专题02 二次函数实际应用分类汇编（九大题型）-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

专题02二次函数实际应用分类汇编 【题型01 ：投球问题】.......................................................1 【题型02 ：喷泉问题】.......................................................11 【题型03 ：拱桥问题】.......................................................19 【题型04：面积问题】.........................................................30 【题型05：每每问题】........................................................34 【题型06：利润问题】........................................................40 【题型07：分段函数】........................................................44 【题型08：其他问题】........................................................45 【题型01 ：投球问题】 1．一实心球经过的路线为如图所示的抛物线，其表达式为，则实心球的落地点到最高点的水平距离的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是根据函数值求出自变量的值． 当时，根据抛物线求出的值，再结合铅球在正半轴，根据，即可求得的长． 【详解】解：当时， ， ， 解得：或， 点在轴正半轴， 点坐标为， ， 根据可知，对称轴为：， 即， ； 故选：D 2．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确即可． 【详解】解：将代入， 得， 解得，， ∴这名男生铅球推出的水平距离为， 故③正确，符合题意； ∵， ∴铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为， 故②正确，符合题意； 当时，， 故①错误，不符合题意； 故选：C． 3．打乒乓球是一项有氧运动，能提升反应速度、增强体力、释放压力、改善视力……乒乓球桌的标准长度为，小浩从球桌边沿正上方击打乒乓球向正前方运动，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分．以球桌面所在直线为轴、所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球击打后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系． (1)此次击打乒乓球运行的最大竖直高度是多少？ (2)击打后乒乓球能过球桌正中间的网（网高），并落到对方桌面上，算击打成功．请你通过计算，判断这次乒乓球击打是否成功． 【答案】(1)此次击打乒乓球运行的最大竖直高度是 (2)这次乒乓球击打不成功 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题关键是将二次函数由一般式化为顶点式． （1）通过将二次函数表达式化为顶点式，再求出最大值； （2）求出当时的函数值与比较后得出结论． 【详解】（1）解：， ∵二次项系数为，∴抛物线的开口向下， ∴当时，有最大值． （2）∵乒乓球桌的标准长度为， ∴球桌正中间， 当时，， ∴这次乒乓球击打不成功． 4．再一次校运会上，一名男同学仍铅球时，其运动轨迹为如图所示的一条抛物线，已知仍出铅球时，铅球距离男同学的水平距离长为x（单位：m），距离地面高度为y（单位：m）满足下表关系：. x 0 1 2 3 4 y 1.4 1.9 2.2 2.3 2.2 (1)求出铅球的运动轨迹的解析式； (2)若铅球落地的沙坑低于水平面，沙坑边缘与男同学的距离，计算裁判员测量的铅球落地位置G到F的距离； (3)为了使铅球抛出距离更远，该男同学计划让铅球扔出后，达到的最大高度在B的下方米处，试计算说明，该男同学的抛出的铅球距离是增大还是减少？增大（或减少）多少． 【答案】(1) (2)所以G到F的距离 (3)增大，该男同学成绩增大 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将点代入得：解答即可； （2）当时，，解方程求解即可； （3）设变化后的二次函数表达式为，将点代入得：；解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的平移，抛物线与一元二次方程的关系，熟练掌握待定系数法，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由表可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将点代入得：； 解得：， ∴， （2）解：当时， ， 解得：， ， 所以G到F的距离 （3）由题意，变化后的二次函数表达式为， 将点代入得：； 解得：， ∴， 当时，， 解得：， ， 所以该男同学成绩增加. 5．如图，一位篮球运动员投篮，球从点处投出，沿抛物线运动，球运动至点处达到最高点，此时，水平距离为3.5米． (1)求的值． (2)已知篮筐中心高度为3.05米，投篮出手点与篮筐中心的水平距离为米．若该运动员本次投篮能直接命中篮筐中心，求的值． 【答案】(1)0.56 (2)6 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）利用对称轴公式，代入求解； （2）先得到抛物线解析式为，将代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：； （2）解：由上得，抛物线解析式为， 当时，， 整理得，， 解得：或， ∵， ∴． 6．掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球行进路线可以看成抛物线的一部分．某男生训练掷实心球时，该实心球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示．掷出时，起点处高度为米，当水平距离为米时，实心球行进至最高点米处．宁波市中考掷实心球得分标准如下表． 表：宁波市中考掷实心球得分标准 掷实心球（米） 9.80 9.20 8.60 8.00 7.40 6.80 6.20 5.60 5.00 4.40 分值（分） 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 (1)求图中抛物线的解析式； (2)根据宁波市中考掷实心球的得分标准，求该男生此次训练的得分； (3)体育老师认为该同学只要提高出手点米且保持原抛物线形状不变（即抛物线向上平移米）就可以满分了，请判断老师的说法是否正确? 【答案】(1) (2)此次得分为9分 (3)此同学调整后可以得满分，老师说法正确 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）由题意可得抛物线过，且顶点为，则设抛物线的解析式为：，把代入解得，可以求得此抛物线的解析式； （2）将代入第一问中求得的函数解析式，求出x的值，然后与表格中的数据对照即可该男生此次训练的得分； （3）提高出手点米且保持原抛物线形状不变，可以看看成向上平移，求出解析式，再求出与轴交点横坐标，与比较大小，即可解答本题． 【详解】（1）解：∵掷出时，起点处高度为米，当水平距离为米时，实心球行进至最高点米处， ∴抛物线过，且顶点为， ∴设抛物线的解析式为：， 把代入得，解得， ∴抛物的表达式为：； （2）解：令，可得， 解得：，（舍去）， ∵， ∴根据表格可得，此次得分为9分． （3）解：提高出手点后的抛物线解析式为：， 即：， 令，可得， 解得，（舍去）， ， ∴此同学调整后可以得满分，老师说法正确． 7．【问题背景】发石车是一种古代的远程攻击武器，某学校兴趣小组参照如图1的形式制做出了一款简易发石车．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看． 【实验操作】为验证发石车的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了石块相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了石块的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系，数据如表所示： 飞行时间 0 1 3 5 7 … 飞行高度 0 3.6 8.4 10 8.4 … 【建立模型】任务1：求y关于x的函数表达式． 【反思优化】图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置的一个模拟山坡，山坡上有一堵可升降式模拟防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米． 任务2：若调节防御墙高度后，垂直距离为6米，试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 任务3：通过调节的防御墙的高度后，石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点B、C），求此时垂直距离的取值范围． 【答案】任务1： 任务2：能飞越防御墙，理由见详解 任务3： 【分析】本题主要考查二次函数的运用，理解图示，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 任务1：运用待定系数法即可求解； 任务2：根据点B与点O的水平距离为28米，可得二次函数在时的高度与的高度比较即可求解； 任务3：分别算出当石块落在点的高度，石块落在点C的高度，由此即可求解． 【详解】解：任务1：水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的函数表达式为：，飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的近似满足二次函数关系， ∴设二次函数解析式为，且， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 联立方程组得，， 解得，， ∴； 任务2：二次函数解析式为， 令时，， 解得，， ∴二次函数与轴的两个交点为，， ∵点B与点O的水平距离为28米， ∴当时，，即， ∵米，， ∴能飞越防御墙； 任务3：由上述计算可得，点B与点O的水平距离为28米时，石块的高度为米， 当石块落在点处时，米， ∵米， ∴点B与点O的水平距离为30米， ∴当时，，即， ∴的取值范围为． 8．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此​抛物线篮球可准确落入篮圈． (1)求篮圈中心到地面的距离为多少米． (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ (3)篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案） 【答案】(1)3.05米； (2)0.2米； (3)1米； 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握二次函数图象上点坐标的特征． （1）求出篮圈中心的横坐标为，在中，令可得篮圈中心到地面的距离为3.05米；（2）设球出手时，他跳离地面的高度是米，知出手点坐标为，故，解出的值可得答案； （3）在中，令得（舍去）或，即知两名运动员之间的距离不能超过1米． 【详解】（1）解：根据已知可得，篮圈中心的横坐标为， 在中，令得， 篮圈中心的纵坐标为3.05， 篮圈中心到地面的距离为3.05米； （2）解：设球出手时，他跳离地面的高度是米，则出手点坐标为， ， 解得， 球出手时，他跳离地面的高度是0.2米； （3）解：在中，令得：， 解得（舍去）或， ， 两名运动员之间的距离不能超过1米． 【题型02 ：喷泉问题】 1．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离OC是（    ） A．6米 B．5米 C．4米 D．1米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解． 【详解】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头米时，达到最大高度米， 设抛物线解析式为，将点代入，得 解得 ∴抛物线解析式为： 令，解得（负值舍去） 即， ． 故选：B． 2．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距离O点． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数 在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质 是解题关键． 由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设将代入解析式得出喷头高时，可设 将代入解析式得联立可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距点，则此时的解析式为将代入可求出． 【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高时，可设， 将代入解析式得出①； 喷头高时，可设； 将代入解析式得 ②； 联立可求出， 设喷头高为时，水柱落点距点， ∴此时的解析式为 将代入可得 解得 ， 故答案为：． 3．如图，游乐园计划在点O处安装一个高的喷水头，使得喷出的水柱正好落到距离O点处的B点，且在距离O点处达到最高．已知水柱的形状是抛物线的一部分，现以点O为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式． (2)求出水柱的最高点的高度． 【答案】(1)抛物线的解析式为． (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，利用待定系数法求得抛物线解析式是解决问题的关键． （1）由题意得：，，抛物线的对称轴为直线，设抛物线的解析式为，将A,B代入抛物线解析式可得解析式； 由题意可知，，，，进而可知，两点关于直线对称，由对称轴及，利用待定系数法可得抛物线的解析式； （2）由（1）可知抛物线的解析式及直线为抛物线的对称轴，即可得水柱的最高点的高度． 【详解】（1）解：由题意得：，，抛物线的对称轴为直线， ∴，． 设抛物线的解析式为， 将A,B代入抛物线解析式可得，解得：． 所以抛物线的解析式为． （2）由（1）知：，直线为抛物线的对称轴． ∴当时，， ∴水柱的最高点的高度为． 4．【问题情境】如图是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点O为原点，水平方向为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为，喷水管的高度为． 【问题解决】 (1)求a的值； (2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管要降低的高度． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确二次函数平移的特点，利用二次函数的性质解答． （1）将代入，求出相应的a的值即可； （2）先设喷水管要降低的高度，然后将代入，再求出相应的降低的高度即可； 【详解】（1）解：由题意得：； ∵将代入中可得，， 解得， ∴a的值为． （2）解：设喷水管要降低的高度为，则降低高度后的右侧抛物线的解析式为， 将代入，可得， 解得； 答：喷水管要降低的高度为米； 5．某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以为原点，直线为轴，垂直于路面方向为轴，建立平面直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由． 【答案】(1) (2)不会喷射到护栏上，见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解题的关键； （1）设该抛物线的函数表达式为，根据该抛物线经过原点，得出，即可求解； （2）将得出，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 该抛物线经过原点， ，解得． 该抛物线的函数表达式为 （2）水柱不会喷射到护栏上 理由如下： 当时， ， 水柱不会喷射到护栏上 6．如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴，将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线．当水流距离地面时，距喷灌嘴的水平距离为，水流落地点距喷灌嘴的水平距离． (1)求水流所在抛物线的函数表达式； (2)为了给公园增添艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑． ①若雕塑的高度为，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到； ②若在距喷灌嘴水平距离为处有一高度为的雕塑，请判断该雕塑是否会被水流直接喷到？ 【答案】(1) (2)①高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到；②不会． 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）利用待定系数法，将点，代入抛物线解析式求解即可； （2）①令，求出对应的自变量取值，即可求解；②令，求出对应的函数值，再进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，水流所在抛物线经过点，， 将其分别代入得： ，解得， 水流所在抛物线的函数表达式为：； （2）解：①令，则， 解得，， 高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到； ②令，则， ， 不会被水流直接喷到． 7．如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出上边缘抛物线解析式是解题的关键． （1）根据题意可知是上边缘抛物线的顶点，然后把抛物线设为顶点式，然后代入进行求解即可； （2）先求出上边缘抛物线与x轴的交点C的坐标，再求出上边缘抛物线上与点H对称的点的坐标，进而确定下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，即点B是点C向左平移得到的，由此即可得到答案； （3）对于上边缘抛物线，先求出当，当时，，进而确定，要使，则，从而得到d的最大值为，再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，则d的最小值为2，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点， ∴可设上边缘抛物线解析式为， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为； （2）解：在中，令，则， 解得或， ∴； ∵上边缘抛物线的对称轴为直线， ∴在上边缘抛物线上点的对称点为， ∵下边缘抛物线是有上边缘抛物线向左平移得到的，且下抛物线经过， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴点B是点C向左平移得到的， ∴点B的坐标为； （3）解：∵， ∴点F的纵坐标为， 对于上边缘抛物线，当时，则， 解得， ∵， ∴， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，要使，则， ∵当时，y随x的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴d的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴d的最小值为2， 综上所述，d的取值范围是． 【题型03 ：拱桥问题】 1．位于我市平远中行镇的秉虹桥，始建于明朝嘉靖年间，是赣粤盐米古道上一颗璀璨的明珠，它是形状大小相同的双孔石拱桥，每个孔内侧呈抛物线型，如图1，当一个孔的水面宽度为10米时，则拱顶离水面的高度为5米，若以一个孔的拱顶为坐标原点，桥面为x轴（不考虑拱部顶端的厚度），竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系如图2，可计算出当一个孔的水面宽度为12米时，则拱顶离水面的高度为（    ）米． A．7.2 B．6.5 C．5.6 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，依据题意，设抛物线的解析式为，又由题意，抛物线过点，从而求出，可得抛物线的解析式为，再由一个孔的水面宽度为12时，可令，求出y即可得解． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又由题意，抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当一个孔的水面宽度为12时，令， ∴． 故拱顶离水面的高度为7.2米． 故选：A． 2．如图是根据某拱桥形状建立的直角坐标系，从中得到函数．在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意得，点A的横坐标为，据此求出，进而得到点C的纵坐标为，再求出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点A的横坐标为， 在中，当时，， ∴， ∴点C的纵坐标为， 在中，当时，解得或， ∴， ∴， 故选：D． 3．如图，一古桥的桥洞可近似看成抛物线型，其解析式为，现要对这座古桥进行加固，须临时安装一些垂直于地面的支撑杆，要求相邻支撑杆之间的距离为，但最边缘的支撑杆到桥洞底部的的距离可以不大于，即图中，，则最多可安装支撑杆 条．    【答案】14 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是利用数形结合的思想解答． 令，求出的值，然后结合实际情况得出结论． 【详解】解：令，则， 解得或， ∴， ∵相邻支撑杆之间的距离为，，， ∴在轴右侧，共7条， 同理在轴左侧最多安装7条， ∴最多可安装支撑杆14条， 故答案为：14． 4．如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行） 【答案】(1) (2)6米 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式等知识，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中解析式，求出x的值即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为 （2）解：当时，， 解得，， ∴当船的宽度小于米时，船能安全穿过桥洞． 5．乡村振兴关键在产业．近年来，某县区通过建设标准化大棚，种植圣女果、普罗旺斯西红柿、草莓等，让大棚产业照亮农业转型升级致富路，实现村民稳定增收．如图2，某农户的大棚截面上半部分可近似看作抛物线，下半部分可看作矩形，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为7米，米，棚宽米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了加固棚顶，现需在上方的抛物线部分加装一根横梁（点P、Q均在抛物线上），且，若横梁与地面的距离是米，则横梁的长度是多少米？ 【答案】(1) (2)横梁PQ的长度是9米 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，已知函数值求自变量， 对于（1），根据矩形的性质及已知条件得顶点E的坐标，可设抛物线的函数表达式为，再将点代入函数表达式可得答案； 对于（2），令，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，米， ∴点（米）. 根据题意得，顶点E的坐标为， ∴可设抛物线的函数表达式为：， 把点代入函数表达式可得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：由题意知，点P的纵坐标为， 当时，， 解得，， ∴， ∴横梁的长度是9米． 6．如图，在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作拋物线，抛物线解析式的二次项系数为．已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为米，距地面均为1米． (1)请在图中建立直角坐标系，求抛物线的函数表达式； (2)现有一身高为米的同学也想参加这个活动，请问他在跳绳时，头顶与用绳之间的最大竖直距离为多少（假定当绳用到最高处时，学生双脚处于落地状态）； (3)若参加跳绳的学生身高均为米，为保证安全，要求相邻学生之间的安全距离不小于米，问跳绳时，甩绳内部最多可容纳多少名学生？ 【答案】(1)直角坐标系见解析， (2)0.30625米 (3)甩绳内部最多可容纳9名学生 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．熟练掌握建立适当坐标系，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，是解决问题的关键． （1）以甲所在的地面为原点，地面所在直线为x轴建立直角坐标系，设抛物线的函数表达式为，代入和，求出b，c即可； （2）求出的最大值2.05625米，再减去1.75米，即可得到结果； （3）解方程，两根之差除以0.4，取结果的整数部分加1，即得． 【详解】（1）以甲所在的地面为原点，地面所在直线为x轴建立直角坐标系，如图， 设抛物线的函数表达式为， 由题意可知，和都在该抛物线上， ∴， 解得，， 故抛物线的函数表达式为：； （2）∵， ∴当时，，甩绳与地面最大距离为2.05625米， ∴ (米)， 故他在跳绳时，头顶与甩绳之间的最大竖直距离为0.30625米； （3）在中， 令，得， 解得，，， ∴， 取8，得， 故甩绳内部最多可容纳9名学生． 7．根据以下素材，探索完成任务． 设计彩虹桥中彩色灯带的悬挂方 素材一 图1是一座隐藏在漳州城市中的“彩虹桥”，也是近年来比较热门的网红打卡点，它由200多个铁架和2400多个灯笼组成． 如图2，每个铁架的横截面可以分为3段，其中是固定支架，分别与地面垂直，主体支架可近似看作一段抛物线，最高点离地面的距离是，，． 素材二 由于灯笼颜色比较单一，街道准备把灯笼替换成长度为的彩色灯带，沿抛物线（主体支架）安装（如图3），且相邻两条灯带安装点的水平间距为．为了安全起见，灯带底部与地面的距离不低于．灯带安装好后成轴对称分布． 问题解决 任务一 确定主体支架的形状 请在图2中以点A为原点建立平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式． 任务二 探究安装范围 在安全前提下，在任务一的坐标系中，确定灯带安装点的横坐标取值范围． 任务三 拟定设计方案 在同一个横截面下，最多能安装几条灯带？并求出此时最右边灯带安装点的坐标． 【答案】任务一：；任务二：；任务三： 【分析】本题考查二次函数的应用．理解题意，用顶点式表示出抛物线的解析式是解决本题的关键．根据两个灯带之间的间隔判断出灯带的个数是解决本题的易错点；根据灯带之间的间隔和自变量的取值范围判断出最右边灯带的横坐标是解决本题的难点． （1）易得抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点A的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式； （2）根据支架的高度和灯带底部与地面距离的限定可得y应取0.25，求得相应的x的值，即可判断出灯带安装点的横坐标取值范围； （3）取（2）中抛物线的得到的横坐标的差即为能安装灯带的距离，除以，得到相应的间隔，加1，即为可安装灯带的个数；进而判断出安装灯带后剩余的距离，除以2，取减去得到的数值，即为最右边灯带的横坐标，代入抛物线解析式，可得纵坐标． 【详解】解：任务一：建立坐标系， 由已知可得顶点的横坐标为2，顶点的纵坐标为，点， 设地物的解析式为， ， ， 故抛物线的解析式为； 任务二：由于固定支架长为，因此要使灯带底部与地面的距离不低于，只需要让安装点到x轴的距离不小于． 令， 解得：或， 因此安装点的横坐标取值范围； 任务三：由于，因此最多可以安装条灯带， 由对称性可得最右边灯带的横坐标为， ， 故最右边灯带安装点的坐标为． 8．图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知天桥总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中 米， 米．          (1)如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度； (3)现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线经过点 F，与钢柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围． 【答案】(1) (2)米 (3) 【分析】对于（1），解： 由顶点F的坐标设顶点式，再将代入得出关系式即可； 对于（2），由题意可得米，将代入关系式，再结合题意求出答案； 对于（3），由题意可知顶点坐标为设顶点式，将点代入用含有k的代数式表示a，再根据抛物线与钢柱有交点得出不等式，进而求出范围． 【详解】（1）解： 由题意可得顶点F的坐标是． 设抛物线解析式为， ∵抛物线经过原点O， ∴将代入得，，解得， ∴； （2）解： 由题意可得米， 将代入， 解得， ∴6根钢柱总长 (米)； （3）解：由题意设修改钢架后抛物线顶点坐标为． ∴抛物线解析式为. ∵抛物线经过点， ∴， 解得． 当时，． ∵抛物线与钢柱有交点， ∴． 将代入， 可得，， ∴， ∴． 【点睛】这是一道关于二次函数的应用题目，主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数与不等式，求二次函数值等，求出二次函数的关系式是解题的关键． 9．如图1，某公园有一个圆形喷水池，喷水池中心有一个垂直于地面自动升降的喷头，喷出的水柱形状呈抛物线．如图2，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，喷头A的坐标为．设抛物线的函数表达式中二次项系数为a． (1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米． ①若时，求第一象限内水柱的函数表达式． ②用含t的代数式表示a． (2)为了美化公园，对公园及喷水设备进行升级改造，a与t之间满足，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度． ①求改造后水柱达到的最大高度． ②若水池的直径为25米，要使水柱不能落在水池外，求t的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)①水柱达到的最大高度8米；② 【分析】（1）①设第一象限内水柱的函数表达式为，当时，把代入函数表达式即可得解，②把代入即可得解； （2）①设第一象限内水柱的函数表达式为，利用得出a与t的关系，将代入，即可得解②把代入，得，要使水柱不能落在水池外，即可确定a的取值范围，再利用等量代即可得出t的取值范围．． 【详解】（1）①设第一象限内水柱的函数表达式为． 当时，把代入函数表达式，得． 第一象限内水柱的函数表达式为． ②把代入，得得 （2）①设第一象限内水柱的函数表达式为． ． 把代入，得， ． 水柱达到的最大高度8米． ②把代入，得． 要使水柱不能落在水池外，则a的取值范围为． ， ，解得． ． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用以及二次函数的性质，理解题意，利用数形结合思想解题是关键． 【题型04：面积问题】 1．用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为x（），则窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得，根据矩形的面积公式解答即可． 本题考查了矩形的周长与面积，函数的表达式，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为． 故选：C． 2．如图，在长为30米、宽为20米的矩形花坛中横向修建1条、纵向修建2条宽都为x米的小路(阴影部分)，空白处为绿地，面积为y平方米，则绿地面积y与x之间的函数表达式为（      ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将图中阴影部分进行移动，可得绿地的面积是长为米，宽为米的矩形的面积，以此即可求解． 【详解】解：将图中的阴影部分按如图所示进行移动，    则空白部分为矩形，长为米，宽为米， 绿地面积与之间的函数表达式为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数，将图形进行适当的处理是解题关键． 3．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，理解题意，找出等量关系列出函数解析式和方程是解题的关键．设的边长为，则边的边长为，根据列出方程，再求解根据x的取值范围判断即可①；根据矩形的面积为192，列方程求解即可判断②；设矩形的菜园面积为，根据矩形的面积公式列方程，再根据二次函数的性质求函数最值即可判断③． 【详解】解：设的边长为，则边的边长为， 当时，， 解得， ∵的长不能超过， ∴，故①错误； ∵当菜园面积为时，， 整理得，， 解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②正确； 设矩形的菜园面积为， 根据题意得，， ∵，， ∴当时，y有最大值，最大值为200，故③正确； 故选：C． 4．九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为15米)，现用长为34米栅栏（安装过程中不重叠、无损耗），围成中间隔有一道栅栏的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设矩形菜地垂直于墙的栅栏边AB长为x米，面积为S平方米． (1)直接写出S与x间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； (2)围成的菜地面积能达到81平方米吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，围成菜地的面积S最大？最大面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2)能， (3)时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得该图形的长为米，然后根据面积公式可进行求解； （2）由题意易得，然后进行求解方程即可； （3）由题意易得，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：依题意得：，整理得：， 解得：； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴当时，围成的菜地面积为81平方米． （3）解：∵墙的最大可用长度为15米， ∴，即， 解得， 根据题意得：， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为105， ∴时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米． 【题型05：每每问题】 1．（24-25九年级上·河南郑州·期末）某商场将进货价为元的台灯以元售出．每月能售出个．按商场管理规定，售价在元至元范围内．调查发现，在该范围内，这种台灯的售价每上涨元，其销售量就减少个． (1)为了实现每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ 解：假设售价为元，则每月台灯的销售量为______个，每个台灯的利润为______元．(用含的代数式表示，并完成解答) (2)要使每月的销售利润最大，售价应定为多少？请说明原因． 【答案】(1)， ；这种台灯的售价应定为元，即每个台灯应涨价元； (2)要使每月的销售利润最大，售价应定为元，理由见解析． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数表达式． （1）依据题意，由这种台灯的售价应定为元，那么就少卖出个，根据利润售价进价，可列方程求解； （2）依据题意，设每月销售利润为，该商场决定把售价上涨元，根据总利润单件利润数量，列出函数表达式，化为顶点式，根据二次函数的增减性，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，这种台灯的售价应定为元， 每月台灯的销售量为：． 又每个台灯的利润为：， ， ， ， 舍去． 答：这种台灯的售价应定为元，即每个台灯应涨价元． 故答案为：；． （2）要使每月的销售利润最大，售价应定为元．理由如下： 由题意，设每月销售利润为，该商场决定把售价上涨元， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，售价为元，取最大值，此时， 答：要使每月的销售利润最大，售价应定为元． 2．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）一位助农主播利用“互联网+”销售一种农业加工品）这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种加工品的销售利润率不高于，市场调查发现，当销售价定为12元/件时，每天售出220件，售价每上涨2元，每天销售量减少20件，设该加工品每天的销售量y（件），销售价x（元/件），每天的销售利润W（元）． (1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润=销售量×每件的利润） 【答案】(1) (2)，每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是1080元 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的最值问题，掌握知识点是解题的关键． （1）根据当销售价定为12元/件时，每天售出220件，售价每上涨2元，每天销售量减少20件，列出一次函数解析式，并求出x的取值范围，即可解答； （2）根据每天的销售利润等于单件的利润每天的销售量，列出二次函数，再由确定W的最大值，即可解答． 【详解】（1）解：， 由 ， 解得． （2）， 由，开口向下，对称轴为， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，W取得最大值为（元）． 答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是1080元． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一款便携式轮椅，计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少？ 【答案】每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元，根据题意建立二次函数，通过分析开口方向及自变量取值范围确定最大值． 【详解】解：设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． 由题意，得 ． ， ， 当时，（元）． 答：每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元． 4．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）某社区利用一块长方形空地建了一个小型电动汽车停车场，并且可以免费充电，其布局如图所示．已知停车场的长为26米，宽为14米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道，已知铺花砖的面积为108平方米．    (1)求通道的宽是多少米． (2)该停车场共有车位20个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为3960元？ 【答案】(1)4米 (2)20元 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找出等量关系列出方程是解答此题的关键． （1）设通道的宽为x米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设每个车位的月租金上涨a元，则租出的车位数量为个，再根据“月租金每个车位的月租金租出的车位数”列方程并求解，根据实际取值即可． 【详解】（1）解：设通道的宽为x米， 根据题意，得， ， ， 或（不符合实际，舍去）， 答：通道的宽是4米； （2）解：设每个车位的月租金上涨a元，停车场的月租金收入为14400元， 根据题意，得， 整理，得， 解得，或（不合题意，舍去）， 答：每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为3960元． 5．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件． (1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，求函数关系式，根据题意列出函数关系和方程是解题的关键． （1）进而设销售单价为x元，平均月销售量为y件，根据题意先求得x的取值范围，根据题意列出y与x的函数关系式； （2）设销售这种童装每月获得的利润为w，根据利润=（售价-进价）×数量-其他费用，得到w关于x的二次函数，进而求得答案，注意x的取值范围． 【详解】（1）解：∵单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元， 设销售单价为x元， ∴， ∵平均月销售量为y件，则， ∴； （2）解：设每月获得的利润为w元，由题意得： ∵ ∴当时，w随x的增大而增大 ∵ ∴当时， 答：当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元 6．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置，宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用，根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调元（为的正整数），设一天订住的房间数为． (1)直接写出与的函数关系式：________，自变量的取值范围是________． (2)若宾馆一天的利润为7770元，则房价应该为多少元？ (3)房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)； (2)240元 (3)房价为300元时，宾馆的利润最大，最大利润是8370元 【分析】此题考查一次函数与二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意、熟练掌握配方法求二次函数的最值是解答此题的关键，不考虑自变量x的范围是易错点． （1）根据当每个房间每天房价增加10元，就会空闲一个房间，可以写出与的函数关系式； （2）根据题意，宾馆一天的利润每个房间的利润订住的房间数，列出方程，解方程即可； （3）利用配方法将（2）中的二次函数化成顶点式，再求二次函数的最大值即可得利润的最大值，特别注意自变量的取值的范围． 【详解】（1）解：依题，得， 每个房间每天的房价不得高于300元， ； （2）解：根据题意得： 整理，得， 解得：，（舍去）， （元）， 答：房价应该为240元； （3）解：设宾馆一天的利润为元， ， ，， ∴当时，w取得最大值，此时（元）， 房价为（元）， 答：房价为300元时，宾馆的利润最大，最大利润是8370元． 【题型06：利润问题】 1．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，大熊猫是成都最具特色的对外传播标识物，此次成都大运会吉祥物“蓉宝”便是以熊猫基地真实的大熊猫“芝麻”为原型创作的．某商店销售“蓉宝”毛绒玩具，进价为25元，经市场调查发现，销售这种毛绒玩具，每天的销售量y（件）是每件的售价x（元）（且x为正整数）的一次函数，其部分对应数据如表所示： 每件的售价x（元） … 36 37 38 … 每天的销售量y（件） … 78 76 74 … (1)直接写出y与x之间的函数关系式． (2)求出每天销售的总利润w（元）与x之间的函数关系式． (3)请你分析该商店销售这种毛绒玩具，能否实现投入总成本最少且获利最大． 【答案】(1) (2) (3)能实现 【分析】本题考查了二次函数的应用，求一次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求一次函数的解析式，即可作答． （2）根据总利润等于单个利润乘上销售量进行列式，即可作答． （3）先化为顶点式，再结合二次函数的图象性质进行作答． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 把和代入得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为． （2）解：根据题意得， 即每天销售的总利润w（元）与x之间的函数关系式为． （3）解：由（2）知， ∵， ∴w有最大值， ∵， ∴当时，该商店销售这种毛绒玩具获利最大为元，此时销售量y最小，即投入总成本最少． 答：能实现投入总成本最少且获利最大． 2．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）“秋风起，吃腊味”是广东地区的习俗之一，东莞某腊肠店销售A，B两类腊肠．A类腊肠进价50元/件，B类腊肠进价60元/件．已知购买1件A类腊肠和1件B类腊肠需132元，购买3件A类腊肠和5件B类腊肠需540元． (1)求A类腊肠和B类腊肠每件的售价各是多少元？ (2)A类腊肠供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类腊肠降价x元，每天的销售量为y件，请直接写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，设该店每天销售A类腊肠的利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类腊肠降价多少元时利润w最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A类腊肠的售价为60元/件，B类腊肠的售价为72元/件 (2)； (3)，A类腊肠每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为640元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质， （1）根据题意设每件A类腊肠的售价为x元，则每件B类腊肠的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可； （2）根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； （3）结合（2）中A类腊肠降价x元与每天的销售量y件，得到A类腊肠的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件A类腊肠的售价为x元，则每件B类腊肠的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类腊肠的售价（元）． 答：A类腊肠的售价为60元/件，B类腊肠的售价为72元/件； （2）解：由题意得 ∵A类腊肠进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴． 答：； （3）解： ． ∴当时，w有最大值640． 答：A类腊肠每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为640元． 3．（24-25九年级上·天津静海·阶段练习）某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价（元/件）与每天销售量（件）之间满足如图所示的关系． (1)求出与之间的函数关系式； (2)如果商场销售这种商品，每天要获得1500元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？ (3)写出每天的利润与销售单价之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将销售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)每件商品的销售价应定为130元或150元 (3)销售价定为140元，最大利润为1600元 【分析】本题考查了求一次函数解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意正确列出函数关系式和方程是解题的关键． （1）由图象可知，与之间满足一次函数关系，再利用待定系数法即可求解； （2）设每件商品的销售价应定为元，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （3）根据题意列出，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：由图象可知，与之间满足一次函数关系， 设与之间的函数关系式为， 代入和，得， 解得：， ∴与之间的函数关系式； （2）解：设每件商品的销售价应定为元， 由题意得，， 整理得：， 解得：，， 答：每件商品的销售价应定为130元或150元； （3）解：由题意得， ， ， 当时，有最大值，最大值为1600， 答：将销售价定为140元，来保证每天获得的利润最大，最大利润是1600元． 【题型07：分段函数】 1．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售120天后，统计发现：在这120天内，该商品每天的销售价格x（单位：元/件）与时间t（第t天）之间满足如图所示的函数关系，该商品的日销售量y（单位：件）与时间t（第t天）之间满足一次函数关系． (1)求x与t之间的函数关系式； (2)设销售该商品的日利润为w元，求w与t之间的函数关系式，并求出在这120天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ 【答案】(1) (2)，第70天的日利润最大，最大日利润是6400元 【分析】（1）分两种情况：当时，当时，分别列出函数关系式，即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别列出函数关系式，结合二次函数以及一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ①当时，设x与t之间的函数关系式为． 由图象可得，函数图象经过， 所以， 解得， 所以． ②当时，． 综上所述，x与t之间的函数关系式为； （2）解：由题意可得， ①当时，． ， ∴当时，w最大，； ②当时，． ， 随t的增大而减小， 当时，w最大，． 综上所述，w与t之间的函数关系式为 因为，所以在这120天内第70天的日利润最大，最大日利润是6400元． 【题型08：其他问题】 1．（2020·湖北襄阳·中考真题）汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t的函数关系是，汽车从刹车到停下来所用时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用．由题意可知当汽车停下来时，s最大，故将写成顶点式，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴当秒时，s取得最大值，即汽车停下来， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）若汽车刹车后行驶的距离(m)关于行驶的时间的函数表达式为，则汽车刹车后行驶的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，当汽车停下来时，由，当时，求出最大，即汽车刹车后行驶的距离，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由， ∴汽车刹车后行驶的距离为，当时，， 故答案为：． 3（22-23九年级上·广东广州·期中）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，则汽车从开始刹车到完全停下这段时间的最后2秒前行了 米． 【答案】8 【分析】首先根据二次函数的性质，即可求得汽车从开始刹车到完全停下来所需要的时间为，前行的距离为米，再求出当时，汽车前行的距离，据此即可求得． 【详解】解：， ， 当时，前行的距离最大，最大距离为米， 当时，， 汽车从开始刹车到完全停下这段时间的最后2秒前行的距离为：(米)， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解题意，求得汽车从开始刹车到完全停下这段时间的最后2秒前行的距离是解决本题的关键． 4．（24-25九年级上·广东湛江·期末）某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”．汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若在汽车前处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车超过测速仪； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】(1) (2)汽车刹车后，汽车与测速仪相距； (3)不会，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解二次函数解析式的方法和步骤是解题的关键． （1）设，将，，代入，求出a、b、c的值，即可得出函数解析式； （2）求出当时的t的值，即可解答； （3）将二次函数解析式化为顶点式，求出最大值，再与80进行比较即可． 【详解】（1）解：设， 将，，代入，得： ，解得：， ∴y关于t的函数解析式为； （2）解：根据题意得： 解得或（不符题意，舍去）， 答：汽车刹车后，汽车超过测速仪； （3）解：不会．理由如下： ∵， ∴当时，汽车停下，行驶了， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）2026年冬奥会在米兰举行，跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）满足函数关系：．着陆坡的解析式为，在着陆坡上设置点P作为达标点，点P与水平距离为．若着陆点在P点或越过P点，则视为成绩达标． (1)当时， ①判断成绩是否达标，并说明理由； ②求运动员在飞行过程中离着陆坡的竖直距离h的最大值； (2)若运动员的成绩既要达标又要能落在着陆坡（含端点）上，求b的取值范围． 【答案】(1)①成绩不达标，理由见解析；② (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，二次函数图象的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①首先得到，求出，然后将代入求解比较即可； ②如图所示，设点E是抛物线上点，过点E作轴交于点F，设，，然后表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； （2）首先求出，然后根据题意得到运动员落在线段上，然后列出不等式就即可． 【详解】（1）解：①当时，， ∵点P与水平距离为， 将代入， ∴， 将代入， ∵， ∴成绩不达标； ②如图所示，设点E是抛物线上点，过点E作轴交于点F， 设，则， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值22.5， ∴运动员在飞行过程中离着陆坡的竖直距离h的最大值为； （2）解：∵着陆坡的解析式为， ∴当时，， 解得， ∴， ∵运动员的成绩既要达标又要能落在着陆坡（含端点）上， ∴运动员落在线段上， ∴当时，， 解得； ∴当时，， 解得； 综上所述，． 6.（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：s）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．任务一：数据收集记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 任务二：观察分析 （1）根据，随的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出，与满足的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围） 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求小球的滑动距离； （3）当小球到达木板上点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求的取值范围． 【答案】（1）；；（2）当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为；（3）． 【分析】（1）根据，随的变化规律，发现，可判定是的一次函数，设，解答即可；根据题意，是的二次函数，且常数项为0，不妨设，建立方程组解答即可． （2）当小球在水平木板上停下来时，，根据题意得，求得小球运动的时间，把时间代入抛物线解析式中，求得对应函数值即为小球的滑动距离； （3）设小球的运动时间为x秒，根据题意，得，解不等式即可． 【详解】解：（1）根据，随的变化规律，发现，可判定是的一次函数，设，设，将点，代入， 得 ， . 设，将点，代入， 得 解得 . （2）由（1）知. 当时，得. 解得. 将代入， 得. 当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为. （3）解：设小球的运动时间为x秒， 根据题意，得. . ，函数有最大值36， . 【点睛】本题考查了待定系数法，求函数值，二次函数的最值，解不等式，熟练掌握待定系数法，抛物线的最值，解不等式是解题的关键. 7．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为 ，锅盖纵断面的抛物线记为 ． (1)求和的解析式： (2)如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】(1)， (2)此时水面的直径为 (3)锅盖不能正常盖上，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质和应用，涉及待定系数法求解析式和二次函数的性质， 根据已知点设二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可； 根据已知的直径所对的圆周角为直角求得对应的y值，代入解析式即可求得水面高度； 将已知的底面直径代入解析式求得各自对应的y，结合已知的高度作判断即可． 【详解】（1）解：抛物线过点， 设和的解析式为：； ∵抛物线经过， ∴，解得， 则， ∵抛物线还经过， ∴，解得， 则； （2）解：当炒菜锅里的水位高度为时，，即，解得， 则此时水面的直径为； （3）解：锅盖不能正常盖上，理由如下， 当时，抛物线，， 则， 那么，锅盖不能正常盖上． 8．（24-25九年级上·广东中山·期中）图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． (1)当面汤的深度为时，求此时汤面的直径的长； (2)如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，求此时碗中液面宽度的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）设点的坐标为，则抛物线的表达式为则点的坐标为： ，点再用待定系数法即可求解； （）确定直线的表达式为，求出，进而求解； 本题考查了二次函数 ，一次函数 以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】（1）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： 设点的坐标为：，则抛物线的表达式为， 则点的坐标为，点， 将点的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得：， 即抛物线的表达式为：， ∴， 故答案为：； （2）将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止， ∴所以旋转前与水平方向的夹角为， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入上式的：直线的表达式为：， 联立并整理得：， 则，， 则， 则， 由的表达式知，其和轴的夹角为，则， 故答案为：． 【题型09：图形运动问题】 1．（2025·吉林松原·三模）如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2)或6 (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，掌握知识点是解题的关键． （1）过点C作于点E，有，求出，可得，即此时P运动到点E，即可解答． （2）分类讨论：当与当时，作出正确的图形，逐项分析，即可解答； （3）分类讨论：当时，；当时，；当时，，作出正确的图形，逐项分析，即可解答． 【详解】（1）解：过点C作于点E，如图， ， ∵，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时P运动到点E， ∴， 即． （2）①当时，如图 由（1）可得 ， 在矩形中，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， 解得． ②当时，如图 ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴ 解得． 综上所述，t的值为2或6． （3）①当时，矩形与重叠部分图形为，如图 ； ②当时，矩形与重叠部分图形为四边形，如图 ； ③当时，矩形与重叠部分图形为五边形，如图 有，， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∴， ∴， ∴ ． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，矩形中，，，点E在边上，且，点P从点B出发，沿运动，速度为每秒2个单位；点Q从点B出发，沿方向运动，速度为每秒1个单位，点Q到达点E时停止运动．两个点同时出发，点P的运动时间为x秒，且．在运动过程中，的面积为y． (1)求出y与x的函数解析式，并在所给的坐标系中画出函数y的图象； (2)结合图象，写出函数y的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围．（误差不超过） 【答案】(1)，函数图象见解析 (2)当时随的增大而增大 (3)当时，自变量的取值范围 【分析】（1）当时，当时，当时，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据函数图象即可得到结论； （3）根据函数图象即可得到结论． 【详解】（1）解：当时， ∵， ； 当时，， ； 当时，， ， 综上所述，与的函数解析式为； 函数图象如图所示； （2）解：当时，随的增大而增大； （3）解：由图象知，当时，自变量的取值范围． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积，二次函数的应用，一次函数的应用，一次函数的性质，正确地求出函数解析式是解题的关键． 3．（2025·江苏扬州·一模）如图，在等腰中，，动点E、F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度相等，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y． (1)当时，_______；当时，_______； (2)求点E在整个运动过程中y的最大值． 【答案】(1)8；32 (2)36 【分析】本题主要考查勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质及二次函数的图象与性质，熟练掌握勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质及二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意先得出当正方形的边在等腰的斜边上时的的长，然后分别求当和时，y的值即可； （2）由（1）可分①当时，正方形和等腰重合部分的面积为正方形的面积，②当时，然后列出函数关系式，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：当正方形的边在等腰的斜边上时，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵在等腰中，，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，即，正方形的边在等腰的斜边上； 当时，则有， ∴，， 此时正方形在等腰内部， ∴； 当时，则有，如图所示： ∴， ∴， 同理可得：， 此时； 故答案为：8；32； （2）解：由（1）可分：①当时，正方形和等腰重合部分的面积为正方形的面积，即， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，最大值为32； ②当时，如图， 此时正方形和等腰重合部分的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，y有最大值，最大值为36； 综上所述：点E在整个运动过程中y的最大值为36． 4．（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在等腰直角中，，，是的中线．动点从点出发以的速度沿折线向终点运动．过点作于点，以为边向右侧作正方形．设正方形与重叠部分图形的面积是，点的运动时间为 ． (1)当点在线段上运动时，的形状是________，_______．（用含的代数式表示）． (2)当点落在边上时，求的值． (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)等腰直角三角形， (2) (3) 【分析】（1）根据直角三角的性质可得，，从而得到，再由，可得是等腰直角三角形，由勾股定理即可求得； （2）根据题意可得，再证得是等腰直角三角形形，可得．从而得到，即可求解； （3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴，, ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴，（负值已舍去） 故答案为∶ 等腰直角三角形，， （2）解：如图2，当点落在边上时，， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， 即当点落在边上时，． （3）解：∵∵，， ∴，， ∴， ∵动点从点出发以的速度沿折线向终点运动． ∴动点到达时间为，到底到达时间为 ①当时，如图，点P在上，正方形在内部， 正方形与重叠部分图形的面积是正方形， 由（1）得：， ， ②当时，如图3-2，点P在上，正方形的顶点N在外，重叠部分是多边形， 同理（2）可得是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴正方形与重叠部分图形（即多边形）的面积：， ③当时，如图3-3，点P在上，正方形的顶点N在外，同理可得、、是等腰直角三角形， 正方形与重叠部分图形（即等腰直角）的面积 ∴，即点与点B重合， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述，关于的函数解析式为． 【点睛】本题考查了函数解析式、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，理清运动过程中Q点的位置以及菱形的位置是解答本题的关键．解答本题需要注意分类讨论的思想． 5.（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，的速度沿运动，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动，设动点运动的时间为 (1)用含t的式子表示和， ； ； (2)当t为何值时，的面积为； (3)当t为何值时，的面积最大，并求出的最大面积． 【答案】(1)， (2)或时，的面积为 (3)时， 【分析】本题考查了二次函数的最值，一元二次方程的应用，掌握二次函数的性质的应用，根据题意用t表示三角形的面积是解题关键． 利用两点运动的速度表示出的长； 表示出的面积，由此得出关于t的一元二次方程，解方程即可得出答案； 利用配方法求出函数顶点坐标即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，； （2）解：，， ， ， 解得或， 当或时，的面积为； （3）解：， 故时，． 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y（平方厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识．根据是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ，， ∴重叠部分也是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02二次函数实际应用分类汇编 【题型01 ：投球问题】.......................................................1 【题型02 ：喷泉问题】.......................................................6 【题型03 ：拱桥问题】.......................................................9 【题型04：面积问题】.........................................................13 【题型05：每每问题】........................................................15 【题型06：利润问题】........................................................18 【题型07：分段函数】........................................................19 【题型08：其他问题】........................................................20 【题型01 ：投球问题】 1．一实心球经过的路线为如图所示的抛物线，其表达式为，则实心球的落地点到最高点的水平距离的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．打乒乓球是一项有氧运动，能提升反应速度、增强体力、释放压力、改善视力……乒乓球桌的标准长度为，小浩从球桌边沿正上方击打乒乓球向正前方运动，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分．以球桌面所在直线为轴、所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球击打后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系． (1)此次击打乒乓球运行的最大竖直高度是多少？ (2)击打后乒乓球能过球桌正中间的网（网高），并落到对方桌面上，算击打成功．请你通过计算，判断这次乒乓球击打是否成功． 4．再一次校运会上，一名男同学仍铅球时，其运动轨迹为如图所示的一条抛物线，已知仍出铅球时，铅球距离男同学的水平距离长为x（单位：m），距离地面高度为y（单位：m）满足下表关系：. x 0 1 2 3 4 y 1.4 1.9 2.2 2.3 2.2 (1)求出铅球的运动轨迹的解析式； (2)若铅球落地的沙坑低于水平面，沙坑边缘与男同学的距离，计算裁判员测量的铅球落地位置G到F的距离； (3)为了使铅球抛出距离更远，该男同学计划让铅球扔出后，达到的最大高度在B的下方米处，试计算说明，该男同学的抛出的铅球距离是增大还是减少？增大（或减少）多少． 5．如图，一位篮球运动员投篮，球从点处投出，沿抛物线运动，球运动至点处达到最高点，此时，水平距离为3.5米． (1)求的值． (2)已知篮筐中心高度为3.05米，投篮出手点与篮筐中心的水平距离为米．若该运动员本次投篮能直接命中篮筐中心，求的值． 6．掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球行进路线可以看成抛物线的一部分．某男生训练掷实心球时，该实心球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示．掷出时，起点处高度为米，当水平距离为米时，实心球行进至最高点米处．宁波市中考掷实心球得分标准如下表． 表：宁波市中考掷实心球得分标准 掷实心球（米） 9.80 9.20 8.60 8.00 7.40 6.80 6.20 5.60 5.00 4.40 分值（分） 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 (1)求图中抛物线的解析式； (2)根据宁波市中考掷实心球的得分标准，求该男生此次训练的得分； (3)体育老师认为该同学只要提高出手点米且保持原抛物线形状不变（即抛物线向上平移米）就可以满分了，请判断老师的说法是否正确? 7．【问题背景】发石车是一种古代的远程攻击武器，某学校兴趣小组参照如图1的形式制做出了一款简易发石车．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看． 【实验操作】为验证发石车的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了石块相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了石块的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系，数据如表所示： 飞行时间 0 1 3 5 7 … 飞行高度 0 3.6 8.4 10 8.4 … 【建立模型】任务1：求y关于x的函数表达式． 【反思优化】图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置的一个模拟山坡，山坡上有一堵可升降式模拟防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米． 任务2：若调节防御墙高度后，垂直距离为6米，试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 任务3：通过调节的防御墙的高度后，石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点B、C），求此时垂直距离的取值范围． 8．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此​抛物线篮球可准确落入篮圈． (1)求篮圈中心到地面的距离为多少米． (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ (3)篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案） 【题型02 ：喷泉问题】 1．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头2米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离OC是（    ） A．6米 B．5米 C．4米 D．1米 2．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距离O点． 3．如图，游乐园计划在点O处安装一个高的喷水头，使得喷出的水柱正好落到距离O点处的B点，且在距离O点处达到最高．已知水柱的形状是抛物线的一部分，现以点O为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式． (2)求出水柱的最高点的高度． 4．【问题情境】如图是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点O为原点，水平方向为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为，喷水管的高度为． 【问题解决】 (1)求a的值； (2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管要降低的高度． 5．某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以为原点，直线为轴，垂直于路面方向为轴，建立平面直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由． 6．如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴，将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线．当水流距离地面时，距喷灌嘴的水平距离为，水流落地点距喷灌嘴的水平距离． (1)求水流所在抛物线的函数表达式； (2)为了给公园增添艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑． ①若雕塑的高度为，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到； ②若在距喷灌嘴水平距离为处有一高度为的雕塑，请判断该雕塑是否会被水流直接喷到？ 7．如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 【题型03 ：拱桥问题】 1．位于我市平远中行镇的秉虹桥，始建于明朝嘉靖年间，是赣粤盐米古道上一颗璀璨的明珠，它是形状大小相同的双孔石拱桥，每个孔内侧呈抛物线型，如图1，当一个孔的水面宽度为10米时，则拱顶离水面的高度为5米，若以一个孔的拱顶为坐标原点，桥面为x轴（不考虑拱部顶端的厚度），竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系如图2，可计算出当一个孔的水面宽度为12米时，则拱顶离水面的高度为（    ）米． A．7.2 B．6.5 C．5.6 D．6 2．如图是根据某拱桥形状建立的直角坐标系，从中得到函数．在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽（    ） A． B． C． D． 3．如图，一古桥的桥洞可近似看成抛物线型，其解析式为，现要对这座古桥进行加固，须临时安装一些垂直于地面的支撑杆，要求相邻支撑杆之间的距离为，但最边缘的支撑杆到桥洞底部的的距离可以不大于，即图中，，则最多可安装支撑杆 条．    4．如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行） 5．乡村振兴关键在产业．近年来，某县区通过建设标准化大棚，种植圣女果、普罗旺斯西红柿、草莓等，让大棚产业照亮农业转型升级致富路，实现村民稳定增收．如图2，某农户的大棚截面上半部分可近似看作抛物线，下半部分可看作矩形，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为7米，米，棚宽米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了加固棚顶，现需在上方的抛物线部分加装一根横梁（点P、Q均在抛物线上），且，若横梁与地面的距离是米，则横梁的长度是多少米？ 6．如图，在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作拋物线，抛物线解析式的二次项系数为．已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为米，距地面均为1米． (1)请在图中建立直角坐标系，求抛物线的函数表达式； (2)现有一身高为米的同学也想参加这个活动，请问他在跳绳时，头顶与用绳之间的最大竖直距离为多少（假定当绳用到最高处时，学生双脚处于落地状态）； (3)若参加跳绳的学生身高均为米，为保证安全，要求相邻学生之间的安全距离不小于米，问跳绳时，甩绳内部最多可容纳多少名学生？ 7．根据以下素材，探索完成任务． 设计彩虹桥中彩色灯带的悬挂方 素材一 图1是一座隐藏在漳州城市中的“彩虹桥”，也是近年来比较热门的网红打卡点，它由200多个铁架和2400多个灯笼组成． 如图2，每个铁架的横截面可以分为3段，其中是固定支架，分别与地面垂直，主体支架可近似看作一段抛物线，最高点离地面的距离是，，． 素材二 由于灯笼颜色比较单一，街道准备把灯笼替换成长度为的彩色灯带，沿抛物线（主体支架）安装（如图3），且相邻两条灯带安装点的水平间距为．为了安全起见，灯带底部与地面的距离不低于．灯带安装好后成轴对称分布． 问题解决 任务一 确定主体支架的形状 请在图2中以点A为原点建立平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式． 任务二 探究安装范围 在安全前提下，在任务一的坐标系中，确定灯带安装点的横坐标取值范围． 任务三 拟定设计方案 在同一个横截面下，最多能安装几条灯带？并求出此时最右边灯带安装点的坐标． 8．图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知天桥总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中 米， 米．          (1)如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度； (3)现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线经过点 F，与钢柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围． 9．如图1，某公园有一个圆形喷水池，喷水池中心有一个垂直于地面自动升降的喷头，喷出的水柱形状呈抛物线．如图2，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，喷头A的坐标为．设抛物线的函数表达式中二次项系数为a． (1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米． ①若时，求第一象限内水柱的函数表达式． ②用含t的代数式表示a． (2)为了美化公园，对公园及喷水设备进行升级改造，a与t之间满足，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度． ①求改造后水柱达到的最大高度． ②若水池的直径为25米，要使水柱不能落在水池外，求t的取值范围． 【题型04：面积问题】 1．用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为x（），则窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在长为30米、宽为20米的矩形花坛中横向修建1条、纵向修建2条宽都为x米的小路(阴影部分)，空白处为绿地，面积为y平方米，则绿地面积y与x之间的函数表达式为（      ）    A． B． C． D． 3．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为15米)，现用长为34米栅栏（安装过程中不重叠、无损耗），围成中间隔有一道栅栏的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设矩形菜地垂直于墙的栅栏边AB长为x米，面积为S平方米． (1)直接写出S与x间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； (2)围成的菜地面积能达到81平方米吗？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，围成菜地的面积S最大？最大面积是多少平方米？ 【题型05：每每问题】 1．（24-25九年级上·河南郑州·期末）某商场将进货价为元的台灯以元售出．每月能售出个．按商场管理规定，售价在元至元范围内．调查发现，在该范围内，这种台灯的售价每上涨元，其销售量就减少个． (1)为了实现每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ 解：假设售价为元，则每月台灯的销售量为______个，每个台灯的利润为______元．(用含的代数式表示，并完成解答) (2)要使每月的销售利润最大，售价应定为多少？请说明原因． 2．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）一位助农主播利用“互联网+”销售一种农业加工品）这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种加工品的销售利润率不高于，市场调查发现，当销售价定为12元/件时，每天售出220件，售价每上涨2元，每天销售量减少20件，设该加工品每天的销售量y（件），销售价x（元/件），每天的销售利润W（元）． (1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润=销售量×每件的利润） 3．（2025九年级上·全国·专题练习）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一款便携式轮椅，计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少？ 4．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）某社区利用一块长方形空地建了一个小型电动汽车停车场，并且可以免费充电，其布局如图所示．已知停车场的长为26米，宽为14米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道，已知铺花砖的面积为108平方米．    (1)求通道的宽是多少米． (2)该停车场共有车位20个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为3960元？ 5．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件． (1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？ 6．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置，宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用，根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调元（为的正整数），设一天订住的房间数为． (1)直接写出与的函数关系式：________，自变量的取值范围是________． (2)若宾馆一天的利润为7770元，则房价应该为多少元？ (3)房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？ 【题型06：利润问题】 1．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，大熊猫是成都最具特色的对外传播标识物，此次成都大运会吉祥物“蓉宝”便是以熊猫基地真实的大熊猫“芝麻”为原型创作的．某商店销售“蓉宝”毛绒玩具，进价为25元，经市场调查发现，销售这种毛绒玩具，每天的销售量y（件）是每件的售价x（元）（且x为正整数）的一次函数，其部分对应数据如表所示： 每件的售价x（元） … 36 37 38 … 每天的销售量y（件） … 78 76 74 … (1)直接写出y与x之间的函数关系式． (2)求出每天销售的总利润w（元）与x之间的函数关系式． (3)请你分析该商店销售这种毛绒玩具，能否实现投入总成本最少且获利最大． 2．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）“秋风起，吃腊味”是广东地区的习俗之一，东莞某腊肠店销售A，B两类腊肠．A类腊肠进价50元/件，B类腊肠进价60元/件．已知购买1件A类腊肠和1件B类腊肠需132元，购买3件A类腊肠和5件B类腊肠需540元． (1)求A类腊肠和B类腊肠每件的售价各是多少元？ (2)A类腊肠供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类腊肠降价x元，每天的销售量为y件，请直接写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，设该店每天销售A类腊肠的利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类腊肠降价多少元时利润w最大，最大利润是多少元？ 3．（24-25九年级上·天津静海·阶段练习）某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价（元/件）与每天销售量（件）之间满足如图所示的关系． (1)求出与之间的函数关系式； (2)如果商场销售这种商品，每天要获得1500元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？ (3)写出每天的利润与销售单价之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将销售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【题型07：分段函数】 1．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售120天后，统计发现：在这120天内，该商品每天的销售价格x（单位：元/件）与时间t（第t天）之间满足如图所示的函数关系，该商品的日销售量y（单位：件）与时间t（第t天）之间满足一次函数关系． (1)求x与t之间的函数关系式； (2)设销售该商品的日利润为w元，求w与t之间的函数关系式，并求出在这120天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ 【题型08：其他问题】 1．（2020·湖北襄阳·中考真题）汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t的函数关系是，汽车从刹车到停下来所用时间是 ． 2．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）若汽车刹车后行驶的距离(m)关于行驶的时间的函数表达式为，则汽车刹车后行驶的距离是 ． 3（22-23九年级上·广东广州·期中）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，则汽车从开始刹车到完全停下这段时间的最后2秒前行了 米． 4．（24-25九年级上·广东湛江·期末）某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”．汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若在汽车前处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车超过测速仪； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）2026年冬奥会在米兰举行，跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）满足函数关系：．着陆坡的解析式为，在着陆坡上设置点P作为达标点，点P与水平距离为．若着陆点在P点或越过P点，则视为成绩达标． (1)当时， ①判断成绩是否达标，并说明理由； ②求运动员在飞行过程中离着陆坡的竖直距离h的最大值； (2)若运动员的成绩既要达标又要能落在着陆坡（含端点）上，求b的取值范围． 6.（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：s）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．任务一：数据收集记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 任务二：观察分析 （1）根据，随的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出，与满足的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围） 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求小球的滑动距离； （3）当小球到达木板上点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求的取值范围． 7．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为 ，锅盖纵断面的抛物线记为 ． (1)求和的解析式： (2)如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 8．（24-25九年级上·广东中山·期中）图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． (1)当面汤的深度为时，求此时汤面的直径的长； (2)如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，求此时碗中液面宽度的长． 【题型09：图形运动问题】 1．（2025·吉林松原·三模）如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，矩形中，，，点E在边上，且，点P从点B出发，沿运动，速度为每秒2个单位；点Q从点B出发，沿方向运动，速度为每秒1个单位，点Q到达点E时停止运动．两个点同时出发，点P的运动时间为x秒，且．在运动过程中，的面积为y． (1)求出y与x的函数解析式，并在所给的坐标系中画出函数y的图象； (2)结合图象，写出函数y的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围．（误差不超过） 3．（2025·江苏扬州·一模）如图，在等腰中，，动点E、F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度相等，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y． (1)当时，_______；当时，_______； (2)求点E在整个运动过程中y的最大值． 4．（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在等腰直角中，，，是的中线．动点从点出发以的速度沿折线向终点运动．过点作于点，以为边向右侧作正方形．设正方形与重叠部分图形的面积是，点的运动时间为 ． (1)当点在线段上运动时，的形状是________，_______．（用含的代数式表示）． (2)当点落在边上时，求的值． (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 5.（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，的速度沿运动，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动，设动点运动的时间为 (1)用含t的式子表示和， ； ； (2)当t为何值时，的面积为； (3)当t为何值时，的面积最大，并求出的最大面积． 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y（平方厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$