第1章 二次函数能力提升测试卷-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

第1章 二次函数能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列函数中属于二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数． 根据二次函数的定义选择正确的选项即可． 【详解】解：A、是一次函数，故本选项错误； B、不是二次函数，故本选项错误； C、，不一定是二次函数，故本选项错误； D、是二次函数，故本选项正确； 故选：D． 2．已知二次函数图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下： x … 0 2 … y … 15 0 0 … 则关于x的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的性质，先根据表格信息求解的对称轴为直线，再进一步求解即可. 【详解】解：由表格信息可得：的对称轴为直线， 而当时，， 根据对称性可得： 当时，， ∴的解为：，； 故选：A 3．抛物线与y轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题； 求出时y的值即可． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 故选：C． 4．将二次函数的图象先向下平移3个单位，再向左平移4个单位所得图像的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求二次函数平移后的解析式，解题关键是掌握平移规律． 利用二次函数平移规律求解． 【详解】解：二次函数 的图象向下平移3个单位，再向左平移4个单位，得到新的图像的二次函数表达式是 ， 故选：B． 5．如图，使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：）与旋钮的旋转角度x（单位：度）近似满足函数关系．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称轴x的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上， 从18和72可以看出对称轴约为， 从18和54可以看出对称轴约为， 所以最终对称轴的范围是， 即对称轴位于直线与直线之间， 所以此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为． 故选：C． 6．已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数与轴的交点问题，先得出，再结合二次函数的图象与轴有交点，得出，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴，， 解得且， 故选：D． 7．二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的性质，根据抛物线解析式得出开口方向，即可求解． 【详解】解：∵，开口向上， ∴当时，y有最小值为， 故答案为：A． 8．二次函数的图象经过点，，与轴的交点在轴的下方．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．二次函数的最小值为 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 根据二次函数的图象经过点，，可得对称轴为，由函数图象与轴的交点在轴的下方，得到，，从而可得，即，判断A选项；根据函数的增减性得到当时，，判断B选项；根据函数图象经过点，，得到，求解有，判断C选项；将二次函数化为顶点式，即可判断D选项． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴该函数图象的对称轴为， ∵二次函数的图象与轴的交点在轴的下方， ∴，， ∵该函数图象的对称轴为，即， ∴，故A选项错误； ∵，对称轴为， ∴该函数图象开口向上，当时，y随x的增大而减小， ∴当时，，即，故B选项错误； ∵二次函数的图象经过点，， ∴， ∴，故C选项错误； ∴二次函数可化为，即， ∴二次函数的最小值为，故D选项正确． 故选：D 9．抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】此题考查二次函数与不等式．先求得抛物线与直线的解析式，联立求得点的坐标，再根据时，即为抛物线在直线下方，根据图象得出取值范围即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴直线， ∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴抛物线， 联立得， 解得或， 当时，， ∴， ∴抛物线与直线相交于点和点两点， ∴当时，， 故选：B． 10．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查一次函数，二次函数系数及常数项与图象位置之间关系．本题形数结合，一次函数，可判断a、c的符号；根据二次函数的图象位置，可得a，c的符号，比较即可得解． 【详解】解：A、函数中，，，中，，，故本选项不符合题意； B、函数中，，，中，，，故选项不符合题意； C、函数中，，，中，，，故本选项不符合题意； D、函数中，，，中，，，故本选项不符合题意； 故选：B． 11．已知二次函数 ，当 时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据函数解析式可知，开口方向向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，据此解答． 【详解】解：对称轴为直线， ∵， ∴，随的增大而增大， ∴， 故选：B． 12．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称性，根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标判断①，开口方向，对称轴，与轴的交点判断②和④，特殊点判断③即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴该图象经过点；故①正确； 由图象可知：， ∵对称轴为， ∴， ∴；故②④错误； ∵图象经过点； ∴，故③正确； 故选B． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．已知二次函数图象与轴的一个交点坐标为，顶点坐标为，则该二次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，求二次函数解析式时,要根据条件选择简单的形式求解．①已知三点时，设一般式：（）；②已知顶点和一点时，设顶点式：（），其中顶点为，a为待定系数；③已知与x轴的两交点时，设交点式：（），其中分别为两交点的横坐标，a为待定系数． 已知顶点，一般应该设抛物线解析式的顶点式，只需要求待定系数a的值即可确定解析式． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点为， ∴， 又由二次函数图象与轴的一个交点坐标为， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 14．已知二次函数的图象上有两点，当时，始终有，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．由题意知，对称轴为直线，当或时，，由，得到函数值离对称轴越远函数值越小．可分①恒成立，则；②恒成立，则；然后进行作答即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为， ∵在抛物线上， ∴当或时，， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小． 分类讨论：①恒成立，则， ∴； ②恒成立，则． ∴．即． 综上所述．m的取值范围是或． 故答案为：或． 15．有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示，已知米，距离点2米处的棚高为米，若借助横梁建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁的长度是 米． 【答案】 【分析】此题主要考查二次函数的性质及用待定系数法求出函数的解析式，比较简单，要学会设合适的函数解析式．先用待定系数法求出函数函数解析式，求出当时的自变量的值，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过，， 故， 解得：， 故抛物线解析式为： 由题意可得：当时， ， 解得： ∴米． 故答案为： 16．已知抛物线（为常数），直线，当时，抛物线的最高点到直线的距离为2，则的值是 【答案】或 【分析】本题考查的是二次函数的性质，先求解抛物线的对称轴为直线，再分两种情况建立方程求解即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∴， ∴顶点坐标为：， 如图，当时，则， ∵抛物线的最高点到直线的距离为2， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） 如图，当时，则， 此时当时，最高点的纵坐标为：， 同理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去） 综上：的值为或， 故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个函数的解析式； (2)函数的开口方向、对称轴． 【答案】(1)yx (2)函数开口向上，对称轴 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点和点， ∴，解得， ∴函数的表达式为：； （2）解：∵，， ∴函数开口向上，对称轴为：直线． 18．已知二次函数 (1)若该二次函数图象过点，求a的值． (2)请直接写出此抛物线的对称轴． (3)当时，y的最大值是6，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据对称轴公式进行求解即可； （3）分和，根据最值，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得：， 解得：； （2）由题意，对称轴为直线； （3）当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值为， 解得：； 当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数值最大，即：， 解得：； 综上：或． 19．某校兴趣小组在广场进行无人机飞行表演，一架无人机的飞行线路是一条抛物线，其飞行高度（）与水平距离（）满足二次函数关系． (1)用配方法求出抛物线的顶点坐标，并说明其顶点坐标的实际意义． (2)若距飞行起始点正前方10处有一个16高的大型广告牌，请通过计算判断该无人机在飞行过程中，是否存在与广告牌发生碰撞的风险． 【答案】(1)顶点坐标为，表示当飞行的水平距离为时，飞行达到最大高度为 (2)无人机不存在与广告牌发生碰撞的风险 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）先根据题意将解析式配方，进而结合题意说出顶点坐标的实际意义，即可求解； （2）将代入解析式，求得函数值与，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解： ； 顶点坐标为，表示当飞行的水平距离为时，飞行达到最大高度为． （2）当时，， 答：无人机不存在与广告牌发生碰撞的风险． 20．甲同学家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为x米． (1)如图1，当时， ①________米（用含x的代数式表示）． ②若围成的养鸡场面积为平方米，求的长． (2)如图2，当时，求养鸡场可达到的最大面积． 【答案】(1)①②米 (2)平方米 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．理解题意列出二次函数并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． ①根据图形和条件确定边长表达式；②根据面积公式列出方程求解并关联题意即可解答； 根据面积公式列出方程求解以及利用二次函数性质求最值． 【详解】（1）解：① ②， 解得，． ， 的长为23米． （2）解：， 养鸡场的面积． ， ． 当时，养鸡场面积可以达到最大值平方米． 21．掷沙包是一种传统儿童游戏，投掷者用内装谷粒或者沙子的布包向远处的目标进行投掷，以投中目标为胜，沙包的飞行轨迹近似抛物线．设沙包飞行的水平距离为（单位：m），相对应的飞行高度为（单位：m）．李华在处以跪蹲姿势向远处的布幔投掷沙包，沙包飞行轨迹的相关数据如图所示，为抛物线的顶点，已知布幔垂直于轴，且，布幔上的目标与的距离为0.26米． (1)求沙包飞行轨迹抛物线的解析式 （无需写出自变量的取值范围）； (2)为了击中目标，应将布幔向前或后移动多少米？ 【答案】(1) (2)前移动 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）由顶点式，可设抛物线的解析式为，再把代入求出a的值即可； （2）求出时，即可解得． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线顶点为． 故可设抛物线的解析式为， 又抛物线过， ， ， 解析式为； （2）当时， 即 （舍），， ， 应将布幔向前移动． 22．在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c为常数）的对称轴为直线，且过点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若将该函数图象向上平移m个单位后，所得图象与x轴只有一个交点，求m的值； (3)当自变量x满足时，y的最大值为m，最小值为n，且，求t的值． 【答案】(1) (2)3 (3)3或 【分析】本题考查待定系数法求函数表达式、二次函数的图象与性质、函数图象的平移，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用函数图象平移的规则“左加右减，上加下减”得到平移后的函数表达式，再求得时的m值即可； （3）分，，三种情况，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数（b，c为常数）的对称轴为直线，且过点， ∴，，则， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：将该函数图象向上平移m个单位后，所得函数表达为， ∵所得图象与x轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得； （3）解：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，， ∴抛物线上，横坐标为5的点的对称的点的横坐标为， ∴当时，最大值，最小值， 由得， 解得，（舍去）； 当时，最大值，最小值， ∴不满足，不符合题意； 当时，最大值为，最小值为， 由得， 解得，（舍去）， 综上，t的值为3或． 23．汽车行驶在高速公路上遇到意外情况时，紧急停车需要经历反应（反应时间为秒）和制动两个过程，反应距离和制动距离分别记为和（单位：），停车距离为．（参考数据：） 汽车在反应过程保持原速度匀速运动，制动过程中的路程与行驶速度关系如下表所示： 原速度x（） 0 20 40 60 80 … 制动距离（） 0 2 8 18 32 … (1)将表格中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，并求出与x的函数关系式； (2)当行驶速度为时，求刹车距离S； (3)疲劳驾驶会导致司机制动反应时间增加，反应时间为正常时间的3倍，当疲劳驾驶停车距离比正常情况下增加时，求汽车原速度为多少． 【答案】(1)图见解析； (2)刹车距离为 (3)汽车原速度为 【分析】此题考查了画函数图象，待定系数法求函数解析式，求自变量的值，正确掌握函数知识是解题的关键． （1）根据表格，描点、连线即可得出相应图象；然后设，利用待定系数法即可确定函数解析式； （2）根据题意确定，然后代入求解即可； （3）根据题意得出疲劳驾驶下反应距离，确定，求解即可． 【详解】（1）解：图象如图所示： ∴设，将点，代入得： ， 解得 故． （2）由题意：， 则 当时，． 故刹车距离为． （3）疲劳驾驶下反应距离 由题意：， 解得 故汽车原速度为． 24．将放置在如图①所示的平面直角坐标系中，点、在轴上，点在轴上，其中． (1)求经过三点的抛物线的解析式； (2)若点为抛物线上第二象限一动点（如图②），连结分别与轴交于点，记的面积为的面积为，求的最大值． (3)若点为抛物线上另一动点（如图③），连结，以为斜边作等腰直角，若其直角顶点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标（请直接写出结果）． 【答案】(1) (2)最大值为； (3)点G的坐标为 【分析】（1）根据勾股定理得到，列得，求出，得到，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出函数解析式； （2）求出直线的解析式，得到，连接，，根据求出答案； （3）抛物线的对称轴为直线，设，分情况画出图形分别求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得 ∴， ∴， 设抛物线的解析式为， 得， 解得, ∴经过三点的抛物线的解析式为； （2）∵点为抛物线上第二象限一动点， ∴， 设直线的解析式为， 得， 解得， ∴， 当时，， 故， 连接，， ， ∵ ∴当时，有最大值； （3）抛物线的对称轴为直线， 设， ①如图：是等腰直角三角形，过点G作x轴的平行线，作， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 代入抛物线解析式得， 解得（舍去）， ∴； ②如图，是等腰直角三角形，过点G作x轴的平行线，作， 同理得， ∴， 代入抛物线解析式得， 解得（舍去）， ∴； ③当点Q与点B重合时，点A与点Q对称，此时， ∴当是等腰直角三角形时，， ∴， 综上，点G的坐标为． 【点睛】此题是二次函数的综合题，考查待定系数法，全等三角形的判定，特殊三角形与二次函数，综合掌握所学知识点并熟练应用是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 二次函数能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列函数中属于二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．已知二次函数图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下： x … 0 2 … y … 15 0 0 … 则关于x的方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．抛物线与y轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 4．将二次函数的图象先向下平移3个单位，再向左平移4个单位所得图像的解析式为（   ） A． B． C． D． 5．如图，使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：）与旋钮的旋转角度x（单位：度）近似满足函数关系．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（    ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 7．二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C． D．7 8．二次函数的图象经过点，，与轴的交点在轴的下方．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．二次函数的最小值为 9．抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 10．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象可以为（   ） A． B． C． D． 11．已知二次函数 ，当 时，随的增大而增大，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．已知二次函数图象与轴的一个交点坐标为，顶点坐标为，则该二次函数的解析式为 ． 14．已知二次函数的图象上有两点，当时，始终有，则m的取值范围是 ． 15．有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示，已知米，距离点2米处的棚高为米，若借助横梁建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁的长度是 米． 16．已知抛物线（为常数），直线，当时，抛物线的最高点到直线的距离为2，则的值是 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个函数的解析式； (2)函数的开口方向、对称轴． 18．已知二次函数 (1)若该二次函数图象过点，求a的值． (2)请直接写出此抛物线的对称轴． (3)当时，y的最大值是6，求a的值． 19．某校兴趣小组在广场进行无人机飞行表演，一架无人机的飞行线路是一条抛物线，其飞行高度（）与水平距离（）满足二次函数关系． (1)用配方法求出抛物线的顶点坐标，并说明其顶点坐标的实际意义． (2)若距飞行起始点正前方10处有一个16高的大型广告牌，请通过计算判断该无人机在飞行过程中，是否存在与广告牌发生碰撞的风险． 20．甲同学家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为x米． (1)如图1，当时， ①________米（用含x的代数式表示）． ②若围成的养鸡场面积为平方米，求的长． (2)如图2，当时，求养鸡场可达到的最大面积． 21．掷沙包是一种传统儿童游戏，投掷者用内装谷粒或者沙子的布包向远处的目标进行投掷，以投中目标为胜，沙包的飞行轨迹近似抛物线．设沙包飞行的水平距离为（单位：m），相对应的飞行高度为（单位：m）．李华在处以跪蹲姿势向远处的布幔投掷沙包，沙包飞行轨迹的相关数据如图所示，为抛物线的顶点，已知布幔垂直于轴，且，布幔上的目标与的距离为0.26米． (1)求沙包飞行轨迹抛物线的解析式 （无需写出自变量的取值范围）； (2)为了击中目标，应将布幔向前或后移动多少米？ 22．在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c为常数）的对称轴为直线，且过点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若将该函数图象向上平移m个单位后，所得图象与x轴只有一个交点，求m的值； (3)当自变量x满足时，y的最大值为m，最小值为n，且，求t的值． 23．汽车行驶在高速公路上遇到意外情况时，紧急停车需要经历反应（反应时间为秒）和制动两个过程，反应距离和制动距离分别记为和（单位：），停车距离为．（参考数据：） 汽车在反应过程保持原速度匀速运动，制动过程中的路程与行驶速度关系如下表所示： 原速度x（） 0 20 40 60 80 … 制动距离（） 0 2 8 18 32 … (1)将表格中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，并求出与x的函数关系式； (2)当行驶速度为时，求刹车距离S； (3)疲劳驾驶会导致司机制动反应时间增加，反应时间为正常时间的3倍，当疲劳驾驶停车距离比正常情况下增加时，求汽车原速度为多少． 24．将放置在如图①所示的平面直角坐标系中，点、在轴上，点在轴上，其中． (1)求经过三点的抛物线的解析式； (2)若点为抛物线上第二象限一动点（如图②），连结分别与轴交于点，记的面积为的面积为，求的最大值． (3)若点为抛物线上另一动点（如图③），连结，以为斜边作等腰直角，若其直角顶点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标（请直接写出结果）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$