“如果 a = 0，那么 ab = 0”（q ⇒ p），该逆命题为真（0乘任何数都为0），因此“ab = 0”是“a = 0”的必要条件。 11. 下列命题中，p是q的必要条件的是（ ） A. p：“x > 1”，q：“x > 5” B. p：“x 是4的倍数”，q：“x 是偶数” C. p：“x 是等腰三角形”，q：“x 是三角形” D. p：“x² > 0”，q：“x > 0” 【答案】A 【分析】本题考查必要条件的综合判断。 【详解】对于选项A：x > 5 ⇒ x > 1（大于5的数必然大于1），因此p是q的必要条件； 对于选项B：x 是偶数 ⇒ x 是4的倍数？（如x = 2 是偶数但不是4的倍数），因此不是； 对于选项C：x 是三角形 ⇒ x 是等腰三角形？（如等边三角形是等腰三角形，但一般三角形不是），因此不是； 对于选项D：x > 0 ⇒ x² > 0（是的），但p是“x² > 0”，q是“x > 0”，因此p是q的必要条件吗？是的，但选项A更符合“必要条件”的逻辑（q ⇒ p）。 故选：A． 12. “” 是 “” 的 条件。 【答案】必要不充分条件 【分析】本题考查必要条件的综合判断。 充分性： 时，不一定大于5（如 ）（），充分性不成立。 - 必要性： 时，一定大于3（），必要性成立。 因此，“” 是 “” 的必要不充分条件（逻辑关系：小范围推出大范围， 是 的子集，因此 能推出 ，但 无法推出 ）。 考点五 充要条件的判断 13. 下列选项中，p是q的充要条件的是（ ） A. p：“圆心到直线的距离等于半径”，q：“直线与圆相切” B. p：“a = 0”，q：“ab = 0” C. p：“x > 3”，q：“x > 5” D. p：“x 是有理数”，q：“x 是实数” 【答案】A 【分析】本题考查充要条件的定义（p ⇔ q 为真）. 对于选项A：圆心到直线的距离等于半径 ⇔ 直线与圆相切（圆的切线定义），因此是充要条件； 对于选项B：a = 0 ⇒ ab = 0，但 ab = 0 ⇒ a =0 或 b = 0，因此是充分不必要条件； 对于选项C：x > 3 ⇏ x > 5，但 x > 5 ⇒ x > 3，因此是必要不充分条件； 对于选项D：x 是有理数 ⇒ x 是实数，但 x 是实数 ⇏ x 是有理数，因此是充分不必要条件。 故选：A． 14. 下列命题中，p是q的充要条件的是（ ） A. p：“x 是偶数”，q：“x 是4的倍数” B. p：“x > 0”，q：“x² > 0” C. p：“x 是三角形”，q：“x 是等边三角形” D. p：“x = 0”，q：“x² = 0” 【答案】D 【分析】本题考查充要条件的综合判断。 【详解】对于选项A：偶数不一定是4的倍数（如x = 2），因此不是； 对于选项B：x > 0 ⇒ x² > 0，但 x² > 0 ⇒ x ≠ 0（如x = -1），因此是充分不必要条件； 对于选项C：三角形不一定是等边三角形（如等腰三角形），因此是必要不充分条件； 对于选项D：x = 0 ⇒ x² = 0，且 x² = 0 ⇒ x = 0，因此是充要条件。 故选：D． 15. “x = 2” 是 “x² - 4 = 0” 的 条件。 【答案】充分不必要条件 【分析】本题考查充要条件的判断（p ⇒ q 且 q ⇒ p）。 【详解】x = 2 ⇒ x² - 4 = 0，但 x² - 4 = 0 ⇒ x = ±2（如x = -2 时，x² - 4 = 0），因此“x = 2”是“x² - 4 = 0”的充分不必要条件。 考点六 四种条件关系的辨析 16. “x > 3” 是 “x > 2” 的（ ）条件。 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【分析】本题考查四种条件的辨析（p ⇒ q 且 q ⇏ p）。 【详解】x > 3 ⇒ x > 2（充分），但 x > 2 ⇏ x > 3（如x = 2.5），因此是充分不必要条件。 17. “x 是实数” 是 “x 是有理数” 的（ ）条件。 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【分析】本题考查四种条件的辨析（p ⇒ q 且 q ⇏ p）。 【详解】x 是有理数 ⇒ x 是实数（必要），但 x 是实数 ⇏ x 是有理数（如x = ），因此是必要不充分条件。 18. “α = β” 是 “sinα = sinβ” 的（ ）条件。 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【分析】本题考查四种条件的三角函数应用。 【详解】α = β ⇒ sinα = sinβ（充分），但 sinα = sinβ ⇒ α = β + 2kπ 或 α = π - β + 2kπ（k∈Z）（如α =，β = ，sinα = sinβ = ，但 α ≠ β），因此是充分不必要条件。 19. 如果 p ⇒ q 但 q ⇏ p，那么 p 是 q 的______条件。 【答案】充分不必要 【分析】本题考查四种条件的定义（充分但不必要）. 【详解】“p ⇒ q” 说明 p 是 q 的充分条件，“q ⇏ p” 说明 p 不是 q 的必要条件，因此是充分不必要条件。 考点七 数学具体情境中的条件判断 20. “a > 1”是“指数函数 y = 在 R 上递增”的（ ）条件。 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【分析】本题考查指数函数的单调性（条件关系）. 【详解】指数函数 y = a^x 的单调性：当 a > 1 时，在 R 上递增；当 0 < a < 1 时，在 R 上递减。因此“a > 1” 是 “指数函数 y = a^x 在 R 上递增” 的充要条件。 21. “”的充要条件是 。 【答案】或 【分析】本题考查充要条件和不等式的结合。。. 【详解】二次函数开口向上（二次项系数为正），解集为“两根之外”的区域，需先因式分解求根。 因式分解：，根为和。 充分性：若或，则（两根之外，函数值为正），故不等式成立。 必要性：若，则必在两根之外（否则函数值为负或零），故或。 因此，“”的充要条件是“或”。 22. “集合”是“集合”的充要条件，则m= 。 【答案】m=2 【分析】本题考查充要条件和集合的结合。。. 【详解】集合”是“集合”的充要条件，即 A=B，则1，2是集合A的元素，即方程的解为和，代入方程得m=2. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$