第四章 三角函数（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 基础模块上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章三角函数的单元测试卷，主要考查三角函数图像和性质、弧度制、同角三角函数的基本关系、诱导公式、已知三角函数值求角。 第四章 三角函数 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 一条射线绕着端点按逆时针方向旋转300°所形成的角是（    ）. A．60° B．-60° C．300° D．-300° 【答案】C 【分析】本题主要考查三角函数中角的概念及分类。 【详解】“旋转形成的角”，通常指的是旋转的角度本身，而不是两个射线之间的最小角。例如，如果旋转360°，形成的角是360°，即使两个射线重合。所以在这里，逆时针旋转300°，形成的角是300°。 故选：C 2．角1405°的终边在第（ ）象限. A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】本题考查的是象限角，先进行计算，再判断其所在象限。 【详解】角1405°大于360°，因此需要将其转换为0°到360°之间的等效角。计算1405°除以360°的余数：1405° ÷ 360° = 3 × 360° = 1080°，余数1405° - 1080° = 325°。 325°位于270°到360°之间，因此终边在第四象限。故D选项正确 故选：D. 3．函数y=sin x(≤x≤)的值域是（ ） A．[-1,1] B．[1,] C．[,] D．[,1] 【答案】D 【分析】本题考察的是三角函数中正弦函数求值域，在给定定义域范围内求值域。 【详解】根据正弦函数的有界性，-1≤y=sin x≤1，但因为定义域为(≤x≤)，所以，当x=时，y=sin x=sin= ；当x=时，y=sin x=sin= ,所以y=sin x的最小值为，最大值为1，故D选项正确； 故选：D 4. 函数y=2-sin x的最大值及取得最大值时x的值是（ ） A．y=3，x= B．y=1，x=+2kπ(k∈Z) C．y=3，x=-+2kπ(k∈Z) D．y=3，x=+2kπ(k∈Z) 【答案】C 【分析】本题考查三角函数中正弦函数求最值。 【详解】因为sin x是有界函数，值域为[-1,1],当x=-+2kπ时，sin x取最小值，为-1，y=2-sin x取最大值为y=2-(-1)=3,故C选项正确. 故选：C 5. 下列说法中正确的是（ ） A． 若sin x=sin θ，则x=θ+2kπ(k∈Z) B． 若sin x=1，则x=2kπ+(k∈Z) C． 若sin x=0，则x=2kπ(k∈Z) D． 若sin x=，且x∈[0,2π),则x= 【答案】B 【分析】本题考查的是正弦函数的性质。 【详解】对于选项 A：若sin x=sin θ，根据正弦函数的性质，两个角的正弦值相等时，它们的终边位置相同或关于y 轴对称。所以x=θ+2kπ或者x=π−θ+2kπ(k∈Z)，故A选项错误； 对于选项B：若sin x=1，则考察的是正弦函数的最大值所对应的x值，当x=2kπ+(k∈Z)时，sin x取最大值1。故选项B正确； 对于选项C：若sin x=0，正弦函数 sin x=0的解为 x=kπ（其中 k∈Z)，即所有整数倍的 π。给定的结论 x=2kπ只包括了偶数倍的 π，而漏掉了奇数倍的 （如 x=π,−π,3π等），因此是不完整的。故C选项错误； 对于选项D：若sin x=，且x∈[0,2π),则x=或者，故D选项错误。 故选：B 6. 与570°终边相同的角为（ ） A．210° B．150° C．120° D．240° 【答案】A 【分析】本题考查的是终边相同的角的集合。 【详解】与570°终边相同的角的集合是S={βIβ=570°+k·360°,k∈Z} 当k=-1时，570°-360°=210° 当k=0时，570°+0°=560°所以A选项正确。 故选：A 7. 已知角α的终边经过点P(3,-4)，则2sinα=（ ） A． B．- C． D．- 【答案】B 【分析】本题考察的是给定角的终边经过的点，求正弦值。 【详解】已知角α的终边经过点P(3, -4)，则点P到原点的距离r为： r==5，正弦值sin α为sin α== ,​因此，2sinα=2×()=​ 故2sinα的值为. 故选：B 8. 已知扇形的圆心角是α(α>0)，半径为R，若α=60°，R=10cm，则扇形的弧长l=（ ） A．cm B．cm C．60cm D．600cm 【答案】B 【分析】本题考查的是扇形的弧长公式，l=α⋅R，α 以弧度为单位。 【详解】因为扇形的弧长公式为 l=α⋅R，其中 α 以弧度为单位。给定 α=60∘，需转换为弧度：60∘=60×=rad,半径 R=10 cm,则弧长为：l=×10= cm 因此，扇形的弧长 l= cm，故选项B正确。 故选：B 9. 已知sin α+2cos α=，sin α -cos α=，则tan α=（ ） A． B． C．- D．- 【答案】D 【分析】本题考察的是同角三角函数基本公式，加上运用二元一次方程求解。 【详解】已知sin α+2cos α=，sin α -cos α=，组成二元一次方程，解得sin α=，,cos α=-，所以，tan α=-,故选项D正确。 故选：D. 10. 已知sin α= ，α∈(,π)，则cos(π - α)=（ ） A．- B． C． D．- 【答案】C 【分析】本题考查的是同角三角函数基本公式,sin2x+cos2x=1及诱导公式四。 【详解】因为sin α=，sin2α+cos2α=1，所以cos α=±==±,又因为α∈(,π)，所以在第二象限，所以cos α=-，所以cos(π - α)=-cos α=-(-)= 故选：C 11. 函数y=sin(x+)的最大值是（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查正弦函数最值及图像平移。 【详解】函数y=sin(x+)实际上是对y=sin x进行平移，使其向左平移了，由于正弦函数的最大值为1，所以函数y=sin(x+)的一个周期内的最大值为1，故C选项正确。 故选：C 12. 弧度等于（ ） A．0° B． 90° C．270° D．360° 【答案】C 【分析】本题考查的是,弧度制转角度制。 【详解】弧度×=270°，故选项C正确 故选：C. 13. sin230°+cos230°=（ ） A．- B．1 C. D. 【答案】B 【分析】本题主要考查同角三角函数基本公式,sin2x+cos2x=1。 【详解】根据公式，sin2x+cos2x=1得sin230°+cos230°=1，所以B选项正确。 故选：B. 14. 已知sin x=m-3,则m的取值范围（ ） A． (2,4) B． [2,4] C． [-1,2] D．  (-1,2) 【答案】B 【分析】本题考察的正弦函数的值域[-1,1],把参数带入，求得参数值。 【详解】因为正弦函数的值域[-1,1]，所以-1≤m-3≤1，解得2≤m≤4，选项B正确。 故选：B. 15. 已知函数f(x)=sin2x+a sin x+cos2x,且f()=2,则常数a=（ ） A．- B．-1 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考察的是同角三角函数基本公式,sin2x+cos2x=1，给定函数值求参数。 【详解】因为sin2x+cos2x=1，所以化简f(x)=sin2x+a sin x+cos2x=1+a sin x，又因为f()=2，所以f(x)=1+a sin=2，a· =1，解得a=,故选项D正确。 故选：D 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．化简=______。 【答案】cos α 【分析】本题主要考查根据三角函数的诱导公式进行化简。 【详解】====cos α 17. 已知sin α - cos α=-,则sin α cos α=______。 【答案】 【分析】本题主要考查同角三角函数基本公式,sin2x+cos2x=1,运用完全平方公式进行计算。 【详解】sin α - cos α=-，进行完全平方公式计算，(sin α - cos α)2=(-)2=,展开得，sin2α+cos2α-2sin α cos α=，即1-2sin α cos α=, sin α cos α=. 18.函数y=3cos(2x+)-1的最小正周期是______，最大值是______。 【答案】π;2 【分析】本题考察余弦型函数的最小正周期和最值。 【详解】余弦型函数y=Acos(ωx+φ),由A引起最值变化，最大值为│A│,所以y=3cos(2x+)最大值为3，则y=3cos(2x+)-1的最大值为2；由ω引起周期变化，最小正周期T=，所以y=3cos(2x+)-1的最小正周期为T==π。 19. 已知m-3sin α=2,则m的取值范围是______。 【答案】[-1,5] 【分析】本题主要考查正弦函数的值域[-1,1],把参数带入，求得参数值 【详解】因为正弦函数sin α的值域为[-1,1]，化简m-3sin α=2，sin α=,那么-1≤≤1，解得-1≤m≤5. 20.已知cos(π+α)=,且α∈(π,2π),则sin α的值是______。 【答案】- 【分析】本题主要考查三角函数的诱导公式，再根据同角三角函数基本关系式求得sin α值。 【详解】cos(π+α)=，根据诱导公式三，得，cos(π+α)=-cos α=,所以cos α=-，因为α∈(π,2π)，所以在第三象限，那么sin α=-=-=- 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知sin α=,且α是第二象限的角，求cos α和tan α. 【答案】;- 【分析】本题主要考查同角三角函数基本关系式sin2 α+cos2 α=1及tan α=。 【详解】因为sin2 α+cos2 α=1，sin α=,又因为α是第二象限角，所以cos α<0, cos α=-=-=-，所以tan α===- 22．已知tan(π-α)=-5,求的值. 【答案】17 【分析】本题考查的是三角函数的诱导公式及同角三角函数基本关系式，tan α=。 【详解】由tan(π-α)=-5,解得，tan α=5，则有====17. 23．设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=. （1） 求φ； （2） 求函数y=f(x)的单调递增区间. 【答案】(1)-；(2)[+kπ,+kπ],k∈Z. 【分析】本题主要考查含参数的正弦函数的对称轴，及函数的单调区间。 【详解】（1）因为函数f(x)=sin(2x+φ)图像的一条对称轴是直线x=，正弦函数的对称轴为x=kπ+(k∈Z),所以2·+φ=kπ+，可得φ=kπ+,(k∈Z)，又因为(-π<φ<0)，所以当k=-1时，φ=-，符合题意。 （2）由（1）得，f(x)=sin(2x-)，令-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，因此，y=f(x)的单调递增区间为[+kπ,+kπ],k∈Z. 24．求函数f(x)=2-3cos x+cos2x的最小值. 【答案】- 【分析】本题考察的是利用换元法求三角函数最值，把cos x看做一个整体，可化作求函数在区间上的最值问题，要注意三角函数的有界性。 【详解】令cos x=t，所以y=2-3cos x+cos2x=2-3t+t2=(t-3)2-，因为余弦函数的有界性，所以-1≤t≤1,当t<3时，y=(t-3)2-单调递减，所以当t=1时，y=(t-3)2-取得最小值为-，即f(x)=2-3cos x+cos2x的最小值为-. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第四章三角函数的单元测试卷，主要考查三角函数图像和性质、弧度制、同角三角函数的基本关系、诱导公式、已知三角函数值求角。 第四章 三角函数 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．一条射线绕着端点按逆时针方向旋转300°所形成的角是（    ）. A．60° B．-60° C．300° D．-300° 2．角1405°的终边在第（ ）象限. A．一 B．二 C．三 D．四 3．函数y=sin x(≤x≤)的值域是（ ） A．[-1,1] B．[1,] C．[,] D．[,1] 4. 函数y=2-sin x的最大值及取得最大值时x的值是（ ） A．y=3，x= B．y=1，x=+2kπ(k∈Z) C．y=3，x=-+2kπ(k∈Z) D．y=3，x=+2kπ(k∈Z) 5. 下列说法中正确的是（ ） A． 若sin x=sin θ，则x=θ+2kπ(k∈Z) B． 若sin x=1，则x=2kπ+(k∈Z) C． 若sin x=0，则x=2kπ(k∈Z) D． 若sin x=，则x∈[0,2π),则x= 6. 与570°终边相同的角为（ ） A．210° B．150° C．120° D．240° 7. 已知角α的终边经过点P(3,-4)，则2sinα=（ ） A． B．- C． D．- 8. 已知扇形的圆心角是α(α>0)，半径为R，若α=60°，R=10cm，则扇形的弧长l=（ ） A．cm B．cm C．60cm D．600cm 9. 已知sin α+2cos α=，sin α -cos α=，则tan α=（ ） A． B． C．- D．- 10. 已知sin α= ，α∈(,π)，则cos(π - α)=（ ） A．- B． C． D．- 11. 函数y=sin(x+)的最大值是（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 12. 弧度等于（ ） A．0° B． 90° C．270° D．360° 13. sin230°+cos230°=（ ） A．- B．1 C． D. 14. 已知sin x=m-3,则m的取值范围（ ） A． (2,4) B． [2,4] C． [-1,2] D．  (-1,2) 15.已知函数f(x)=sin2x+a sin x+cos2x,且f()=2,,则常数a=（ ） A．- B．-1 C．1 D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．化简=______。 17. 已知sin α - cos α=-,则sin α cos α=______。 18. 函数y=3cos(2x+)-1的最小正周期是______，最大值是______。 19. 已知m-3sin α=2,则m的取值范围是______。 20. 已知cos(π+α)=,且α∈(π,2π),则sin α的值是 ______。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知sin α=,且α是第二象限的角，求cos α和tan α. 22. 已知tan(π-α)=-5,求的值. 23. 设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=. （1） 求φ； （2） 求函数y=f(x)的单调递增区间. 24．求函数f(x)=2-3cos x+cos2x的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$