1.2 空间向量基本定理 同步作业-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.2 空间向量基本定理 【基础巩固】 1．设向量是空间一个基底,则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是（ ） A． B． C． D．或 2．在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（ ） A． B． C． D． 3．在四棱锥中，底面为平行四边形，，分别为，的中点，为的中点，记，，，则（ ） A． B． C． D． 4．如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，则直线和夹角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 5．（多选）如图，在平行六面体中，，，与的交点为，设，，，则（ ） A． B． C． D． 6．是空间的一个基底，向量，是空间的 另一个基底，向量，则_______． 7．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若存在实数，，，使向量，则________． 8．如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，．设，，． (1)试用，，表示向量； (2)若，，，求异面直线与的夹角的余弦值． 【能力拓展】 9．已知，，是空间向量的一个基底，若向量，且向量，，，则用基底，，表示向量为（ ） A． B． C． D． 10．（多选）如图，在直四棱柱中，，，为与的交点．若，，，则下列说法正确的有（ ） A． B． C．设，则 D．以为球心，为半径的球与四边形的交线长为 11．在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足．设，分别为四边形与△的面积，则_______． 【素养提升】 12．一般地，元有序实数对，，，称为维向量．对于两个维向量，，，，，，定义两向量的数量积为，向量的模，且取最小值时，称为在上的投影向量． (1)求证：在上的投影向量为； (2)某公司招聘时对应聘者的语言表达能力、逻辑推理能力、动手操作能力进行测评，每门总分均为10分，测评结果记为一个三维向量，，而不同岗位对于各个能力需求的比重各不相同，对于每个岗位均有一个事先确定的“能力需求向量” ，，，将在上的投影向量的模称为该应聘者在该岗位的“适合度”．其中四个岗位的“能力需求向量”如下： (Ⅰ)应聘者小明的测评结果为，7，，试分析小明最适合哪个岗位． (Ⅱ)已知小红在会计、技工和某岗位的适合度分别为，，，，2，．若能根据这三个适合度求出小红的测评结果，求证：会计、技工和岗位的“能力需求向量”能作为空间中的一组基底． 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 空间向量基本定理 【基础巩固】 1．设向量是空间一个基底,则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】(1)由题意和空间向量的共面定理, 结合,得与、是共面向量, 同理与、是共面向量,所以与不能与、构成空间的一个基底; 又与和不共面,所以与、构成空间的一个基底.故选:C. 2．在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，为中点，故， 由，得， 即：代入， ， 对比已知，得，解得．故选：． 3．在四棱锥中，底面为平行四边形，，分别为，的中点，为的中点，记，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可知，，，， ． 故选：． 4．如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，则直线和夹角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，因为、分别为、的中点， 所以，，且． 则所以，， 可得直线和夹角的余弦值等于，， 所以直线和夹角的正弦值为．故选：． 5．（多选）如图，在平行六面体中，，，与的交点为，设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】，选项正确，错误； ， 所以，选项正确； ， 所以，，选项正确．故选：． 6．是空间的一个基底，向量，是空间的另一个基底，向量，则_______． 【答案】3 【解析】，且 ．故答案为：3． 7．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若存在实数，，，使向量，则________． 【答案】 【解析】， 又，，． 故答案为：． 8．如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，．设，，． (1)试用，，表示向量； (2)若，，，求异面直线与的夹角的余弦值． 【答案】见解析 【解析】(1)由， 可得， 由，可得， 则； (2)由，，， 可得，，，则， ， 则， 则异面直线与的夹角的余弦值为． 【能力拓展】 9．已知，，是空间向量的一个基底，若向量，且向量，，，则用基底，，表示向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 则有， 又，且，，是空间向量的一个基底， 所以，解得，即．故选：． 10．（多选）如图，在直四棱柱中，，，为与的交点．若，，，则下列说法正确的有（ ） A． B． C．设，则 D．以为球心，为半径的球与四边形的交线长为 【答案】ACD 【解析】由题得， ，故正确． 因为， ，，所以， 所以，故错误．因为， 所以， 所以，以，故正确． 取的中点为，连接，易知平面，且． 由球的半径为，知球面与平面的交线是以为圆心，为半径的圆． 如图，在正方形内，以为圆心，2为半径作圆，所得的圆弧即为所求交线． 由题意可知，所以弧的长为，故正确． 故选：． 11．在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足．设，分别为四边形与△的面积，则_______． 【答案】 【解析】由已知条件：在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足， 故， 所以，若，分别为，的中点，如下图， 则，即，又，则， 故，所以， 综上，，令梯形的高为， 则，， 所以． 故答案为：． 【素养提升】 12．一般地，元有序实数对，，，称为维向量．对于两个维向量，，，，，，定义两向量的数量积为，向量的模，且取最小值时，称为在上的投影向量． (1)求证：在上的投影向量为； (2)某公司招聘时对应聘者的语言表达能力、逻辑推理能力、动手操作能力进行测评，每门总分均为10分，测评结果记为一个三维向量，，而不同岗位对于各个能力需求的比重各不相同，对于每个岗位均有一个事先确定的“能力需求向量” ，，，将在上的投影向量的模称为该应聘者在该岗位的“适合度”．其中四个岗位的“能力需求向量”如下： (Ⅰ)应聘者小明的测评结果为，7，，试分析小明最适合哪个岗位． (Ⅱ)已知小红在会计、技工和某岗位的适合度分别为，，，，2，．若能根据这三个适合度求出小红的测评结果，求证：会计、技工和岗位的“能力需求向量”能作为空间中的一组基底． 【答案】见解析 【解析】(Ⅰ)证明：取最小值时，为在上的投影向量， ， 是关于的二次函数，且二次项系数大于0，结合二次函数的性质， 当且仅当时，取最小值， 在上的投影向量为． (2)设小明在会计、技工、推销员、售后维修员的“能力需求向量”上的投影向量分别为，，，， 则， ， ， ， 小明在会计岗位上的“适合度”最高，即小明最适合会计岗位； 证明：由题意，设岗位的“能力需求向量”为，，， 小红的测评结果为，，， 则， 则求出小红的测评结果的充分必要条件是这个关于，，的三元一次方程组有唯一解， 记，，，则， 设，，， 则方程组变形为， ②①得， 则方程组化简为， 消去，化简得⑥， 若， 则此时关于的方程要么无解要么有无穷多解，与题意不符， ， 又方程有且仅有一解，，即， 若，由向量的共线定理得， 使得， 则，与假设矛盾，不成立，故与不共线，同理可知与不共线， ，，可以作为空间中的一组基底， 即会计、技工和岗位的“能力需求向量”能作为空间中的一组基底． 第6页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$