专题05二次函数与不等式5大题型（压轴题专项训练）数学浙教版九年级上册

专题05 二次函数与方程不等式五类题型 典例详解 类型一、图像法确定一元二次方程的近似根 类型二、二次函数与x轴交点与一元二次方程解的关系 类型三、图像法解一元二次不等式 类型四、用不等式求自变量或函数值的范围 类型五、计算x轴与抛物线相交的截线长 压轴专练 类型一、图像法确定一元二次方程的近似根 核心知识点： 对任意一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0）： 把方程右边的 0 换成y，就得到对应的二次函数y = ax2 + bx + c。 方程的根 ↔ 函数图像与 x 轴（y=0）交点的横坐标（x 值）。 例1．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如表是代数式的部分值的情况． 1.1 1.2 1.3 1.4 －0.59 0.84 2.29 3.76 根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似解，根据抛物线与x轴的交点的左右两边的函数值的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：时，， 当时，， ∴当，存在一个x的值使， ∴关于x的方程的一个解x的范围是； 故选：B． 变式1-1．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴选项符合， 故选：． 变式1-2．（2025·安徽池州·二模）已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答． 【详解】解：由表格数据可得： ∵函数的对称轴为直线， 当时，；当时，； ∴的较小的根的范围为， ∴的较大的根的范围是． 故选：C． 变式1-3．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线的对称性，求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为：， ∴对称轴为直线， 由图象可知，抛物线与轴负半轴的交点的横坐标的范围为：， ∴抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围为； ∴一元二次方程的正数解的范围是； 故选:D． 类型二、二次函数与x轴交点与一元二次方程解的关系 例2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线与x轴两个交点间的距离为2，将此抛物线向右平移2个单位，再向下平移m个单位，得到一条新抛物线，且新抛物线与x轴两个交点间的距离是4，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题、一元二次方程根与系数的关系、二次函数图象的平移，根据原抛物线与x轴交点间距为2，可得．平移后的抛物线解析式为，展开整理后为．利用新抛物线与x轴交点间距为4，结合根与系数关系，代入已知条件求解． 【详解】解：设原抛物线与x轴交点为和，则． 由根与系数关系得：， 则， 平方得：①， ∵抛物线向右平移2个单位，再向下平移m个单位， ∴平移后抛物线解析式为 设新抛物线与x轴交点为和，则． 由根与系数关系得：， 同理：， 平方后展开：， 化简：， ， 由式①得，代入得：， 解得：， 故的值为3， 故选：B． 变式2-1．（2025·吉林长春·二模）二次函数的图象与x轴交于点A，B，，则常数m的值为 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，求二次函数是常数，与x轴的交点坐标，令，即，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． 首先根据抛物线与x轴有两个交点求的根的判别式的符号．设，，由根与系数的关系得到，，然后由列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：二次函数的图象与x轴交于点A，B， 令，即， ∴ 设，， ，， ， ， 解得，． 综上所述，m的值为4或． 故答案为：4或 变式2-2．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）若抛物线与坐标轴有1个交点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，掌握抛物线与x轴交点个数的判定方法成为解题的关键． 已知抛物线与y轴交于点，由抛物线与坐标轴有1个交点，可得出抛物线与x轴没有交点，即没有实数根，则，据此列出关于m的不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与y轴交于点，由抛物线与坐标轴有1个交点， ∴与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，即，解得：． 故答案为：． 变式2-3．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知抛物线与轴只有一个交点，求该交点的坐标． 【答案】或． 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根的判别式．根据抛物线与轴只有一个交点，可知一元二次方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式可得：或，分别求出抛物线与轴的交点，时抛物线与轴的交点即可． 【详解】解：抛物线与轴只有一个交点， 一元二次方程有两个相等的实数根， 整理得：， 其中，，， ， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：或， 当时，方程为， 解得：， 抛物线与轴的交点坐标为； 当时，方程为， 解得：， 抛物线与轴的交点坐标为； 综上所述，交点的坐标是或． 故答案为：或． 类型三、图像法解一元二次不等式 例3．（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）“不等式在上恒成立”的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题，涉及到分类讨论思想和一元二次方程判别式的应用．当时，当时，两种情况进行讨论，即可解答． 【详解】解：①当时，原不等式变为，即， ∴不能在上恒成立，不合题意， ∴； ②当时，不等式是一元二次不等式， 对于一元二次函数， 当时，函数图象开口向上，要使恒成立，即函数图象在轴上方， ∴需要满足判别式， 由不等式，得，，， ∴， 即， 解得：， 当时，二次项系数，二次函数的图象开口向下，必然存在实数使得不满足不等式，在上恒成立． 综上可得：． 故选：A． 变式3-1．（2025·安徽阜阳·模拟预测）已知两个不相等的实数a，b满足不等式，若，令，则S的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式及其变形求值，利用二次函数图象解不等式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先由得到，则，再由得到，再结合二次函数的图象解不等式． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 令， ∴结合二次函数图象可解得：， ∵， ∴， 故选：B． 变式3-2．（2025·浙江台州·二模）已知二次函数过点，，三点．记，，则下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图像上的点的特征，不等式，解题的关键是将对应点代入，计算并化简得到．根据题意求出m和n，再计算，再分别分析各选项即可得出答案． 【详解】解：由题意可得： ， ， ， 若，即， ∴或， 故A错误； 若，则， ∴； 故B错误； 若，则，故C正确； 若时，例如时，即，故D错误； 故选：Ｃ． 变式3-3．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了抛物线与不等式的解集，熟练掌握二者的关系是解题的关键． 利用数形结合思想求解，符合条件的取值在x轴下方． 【详解】根据题意，得一元二次不等式的解集是：或， 故答案为：或． 类型四、用不等式求自变量或函数值的范围 用不等式求自变量（x）或函数值（y）的范围，核心是利用函数的性质（如单调性、图像特征）或定义域限制，将 “函数关系” 转化为 “不等式”，再通过解不等式得到范围。 二次函数的图像是抛物线，关键特征是开口方向（a 的正负）和对称轴（x = -），对称轴是函数的 “最值点”： 若a > 0（开口向上），函数在对称轴处取最小值，无最大值； 若a < 0（开口向下），函数在对称轴处取最大值，无最小值。 求范围时需分两种情况：已知 y 求 x（自变量范围） 和 已知 x 求 y（函数值范围），解法差异较大。 求二次函数的自变量范围（已知 y 的限制，求 x） 本质是图像法解一元二次不等式（衔接上一轮对话内容），核心是 “利用抛物线与 x 轴的交点，判断 y 满足条件时 x 的区间”。 求二次函数的函数值范围（已知 x 的限制，求 y） 核心是 “判断对称轴是否在自变量的区间内”：若在区间内，最值在对称轴处；若不在，最值在区间端点处。 例4．（2025·辽宁丹东·二模）抛物线与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为，请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线；②抛物线与y轴交点坐标为；③；④若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是；⑤不等式的解作为函数的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． 根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：①抛物线的对称轴为直线，故①正确； ②当时，，即抛物线与y轴交点坐标为，故②错误； ③ 把A点坐标代入抛物线解析式，整理得∶ 再代入，整理得： 由已知抛物线与x轴有两个交点，则： ，整理得∶，即， ∵开口向上， ∴ ， ∴， 解得：， 而抛物线与轴负半轴相交， ∴， 解得：， ∴，故③正确； ④由抛物线的对称性，B点的坐标为， 当抛物线经过A点时，此时抛物线与线段有两个公共点， 当抛物线经过B点时， ∵其与线段恰有一个公共点， ∴，故④正确； ⑤∵， ∴， 即不等式的解作为函数的自变量的取值时，对应的函数值大于，故⑤错误； 故答案为：①③④． 变式4-1．（2025·浙江·模拟预测）已知y关于x的二次函数是常数， (1)若函数图象经过点，求该函数图象的对称轴及顶点坐标． (2)在（1）的条件下，当x满足时，y的取值范围为，求m的取值范围． (3)若，是该函数图象上的两点，试比较，的大小． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线，顶点为： (2) (3)当时，；当时， 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线表达式，即可求解； （2）根据的取值范围为，即在x轴下方部分，可得m在和顶点之间，即可求解； （3）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，则点A、B和对称轴的距离分别为：、，进而求解． 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到不等式，熟悉函数的图象和性质以及分类求解是解题的关键． 【详解】（1）解：将代入抛物线表达式得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为：， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：令， 解得：， ∴抛物线和x轴的交点为和， 的取值范围为，即在x轴下方部分， ∴m在直线和顶点之间， ∴m的取值范围为； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，是该函数图象上的两点， ∴点A、B和对称轴的距离分别为：、， 当时，则，此时； 当时，则，此时； 综上所述，当时，；当时，． 变式4-2．（2025·云南丽江·一模）在学习了函数的有关知识后，小强同学对函数的图象和性质进行了探究． (1)当时， ①把图中的图象补充完整，并写出一条该函数的性质； ②如果关于x的方程有四个解，请直接写出对应m的取值范围． (2)在平面直角坐标系中，若某点的横、纵坐标均为整数，则称此点为“整点”，将过点平行于x轴的直线记为p，函数图象与p所围区域（不包含边界）记为Q，当Q中恰好有个“整点”时，求a的取值范围． 【答案】(1)①见详解，性质：图象关于直线对称（答案不唯一）；② (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象求自变量的范围，解题关键是掌握二次函数的图象与性质． （1）①当时，可得到和，分别得出对称轴，与坐标轴的交点，再补全函数图象，写出一条性质；②方程有四个解，将代入，得到，结合图象求得m的取值范围是； 分、两种情况讨论，结合函数图象，分别求出a的取值范围． 【详解】（1）解：①当时，， 和， ∴两函数对称轴均为直线， 令，得， 解得，， 又的顶点坐标为， ∴和的图象在x轴和x轴上方， 补全的图象如图所示． 图象的性质：图象关于直线对称；当或时，y随着x的增大而增大等． ②方程有四个解，即， 从图象上看，就是直线与函数的图象有四个交点，所以m的取值范围是 （2）分两种情况讨论： ①当时，区域Q为函数的图象与直线围成的封闭区域，若在此区域内存在10个“整点”，由Q关于直线对称，故“整点”也呈对称分布，对称轴每侧各五个“整点”． （ⅰ）如果对称轴右侧的“整点”为，，，，，其呈“刀把型”，如图所示． 当时，， 当时，． 由图象得，．解得． （ⅱ）如果对称轴右侧“整点”为，，，，，其呈T型，如图所示． 当时，， 当时，． 由图象得，．解得． ②当时，与p围成的封闭区域中，“整点”分布以为中心，两边呈对称展开，如图所示，所以“整点”数均为奇数，封闭区域Q内“整点”数不存在恰好为个的情况． 综上所述，或． 变式4-3．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知二次函数，经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)已知点，，连结，将向上平移5个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好与的图象有交点，求的取值范围． (3)当时，二次函数的最小值为，请求出的值，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用平移的性质得到平移后的点的坐标，再利用二次函数的性质解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答：①当时，即时，利用二次函数的性质求得最大值与最小值，列出方程解答即可；②当时，利用二次函数的性质求得最大值与最小值，列出方程解答即可；③当时，利用二次函数的性质求得最大值与最小值，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：由题意，二次函数经过点，对称轴为直线， ，解得 二次函数的表达式． （2）由题意，点，，连结，将向上平移5个单位长度，设平移后的点的对应点为，点的对应点为， 平移后的，点，， 又令，即， ， 抛物线与轴的交点为和． 将再向右平移个单位长度后，恰好与的图象有交点， ． 令，则， 或， 的长度为5， ． 综上，的取值范围为． （3）由题意，二次函数的对称轴为直线，， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． ①当时，即时， ， 最小值为． （不合题意，舍去）或． ②当时， ， 二次函数的最小值为，不合题意，舍去． ③当时， ， 二次函数的最小值为， （不合题意，舍去）或． 综上，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 类型五、计算x轴与抛物线相交的截线长 特点： 二次函数与x轴的截线长公式满足 ∣x1​−x2∣= 例5．（24-25九年级上·全国·阶段练习）二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线与一元二次方程，熟练掌握解方程是解题的关键．根据题意，得，解得，故，解答即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故， 故选：C． 变式5-1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移6个单位长度，所得的抛物线与轴有两个公共点，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象与几何变换．利用抛物线的平移规律得到平移后的抛物线解析式为，然后解方程得到点P、Q的坐标，从而得到的长． 【详解】解：二次函数的图象向上平移6个单位长度所得抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴点P、Q的坐标为， ∴． 故答案为：1． 变式5-2．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若抛物线与轴交于点，，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，二次函数与一元二次方程的关系，完全平方公式及配方法，熟练掌握这些性质和方法是解题的关键． （1）直接利用一元二次方程的根的判别式，结合配方法进行判别即可； （2）令，得：，利用根的判别式，结合完全平方公式及配方法得出关于的式子，再利用二次函数与一元二次方程的关系，得出，即可得出关于的等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， 该方程总有两个实数根； （2）解：令，得：， ∴，， ∴， ∵抛物线与轴交于点，，且， ∴， ∴， 化简为：， 解得：或． 变式5-3．（2024·云南昆明·一模）已知抛物线 (1)求证：抛物线与x轴有两个不同的交点； (2)当时，抛物线与x轴交于点A，B，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查的是抛物线和x轴的交点问题，涉及一元二次方程解法与根的判别式． （1）证明，即可求解； （2）将代入抛物线表达式，令，求出点A，B的坐标，根据两点间距离公式进而求解． 【详解】（1）证明： ， 故此抛物线与x轴有两个不同的交点； （2）解：当时，， 令，则， 解得：或， ∴． 1．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是（   ） x … … … … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用二次函数确定一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时自变量的取值即可． 根据二次函数与轴的交点的横坐标就是一元二次方程的解，从而利用二次函数的性质确定方程的解的范围． 【详解】解：从表中可以看出， 当时，， 当时，， ∴当对应的的值一定有， ∴一元二次方程的解的范围是． 故选：C． 2．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的性质、图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 又∵该函数的图像与轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 由图象可知：当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 3．（24-25九年级下·四川巴中·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列说法：①；②；③（为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则的取值范围是．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．开口方向，对称轴，与y轴的交点位置判断①，特殊点判断②，最值判断③，对称性判断④即可． 【详解】∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴，和的函数值相同， 由图可知，当时的函数值小于0， ∴， ∴， 故①正确； 由图象可知，，根据对称轴，得， ∴ ∴， 故②正确； ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线的最大值为， 当时，其函数值为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③错误； 如图所示，和点满足，    ∴和点关于对称轴对称， ∴， ∵， ∴， 解得， 故④正确； 故正确的有①②④； 故选：B． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列结论：①； ②若，则；③不等式的解集为；④若关于x的方程无实数根，则．其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x轴的交点问题，二次函数的性质．根据题意得出抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左侧，从而得出，，，即可判断①；求得对称轴为直线，即可得出，根据抛物线经过，从而判断②；求得直线直线，的解析式为，根据抛物线与直线的位置关系即可判断③；根据题意得出，利用根的判别式即可判断④． 【详解】解：①∵抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且， ∴抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，则， ∴对称轴为直线， ， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ②若，对称轴为直线， ∴， ∵抛物线经过， ∴，即，故②正确； ③当时，， ∴抛物线与轴的交点为， 设过，的直线解析式为，代入得， 解得， ∴直线，的解析式为， 如图， 当或时，抛物线在直线的下方， ∴不等式的解集为或， 即不等式的解集为或，故③错误； ④∵抛物线经过，两点， ∴， 两式相减得， 代入得， 整理得， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， ∵关于x的方程无实数根， ∴，整理得， ∴，故④正确； 综上，①②④正确； 故答案为：①②④． 5．（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）如图，直线与抛物线交于A，B两点，且点A的横坐标是，点B的横坐标是3，现给出以下结论：①该抛物线的图象的顶点一定是原点；②的长度可以等于5；③当时，；④可能为等边三角形．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③/③① 【分析】本题是一次函数和二次函数的综合题，主要考查了一次函数和二次函数的图象与性质、结合图象求不等式的解等．①观察图象，即可判断；②由点的横坐标是，点的横坐标是，若，可得出直线与轴平行与已知矛盾，即可判断；③根据点、的横坐标，结合图象得出当时，，整理即可判断；④根据等边三角形的性质即可判断． 【详解】解：因为抛物线的解析式为，所以该抛物线的图象的顶点一定是原点，故①正确； 因为点A的横坐标是，点B的横坐标是3，所以只有当直线与x轴平行时，的长度可以等于5，但因为，所以直线不与x轴平行，故②错误； 可构造直线，该直线与直线关于y轴对称，由对称性可知，直线与抛物线的两个交点横坐标分别为和2，通过图象可知，当时，即，故③正确； 当为等边三角形时，有，则此时直线轴，由②可知直线不与x轴平行，故④错误； 故答案为：①③． 6．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）已知对于任意实数a，关于x的方程总有两个不相等的实数根，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，则的面积为整数值的三角形个数有 个． 【答案】15 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一次函数的性质和三角形面积公式的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识，进行正确地计算、讨论、求解． 运用一元二次方程根的判别式、一次函数的性质和三角形面积公式等知识进行求解． 【详解】解：∵关于的方程，总有两个不相等的实数根， ∴ ， 关于的二次函数的图象在x轴上方， ， 解得， 直线与轴交于，与轴交于， ，， ， 且， ，故 ， 的面积为整数值的三角形个数有15个， 故答案为：15． 7．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）已知二次函数的图象如下图，请根据函数图象完成以下问题： (1)该函数的对称轴为 　 　，方程的解为 　 　； (2)当时，y的取值范围为 　 　； (3)当时，x的取值范围为 　 　； (4)当时，x的取值范围为 　 　． 【答案】(1)；， (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识． （1）利用的图象过点，，结合二次函数图象的对称性即可求出抛物线的对称轴，方程的解即为与直线的交点的横坐标，即可求解； （2）抛物线在对称轴直线右侧，函数值随的增大而增大，利用对称性求出点在抛物线上关于对称轴直线的对称点为，利用函数增减性结合图象即可求解； （3）先求出对应的自变量的值，然后结合函数图象即可得到结论； （4）先求出和对应的自变量的值，然后结合函数图象即可得到结论． 【详解】（1）解：∵的图象过点，，其中，， ∴抛物线的对称轴为直线，与直线的交点为，， ∴方程的解为，， 故答案为：；，； （2）解：由图可知，又因为抛物线的对称轴为直线， ∴在对称轴直线右侧，函数值随的增大而增大， ∵， ∴点在抛物线上关于对称轴直线的对称点为， 又∵， ∴当时，y的取值范围为， 故答案为：； （3）解：由图可知当时，或， 由图象知：当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． （4）解：由上知，当时，对应的自变量的值为或；当时，对应的自变量的值为或， 由图可知当时，对应的x的取值范围为或． 故答案为：或． 8．（23-24九年级上·安徽亳州·期中）已知抛物线． (1)若该抛物线与轴有交点，求实数的取值范围； (2)当时，若该抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧）． ①求，两点的坐标； ②若该抛物线的顶点为，且与轴的交点为，试判断是否是直角三角形，并说明理由． 【答案】(1) (2)①点的坐标为，点的坐标为；②不是直角三角形，见解析 【分析】本题考查了二次函数图像与x轴的交点问题，一元二次方程，勾股定理的逆定理，直角三角形的判定，掌握二次函数图像的性质是解题的关键． （1）先得到关于的一元二次方程有实数根，得到，求解即可． （2）当时，， ①令，得，求出，，即可解答；    ②先求出点的坐标为，抛物线的顶点的坐标为，再分别求出，根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：∵该抛物线与轴有交点， ∴关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得． （2）当时，， ①令，得，解得，， ∵点在点的左侧， ∴点的坐标为，点的坐标为；           ②不是直角三角形．理由如下： 当时，， ∴点的坐标为， 又， ∴抛物线的顶点的坐标为． ∵，， ， ∴， ∴不是直角三角形． 9．（2025·安徽蚌埠·二模）已知抛物线经过点． (1)若，求此时抛物线的对称轴； (2)若该抛物线经过点，当时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； (3)若当时，点 都在该抛物线上，且，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或． (3)或 【分析】（1）把代入解析式，确定a，b的关系，再根据对称轴为直线，计算解答即可； （2）根据经过点，确定抛物线的对称轴，分和两种情况求解即可； （3）根据题意，确定，结合，构造不等式且．求解不等式的解集即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点就是， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴对称轴为直线． （2）解：∵根据经过点， ∴， ∴， ∴对称轴为直线． 当时，抛物线开口向上， ∴抛物线的对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴当时，范围在对称轴的右侧，满足y随x的增大而增大， 解得， ∴a的取值范围是； 当时，抛物线开口向下， ∴抛物线的对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴当时，范围在对称轴的左侧，满足y随x的增大而增大， ∵， 解得， ∴a的取值范围是； 综上所述，当时，y随x的增大而增大，a的取值范围是或． （3）解：当时，抛物线开口向上， ∵抛物线经过点， ∴． ∵点 都在该抛物线上， ∴两点是对称点，， ∴对称轴为直线． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． ∴． ∵， ∴且， ∴且， ∴且， 解得且． 令， 当时， 解得， 画函数图象如下： 故时，m的取值范围是或， 综上所述，符合题意的m的取值范围是或． 【点睛】本题考查了抛物线对称轴的计算，抛物线的增减性，抛物线与不等式的关系，分类思想的应用，数形结合思想的应用，熟练掌握增减性，抛物线与不等式的关系是解题的关键． 10．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数，）． (1)当，时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知点，和都在抛物线上，如果对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将将，代入抛物线中，再将抛物线的解析式化为顶点式，求出顶点坐标； （2）先由，得到，再将，，三点坐标代入表达式中，然后根据，转化为不等式求解，求出的取值范围． 【详解】（1）解：将，代入抛物线中，得， ∴ ， ∴顶点坐标为． （2）∵， ∴， 将点，和分别代入表达式得， ， ， ， 又∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 当时， ， ， ， 又∵， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 解不等式组①得： 解不等式组②得：无解． ∴ 同法可求，当时，， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的综合应用，把化成顶点式，利用二次函数的性质求不等式的解集等知识，解题的关键是通过将点的坐标代入表达式，把问题转化为不等式求解． 11．（24-25九年级下·浙江宁波·开学考试）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)若点和点均在该抛物线上，当时，请你比较的大小关系； (3)若，点在该抛物线上，若点到轴的距离小于2，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键． （1）把点代入二次函数求解即可； （2）由（1）知，二次函数为，点和点代入二次函数，对作差比较即可； （3）由可得二次函数为，且，当，最小值为，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， 解得：； （2）解：由（1）知，二次函数为， ，， ， ， ， ， 即； （3）解： ， 二次函数为， 点在该抛物线上，若点到轴的距离小于2， ， 当时，， 当时，， 当时，最小值， 的取值范围． 12．（2025·浙江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值． (2)已知点，在抛物线上，且，求的取值范围． 【答案】(1)①；②， (2) 【分析】本题考查二次函数图象性质，二次函数图象平移，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数图象性质，二次函数图象平移规律“上加下减”是解题的关键． （1）①把代入，得，即可得出顶点坐标； ②根据平移规律得平移后抛物线解析式为，把代入，求得，则，设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，，则，，又，即可得出，解之即可求解． （2）把，代入，得，根据，求得；把代入，得，根据和，求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ∴抛物线的顶点坐标为， ②∵将抛物线向下平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 把代入，得， ∴ ∴ 设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，， 则，， ∴ ∴ ∵平移后的抛物线与轴两交点之间的距离为6， ∴ ∴ ∴ 解得： 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴． （2）解：把，代入，得 ， ∵， ∴， ∴， 把代入，得 ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次函数与方程不等式五类题型 典例详解 类型一、图像法确定一元二次方程的近似根 类型二、二次函数与x轴交点与一元二次方程解的关系 类型三、图像法解一元二次不等式 类型四、用不等式求自变量或函数值的范围 类型五、计算x轴与抛物线相交的截线长 压轴专练 类型一、图像法确定一元二次方程的近似根 核心知识点： 对任意一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0）： 把方程右边的 0 换成y，就得到对应的二次函数y = ax2 + bx + c。 方程的根 ↔ 函数图像与 x 轴（y=0）交点的横坐标（x 值）。 例1．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如表是代数式的部分值的情况． 1.1 1.2 1.3 1.4 －0.59 0.84 2.29 3.76 根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（　　） A． B． C． D． 变式1-2．（2025·安徽池州·二模）已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（   ） A． B． C． D． 变式1-3．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 类型二、二次函数与x轴交点与一元二次方程解的关系 例2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线与x轴两个交点间的距离为2，将此抛物线向右平移2个单位，再向下平移m个单位，得到一条新抛物线，且新抛物线与x轴两个交点间的距离是4，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 变式2-1．（2025·吉林长春·二模）二次函数的图象与x轴交于点A，B，，则常数m的值为 ． 变式2-2．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）若抛物线与坐标轴有1个交点，则m的取值范围是 ． 变式2-3．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知抛物线与轴只有一个交点，求该交点的坐标． 类型三、图像法解一元二次不等式 例3．（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）“不等式在上恒成立”的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 变式3-1．（2025·安徽阜阳·模拟预测）已知两个不相等的实数a，b满足不等式，若，令，则S的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式3-2．（2025·浙江台州·二模）已知二次函数过点，，三点．记，，则下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式3-3．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ． 类型四、用不等式求自变量或函数值的范围 用不等式求自变量（x）或函数值（y）的范围，核心是利用函数的性质（如单调性、图像特征）或定义域限制，将 “函数关系” 转化为 “不等式”，再通过解不等式得到范围。 二次函数的图像是抛物线，关键特征是开口方向（a 的正负）和对称轴（x = -），对称轴是函数的 “最值点”： 若a > 0（开口向上），函数在对称轴处取最小值，无最大值； 若a < 0（开口向下），函数在对称轴处取最大值，无最小值。 求范围时需分两种情况：已知 y 求 x（自变量范围） 和 已知 x 求 y（函数值范围），解法差异较大。 求二次函数的自变量范围（已知 y 的限制，求 x） 本质是图像法解一元二次不等式（衔接上一轮对话内容），核心是 “利用抛物线与 x 轴的交点，判断 y 满足条件时 x 的区间”。 求二次函数的函数值范围（已知 x 的限制，求 y） 核心是 “判断对称轴是否在自变量的区间内”：若在区间内，最值在对称轴处；若不在，最值在区间端点处。 例4．（2025·辽宁丹东·二模）抛物线与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为，请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线；②抛物线与y轴交点坐标为；③；④若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是；⑤不等式的解作为函数的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确的序号是 ． 变式4-1．（2025·浙江·模拟预测）已知y关于x的二次函数是常数， (1)若函数图象经过点，求该函数图象的对称轴及顶点坐标． (2)在（1）的条件下，当x满足时，y的取值范围为，求m的取值范围． (3)若，是该函数图象上的两点，试比较，的大小． 变式4-2．（2025·云南丽江·一模）在学习了函数的有关知识后，小强同学对函数的图象和性质进行了探究． (1)当时， ①把图中的图象补充完整，并写出一条该函数的性质； ②如果关于x的方程有四个解，请直接写出对应m的取值范围． (2)在平面直角坐标系中，若某点的横、纵坐标均为整数，则称此点为“整点”，将过点平行于x轴的直线记为p，函数图象与p所围区域（不包含边界）记为Q，当Q中恰好有个“整点”时，求a的取值范围． 变式4-3．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知二次函数，经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)已知点，，连结，将向上平移5个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好与的图象有交点，求的取值范围． (3)当时，二次函数的最小值为，请求出的值，并说明理由． 类型五、计算x轴与抛物线相交的截线长 特点： 二次函数与x轴的截线长公式满足 ∣x1​−x2∣= 例5．（24-25九年级上·全国·阶段练习）二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式5-1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移6个单位长度，所得的抛物线与轴有两个公共点，，则 ． 变式5-2．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若抛物线与轴交于点，，且，求的值． 变式5-3．（2024·云南昆明·一模）已知抛物线 (1)求证：抛物线与x轴有两个不同的交点； (2)当时，抛物线与x轴交于点A，B，求的长． 1．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是（   ） x … … … … A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为 ． 3．（24-25九年级下·四川巴中·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列说法：①；②；③（为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则的取值范围是．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②④ 4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列结论：①； ②若，则；③不等式的解集为；④若关于x的方程无实数根，则．其中正确的是 （填写序号）． 5．（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）如图，直线与抛物线交于A，B两点，且点A的横坐标是，点B的横坐标是3，现给出以下结论：①该抛物线的图象的顶点一定是原点；②的长度可以等于5；③当时，；④可能为等边三角形．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 6．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）已知对于任意实数a，关于x的方程总有两个不相等的实数根，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，则的面积为整数值的三角形个数有 个． 7．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）已知二次函数的图象如下图，请根据函数图象完成以下问题： (1)该函数的对称轴为 　 　，方程的解为 　 　； (2)当时，y的取值范围为 　 　； (3)当时，x的取值范围为 　 　； (4)当时，x的取值范围为 　 　． 8．（23-24九年级上·安徽亳州·期中）已知抛物线． (1)若该抛物线与轴有交点，求实数的取值范围； (2)当时，若该抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧）． ①求，两点的坐标； ②若该抛物线的顶点为，且与轴的交点为，试判断是否是直角三角形，并说明理由． 9．（2025·安徽蚌埠·二模）已知抛物线经过点． (1)若，求此时抛物线的对称轴； (2)若该抛物线经过点，当时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； (3)若当时，点 都在该抛物线上，且，求m的取值范围． 10．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数，）． (1)当，时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知点，和都在抛物线上，如果对于，，都有，求的取值范围． 11．（24-25九年级下·浙江宁波·开学考试）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)若点和点均在该抛物线上，当时，请你比较的大小关系； (3)若，点在该抛物线上，若点到轴的距离小于2，请直接写出的取值范围． 12．（2025·浙江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值． (2)已知点，在抛物线上，且，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$