1.1.1两角和与差的余弦公式（教案）-人教版《数学 拓展模块一》《上好课》

人教版《数学 拓展模块一》 第1章 三角计算 1.1.1两角和与差的余弦公式 一、教材 人民教育出版社《数学》（拓展模块一） 二、教学时长 2课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 四、教材分析 《三角计算》是人民教育出版社《数学拓展模块一》中的核心内容，属于三角函数板块的延伸与应用范畴。它建立在学生已学习三角函数的基本定义、同角三角函数基本关系、诱导公式等基础之上，是对三角函数知识从 “概念理解” 向 “实践运算” 与 “综合应用” 的关键过渡。本节课的内容具有承上启下的重要作用。一方面，它是对前期三角函数基础理论的深化；另一方面，它为后续学习更复杂的数学内容奠定基础。同时，它在日常生活、工作以及专业学习中都有着广泛的应用，通过引入生活场景和专业领域案例，让学生体会三角函数的实用价值，打破 “数学抽象难懂” 的认知误区，有助于学生提升逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，培养严谨的思维习惯。 五、学情分析 学生在前面的课程中，学习了三角函数，知道了特殊角的三角函数值、三角函数基本关系式、诱导公式，为本节课的学习打下一定的基础.从学科核心素养来看，学生具备一定的数学抽象和逻辑推理的素养，具备一定的推理能力和运算能力，学生在三角函数的推理和运算方面能力比较薄弱，教学时需注意低起点、慢慢来、多示范、多练习，逐步提升学生的推理和运算能力，本节课先从两角和与差的余弦公式入手，便于学生理解，为后续的倍角公式的学习打好基础. 六、教学目标 1.理解并掌握两角和与差的余弦公式； 2.通过公式的推导及运用，培养学生类比推理的能力，理解化归思想在三角变换中的应用，能用余弦的和角公式进行简单的三角函数式的化简、求值，通过公式的推导，在培养学生三大能力的基础上，着重培养学生获得数学知识的能力和数学交流的能力. 3.通过观察、对比，引导学生体会公式的对称美，体验成功的喜悦；通过教师的启发引导，培养学生不怕困难、勇于探索、勇于创新的求知精神. 七、教学重点 两角和与差的余弦公式的推导与应用. 八、教学难点 两角和与差的余弦公式的公式变形与知识迁移. 九、教学方法 讲授法：教师通过系统、有条理的口头讲解两角和与差的余弦公式，直接向学生传递两角和与差的余弦公式及推导过程. 问题驱动教学法：教师围绕教学目标设计 “阶梯式问题链”（从基础到进阶、从具体到抽象），以问题为线索，引导学生主动思考、自主探究，最终通过解决问题掌握知识。 分层教学法：根据学生的数学基础、学习能力将学生分为不同层次（如基础层、提升层、拔尖层），设计不同的 “教学目标、教学内容、作业任务”，确保每个层次的学生都能 “在原有基础上进步”。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 引入 本章导语中需要求的值，我们知道，下面来思考如何求.事实上，我们已经知道了的正弦、余弦值，能否根据这些值来求的值？ 一般地，怎样根据和的三角函数值求出的值？ 教师引导学生，提出问题，引起学生思考 引出新知 探索新知 （1）自学时间：3min （2）自学要求：独立完成，圈画重点和疑难点。 （3）自学范围：课本公式推导部分内容 问题1　已知角α的终边与单位圆的交点为P，请写出点P的坐标. 提示　P(cos α，sin α). 问题2　你还记得初中所学两点间的距离公式吗？ 提示　平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式P1P2＝ 我们首先研究角和均为锐角的情况. 如图所示，以坐标原点为中心作单位圆，并设单位圆与x轴的正半轴交于点，以为始边作角，，，设它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，B. 问题 根据所学的单位圆与三角函数的相关知识，能否写出点P，Q，B的坐标？ 问题 能否根据已学知识，尝试推导一下（小组讨论） 易证得,则，即 两边平方，得， 化简可得：. 问题3你能两角和的余弦公式，推导出两角差的余弦公式？ 提示 又因为，所以 若把锐角推广到任意角，此公式仍然成立. 于是，对于任意角，我们可以得到如下公式： 注意点： (1)该公式对任意角都能成立. (2)公式的结构，左端为两角差的余弦，右端为这两角的同名三角函数值积的和. (3)公式的逆用仍然成立. (4)记忆要点：余余正正，符号反 学生自学课本内容，标记疑问点 教师巡视课堂，关注学生问题 教师分解问题，逐步引导学生完成两角和与差的余弦公式的推导过程，并留1分钟时间让学生记忆公式 小组内互相检查公式，教师进行抽查 联系生活实例，如机电专业制图科目，圆的旋转问题 教师提示一下两角和与差的余弦公式运用过程中的注意事项 学生自学，教师引导，体现学生的主体地位。 利用单位圆与三角函数结合的推导过程，培养学生直观想象、逻辑推理和数学抽象等核心素养。 讲授过程中将难题拆解简单化，穿插问题解答、小组讨论，有利于课堂高效 化 巩固学生对公式的掌握 情况 例题讲解 例1求及的精确值. 解： 变式1求下列各式的精确值： （1） cos 75°；（2）cos 20°cos 25°－sin 20°sin 25°； （3）cos 22.5°cos 22.5°－sin 22.5°sin 22.5°； （4） cos215°－sin215°． 答案：（1）；（2）（3）（4） 例2已知，且，求的值. 解：因为，且，所以 ， 变式2 已知，求的值. 答案： 例3已知，则cosα的值为________ 变式3已知， 求的值. 课堂思政 讲解两角和与差的余弦公式时，可结合数学家探索历程，传递严谨治学精神；借公式在航天轨道计算等的应用，展现数学价值，激发科技报国情怀 学生自学，小组合作，共同交流解题方法和总结解题思路 学生独立完成变式训练，检测学生的自学情况，教师抽查，针对学生的易错问题进行讲解 教师引导学生给值求值问题的解题策略，并由学生进行板演变式题目，教师进行批阅讲解注意事项和解题步骤 通过小组交流，培养学生的合作探究的能力，巩固学生对公式的应用 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 帮助学生灵活进行拆角和凑角的变换，培养学生灵活变通的能力 课堂小结 两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 给角求值 给值求值 学生派代表总结本节课的知识点和解题步骤及解题技巧 培养学生总结学习过程能力 当堂检测 1. 等于（ D ） 2. 求证： 3. 已知，求 的值. 思考题 试比较cos(α－β)和cos(α＋β)，观察两者之间的联系，你能发现什么？ 学生单人单桌进行当堂检测，小组互批，教师抽查，并进行针对性日清 教师布置思考题 检测学生本节课的知识掌握情况 作业布置 1. 书面作业 （1） 课后习题第×题写到作业本上。 （2） 完成《同步练习》1.1.1； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾； 学而时习，夯实所学。 板书设计 1.1.1两角和与差的余弦公式 公式 变形公式 例题 应用 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注；预留空白区域展示学生练习答案，增强互动性. 十一、教学反思 本节课先通过情境引入公式需求，再用距离公式推导，但部分学生对距离公式、单位圆与三角函数结合的逻辑理解不深，推导时易卡壳，因而增加了对距离公式的回顾内容。练习环节虽覆盖基础应用，却缺乏分层设计，学困生吃力、优等生闲置。后续需拆分推导难点，增加阶梯式习题，同时多穿插生活实例，让公式应用更具象，提升课堂效率。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$