专题03 二次函数与几何综合重难点题型汇编（十大题型）-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

专题03二次函数与几何综合重难点题型汇编 【题型01 ：二次函数与角相等】................................................1 【题型02 ：二次函数与线段最值】.............................................4【题型03：二次函数与面积综合】...............................................6 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】...................................9 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】.........................................12 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】.........................................14 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】...................................17 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】...................................20 【题型09：二次函数与等腰直角三角形存在性问题】.............................25 【题型10：二次函数与全等三角形存在性问题】..................................28 【题型01 ：二次函数与角相等】 1．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 2．二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接交于点Q，过点P作轴于点D． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接BC，当时，求直线的解析式； 3．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． (3)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点E，过点P作x轴的平行线交直线于点F，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为，求的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接与轴交于点，当时，求点的坐标． 【题型02 ：二次函数与线段最值】 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线，该对称轴与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为抛物线对称轴上一动点，当的值最小时，请你求出点M的坐标； 7．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，且，与y轴交于点C，连接，抛物线对称轴为直线，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，设点D的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式； (2)当线段的长度最大时，求D点的坐标； 8．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，求的面积． (3)抛物线的对称轴上有一动点P，求出当最小时点P的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，x轴正半轴的交点为点B，其中点A的坐标为，且，连接． (1)分别求出直线和抛物线的解析式． (2)若抛物线的顶点为点E，求的面积． (3)P是下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作轴于点D．求的最大值． 10．如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 【题型03：二次函数与面积综合】 11．如图，抛物线与y轴交于点，对称轴为直线，平行于x轴的直线与抛物线交于B，C两点，点B在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)点P在x轴上，直线将分成面积相等的两部分，求P点坐标． 12．如图，在中，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t， (1) ， ， ； (2)t为何值时的面积为？ (3)t为何值时的面积最大？最大面积是多少？ 13．如图，已知抛物线（b为常数）经过点P，点P与点关于原点对称，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点C． (1)求该抛物线的函数解析式及点A，B，C的坐标． (2)连接，抛物线上一点M在线段上方，其横坐标为m（），过点M作轴于点E，交线段于点F． ①当m为何值时，线段的长有最大值？最大值是多少？ ②当线段取最大值时，连接，在抛物线上是否存在点Q（点Q不与点M重合），使得的面积与的面积相等？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 14．如图，抛物线（，是常数）的顶点为，与轴交于，两点，其中，，点从点出发，在线段上以1单位长度/秒的速度向点运动，运动时间为秒，过点作，交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)用含的代数式表示直线的解析式； (3)当为何值时，的面积最大？求出面积的最大值． 15．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为．且该抛物线的对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式和顶点的坐标． (2)连接交抛物线的对称轴于点，连接，在抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，若的值最小，求点D的坐标； (3)若点P是抛物线上的一点，当点P在直线上方的抛物线上运动时，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并写出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】 17．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)求； (3)求对称轴方程； (4)在对称轴上是否存在一点，使以为顶点的四边形为平行四边形？ 18．已知二次函数的图象与轴的交于，两点，与轴交于点． (1)求，两点坐标； (2)点在第三象限内的抛物线上，过点作轴垂线交于点，求的最大值； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使以，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 19．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，试判断的形状，并说明理由； (3)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A，B，Q，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点D坐标为，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），且B坐标为，与y轴交于点C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)在抛物线对称轴上找一点M，使M到B、C两点的距离之差的绝对值最大，求出点M的坐标及最大绝对值； (3)点P是x轴上的一个动点，过P作直线交抛物线于点Q．试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出符合点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】 22．如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点N是直线上的动点，在平面内的是否存在点Q，使得以为边、以P、B、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有Q点的坐标:若不存在，请说明理由． 23．如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点P在直线的上方运动时，连接，交直线于点D，交y轴于点E． ①若的面积是面积的3倍，求点P的坐标； ②当时，求的长． (3)过点P作轴交直线于点F，在y轴上是否存在点Q，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值； (3)设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出所有符合条件的点N坐标，若不存在，说明理由． 25．已知抛物线与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A．    (1)判断的形状，并说明理由． (2)设点是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作轴于H，交于点Q，设四边形的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标和的面积； (3)在（2）的条件下，点N是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标． 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】 26．如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)P是抛物线上，位于直线上方的一个动点，过点P作于点D，求P坐标为何值时最大，并求出最大值； (3)如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）经过点和点，点P在此抛物线上，其横坐标为m．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点P在x轴下方时，直接写出m的取值范围； (3)当点P在y轴右侧时，将抛物线B、P两点之间的部分（包括B、P两点）记为图象G，设图象G上最高点与最低点的纵坐标的差为h． ①求h与m之间的函数关系式； ②点Q在此抛物线的对称轴上，点D在坐标平面内，当时，以B、P、Q、D为顶点的四边形为矩形，且BP为矩形的一边，直接写出点Q的坐标． 28．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点． (1)求点、、的坐标； (2)将抛物线向右平移1个单位，得到新抛物线，点在坐标平面内，在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 29．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是x轴上一点，点E是平面内任意一点，当以点A、C、P、E为顶点的四边形是矩形时，求点P的坐标． 30．如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于B、C两点，抛物线经过B、C两点，且交x轴于另一点．点D为抛物线在第一象限内的一点，过点D作，交于点P，交x轴于点Q． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，在点D的移动过程中，存在，求出m值； (3)在抛物线上取点E，在平面直角坐标系内取点F，问是否存在以C、B、E、F为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由． 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】 31．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的负半轴相交于点． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)如图2，点P为线段上的点，且点P的横坐标为m，过P作y轴的平行线交抛物线于M，连接． ①当是为腰的等腰三角形时，求的长； ②若抛物线顶点D在以为邻边的平行四边形的形内（不含边界），求m的取值范围． 32．如图，拋物线交轴于点和点，交轴于点 (1)求抛物线的函数解析式； (2)设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，是否存在点，使得四边形是平行四边形，如果有，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 (3)轴上，是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 33．如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点，且点P在对称轴的右侧，x轴的下方，连接． (1)求抛物线的对称轴及b，c的值； (2)当四边形的面积等于11时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，若点M是对称轴上的一点，试判断是否存在这样的点M，使得以点C，P，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 34．如图①，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点，设M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点）．其横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当m为何值时，面积S取得最大值？请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点Q，使得是以为底的等腰三角形，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由． 35．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点E为线段上一动点，过点E的直线平行于y轴并交抛物线于点F，当线段最大时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点E、B、P为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 36．如图，直线与抛物线相交于和． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上的动点，过点作轴，交抛物线于点．是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 37．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】 38．如图，抛物线经过，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，连接、，交轴于点，且． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，且位于轴上方，连接、，若是以为直角边的直角三角形，求点的坐标． 39．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点E为直线上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F． ①若点E在第一象限，连接，求面积的最大值； ②此抛物线对称轴与直线交于点D，连接，若为直角三角形，请直接写出E点坐标． 40．将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知，点P是抛物线H上的一个动点． (1)求抛物线H的表达式； (2)如图，点M是抛物线H的对称轴L上的一个动点，是否存在点M，使得以点A，M，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 41．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A、，抛物线经过点B，且与直线的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 42．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式； (2)当的周长最小时，求抛物线对应的函数关系式； (3)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 38．如图，抛物线经过，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，连接、，交轴于点，且． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，且位于轴上方，连接、，若是以为直角边的直角三角形，求点的坐标． 39．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点E为直线上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F． ①若点E在第一象限，连接，求面积的最大值； ②此抛物线对称轴与直线交于点D，连接，若为直角三角形，请直接写出E点坐标． 40．将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知，点P是抛物线H上的一个动点． (1)求抛物线H的表达式； (2)如图，点M是抛物线H的对称轴L上的一个动点，是否存在点M，使得以点A，M，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 41．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A、，抛物线经过点B，且与直线的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 42．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式； (2)当的周长最小时，求抛物线对应的函数关系式； (3)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 【题型09：二次函数与等腰直角三角形存在性问题】 43．二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点M作轴交直线于点N，交抛物线于点D，连接，设运动的时间为t秒． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上存在一点P，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标． 44．如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 45．如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接，，． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)如图1，当点F的坐标为，过点P作x轴的垂线，交线段于点D，求线段长度的最大值； (3)如图2，是否存在点F，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 46．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 47．如图，二次函数与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求函数表达式及顶点坐标； (2)连接，点P为线段上方抛物线上一点，过点P作轴于点Q，交于点H，当时，求点P的坐标； (3)是否存在点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 【题型10：二次函数与全等三角形存在性问题】 48．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的一个动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在直线上方，当四边形面积最大时，求点P的坐标； (3)过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为点D，点Q是对称轴上一点，当与全等时，求点P，Q的坐标． 49．如图所示，抛物线经过点，，，它的对称轴为直线． (1)求的面积； (2)求抛物线的解析式； (3)点是该抛物线上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点，点是直线上的点，若以点，，为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标． 50．如图，抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴为直线l，点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以P、D、E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P和点E的坐标． 51．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A、C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是上的点．要使得以P、D、E为顶点的三角形与全等，请求出点P、点E的坐标； 52．如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是线段上的一个动点（不点重合），轴交抛物线于点，连接，，求面积最大时点坐标； (3)点关于点的对称点为在该抛物线上是否存在点，使得与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03二次函数与几何综合重难点题型汇编 【题型01 ：二次函数与角相等】...............................................1 【题型02 ：二次函数与线段最值】.............................................15 【题型03：二次函数与面积综合】...............................................24 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】...................................34 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】.........................................46 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】.........................................58 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】...................................72 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】...................................88 【题型09：二次函数与等腰直角三角形存在性问题】.............................107 【题型10：二次函数与全等三角形存在性问题】..................................120 【题型01 ：二次函数与角相等】 1．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点或 【分析】（1）首先求得点，然后利用待定系数法求得抛物线解析式即可； （2）过点作交于点，首先求得点，设点，则点，可求得，进而可得四边形面积，由二次函数的图像与性质即可获得答案； （3）分点在上方和点在下方两种情况进行分析，即可获得答案． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点， ∴可有，解得， ∴点， ∵抛物线经过点， ∴将点代入，可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如下图，过点作交于点， ∵抛物线与轴的交点为， 当时，可有， 解得， ∴点， 设点，则点， ∴， ∵四边形面积， ∴当时，四边形面积有最大值， 此时点； （3）如下图，当点在上方时，设交轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点， 设直线解析式为，将点，点代入， 可得，解得， ∴直线解析式为， 联立方程组可得， 解得：或， ∴点， 当点在下方时， ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，利用数形结合思想和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 2．二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接交于点Q，过点P作轴于点D． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接BC，当时，求直线的解析式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）设与y轴交于点E，设，则，，运用勾股定理可求得，得出，再利用待定系数法即可求出答案． 【详解】（1）解：∵的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：如图，设与y轴交于点E， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 令，得， ∴，， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得 ， ∴， 设所在直线表达式为 ， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为． 【点睛】本题是与二次函数有关的综合题，主要考查了待定系数法，一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，勾股定理等，属于中考数学压轴题，综合性强，难度较大，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识是解题关键． 3．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． (3)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，点的坐标为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式； （2）先求解，及直线为，设，可得，再建立二次函数求解即可； （3）如图，以为对角线作正方形，可得，与抛物线的另一个交点即为，如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则，设，则，求解，进一步求解直线为：，直线为，再求解函数的交点坐标即可. 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 设， ∴， ∴ ； 当时，有最大值； 此时； （3）解：如图，以为对角线作正方形， ∴， ∴与抛物线的另一个交点即为， 如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴, ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 设为：， ∴， 解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：或， ∴， ∵，，，正方形， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或， ∴， 综上：点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点E，过点P作x轴的平行线交直线于点F，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点P的坐标为 (3)存在，Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）可得，求出直线的解析式为，又可得，进而得为等腰直角三角形，得到，设，则，可得，得到当时，即取最大值，此时的面积最大，据此即可求解； （3）分点在上方和点在下方两种情况，画出图形解答即可求解； 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由可得，， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ， ， ， ∵轴，轴， ， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，即取最大值，此时的面积最大， 则； （3）解：存在． 当点在上方时，作点关于轴的对称点，过点作交抛物线于点， ∵与关于轴对称， ， 又 ∵， ， ， ， ， 同理可得直线解析式为， 设直线解析式为，将代入得，， ， ， 由， 解得或， ； 当点在下方时，作点，直线与抛物线交于点， ， 同理可得直线解析式为， ， ， ， ， 联立， 解得或， ， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考査了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的几何问题，轴对称的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，掌握二次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 5．如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)设四边形的面积为，求的最大值； (3)如图2，过点作轴于点，连接与轴交于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)S的最大值为 (3) 【分析】（1）将，代入，即可求解； （2）过点P作PM⊥x轴于点N，P为第四象限内抛物线上一点，设点，则，，根据得，然后根据二次函数的最值求解即可； （3）由题意得到，则，设，由，求出即可． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， ， ； （2）解：过点P作轴于点N，如图所示，    令，则， ∴， ∴， ∵P为第四象限内抛物线上一点，设点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴当时，S有最大值，． （3）解：如图，    ∵轴，轴， ∴， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的判定，勾股定理，求二次函数解析式，待定指数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，注意数形结合思想是解题的关键． 【题型02 ：二次函数与线段最值】 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线，该对称轴与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为抛物线对称轴上一动点，当的值最小时，请你求出点M的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，三角形三边关系定理求线段差的最大值，利用线段和差求最值问题是解题的关键． （1）利用待定系数法直接得出结论； （2）先判断出最小时，，建立方程求解即可得出结论； 【详解】（1）解：对于， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵点C在抛物线上， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵最小， ∴， ∴， ∴， 设点， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴点． 7．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，且，与y轴交于点C，连接，抛物线对称轴为直线，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，设点D的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式； (2)当线段的长度最大时，求D点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）求出A点的坐标为，B点的坐标为，利用待定系数法即可求解； （2）求出直线的表达式为：，设点D的横坐标为m，则点，则点，则，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设点A的坐标为， ∵，A在x轴正半轴上，B在x轴负半轴上， ∴点B的坐标为， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， 解得， ∴， ∴A点的坐标为，B点的坐标为， 将A、B两点的坐标代入抛物线，得 ， 解得． ∴抛物线的表达式为； （2）对于， 令，则，故点， 设直线的表达式为： 由点A、C的坐标得， 解得 直线的表达式为：， 设点D的横坐标为m，则点，则点， 则， ∵，， 故有最大值，最大时， ∴点； 8．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，求的面积． (3)抛物线的对称轴上有一动点P，求出当最小时点P的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合： （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点B坐标，再根据进行求解即可； （3）由轴对称的性质得到，则，故当三点共线时，的值最小，即此时的值最小，求出直线解析式为，再求出抛物线对称轴为直线，在中，当时，，即． 【详解】（1）解：把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，解得或， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接， ∵点P是抛物线对称轴上一点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即此时的值最小， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ∴． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，x轴正半轴的交点为点B，其中点A的坐标为，且，连接． (1)分别求出直线和抛物线的解析式． (2)若抛物线的顶点为点E，求的面积． (3)P是下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作轴于点D．求的最大值． 【答案】(1)直线解析式为，抛物线的函数表达式为 (2) (3)的最大值为 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）先求出点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点坐标，分割法求出的面积即可； （3）设，将转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）∵点A的坐标为，且， ∴ 设直线解析式为，把，代入得：， 解得， ∴直战解析式为， 把，代入得： ，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）拋物线的函数表达式为， ∴顶点， 过点E作y轴的平行线交直线于点Q， 将代入直线解析式，得， ∴， ∴， ∴； （3）设，则， 在中，令得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，此时， ∴； ∴的最大值为． 10．如图，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段．（注：抛物线的对称轴为） (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式： （1）首先得点，，那么把A，B坐标代入，即可求得函数解析式； （2）首先得的值最大，应找到关于对称轴的对称点B，连接交对称轴的一点就是M．应让过的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点A， 令，则， ∴点A坐标为， ∵线段，直线与x轴交于B点， ， 把点坐标代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 由（1）得：抛物线的对称轴为， 、关于对称， ， 要使最大，即是使最大， 由三角形两边之差小于第三边得，当A，B，M在同一直线上时，的值最大． ∵，， 设直线的解析式为 ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 【题型03：二次函数与面积综合】 11．如图，抛物线与y轴交于点，对称轴为直线，平行于x轴的直线与抛物线交于B，C两点，点B在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)点P在x轴上，直线将分成面积相等的两部分，求P点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把A点坐标代入可求出，利用抛物线的对称轴可求出，从而得到抛物线解析式． （2）先利用抛物线的对称性确定B、C点的坐标，再确定的中点D的坐标为，接着利用待定系数法求出直线的解析式为，然后解方程可得到P点坐标． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 所以抛物线解析式为； （2）解：∵轴， ∴点B、C关于直线对称，而， ∴B点的横坐标为，C点的横坐标为1， 当时， ， ∴，， 设的中点为D，则， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时， ， 解得， ∴P点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． 12．如图，在中，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t， (1) ， ， ； (2)t为何值时的面积为？ (3)t为何值时的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)，， (2)当秒或4秒时，的面积是 (3)当t为3秒时的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了三角形的面积，二次函数的最值等知识点，能求出S与t的函数关系式是解此题的关键． （1）根据题意得出即可； （2）根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可； （3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， 故答案为：，，； （2）解：的面积 ， 解得：或4， 即当秒或4秒时，的面积是； （3）解：， ∴当t为3秒时，的面积最大，最大面积是． 13．如图，已知抛物线（b为常数）经过点P，点P与点关于原点对称，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点C． (1)求该抛物线的函数解析式及点A，B，C的坐标． (2)连接，抛物线上一点M在线段上方，其横坐标为m（），过点M作轴于点E，交线段于点F． ①当m为何值时，线段的长有最大值？最大值是多少？ ②当线段取最大值时，连接，在抛物线上是否存在点Q（点Q不与点M重合），使得的面积与的面积相等？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A、B、C的坐标分别为： (2)①当时，的最大值为：；②点Q的坐标为：或 【分析】（Ⅰ）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （Ⅱ）①设点，则点，则，即可求解； ②过点M作直线交y轴于点R，得到直线m的表达式为，即可求解；在点C的下方N处作直线，交抛物线于点Q，且使，同理可解． 【详解】（1）解： P与点关于原点对称，则点， 将点P的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：①； 当时，，令，则或1， 即点A、B、C的坐标分别为：； （2）①设直线的表达式为， 将点代入， 可得，解得， ∴直线的表达式为， 设点，则点， 则， 故当时，的最大值为：； ②存在，理由如下： 由①知，点， ∴， 过点M作直线交y轴于点R， ∵轴，即轴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即直线向上平移个单位得到直线m， 则直线m的表达式为：②， 联立①②得：, 解得：（舍去）； 在点C的下方N处作直线，交抛物线于点Q，且使， 则点， 则直线n的表达式为： ③， 联立①③得：， 解得：， 则点Q的坐标为：或， 综上，点Q的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行线的性质、面积的计算、线段长度的表达方法等，分类求解是解题的关键． 14．如图，抛物线（，是常数）的顶点为，与轴交于，两点，其中，，点从点出发，在线段上以1单位长度/秒的速度向点运动，运动时间为秒，过点作，交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)用含的代数式表示直线的解析式； (3)当为何值时，的面积最大？求出面积的最大值． 【答案】(1) (2)直线为 (3)当时，面积最大，最大面积为． 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的应用，二次函数与动态图形的面积，熟练地表示，的坐标是解本题的关键．（1）利用交点式直接可得抛物线的解析式； （2）先求解顶点坐标为，再求解的解析式，结合进一步解答即可； （3）先求解的解析式为：，再求解，利用，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线（，是常数）过，， ∴； （2）解：∵， ∴顶点坐标为， 设直线为， ， 解得：， ∴为， ∵， 设为， ∵， 当时， ∴，即， 当时， ∴，即， ∴， ∴， ∴直线为； （3）∵，， 同理可得：的解析式为：， ∴， 解得：， ∴， ∴ ， 当时，面积最大，最大面积为． 15．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为．且该抛物线的对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式和顶点的坐标． (2)连接交抛物线的对称轴于点，连接，在抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或或或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质，以及面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）待定系数法求解析式，进而化为顶点式求得顶点坐标，即可求解； （2）先求得所在直线的表达式为．得出，根据求得，进而根据，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得解得 ∴该抛物线的表达式为， ∴顶点的坐标为． （2）存在． 设所在直线的表达式为， 将点，代入，得 解得 ∴所在直线的表达式为． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即或． 解，得，； 解，得，， ∴点的坐标为或或或． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，若的值最小，求点D的坐标； (3)若点P是抛物线上的一点，当点P在直线上方的抛物线上运动时，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并写出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为 (3)存在，点 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）点B关于抛物线的对称点为点A，则交抛物线对称轴于点D，则此时，的值最小，进而求解； （3）过点P作轴交于点H，由题意可设点，则点，由铅垂法可得，然后问题可求解． 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 则点A、C的坐标分别为：、， 将A，C的坐标代入抛物线得：，解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：点B关于抛物线的对称点为点A，则交抛物线对称轴于点D，则此时，的值最小； 如图1，为最小； 设直线的表达式为：，将点A、C的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为，抛物线的对称轴为直线， 当时，，即点D的坐标为； （3）解：的面积存在最大值；理由如下： 过点P作轴交于点H，如图2， 由（2）可得直线的表达式为， 设点，则点， ∴，的水平宽为3， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时点． 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】 17．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)求； (3)求对称轴方程； (4)在对称轴上是否存在一点，使以为顶点的四边形为平行四边形？ 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4)存在． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，平行四边形的判定，掌握二次函数的图象和性质，分类讨论是解题的关键． （）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值； （）根据三角形的面积公式，可得答案； （）根据，可得函数图象的对称轴； （）分类讨论：点在顶点的上方，P点在顶点的下方，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案． 【详解】（1）解：当时，，即点坐标是 ， 当时，，解得，即点坐标是， ∴，； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：的对称轴是直线； （4）解：对称轴上存在一点，使以为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： 当点坐标是时，，，四边形是平行四边形； 当点坐标是时，，，四边形是平行四边形； 18．已知二次函数的图象与轴的交于，两点，与轴交于点． (1)求，两点坐标； (2)点在第三象限内的抛物线上，过点作轴垂线交于点，求的最大值； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使以，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的最大值为 (3)存在，点的横坐标为，或 【分析】此题考查了二次函数面积问题、二次函数与特殊四边形问题、二次函数与坐标轴的交点问题等知识，数形结合和分类讨论是关键． （1）解方程得到，，即可得到答案； （2）求出直线的表达式为，设，则，求出，，则当时，的最大值为； （3）分为平行四边形的边和为平行四边形的对角线两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：令，代入得：， 解得，， ∴； （2）设直线的表达式为，把、代入得： ，解得， ∴直线的表达式为， 设，则， ∵点位于第三象限， ∴，， ∴当时，的最大值为． （3）①当为平行四边形的边时，． ∴，关于直线对称 ∵ 点的横坐标为或． ②当为平行四边形的对角线时，设点，则点， ∵点在抛物线上 ∴ 解得， ∵点在第三象限 ∴点在第一象限 ∴点的横坐标为 综上所述：点的横坐标为，或． 19．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，试判断的形状，并说明理由； (3)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A，B，Q，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3)存在， 【分析】（1）将三点坐标分别代入抛物线中即可求出的值，从而得出抛物线的解析式； （2）根据（1）中求出的抛物线解析式得出的坐标，通过两点间距离公式可求出的值，计算发现，根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形； （3）利用平行四边形的性质：对角线互相平分，则对角线的中点为固定值进行分类讨论：两条对角线为时；两条对角线为，时；两条对角线为时，即可得出符合条件的的坐标． 【详解】（1）解：将代入抛物线中， 得， 可解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：应为直角三角形， 证明如下： 由（1）得：抛物线的解析式为， 且是抛物线的顶点， ， 又， ， ， ， ， 故根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形． （3）解：存在，均可满足条件． ∵要使以为顶点的四边形为平行四边形， 且平行四边形中对角线互相平分， ∴对角线的中点为固定值． ∵在抛物线对称轴上，在抛物线上， ∴可设， 则可分为以下三种情况进行讨论：①两条对角线为时， 有， 解得， 即此时； ②两条对角线为时， 有， 解得， 即此时； ③两条对角线为时， 有， 解得， 即此时． 故满足条件的点有3个，分别为． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理及平行四边形的性质，解题的关键是掌握平面内两点间距离公式及对角线互相平分，则对角线的中点为固定值，易错点是第（3）题中可能存在考虑不全面的情况，导致符合条件的点未写全． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点D坐标为，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），且B坐标为，与y轴交于点C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)在抛物线对称轴上找一点M，使M到B、C两点的距离之差的绝对值最大，求出点M的坐标及最大绝对值； (3)点P是x轴上的一个动点，过P作直线交抛物线于点Q．试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出符合点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为； (2)M到B、C两点的距离之差的绝对值最大值为，点M的坐标为； (3)点的坐标为或或． 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把代入即可求解，利用二次函数的对称性求得，再利用待定系数法求解即可； （2）延长交对称轴于点，由对称性知此时M到B、C两点的距离之差的绝对值最大，最大值为的长，据此求解即可； （3）分点在点的左边和右边两种情况，根据平行四边形的对边平行且相等，从点、的坐标关系，用点的坐标表示出点的坐标，然后把点的坐标代入抛物线解析式求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵顶点D坐标为，且B坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：延长交对称轴于点， ∵点和点B关于对称轴直线对称， ∴， ∴M到B、C两点的距离之差的绝对值为， 此时M到B、C两点的距离之差的绝对值最大，最大值为的长， ∵，， ∴， 时，， ∴点M的坐标为； （3）解：直线， ∴且， ，， 设点的坐标为， 则①若点在轴上方，则点的坐标为， 此时，， 解得（舍去），， 所以，点的坐标为； ②若点在轴下方，则点的坐标为， 此时，， 整理得，， 解得，， 所以，点的坐标为或， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与轴的交点问题，待定系数法求二次函数解析式，轴对称确定最短路线问题，平行四边形的对边平行且相等的性质，（2）确定出点的位置是解题的关键，（3）难点在于分情况讨论． 21．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，； 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数，二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质． （1）先求得两点的坐标，再根据对称轴是直线，列方程组求解即可； （2）作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果； （3）设点P的坐标为：，根据勾股定理求出，根据菱形性质可得，进而求得点的坐标，根据菱形性质，进一步求得点坐标． 【详解】（1）解：对于，当时，，当时，， ∴点A的坐标为，点C的坐标为， 又∵对称轴是直线：， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：对于，当时，， 解得：，， ∴点B的坐标为， 又∵点，点， ∴，，， 过D作轴于E，交于E， ∵点D在第二象限内的抛物线上，且横坐标为m， ， ， ， ， ， ， 当时，S有最大值，， 当时， ； （3）存在点P和点Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，理由如下： ∵点P在抛物线的对称轴上， ∴可设点P的坐标为：， ∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴，与互相垂直平分， 设直线与x轴交于点F，过点P作轴，与交于点K， ∵点， ∴，，，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， 设点K的坐标为， ∵点K为的中点， ∴，， 设点Q的坐标为， ∵点K为的中点， ∴，， 解得：，， ∴点Q的坐标为． 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】 22．如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点N是直线上的动点，在平面内的是否存在点Q，使得以为边、以P、B、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有Q点的坐标:若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点时，的面积取得最大值，最大值为4； (3)或或． 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，掌握二次函数的性质，点的特征，分类讨论等是解题的关键． （1）将点和点代入解析式，求出和即可得到抛物线表达式； （2）过点作轴交于点，设点，，利用表示出面积，即可求解； （3），，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：交轴于点和点， ， ， ； （2）解：当时，， ， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得， 直线的解析式为：， 设点， ， ， ， ，且， 当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4； （3）解：，，设，， ①以、为对角线时，， ， 或（舍， ； ②以、为对角线时，， ， 或， 或； 综上所述：或或． 23．如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点P在直线的上方运动时，连接，交直线于点D，交y轴于点E． ①若的面积是面积的3倍，求点P的坐标； ②当时，求的长． (3)过点P作轴交直线于点F，在y轴上是否存在点Q，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)存在，或或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①连接，过点P作轴交于点M，过点A作轴交于点N，设，由，则，建立方程求t的值即可； ②设，先求出直线的解析式为，则，再求出，根据，建立方程求出m的值即可求解； （3）设，则，求出，，；分三种情况进行讨论：①当时，②当时，③当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将点C代入可得， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：①连接， ∵的面积是面积的3倍， ∴， 过点P作轴交于点M，过点A作轴交于点N， 设， 设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴； ②设， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， 当时，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：存在点Q，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设，则， ∵， ∴， ， ； ①当时，， 解得：或 当时，P、F、C、Q四个点都在y轴上，不符合题意； 当时，P、F两个点重合，不符合题意； ②当时，， 解得：或或， 当时，P、F、C、Q四个点都在y轴上，不符合题意； ∵， ∴当时，点在点的下方， ∵，，为菱形的边， ∴此时点Q在点C下方，如图所示： ∵， ∴， ∴点Q的纵坐标为， ∴此时点Q的坐标为； ∵， ∴当时，点在点的上方， ∵，，为菱形的边， ∴此时点Q在点C上方，如图所示： ∵， ∴， 点Q的纵坐标为， ∴此时点Q的坐标为； ③当时，， 解得：或， 当时，P、F、C、Q四个点都在y轴上，不符合题意； ∵， ∴当时，点在点的上方， ∵，，为菱形的边， ∴此时点Q在点C下方，如图所示： ∵， ∴， 点Q的纵坐标为， ∴此时点Q的坐标为； 综上所述：Q点坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，菱形的性质，勾股定理，求二次函数解析式，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，注意进行分类讨论． 24．如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值； (3)设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出所有符合条件的点N坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，，，， 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，而，则，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式和列出方程组，即可求解；当或为对角线，同理可解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 又过， 则， 则． 即， 即； （2）解：如图1，过点作轴于点，交于点，作 于点，连接、， 、， 则，， 由点、的坐标得，直线解析式为， ，， ． ， 又， ． ， 则， 当 时，； （3）解：存在，理由： 设点、点， 当为对角线时，由中点坐标公式和得： ，解得：， 即点的坐标为：； 当或为对角线，由中点坐标公式和或得： 或， 解得：或， 即点的坐标为：，或； 综上，或或或． 【点睛】此题主要考查二次函数的综合问题，会运用待定系数法求函数解析式；结合对称点解决线段和最小问题；熟悉等腰直角三角形的性质，并应用于点的存在的研究；熟悉菱形的性质，并运用于菱形顶点的存在性研究是解决此题的关键． 25．已知抛物线与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A．    (1)判断的形状，并说明理由． (2)设点是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作轴于H，交于点Q，设四边形的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标和的面积； (3)在（2）的条件下，点N是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)直角三角形，见解析 (2)，，1 (3)存在，点M坐标为或或或或 【分析】（1）根据二次函数解析式求出点A，B，C的坐标，表示出，，的长度，利用勾股定理逆定理可得结论； （2）根据A，C的坐标可得出直线的解析式，由点P的坐标表示出点Q的坐标，根据可表示出四边形的面积，利用二次函数的性质可得结论； （3）由菱形的对称性可知，若以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，则是等腰三角形，分三种情况讨论，列出方程解之即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A． 当时，， 当时，， 则或， ，，， ，，， ，，， ，即， 是直角三角形，且． （2）设直线的解析式的解析式为：， ， ， ， 解得：， 直线的解析式的解析式为：， ∵点是抛物线在第一象限部分上的点，轴， ，，， ， ， ， ， 当时，的最大值为8，此时， ，， ； （3）点M坐标为或或或或 ，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线，则可设， 由（1）（2）可知：，， ，，， 由菱形的对称性可知，若以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，则是等腰三角形，则需要分以下三种情况： ①当时，则， 解得， ∴或； ②当时，则， 解得， ∴或； ③当时，则， 解得：， ∴． 综上，存在点M，使得以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，点坐标为或或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，菱形的性质及勾股定理的逆定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】 26．如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)P是抛物线上，位于直线上方的一个动点，过点P作于点D，求P坐标为何值时最大，并求出最大值； (3)如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当P点运动到时，最大值为 (3)存在，H点的坐标为或或或 【分析】（1）设顶点式，展开得，解方程求出a即可得到抛物线解析式； （2）过点P作轴交于点E，根据题意推出，为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，推出的表达式，最终利用函数法求最值； （3）分为边和对角线两种情况，进行讨论求解，先通过勾股定理求出N点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算H的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 即， ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）知， 当时，， ， ， 是等腰直角三角形，， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ， P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点E， 设，则， ，其中， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ 当时，最大值为，此时； （3）解：平移后的函数解析式为， 将与联立，得 ， 解得两条抛物线交点M的坐标为， 如图，以为边，作交对称轴于，可构造矩形，设， ，，， ， ， 解得， 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 同理，以为边，作交对称轴于，可构造矩形，设， ， ， 解得，即， 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得 ； 如图，以为对角线，作交对称轴于，可构造矩形，设， ， ， 解得，，即，， 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 设，由A，M，，四点的相对位置关系可得： ， 解得， ； 综上可知，H点的坐标为或或或 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，用函数法求线段和最值问题，二次函数图象和性质，矩形性质等知识点，是一道关于二次函数综合题和压轴题，综合性强，难度较大；熟练掌握相关知识并灵活运用方程思想，数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）经过点和点，点P在此抛物线上，其横坐标为m．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点P在x轴下方时，直接写出m的取值范围； (3)当点P在y轴右侧时，将抛物线B、P两点之间的部分（包括B、P两点）记为图象G，设图象G上最高点与最低点的纵坐标的差为h． ①求h与m之间的函数关系式； ②点Q在此抛物线的对称轴上，点D在坐标平面内，当时，以B、P、Q、D为顶点的四边形为矩形，且BP为矩形的一边，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)①；②点的坐标为或 【分析】（1）将点，代入之中得到关于，的方程组，解方程组求出，即可得到抛物线的解析式； （2）先求出抛物线与轴的两个交点，，再根据抛物线的开口向下可得出当点在轴下方的抛物线上时，的取值范围； （3）①先求出抛物线的点为，对称轴为，点，分三种情况进行讨论：当，点为最低点，点为最高点，据此可求出与之间的函数关系式；当，此时最高点为抛物线的顶点，最低点为，据此可求出与之间的函数关系式；当，此时最高点为点，最低点为，据此可求出与之间的函数关系式； ②由①可知当时，，据此可求出点，再求出直线的解析式为，分两种情况进行讨论：当点在轴上方、当点在轴的下方；设点，利用勾股定理列式计算可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将点，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：对于，当时，， 解得：，， ∴抛物线与轴的两个交点，， 又∵抛物线的开口向下， ∴当点在轴下方的抛物线上时，的取值范围是：或； （3）解：①， ∴抛物线的点为，对称轴为直线， ∵点在轴右侧的抛物线上，且横坐标为， ∴点的坐标为， 分两种情况讨论如下： 当时， ∴点为最低点，点为最高点， ，其中， 当，此时最高点为抛物线的顶点，最低点为， 其中； 当，此时最高点为点，最低点为， ，其中， 综上所述：与之间的函数关系式是：， ②点的坐标为：或． 理由如下： 由①可知：当时，， ，解得：，（不合题意，舍去）， 当时，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为：， 将点，代入， 得：，解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则， ∴直线与对称轴的交点为， ∵以、、、为顶点的四边形为矩形，且为矩形的一边， ∴有以下两种情况： 当点在轴上方时，与对称轴的交点为，设点，    则，，， ， ∴，即， 整理得， 解得， 此时点的坐标为， 当点在轴的下方时，与对称轴的交点为，设点，    则，，， ， ∴，即， 整理得， 解得， 此时点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】此题主要考查了求二次函数的解析式，顶点坐标、对称轴，矩形的性质等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，以及求二次函数顶点坐标、对称轴的方法，理解矩形的四个角都是直角，难点是分类讨论思想在解题中的应用． 28．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点． (1)求点、、的坐标； (2)将抛物线向右平移1个单位，得到新抛物线，点在坐标平面内，在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，点的坐标为或 【分析】（1）分别令和，求解即可； （2）先求得平移后的抛物线的解析式，再分情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，根据矩形的性质求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ， 令，则， ． （2） ， ， 对称轴为． 当为边时，分两种情况： 当为对角线时，连接，过点作的垂线，交于点，交轴于点， ，， ， ， ． 设所在直线解析式为， 将，代入得，， 解得， 所在直线解析式为， 当时，． ． 当为边时，同理过点作的垂线，交于点，交轴于点， 易得所在直线解析式为，则与对称轴l的交点坐标为． 当为对角线时，也为对角线，易得，由图可知此时点不可能在上， 此种情况不存在． 综上，在新抛物线的对称轴上存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，矩形的性质，分类讨论是解题的关键． 29．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是x轴上一点，点E是平面内任意一点，当以点A、C、P、E为顶点的四边形是矩形时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）由抛物线与x轴交于，两点，设，再把代入利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况讨论：如图，当为矩形对角线时，当为对角线时，如图，再结合图形求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线为：； （2）如图，当为矩形对角线时， ∵，，矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 当为对角线时，如图， 由矩形可得， 此时，重合， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，矩形的性质与判定，利用数形结合的方法解题是关键． 30．如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于B、C两点，抛物线经过B、C两点，且交x轴于另一点．点D为抛物线在第一象限内的一点，过点D作，交于点P，交x轴于点Q． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，在点D的移动过程中，存在，求出m值； (3)在抛物线上取点E，在平面直角坐标系内取点F，问是否存在以C、B、E、F为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，此时点的坐标为或 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先根据求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得； （3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：一次函数， 当时，，即， 当时，，解得，即， 把，代入得， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：，， ， ， ， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3， 当时，，解得或（舍去）， 则． （3）解：存在，求解如下： 设点的坐标为， ①当四边形是矩形时，则， ∵直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 把点代入得， 直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， 四边形是矩形，且，，， ，解得， 则此时点的坐标为； ②当四边形是矩形时，则， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， 四边形是矩形，且，，， ，解得， 则此时点的坐标为， 综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合、矩形的性质等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】 31．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的负半轴相交于点． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)如图2，点P为线段上的点，且点P的横坐标为m，过P作y轴的平行线交抛物线于M，连接． ①当是为腰的等腰三角形时，求的长； ②若抛物线顶点D在以为邻边的平行四边形的形内（不含边界），求m的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线BC的解析式为 (2)①或；② 【分析】（1）先求出点，运用待定系数法求出解析式，把点代入即可求出结果； （2）①由，，可得，运用两点间距离公式得：，分两种情况建立方程求解即可；②利用配方法可以写出，平移后解析式为，解出G的横坐标为，即点M必须在直线上方的抛物线上， 写出取值范围即可． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于B， ∴， ∵抛物线经过点和点， ∴ 解得：， ∴抛物线的解析式为： 令， 解得： ∴， 把代入得 ， ∴ （2）解：①设直线的解析式为，代入和得 解得 解析式为： ∵点P为线段上的点，且点P的横坐标为m， ∴且， ∵过P作y轴的平行线交抛物线于M， ∴， ∴ ∵， ∴ 当时，， 解得：(舍去） ∴， 当时， ∵ ∴是等腰三角形， ∴， ∴ ∴ ∴点M的纵坐标为 ∴， 解得：(舍去） ∴ ∴ 综上所述，MP的长为或 ②∵， ∴抛物线顶点为 设经过点且平行的直线的解析式为，如图， 则， 解得： ， 联立得：， 解得： ∵点G的横坐标为，点D在以为邻边的平行四边形的形内（不含边界）， ∴点M必须在直线上方的抛物线上， ∴m的取值范围为． 【点睛】本题考查待定系数法，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是用分类讨论的数学思想和方程思想解决问题． 32．如图，拋物线交轴于点和点，交轴于点 (1)求抛物线的函数解析式； (2)设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，是否存在点，使得四边形是平行四边形，如果有，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 (3)轴上，是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出直线的表达式为，设，，得到，根据题意得到，代入得到，解方程求解即可； （3）首先令，即，求出，然后根据题意分3种情况讨论，分别根据等腰三角形的概念和勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵拋物线交轴于点和点，交轴于点， ∴，解得 ∴； （2）∵， ∴设直线的表达式为 ∴，解得 ∴ ∵点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点， ∴设， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ 解得 ∴； （3）∵， ∴令，即， 解得， ∴ ∵， ∴设 如图所示，当时， ∵ ∴ ∴； 如图所示，当时， ∵， ∴ ∴ ∴； 当时， ∴ ∴ 解得 ∴ 综上所述，当点P的坐标为，，时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，求函数解析式，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 33．如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点，且点P在对称轴的右侧，x轴的下方，连接． (1)求抛物线的对称轴及b，c的值； (2)当四边形的面积等于11时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，若点M是对称轴上的一点，试判断是否存在这样的点M，使得以点C，P，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)对称轴是直线，b的值是，c的值是 (2) (3)存在这样的点M，使得以点C，P，M为顶点的三角形是等腰三角形，点M的坐标为或或或或 【分析】（1）将A，B点的坐标代入中即可求出二次函数表达式，即可得抛物线的对称轴及b，c的值； （2）设，根据可得关于m的方程，解方程求出m的值，由题意得出，即可得点P的横坐标，代入即可求解； （3）设，根据勾股定理可表示出，分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴， ∴对称轴是直线，b的值是，c的值是； （2）解：存在．设 ， ∵， ∴， ∵， ∴， 连接， ∴， 整理得：，解得：， ∵点P在对称轴的右侧，x轴的下方， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在， 设， 则， ， ∵是等腰三角形， ∴分三种情况， ①当时， ， 解得：， ∴点M的坐标为或； ②当时， 解得：， ∴点M的坐标为或； ③当时， 解得：， ∴点M的坐标为； ∴存在这样的点M，使得以点C，P，M为顶点的三角形是等腰三角形，点M的坐标为或或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形的性质和判定，面积的计算等知识点，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用勾股定理列方程解决问题． 34．如图①，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点，设M是点C，D间抛物线上的一点（包括端点）．其横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当m为何值时，面积S取得最大值？请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点Q，使得是以为底的等腰三角形，如果存在，请求出点Q的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2，理由见解析 (3)存在，或 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，连接，过点M作轴交于E，过点M作分别交直线于G、F，先求出直线的解析式，进而得到，则点M在运动过程中的长保持不变，故要使的面积最大，则最大，即要使最大，进一步推出当最大时，最大，即此时的面积最大，求出，则，再用m表示出，然后结合二次函数的性质求解即可； （3）设，根据勾股定理得到，根据等腰三角形的性质得到，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：把，代入抛物线解析式中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：当m为2时，的面积最大，理由如下： 如图，连接，过点M作轴交于E，过点M作分别交直线于G、F， 设直线的解析式为， 把，代入得∶ ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴点M在运动过程中的长保持不变，要使的面积最大，则最大，即要使最大， ∵， ∴当最大时，最大，即此时的面积最大， ∵点M的横坐标为m， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大，即此时的面积最大； （3）解：设， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴点Q的坐标为或． 35．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点E为线段上一动点，过点E的直线平行于y轴并交抛物线于点F，当线段最大时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点E、B、P为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)P点的坐标为或或 【分析】（1）将，代入，即可求解； （2）求出直线的解析式，设，则，求出，可得当时，有最大值，此时，由勾股定理可得，再分和两种情况，分别讨论即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：存在点P，以为腰的等腰三角形，理由如下： 令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 当时，的最大值为， 此时， 又 ， ∴， ①当时， ， ∴P点坐标为或； ②当时，P点与关于直线对称， ∴P点坐标为； 综上所述：P点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数图象中特殊三角形存在性问题，涉及求二次函数解析式，一次函数解析式，线段的最值问题，等腰三角形的定义，坐标系中两点间距离等知识点，第2问有一定难度，注意分情况讨论是解题的关键． 36．如图，直线与抛物线相交于和． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上的动点，过点作轴，交抛物线于点．是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当时，线段有最大值且为 (3)存在，或或或或 【分析】（1）把代入直线，求出，再根据待定系数法求解即可； （2）设动点的坐标为，则点的坐标为，表示出 ，再结合，根据二次函数的性质求解即可． （3）设点，分为①当时，②当时，③当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线得， ， 在抛物线上， ，解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：存在． 理由如下：设动点的坐标为，则点的坐标为， ， 点是线段上的动点， ， 当时，线段有最大值且为． （3）解：存在． 设点， ①当时，， 解得：， 或． ②当时，， 解得：， 或． ③当时，， 解得：， ， 综上所述，为等腰三角形时，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，一次函数上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．题型较好，综合性强． 37．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)面积的最大值为，此时D点坐标为 (3)存在，点P的坐标为 【分析】此题考查二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，等腰三角形的判定等知识，数形结合与分类讨论数学思想是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解即可； （2）可求得直线的表达式为过点D作 轴于点G， 交于点F， 设则所以，则 ，即可求得面积的最大值是； （3）先求得抛物线的对称轴为直线设，再根据为等腰三角形，且以为底边，利用坐标两点距离公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ， ， 解得 ∴二次函数的表达式为． （2）解：设直线的表达式为则 解得 ∴直线的表达式为 如图1，过点D作轴于点G，交于点F， 设则 ， ， ， ∴当时， ， 此时，， 面积的最大值是，此时D点坐标为； （3）解：存在，理由如下： ， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 为等腰三角形，且以为底边， ， ，， 解得， ． 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】 38．如图，抛物线经过，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，连接、，交轴于点，且． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，且位于轴上方，连接、，若是以为直角边的直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数、二次函数与直角三角形综合，解决问题的关键是熟练掌握二次函数性质、用待定系数法确定二次函数的解析式、运用勾股定理解直角三角形． （1）根据，，得到，，对，令，则，得到，则，根据轴，得得到，把，代入，求得，的值，即可求得到抛物线解析式； （2）抛物线解析式并配方为，得到抛物线的对称轴是直线，设，写出，，,根据是以为直角边的直角三角形，分两种情况：当时，；当时，，分别列方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 在中，令，则， ∴，则， ∵轴， ∴； 把点，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）∵抛物线的表达式为， ∴抛物线的对称轴是直线， 设，， 则，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴（不合题意，舍去）， ∴． 综上所述，点的坐标为 39．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点E为直线上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F． ①若点E在第一象限，连接，求面积的最大值； ②此抛物线对称轴与直线交于点D，连接，若为直角三角形，请直接写出E点坐标． 【答案】(1) (2)①；②或或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①先求出的解析式，设，将三角形的面积转化为二次函数求最值，即可； ②分点为直角顶点，点为直角顶点，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点、代入解析式，得： ，解得：； ∴； （2）①∵， ∴当时，， ∴， 设的解析式为，把代入，得：， ∴， 设点，则：， ∴， ∴， ∴当时，面积的最大值为； ②∵， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴ 设点，则：， ∴， 当点为直角顶点时，则：， ∴， 解得：（舍去），或； ∴或 当点为直角顶点时：， ∴， 解得：（舍），（舍），或； ∴或； 综上：或或或． 40．将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知，点P是抛物线H上的一个动点． (1)求抛物线H的表达式； (2)如图，点M是抛物线H的对称轴L上的一个动点，是否存在点M，使得以点A，M，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在点，，， 【分析】（1）根据题意设抛物线，根据点A的坐标，待定系数法求二次函数解析式即可； （2）设，，，则， ，则分类讨论，即，，，根据勾股定理建立方程，解方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线， 将代入得：，解得： ∴抛物线H的表达式为； （2）解：令，得， 解得：或， 令，则， ∴，， ∵点M是抛物线H的对称轴L上的一个动点， ∴设， ∴，， 如图示： ①当时，则 ∴， 解得：， ∴，， ②当时，， ∴ 解得： ，即 ③当时，， 即 解得，即， 综上所述：在抛物线的对称轴上存在点，，，，使以A、M、C为顶点的三角形为直角三角形． 【点睛】本题考查了二次函数与直角三角形的存在性问题，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 41．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A、，抛物线经过点B，且与直线的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或或或 【分析】（1）将点C的坐标代入得，，故点，将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）分是斜边、是斜边、是斜边三种情况，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：将点C的坐标代入得，， 故点； 将点B、C的坐标代入抛物线的表达式得， 解得， 故抛物线得表达式为； （2）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 设点， 而点B、C的坐标分别为、， 则，， 同理， 当是斜边时，则 解得； 当是斜边时，同理可得， 当是斜边时，的中点坐标为，， 则， 解得， 故点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，勾股定理的运用等，其中对于问题（2），要注意分类求解，避免遗漏． 42．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式； (2)当的周长最小时，求抛物线对应的函数关系式； (3)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)抛物线的函数关系式为：或． 【分析】本题是二次函数的综合题，关键是根据待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及勾股定理解答． （1）根据抛物线：求出点，的坐标，由抛物线与是“共根抛物线”，可设出抛物线的解析式，最后把点代入即可求解； （2）连接交对称轴直线于点，连接，交轴于点，此时的周长最小，先求出直线的解析式，从而求出点的坐标，据此即可求解； （3）设点的坐标为，求得，，，分点在轴上方和点在轴下方，利用勾股定理列式，求得点的坐标，据此即可求解． 【详解】（1）解：在抛物线：中，令，则， 解得：或， 即点，点， 根据题意，设抛物线的函数关系式为：， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； （2）解：连接交对称轴直线于点，连接，交轴于点，此时的周长最小． 令，则， ∴， 设直线的解析式为，将点代入得，， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； （3）解：假设存在，设点的坐标为， ∵，， ∴，，， 当点在轴上方时， 由题意得，即， 解得， 即点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； 当点在轴下方时， 由题意得，即， 解得， 即点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； 综上，抛物线的函数关系式为：或． 38．如图，抛物线经过，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，连接、，交轴于点，且． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，且位于轴上方，连接、，若是以为直角边的直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数、二次函数与直角三角形综合，解决问题的关键是熟练掌握二次函数性质、用待定系数法确定二次函数的解析式、运用勾股定理解直角三角形． （1）根据，，得到，，对，令，则，得到，则，根据轴，得得到，把，代入，求得，的值，即可求得到抛物线解析式； （2）抛物线解析式并配方为，得到抛物线的对称轴是直线，设，写出，，,根据是以为直角边的直角三角形，分两种情况：当时，；当时，，分别列方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 在中，令，则， ∴，则， ∵轴， ∴； 把点，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）∵抛物线的表达式为， ∴抛物线的对称轴是直线， 设，， 则，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴（不合题意，舍去）， ∴． 综上所述，点的坐标为 39．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点E为直线上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F． ①若点E在第一象限，连接，求面积的最大值； ②此抛物线对称轴与直线交于点D，连接，若为直角三角形，请直接写出E点坐标． 【答案】(1) (2)①；②或或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①先求出的解析式，设，将三角形的面积转化为二次函数求最值，即可； ②分点为直角顶点，点为直角顶点，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点、代入解析式，得： ，解得：； ∴； （2）①∵， ∴当时，， ∴， 设的解析式为，把代入，得：， ∴， 设点，则：， ∴， ∴， ∴当时，面积的最大值为； ②∵， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴ 设点，则：， ∴， 当点为直角顶点时，则：， ∴， 解得：（舍去），或； ∴或 当点为直角顶点时：， ∴， 解得：（舍），（舍），或； ∴或； 综上：或或或． 40．将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知，点P是抛物线H上的一个动点． (1)求抛物线H的表达式； (2)如图，点M是抛物线H的对称轴L上的一个动点，是否存在点M，使得以点A，M，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在点，，， 【分析】（1）根据题意设抛物线，根据点A的坐标，待定系数法求二次函数解析式即可； （2）设，，，则， ，则分类讨论，即，，，根据勾股定理建立方程，解方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线， 将代入得：，解得： ∴抛物线H的表达式为； （2）解：令，得， 解得：或， 令，则， ∴，， ∵点M是抛物线H的对称轴L上的一个动点， ∴设， ∴，， 如图示： ①当时，则 ∴， 解得：， ∴，， ②当时，， ∴ 解得： ，即 ③当时，， 即 解得，即， 综上所述：在抛物线的对称轴上存在点，，，，使以A、M、C为顶点的三角形为直角三角形． 【点睛】本题考查了二次函数与直角三角形的存在性问题，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 41．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A、，抛物线经过点B，且与直线的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或或或 【分析】（1）将点C的坐标代入得，，故点，将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）分是斜边、是斜边、是斜边三种情况，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：将点C的坐标代入得，， 故点； 将点B、C的坐标代入抛物线的表达式得， 解得， 故抛物线得表达式为； （2）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 设点， 而点B、C的坐标分别为、， 则，， 同理， 当是斜边时，则 解得； 当是斜边时，同理可得， 当是斜边时，的中点坐标为，， 则， 解得， 故点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，勾股定理的运用等，其中对于问题（2），要注意分类求解，避免遗漏． 42．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式； (2)当的周长最小时，求抛物线对应的函数关系式； (3)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)抛物线的函数关系式为：或． 【分析】本题是二次函数的综合题，关键是根据待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及勾股定理解答． （1）根据抛物线：求出点，的坐标，由抛物线与是“共根抛物线”，可设出抛物线的解析式，最后把点代入即可求解； （2）连接交对称轴直线于点，连接，交轴于点，此时的周长最小，先求出直线的解析式，从而求出点的坐标，据此即可求解； （3）设点的坐标为，求得，，，分点在轴上方和点在轴下方，利用勾股定理列式，求得点的坐标，据此即可求解． 【详解】（1）解：在抛物线：中，令，则， 解得：或， 即点，点， 根据题意，设抛物线的函数关系式为：， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； （2）解：连接交对称轴直线于点，连接，交轴于点，此时的周长最小． 令，则， ∴， 设直线的解析式为，将点代入得，， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； （3）解：假设存在，设点的坐标为， ∵，， ∴，，， 当点在轴上方时， 由题意得，即， 解得， 即点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； 当点在轴下方时， 由题意得，即， 解得， 即点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； 综上，抛物线的函数关系式为：或． 【题型09：二次函数与等腰直角三角形存在性问题】 43．二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点M作轴交直线于点N，交抛物线于点D，连接，设运动的时间为t秒． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上存在一点P，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数与几何的综合题，待定系数法求二次函数表达式，根据等腰直角三角形求点的坐标，解题的关键是根据点的坐标求出函数解析式，同时根据解析式将点表示出来，列出方程进行计算． （1）将、两点的坐标代入二次函数解析式中，求出系数与即可； （2）由的值得出的坐标，因此设，由勾股定理可得，，根据题意，所以，得出的坐标为，再利用勾股定理列出方程，解得或，代入求值即得出答案． 【详解】（1）解：将 ， 代入中， 得： ， 解得： ． 二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴， ． 对于，当， ∴， ∴， 设， 则，． ， ， ， ． ， ∴， ， 将代入整理得：， 解得：或． 将或分别代入中， 或． 44．如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置． （1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，分别求出点A，B的坐标，根据为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值； （2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵将抛物线向右平移个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点B的坐标为，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，解得：或0（舍去）， ∴a的值为1； （2）解：存在，理由如下： 如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，则，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由（1）得点B的坐标为，对称轴为直线， ∴点C的坐标为， 故在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为． 45．如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接，，． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)如图1，当点F的坐标为，过点P作x轴的垂线，交线段于点D，求线段长度的最大值； (3)如图2，是否存在点F，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题考查待定系数法，三角形的面积求法，等腰直角三角形的讨论，二次函数的图象与性质，难度比较大，根据题意正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作x轴的垂线，交线段于点D，用待定系数法求出直线的解析式，利用抛物线解析式设出点P坐标，从而得出点D的坐标，利用求面积，再配成顶点式从而可求面积的最大值； （3）通过作垂线构造，从而得出边相等，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点、， ∴， 解得：， ∴该抛物线所对应的函数解析式为； （2）解：如图1，过点P作x轴的垂线，交线段于点D， 设直线的解析式为， 由，的坐标得， ， 解得 ∴直线的表达式为：， 设，则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，面积的最大值为； （3）解：存在，理由： 设，F（0，n）， ∵， ∴，， 如图2，过点P作轴于点Q， 则， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：或2， 当时，，， ∴，即， ∵点F在y的负半轴上， ∴， ∴； 当时，，， ∴，即， ∵点F在y的负半轴上， ∴， ∴． 综上，点F的坐标为或． 46．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的坐标为或 (3)的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解； （3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于，如图：    由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； （3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ，， 由，得直线解析式为， 设，， 过作轴于，过作轴于， ①， 当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：    此时； ②当在第一象限，在第四象限时，   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（小于0，舍去）或， ， 的坐标为； ③当在第四象限，在第三象限时，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 同理可得， 解得或（大于0，舍去）， ， 的坐标为； ④当在第四象限，在第一象限，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（舍去）或， ， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 47．如图，二次函数与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求函数表达式及顶点坐标； (2)连接，点P为线段上方抛物线上一点，过点P作轴于点Q，交于点H，当时，求点P的坐标； (3)是否存在点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；或或或 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，并转化为顶点式，即可求出顶点坐标； （2）先求出直线的解析式，设点，则，则，，根据，列出关于m的方程，解方程即可； （3）过点M作轴，交对称轴于点F，过点B作于点E，证明，得出，设点，则，，得出，求出s的值即可． 【详解】（1）解：把点、代入得：， 解得： ∴， ∴顶点坐标为：； （2）解：把代入得：， ∴， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴， 设点，则， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）， ∴； （3）解：过点M作轴，交对称轴于点F，过点B作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，则，， ∴， 当时，解得：或； 当时，解得：或； 综上分析可知，点M的横坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，三角形全等的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明． 【题型10：二次函数与全等三角形存在性问题】 48．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的一个动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在直线上方，当四边形面积最大时，求点P的坐标； (3)过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为点D，点Q是对称轴上一点，当与全等时，求点P，Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或，或 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积，二次函数与特殊三角形形，难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，再求出直线的解析式为，过P点作轴交于点G，设，则，求出，进而求出，利用二次函数的性质即可解答； （3）根据题意易证是等腰直角三角形，由与全等，得到是等腰直角三角形，推出，设，则，得到，即可求解． 【详解】（1）解：将两点代入，得， 解得， ∴； （2）解：令，则， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 过P点作轴交于点G， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴时，四边形面积有最大值， 此时； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵与全等， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴或，或， ∴或，或． 49．如图所示，抛物线经过点，，，它的对称轴为直线． (1)求的面积； (2)求抛物线的解析式； (3)点是该抛物线上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点，点是直线上的点，若以点，，为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)，，，． 【分析】（）求出的长，然后利用面积公式即可求解； （）利用待定系数法求解析式即可； （）分别解得的坐标，抛物线的对称轴，推理出当时，以，，为顶点的三角形与全等，设，则，据此当点在抛物线对称轴的右（或左）侧时解答即可； 本题考查了二次函数的应用，根据题意推出两个三角形全等的条件，掌握待定系数法、二次函数的对称性及坐标轴上点的特征，解题的关键是掌握知识点的应用与分类讨论的思想方法． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）解：∵，，， ∴可设所求解析式为：， 则，解得：， ∴， ∴解析式为； （3）解：∵抛物线：， ∴对称轴直线， ∴直线为直线， ∵，， ∴等腰中，， ∵与全等，， ∴且点、在直线上， 设，则， ∴当时，，即； ∴当时，，即； ∵，， ∴，即 ∵，点，在直线上， ∴， ∴，， ∴，，，． 50．如图，抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴为直线l，点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以P、D、E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P和点E的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或，点的坐标为或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数综合，全等三角形的性质等等： （1）根据题意把顶点代入到解析式的顶点式中，即可求解； （2）设，则，根据全等三角形的性质得到，求出的值，当 时，点位于直线的右侧，此时， ，求出点的坐标为，即可求解； 当 时，点位于直线的左侧，同理可解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为 ， ∴设抛物线的表达式为：； （2）解：在中，当 时，， ∴， 当时，即，解得：， 俗， ， 设，则， ∵和全等，且， ∴， ， 或． ①当 时，点位于直线的右侧， 此时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴对应点的坐标为或． ②当 时，点位于直线的左侧， 此时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴对应点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或，点的坐标为或． 51．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A、C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是上的点．要使得以P、D、E为顶点的三角形与全等，请求出点P、点E的坐标； 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或或或，或或或 【分析】（1）先求出的坐标，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）过点作垂直于轴交于点，设，，则，由即可求解； （3）抛物线对称轴为直线．，，．设，则，分两种情况当，时，，此时，当，时，，此时，求解即可． 【详解】（1）解：把代入得； 把代入得． ，． 抛物线经过三点， ， 解得． 抛物线的解析式为； （2）过点作垂直于轴交于点，设，则， 则， ， 当时，最大，此时． 当坐标为时，取得最大值． （3）∵， ∴抛物线对称轴为直线． ∵过点P作l的垂线，垂足为D， ∴， ∵， ∴， ∴，． 设，则 当，时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或， ， 或． 当，时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或， ， 或． 综上：点坐标为或或或，或或或． 【点睛】本题考查了二次函数求解析式，二次函数的性质，三角形全等的性质，最值问题等，熟练掌握各知识点，能准确作出辅助线，并结合图形列出相应关系式是解题的关键． 52．如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是线段上的一个动点（不点重合），轴交抛物线于点，连接，，求面积最大时点坐标； (3)点关于点的对称点为在该抛物线上是否存在点，使得与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握利用待定系数法求出二次函数解析式以及二次函数的图象和性质，全等三角形的性质是解题的关键； （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）求出直线的解析式，可得从而得到，进而得到即可求解； （3）分两种情况讨论：当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 解得： ∴直线的解析式为， 设 当时，最大，最大为4， （3）解：存在，理由如下： 抛物线的解析式为， ， 与全等， 当时，点与点关于对称轴对称， 故； 当时，点重合，故， 综上，或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$