2.3用公式法解一元二次方程同步练习2025-2026学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册第二章2.3用公式法解一元二次方程 一、选择题 1．下列一元二次方程中，有实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 2．关于方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 3．关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 且 5．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（　　） A． B． C． D．9 6．已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程 ﹣6x+k+2=0的两个根，则k的值等于(　　) A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6 7．关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 8．已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D．且 9．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞ B．k≥ C．k＞ 且k≠1 D．k≥ 且k≠1 10．若关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值为（　　） A． B．0 C．1 D．2 11．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 12．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则三角形的周长为（　　） A．7或8 B．8 C．15 D．7 13．若一元二次方程 无实数根，则一次函数 的图像经过第（　　） A．二、三、四象限 B．一、三、四象限 C．一、二、四象限 D．一、二、三象限 14．已知关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．且 15．定义运算：，例如：则方程的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 二、填空题 16．当m满足　 　时，方程有两个不相等的实数根 17．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　． 18．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为 　 　． 19．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是　 　． 20．关于x的方程有两个实数根．则m的取值范围为　 　． 21．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　 　． 22．对任意的两实数，用表示其中较小的数，如，则方程的解是　 　. 23．若关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第　 　象限． 三、计算题 24．用指定的方法解下列方程： （1）（公式法） （2）（配方法） 25．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当时，求出方程的解． 26．已知关于x的一元二次方程有两个实数根 （1）求m的取值范围： （2）当m取最大整数时，求方程的两个根 27．根据要求解下列方程． （1）用配方法解方程：． （2）用公式法解方程．． 四、解答题 28．已知关于x的一元二次方程； （1）求证：不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为、且满足，求m的值． 29．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0． （1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根． （2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长． 30．某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 （1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 31．已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）若，求的值及的周长； （2）当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． 32．已知 是关于 的一元二次方程 的两个实数根. （1）求m的取值范围； （2）若 ，求 的值； 33．设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程x2+x+c-a=0有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a的根为x=0. （1）试判断△ABC的形状； （2）若a，b为方程x2+mx-3m=0的两个根，求m的值. 34．已知平行四边形的两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）若的长为6，求m的值； （2）m为何值时，平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长． 35．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值． 36．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）方程的实数根是，，如果代数式，求m的值． 37．阅读下面材料，回答下列问题： 材料：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以利用根的判别式的方法，如下例： 例：求的最小值； 解：令 ∴ ∴ ∴，∴的最小值为4． 请利用上述方法解决下列问题： （1）求代数式的最大值； （2）若关于的二次三项式（为常数）的最小值为，求的值； （3）如图1，矩形，，，点是边上一动点，连接，作交于点，设． ①用含的代数式表示的长为______； ②求线段长度的取值范围． 38．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“好根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“好根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“好根方程”？ （2）已知关于的方程是常数）是“好根方程”，求的值． 39．如图，在中，，，动点、分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动．不考虑起始位置，且点，不与点，重合 （1）、两点出发后第几秒时，的面积为？ （2）、两点出发后第几秒时，的长度为； （3）的面积能否为？说明理由． 答案 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】B 9．【答案】C 10．【答案】B 11．【答案】A 12．【答案】D 13．【答案】A 14．【答案】B 15．【答案】A 16．【答案】 17．【答案】且 18．【答案】1 19．【答案】 且 20．【答案】且 21．【答案】且 22．【答案】， 23．【答案】一 24．【答案】（1），； （2），． 25．【答案】（1）且 （2） 26．【答案】（1） （2） 27．【答案】（1）， （2）， 28．【答案】（1）证明：在方程中，，，， ， 不论m取何值，， ． 不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根. （2）解：由（1）知方程总有两个不相等的实数根、， ，， 而，即， 解得， 时，， 是原分式方程的解 ． 29．【答案】（1）证明：△=（k+3）2﹣4×3k=（k﹣3）2≥0， 故不论k取何实数，该方程总有实数根； （2）解：当△ABC的底边长为2时，方程有两个相等的实数根， 则（k﹣3）2=0， 解得k=3， 方程为x2﹣6x+9=0， 解得x1=x2=3， 故△ABC的周长为：2+3+3=8； 当△ABC的一腰长为2时，方程有一根为2， 方程为x2﹣5x+6=0， 解得，x1=2，x2=3， 故△ABC的周长为：2+2+3=7． 30．【答案】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与之间的函数表达式为； （2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下：依题意得， 整理得， ∴， ∴该商品日销售额不能达到元． 31．【答案】（1）；5 （2） 32．【答案】（1） 方程有两个实数根 （2）由根与系数的关系，得： ， 33．【答案】（1）△ABC为等边三角形；（2）m=-12． 34．【答案】（1）12 （2），平行四边形是菱形，菱形的边长是4 35．【答案】（1）m≤2；（2） 36．【答案】（1） （2） 37．【答案】（1）； （2）； （3）①，②． 38．【答案】（1）是 （2）0或 39．【答案】（1）解：根据题意，知： ，． 设秒后，的面积等于， 根据三角形的面积公式，得， ， ， 解得秒或秒舍去． 故秒后，的面积等于； （2）解：设秒后，的长度等于，根据勾股定理， 得，即， ， ， ． 故秒后，的长度等于； （3）解：根据三角形的面积公式，得， ， ， ． 故的面积不能等于． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$