精品解析：辽宁省沈阳市康平县第二中学2025-2026学年九年级上学期开学测试数学试卷

九年数学北师大 一、选择题（共10 小题、满分 30 分，每小题 3 分） 1. 剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，鱼与“余”同音，寓意生活富裕，年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题，以下关于鱼的剪纸中，是轴对称图形， 但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的识别方法是解题的关键．利用轴对称图形和中心对称图形的识别方法分别判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故符合题意． 故选：D． 2. 风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和及正多边形的性质．利用多边形的内角和及正多边形的性质求得的度数，再利用正六边形的对称性即可求得答案． 【详解】解：六边形是正六边形， ， 由对称性可知， 故选：C． 3. 不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，把解集表示在数轴上；分别解两个不等式，将它们的解集表示在同一数轴上即可求解；带等于号的用实心圆，不带等于号的用空心圆圈． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 该解集在数轴上表示为： 故选：B． 4. 下列各式从左到右的变形，是因式分解且正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，解题的关键是掌握将多项式化为几个整式的乘积是因式分解；根据因式分解的定义和因式分解的方法逐个判断即可． 【详解】解：A中，，故不符合题意； B中，，不是因式分解，故不符合题意； C中，，右侧不是整式的乘积，不是因式分解，故不符合题意； D中，，是因式分解，且正确，故符合题意； 故选：D． 5. 如图，将沿方向平移至，已知，则平移的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．根据平移的性质求解即可． 【详解】解：根据平移的性质得，平移的距离为， 故选：C． 6. 如图，点在内，且到三边的距离相等，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点在内，且到三边的距离相等，可知是角平分线的交点，则，，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵点在内，且到三边的距离相等， ∴是角平分线的交点， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 7. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ） A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 【答案】A 【解析】 【分析】甲方案：利用对角线互相平分得证； 乙方案：由，可得,即可得， 再利用对角线互相平分得证； 丙方案:方法同乙方案． 【详解】连接交于点 甲方案：四边形是平行四边形 四边形为平行四边形． 乙方案： 四边形是平行四边形 ，， 又 (AAS) 四边形为平行四边形． 丙方案: 四边形是平行四边形 ，，， 又分别平分 ， 即 （ASA） 四边形为平行四边形． 所以甲、乙、丙三种方案都可以． 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键． 8. 如图，这是庆阳市某路口的斑马线，路段横穿双向车道，其中米，在人行绿灯亮时，小刚共用时10秒通过，其中通过段的速度是通过段的倍，求小刚通过段的速度，设小刚通过段的速度为x米/秒，则根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设小刚通过段的速度为x米/秒，则通过段的速度是米/秒，根据题意，得解答即可． 本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系列出方程． 【详解】解：设小刚通过段的速度为x米/秒，则通过段的速度是米/秒， ∵， ∴， 根据题意，得． 故选：A． 9. 在中，用直尺和圆规作图的痕迹如图所示．若，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】连接，设交点为O，根据角平分线的作法得出，，再由平行线的性质得出，确定，再由等角对等边即可得四边形是菱形，根据菱形的性质，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，设交点为O， 由尺规作图得：是的角平分线，， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形， ， 在中， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查角平分线的作法，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，等角对等边等，理解题意，熟练掌握角平分线的作法是解题关键． 10. 如图，中，，将逆时针旋转，得到，交于．当时，点恰好落在上，此时等于（ ） A. 110° B. 100° C. 90° D. 80° 【答案】BB 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的旋转．由逆时针旋转，得到，，得，，得，由，得，即可得． 【详解】解：由逆时针旋转，得到，， 得，， 得， 由， 得， 得． D故选：d故选：B． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用提公因式法因式分解，掌握相关方法即可．直接利用提公因式法因式分解即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象，找直线在上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知：两条直线的交点坐标为， ∵， ∴， ∴，即直线在直线的上方， ∵当时，直线在直线的上方， ∴解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据不等式的问题转化为比较函数值大小的问题是解答本题的关键． 13. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程．先去分母，根据分式方程有增根，求出x，再代入整式方程求出m． 【详解】解∶去分母得∶， ∵分式方程有增根， ∴， 解得， 把代入，得， 解得 故答案为∶． 14. 如图，△ABC的周长为19, 点D、E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N ，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为____． 【答案】 【解析】 【分析】证明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】∵BN平分∠ABC，BN⊥AE， ∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE， 在△BNA和△BNE中， ， ∴△BNA≌△BNE（ASA）， ∴BA=BE， ∴△BAE是等腰三角形， 同理△CAD是等腰三角形， ∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一）， ∴MN是△ADE的中位线， ∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12， ∴DE=BE+CD-BC=5， ∴MN=DE=． 故答案是：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 15. 如图，在平行四边形中，，，，连结，将沿折叠得到，交于点E，则的长度是 ___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形、折叠图形、勾股定理、等角对等边等性质，解题的关键是求证，并运用勾股定理求解． 见详解的作图，欲求的长，猜想构造直角，依据勾股定理求解．因是含角的直角三角形，故可求得、的长，进一步求得的长，由全等三角形及折叠性可证得，则，于是将直角三角形中的已知与待求的通过勾股定理联系起来了，即可求得的长． 【详解】解：过点A作延长线的垂线，垂足为H，见下图． ∵四边形为平行四边形， ， ∴由得，， ， ． ． 则． ∵平行四边形， ， 又， ， （等角对等边）． 设，则， 在直角中， 即：， 解得：， 故答案为：． 三、解答题（共有7小题，满分 75 分） 16. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 开方，得或， 解得：，； 【小问2详解】 解：, 移项，， 配方，得， 即， 开方，得或， 解得：，； 【小问3详解】 解：， 移项，得， 因式分解，得， 则或， 解得：，； 【小问4详解】 解：， 其中，，，， 所以， 所以，， 即，． 17. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，为三个顶点分别是，，． （1）画出向左平移5个单位得到的； （2）画出绕点C逆时针旋转后得到的； （3）在平面上存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的所有点D的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）或或 【解析】 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）设，分三种情况：当为对角线时， 当为对角线时，当为对角线时，借助中点坐标公式即可求解． 【小问1详解】 解：如图即为所求； 【小问2详解】 解：如图即为所求； 【小问3详解】 解：设， 当为对角线时，则，解得，则D的坐标为：； 当为对角线时，则，解得，则D的坐标为：； 当为对角线时，则，解得，则D的坐标为：； 符合条件的点D的坐标为：或或． 【点睛】本题考查作图-平移变换，旋转变换，中点坐标公式，解题的关键是正确作出图形，牢记中点坐标公式． 18. 如图，在平行四边形中，，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等边对等角，三角形的内角和，平行线的性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． （1）先由平行四边形的性质得到，，再证明，得出四边形是平行四边形，再结合即可证明四边形是菱形． （2）利用四边形是菱形，得出，，推出，得出，再利用平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 19. 2025年4月8日，羽毛球亚锦赛在中国浙江省宁波市隆重开幕举行，某商场在亚锦赛开始之前，购进两种亚锦赛吉祥物进行售卖，已知用4000元购买种吉祥物与用6000元购买种吉祥物的数量相同，且种吉祥物的单价比种吉祥物的单价多50元． （1）求两种吉祥物的单价． （2）由于销售火爆，第一批吉祥物很快就售光了，商场决定再购两种吉祥物共100个，且总价不能超过11500元，问种吉祥物至少可购买多少个？ 【答案】（1）种吉祥物的单价是元，种吉祥物的单价是元 （2）种吉祥物至少可购买70个 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式的应用，明确题意，列出相应的分式方程和不等式是解答本题的关键． （1）设种吉祥物的单价是元，则种吉祥物的单价是元，列出分式方程即可求解，注意验根； （2）设种吉祥物购进个，则种吉祥物购进个，且为整数，根据题意列出不等式，解不等式即可作答． 【小问1详解】 解：设种吉祥物的单价是元，则种吉祥物的单价是元， 根据题意，有：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元）， 答：种吉祥物的单价是元，种吉祥物的单价是元； 【小问2详解】 解：设种吉祥物购进个，则种吉祥物购进个，且为整数， 根据题意，有：， 解得：， 即种吉祥物至少可购买70个． 20. 如图所示，在同一个坐标系中一次函数和的图象，分别与轴交于点、，两直线交于点．已知点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题： （1）关于x的方程的解是___；关于的不等式的解集是______． （2）直接写出关于x的不等式组解集是______． （3）若点坐标为， ①关于的不等式的解集是______； ②的面积为______． ③在轴上找点，使得的值最大，则点坐标为______． 【答案】（1）； （2） （3）①；②；③ 【解析】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组， （1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案； （2）利用两直线与轴交点坐标，结合图象得出答案； （3）①利用图象即可求解；②利用三角形面积公式求得即可；③记交轴于点，此时最大，再求解直线解析式即可． 【小问1详解】 解：一次函数和的图象，分别与轴交于点、，点坐标为，点坐标为， 关于的方程的解是，关于的不等式的解集为， 【小问2详解】 根据图象可以得到关于的不等式组的解集； 【小问3详解】 ①∵点， 结合图象可知，不等式的解集是； ②，， ； ③，记交轴于点， 此时，此时最大， 设直线为， ∴，解得， 直线为， 令，则， ， 21. 综合与实践 八年级同学在数学老师的指导下，以“三角形的旋转”为主题，开展如下数学探究活动： （1）如图1，为等边三角形，将绕点A旋转，得到，连接，则　 　．若F是的中点，连接，则与的数量关系是　 　． 迁移探究： （2）如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点A逆时针旋转，得到，求出此时的度数及与的数量关系． 拓展应用： （3）如图3，在中， ，，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，求的长． 【答案】（1）90； （2）， （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得也是等边三角形，点A，B，D在同一直线上，利用等腰三角形的性质、平行线的性质可证；利用三角形中位线定理可得； （2）先根据旋转的性质证明是等腰直角三角形，推出，进而得出，再根据等腰直角三角形的性质即可求解； （3）分点E在下方和点E在上方两种情况，参照（2）中方法分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ，， ∵绕点A旋转，得到， ，，点A，B，D在同一直线上， ∵， ， ，即， ∵， ， ， ， ， ∵F是的中点，， ． 故答案为：90，； 【小问2详解】 解：由旋转的性质，可知 ，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：分以下两种情况进行讨论： ①如图3﹣1．当点E在下方时， 根据题意，得为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∵，F是的中点， ∴， ∴； ②如图3﹣2，当点E在上方时， 同理，可得，． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理等，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，第三问注意分情况讨论． 22. 如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点．线段平行于轴，交直线于点，连接，． （1）填空： ，点A的坐标是（ ， ）； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）动点P从点O出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止：动点Q同时从点D出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒． ①当时，的面积是 ； ②当为直角三角形时，请直接写出此时点Q的坐标． 【答案】（1）；5，0 （2） 解：∵线段平行于x轴， ∴D点的纵坐标与C点一样， 又∵D点在直线上， 当时，， 即， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （3）①12；②或 【解析】 【分析】（1）代入C点坐标即可得出k值确定直线的解析式，进而求出A点坐标即可； （2）求出A、D点坐标，根据，，即可证四边形是平行四边形； （3）①作于H，设出H点的坐标，根据勾股定理计算出的长度，根据运动时间求出的长度即可确定的面积； ②当时，当时，再根据P、Q的位置分情况计算出结果即可． 【小问1详解】 解：∵直线经过点， ∴， 解得， 即直线的解析式为， 当时，， ∴， 故答案为：，5，0； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①作于H，如图所示： ∵H点在直线上， ∴设H点的坐标为， ∴， 由勾股定理，得， 即， 解得或8（舍去）， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， 故答案为：12； ②当时，， ∵轴， ∴轴， ∴此时点P的横坐标为3， ∵点P在直线， ∴把代入得， 此时点P的坐标为， ， ∴， ∴， 设此时点Q的坐标为， ∴， 解得：，负值舍去， 此时点Q的坐标为：； 当时， 根据解析①可知，此时点P的坐标为， ∴， ∴， ∴， 设此时点Q的坐标为， ∴， 解得：，负值舍去， 此时点Q的坐标为：； 综上分析可知，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，勾股定理，平行四边形的判定，坐标与图形，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形的判定，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年数学北师大 一、选择题（共10 小题、满分 30 分，每小题 3 分） 1. 剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，鱼与“余”同音，寓意生活富裕，年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题，以下关于鱼的剪纸中，是轴对称图形， 但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为为（ ） A. B. C. D. 3. 不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式从左到右的变形，是因式分解且正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将沿方向平移至，已知，则平移的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 6. 如图，点在内，且到三边的距离相等，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ） A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 8. 如图，这是庆阳市某路口的斑马线，路段横穿双向车道，其中米，在人行绿灯亮时，小刚共用时10秒通过，其中通过段的速度是通过段的倍，求小刚通过段的速度，设小刚通过段的速度为x米/秒，则根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，用直尺和圆规作图的痕迹如图所示．若，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 10. 如图，中，，将逆时针旋转，得到，交于．当时，点恰好落在上，此时等于（ ） A. 110° B. 100° C. 90° D. 80° 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 因式分解：___________． 12. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ______． 13. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是______． 14. 如图，△ABC的周长为19, 点D、E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N ，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为____． 15. 如图，在平行四边形中，，，，连结，将沿折叠得到，交于点E，则的长度是 ___________________． 三、解答题（共有7小题，满分 75 分） 16. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，为三个顶点分别是，，． （1）画出向左平移5个单位得到的； （2）画出绕点C逆时针旋转后得到的； （3）在平面上存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的所有点D的坐标． 18. 如图，在平行四边形中，，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 19. 2025年4月8日，羽毛球亚锦赛在中国浙江省宁波市隆重开幕举行，某商场在亚锦赛开始之前，购进两种亚锦赛吉祥物进行售卖，已知用4000元购买种吉祥物与用6000元购买种吉祥物的数量相同，且种吉祥物的单价比种吉祥物的单价多50元． （1）求两种吉祥物的单价． （2）由于销售火爆，第一批吉祥物很快就售光了，商场决定再购两种吉祥物共100个，且总价不能超过11500元，问种吉祥物至少可购买多少个？ 20. 如图所示，在同一个坐标系中一次函数和的图象，分别与轴交于点、，两直线交于点．已知点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题： （1）关于x的方程的解是___；关于的不等式的解集是______． （2）直接写出关于x的不等式组解集是______． （3）若点坐标为， ①关于的不等式的解集是______； ②的面积为______． ③在轴上找点，使得的值最大，则点坐标为______． 21. 综合与实践 八年级同学在数学老师的指导下，以“三角形的旋转”为主题，开展如下数学探究活动： （1）如图1，为等边三角形，将绕点A旋转，得到，连接，则　 　．若F是的中点，连接，则与的数量关系是　 　． 迁移探究： （2）如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点A逆时针旋转，得到，求出此时的度数及与的数量关系． 拓展应用： （3）如图3，在中， ，，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，求的长． 22. 如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点．线段平行于轴，交直线于点，连接，． （1）填空： ，点A的坐标是（ ， ）； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）动点P从点O出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止：动点Q同时从点D出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒． ①当时，的面积是 ； ②当为直角三角形时，请直接写出此时点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $