1.1正数和负数讲义　2025—2026学年人教版数学七年级上册

第一章 有理数 第一节 正数和负数 01体系构建·思维可视 3 02核心突破·靶向攻坚 4 知识点1正数与负数 4 【易错提醒】 例题1 正数与负数的定义 知识点2相反意义的量 6 例题1正负数的定义、相反意义的量 知识点3 正负数的实际应用 11 例题1正负数的实际应用 知识点4 “0”的意义 【易错提醒】 25 例题1有理数的分类 03拓展培优 26 04课堂检测 27 知识思维导图 课程学习目标 概念理解： 1.准确掌握正数、负数的定义，能清晰区分正数和负数。 2.明确 0 既不是正数也不是负数，理解其作为正负数分界点的数学意义。 表示方法： 1. 熟练掌握正数和负数的书写规范，知道正数可省略 “+” 号，负数必须带 “-” 号。 2. 能正确读写任意给定的正数、负数及 0。 实际应用： 1. 能结合具体生活情境（如温度、海拔、收入支出、向东向西行走等），用正数和负数表示具有相反意义的量。 2. 明确每个情境中正负所代表的具体含义，解决简单的实际表征问题。 范围认知： 1. 了解正数和负数在数学体系中的基本范畴 2. 知道正数包括正整数、正分数（正小数），负数包括负整数、负分数（负小数） 3. 能举例说明不同类型的正负数，建立对有理数初步的分类意识。 【新知学习】 知识点1：正数和负数 1）正数：像，，+50这样大于的数叫做 ，正数都大于。 2）负数：像，，这样在正数前加上符号“－”（负）号的数叫做 ，负数都小于。 3）符号：一个数前面的“ ”，“ ”号叫做它的符号。 【易错提醒】 1.掌握正数和负数的正确书写格式，知道正数可带 “+” 号也可不带，负数必须带 “-” 号。 2.能规范书写任意给定相反意义的量对应的正负数（如收入 200 元记为 + 200 元或 200 元，支出 80 元记为 - 80 元），避免出现符号遗漏或错写的问题。 例题1：（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）四个数、、、，其中负数是（   ） A．6 B． C． D．0.7 【变式训练1】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）下列各数是负数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列数中为负数的是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式训练3】（24-25七年级上·河北唐山·期中）下列各数中：，，，，，负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 知识点二：具有相反意义的量 一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用 来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用 来表示． 比如：用正数表示向北，那么向南5km可以用负数表示为－5km。 例题1：（2025·云南楚雄·三模）中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．若公元2025年记作年，则公元前1000年可记作（   ） A．1000年 B．年 C．1025年 D．年 【变式训练1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数．若收入元记作元，则支出元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式训练2】（2025·四川成都·二模）如果收入元记作元，那么支出元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 知识点03正负数的实际应用 一方面能根据正方向规定，将实际量转化为正负数；另一方面能根据给出的正负数，反向解读其实际意义，同时能在简单复合场景中，分别按对应正方向规范表示，实现正负数与实际情境的精准对接。 例题1：（24-25七年级上·四川自贡·期中）肥料口袋上标有，以下哪个重量（单位）是合格的（  ） A．52 B． C．49.25 D．50.12 【变式训练1】（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，这是某零件的设计图纸．由此图纸可知，该零件合格的最大长度是 ． 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）一个月内，李明体重增加，张华体重减少，刘伟体重无变化，写出他们这个月的体重增长值． （2）四种品牌的手机今年第二季度的销售量与第一季度相比，变化率如下：A品牌减少，B品牌增长，C品牌增长，D品牌减少，写出今年这些品牌的手机销售量的增长率． 知识点04 “0”的意义 1） 既不是正数，也不是负数； 2）0是 与 的分界； 3）0是 ； 4）0可以表示没有，比如文具盒中有0支铅笔，表示没有铅笔； 5）0可以是一个数，比如是一个确定的温度； 6）0有时也作为基准，比如海拔高度为0m表示的是海平面的平均高度。 【易错提醒】 1 禁止将 0 归为正数或负数，尤其注意避免 “带‘+’号的 0 是正数”“比负数大的就是正数”（如 0 比 - 1 大，但 0 不是正数）的误区； 2 区分 “0 的实际意义” 与 “数的大小关系”，如 “0℃比 - 5℃热”，但不能说 “0℃是正数温度”；③ 书写时不可省略 “0” 的占位作用，如表示 “支出 0 元” 不能写成 “支出元”，避免因 0 的缺失导致意义模糊。 例题1：（七年级上·广西钦州·期末）0是（    ） A．负数 B．分数 C．正数 D．整数 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列选项中，所填的数正确的是（    ） A．正数集合： B．负数集合： C．分数集合： D．整数集合： 【拓展培优】 一、知识深化：突破基础认知边界​ 1.正负数与数的分类整合​ 结合整数、分数（小数）的概念，理解 “正数包含正整数、正分数（如 + 3、+5.2、+27），负数包含负整数、负分数（如 - 1、-0.8、-43​ ）”，能准确判断任意有理数（如 - 3.14、+109、0）所属类别，避免将 “小数是否属于正负数”“分数能否用正负表示” 等问题混淆，建立 “有理数 = 正数 + 0 + 负数” 的完整数系框架。​ 2.“0” 的特殊情境延伸​ 超越基础情境，分析复杂场景中 0 的意义：如在数轴上，0 是原点，既是正方向的起点，也是负方向的起点；在误差范围中，“零件尺寸误差 ±0.5mm” 表示实际尺寸与标准尺寸的偏差不超过 0.5mm，0 表示 “完全符合标准”；在增长率中，“产量增长率为 0%” 表示产量与上期持平，不是 “没有产量”。通过此类案例，深化对 0 作为 “基准参照” 的理解，打破单一情境认知局限。​ 二、综合应用：跨场景问题解决​ 1.多维度相反意义量的表示​ 面对包含多个相反意义量的复杂情境，能自主建立 “正方向体系” 并规范表示。例如：​ 某物流公司一天内的运输情况：向东行驶 30km 记为 + 30km，向西行驶 15km 记为 - 15km；装载货物 2 吨记为 + 2 吨，卸载货物 1.5 吨记为 - 1.5 吨。要求分别表示 “向西行驶 20km 并装载 1 吨货物”“向东行驶 10km 并卸载 0.8 吨货物” 的记录，培养多变量下的正负数应用能力。​ 某股票一周内的涨跌情况：以周一开盘价为基准，上涨记为正，下跌记为负。已知周一涨 2 元、周二跌 1.5 元、周三涨 0.8 元、周四跌 0.3 元、周五涨 1 元，能计算周五收盘价相对周一开盘价的涨跌结果，实现正负数的初步加减运算渗透与实际问题结合。​ 2.正负数与生活数据的分析​ 结合统计数据，用正负数解读信息并解决问题：​ 某小组 6 名同学的身高与平均身高（160cm）的差值分别为：+3cm、-2cm、0cm、+5cm、-1cm、+1cm。能通过差值判断每名同学的实际身高（如 + 3cm 对应 163cm），并计算身高最高与最低的同学相差多少厘米，将正负数与 “差值”“比较大小” 结合，提升数据解读与计算能力。​ 某水库一周内的水位变化（以警戒水位为基准，上升记为正，下降记为负）：+0.2m、-0.1m、-0.3m、+0.1m、0m、-0.2m、+0.1m。能判断每天水位是否超出警戒水位，计算周末水位相对周一的变化情况，培养用正负数分析趋势的能力。​ 三、思维拓展：抽象与逻辑推理​ 1.正负数的抽象符号表示​ 摆脱具体数值，用字母表示正负数并推理：​ 已知 a 是正数，b 是负数，判断下列式子的结果是正数、负数还是无法确定：①a+b；②a-b；③-b（提示：a-b=a+(-b)，-b 是正数）。通过此类问题，引导学生从 “具体数值计算” 转向 “符号性质分析”，培养抽象思维。​ 规定 “⊕” 运算：若 x 为正数，则 x⊕=x-1；若 x 为负数，则 x⊕=x+1；若 x=0，则 x⊕=0。计算 (+3)⊕、(-2)⊕、(0)⊕的结果，并判断 “(x⊕)⊕是否等于 x”，通过自定义运算，深化对正负数分类处理的逻辑认知。​ 2.正负数的实际决策应用​ 结合优化问题，用正负数辅助决策：​ 某商店进货两种商品，A 商品每件盈利 5 元（记为 + 5 元），B 商品每件亏损 3 元（记为 - 3 元）。若某天卖出 A 商品 20 件、B 商品 15 件，能计算当天总盈利；若要实现当天总盈利不低于 80 元，在卖出 A 商品 18 件的情况下，最少需卖出 B 商品多少件（结果取整数），将正负数与不等式（或方程）结合，提升实际问题解决的严谨性。​ 某运动员在跳水比赛中，6 名裁判的打分（去掉一个最高分和一个最低分后取平均分）为：9.2 分、8.8 分、9.0 分、8.9 分、9.1 分、8.7 分。若规定 “与平均分的差值超过 0.2 分的打分视为无效”，需重新计算有效打分的平均分，用正负数判断数据有效性，培养数据筛选与分析的思维。​ 四、培优总结与提升建议​ 1.核心能力聚焦：通过拓展内容，重点提升 “正负数与其他数学概念的整合能力”“复杂情境下的符号表示与推理能力”“用正负数解决实际决策问题的能力”，突破基础学习中 “单一情境、简单应用” 的局限。 2.练习方向建议：可尝试寻找生活中的多维度数据（如家庭收支与消费分类、气温变化与穿衣建议等），用正负数进行表示、分析与决策，将数学知识与生活深度融合；同时，适当接触 “正负数与数轴”“正负数初步运算” 的衔接内容，为后续有理数学习铺垫。​ 3.易错点再提醒：在拓展应用中，需避免 “忽略正方向的统一规定”（如同一问题中同时用两种正方向表示相反意义量）、“混淆‘0’在不同运算或情境中的意义”（如盈利 0 元与亏损 0 元的一致性）、“抽象运算中符号判断错误”（如负数的相反数是正数，负数的运算需关注符号变化），培养严谨的数学思维习惯。 【典例1】 如图所示的是某古筝调音器软件的界面，已知古筝是标准音时，界面指针指向0，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．当古筝的音调低于标准音30时，该界面指针指向的数字是（   ） A． B． C．0 D．30 【变式训练1】某校七年级1至4班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，如表是实际购书情况： 班级 1班 2班 3班 4班 实际购书量（本） a 32 c 22 实际购书量与计划购书量的差值（本） b (1)直接写出___， ___； (2)根据记录的数据可知4个班实际购书共___本； (3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到15本，其中2本书免费．若每本书售价为30元，求这4个班团体购书的最低费用． 【变式训练2】下表列出了国外几个市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的点时数）如果现在的东京时间时8:00，那么北京时间是 ，伦敦的时间是 ，纽约的时间是 ． 城市 纽约 伦敦 东京 巴黎 时差/时 7 【典例2】 食品包装袋上的 “”表示这种食品的标准质量是，那么这种食品净含量最少为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】一种商品的标准价格是300元，但随着季节的变化，该商品的价格可浮动． (1)这里的含义是什么？ (2)请你算出该商品的最高价格和最低价格． (3)如果以标准价格作为参考，超过标准价格记作“”，低于标准价格记作“”，该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？ 【典例3】 把下列各数填在相应的横线上：，，，，，，，． (1)正数：______________________． (2)负数：______________________． (3)既不是正数也不是负数：___________． 【课堂检测】 一、单选题 1．负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作元，那么支出5元记作（   ） A．元 B．0元 C．元 D．元 2．如图所示的是某用户微信支付情况，表示的意思是（   ） 零钱明细 微信红包 10月25日8：21 余额 微信转账 10月25日9：01 余额 微信红包 10月25日9：29 余额 A．发出100元红包 B．收入100元 C．余额100元 D．抢到100元红包 3．我国是较早认识负数的国家，金元时期数学家李冶在算筹的个位数上用斜画一杠表示负数，如“”写成“”．下列算筹表示负数的是（    ）． A． B． C． D． 4．已知某地白昼时长的计算公式为白昼时长正午时刻日出时刻日落时刻正午时刻，通常正午时刻为当地12时．若某地某日日出时刻为6时，日落时刻为18时，次日白昼时长变长，且正午时刻不变，则下列对次日日出，日落时刻描述正确的是（   ） A．日出时刻晚于6时，日落时刻晚于18时 B．日出时刻晚于6时，日落时刻早于18时 C．日出时刻早于6时，日落时刻早于18时 D．日出时刻早于6时，日落时刻晚于18时 5．一个物体先向右移动了3米，再向左移动了9米，那么这个物体又移动了米的意思是（   ） A．物体又向右移动了3米 B．物体又向右移动了6米 C．物体又向左移动了3米 D．物体又向左移动了6米 6．在跳远测验中，合格的标准是4.00米，小明跳出了4.15米，记作米，小华跳出了3.85米，应记作（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．下列各数是负数的是（    ） A． B． C． D． 8．向东走，记为，那么走，表示（    ） A．向南走 B．向东走 C．向西走 D．向北走 二、判断题 9．负数都比0小，正数都比0大，所以负数都小于正数． ( ) 10．判断题 （1）0是自然数，也是偶数( ). （2）0可以看成是正数，也可以看成是负数( ). （3）温度就是没有温度( ). 三、填空题 11．如果收入元，记作元，那么支出元应记作 元． 12．某种零件，标明要求是（表示直径，单位：毫米），有一个零件的直径为20.01mm，则这个零件 ．（填“合格”或“不合格”） 13．已知一辆汽车向南行驶记作，则该汽车向北行驶记作 ，汽车停留原地不动记作 ． 14．在“，35，，，，0，，”这8个数中，正数有 个，负数有 个． 15．中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．成都实行的“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为次，若在平时训练时小成把次记为，则应把次记为 ． 四、解答题 16．下列各数中哪些是正数，哪些是负数？ ，，，，0，，，，，，． 17．如图，一名跳水运动员参加跳台的跳水比赛（跳台是指跳台离水面的高度为），这名运动员举高手臂时身长为，跳水池池深为（规定向上为正）． (1)若以水面为基准，则这名运动员指尖的高度及池底的深度分别如何表示？ (2)若以跳台为基准，则池底的深度与水面的高度分别如何表示？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 有理数 第一节 正数和负数 01体系构建·思维可视 3 02核心突破·靶向攻坚 4 知识点1正数与负数 4 【易错提醒】 例题1 正数与负数的定义 知识点2相反意义的量 6 例题1正负数的定义、相反意义的量 知识点3 正负数的实际应用 11 例题1正负数的实际应用 知识点4 “0”的意义 【易错提醒】 25 例题1有理数的分类 03拓展培优 26 04课堂检测 27 知识思维导图 课程学习目标 概念理解： 1.准确掌握正数、负数的定义，能清晰区分正数和负数。 2.明确 0 既不是正数也不是负数，理解其作为正负数分界点的数学意义。 表示方法： 1. 熟练掌握正数和负数的书写规范，知道正数可省略 “+” 号，负数必须带 “-” 号。 2. 能正确读写任意给定的正数、负数及 0。 实际应用： 1. 能结合具体生活情境（如温度、海拔、收入支出、向东向西行走等），用正数和负数表示具有相反意义的量。 2. 明确每个情境中正负所代表的具体含义，解决简单的实际表征问题。 范围认知： 1. 了解正数和负数在数学体系中的基本范畴 2. 知道正数包括正整数、正分数（正小数），负数包括负整数、负分数（负小数） 3. 能举例说明不同类型的正负数，建立对有理数初步的分类意识。 【新知学习】 知识点1：正数和负数 1）正数：像，，+50这样大于的数叫做正数，正数都大于。 2）负数：像，，这样在正数前加上符号“－”（负）号的数叫做负数，负数都小于。 3）符号：一个数前面的“+”，“－”号叫做它的符号。 【易错提醒】 1.掌握正数和负数的正确书写格式，知道正数可带 “+” 号也可不带，负数必须带 “-” 号。 2.能规范书写任意给定相反意义的量对应的正负数（如收入 200 元记为 + 200 元或 200 元，支出 80 元记为 - 80 元），避免出现符号遗漏或错写的问题。 例题1：（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）四个数、、、，其中负数是（   ） A．6 B． C． D．0.7 【答案】C 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，根据正数和负数的定义判断即可． 【详解】解：A．，是正数，不符合题意； B．，是正数，不符合题意； C．，是负数，符合题意； D．，是正数，不符合题意； 故选：C． 【变式训练1】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）下列各数是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了负数的定义，熟练掌握负数的定义是解答本题的关键． 根据负数的定义解答即可． 【详解】解：是负数的是， 故选：A． 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列数中为负数的是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了负数的定义，根据负数的定义进行判断，即可求解． 【详解】解：是负数， 既不是正数也不不是负数，，是正数； 故选：A． 【变式训练3】（24-25七年级上·河北唐山·期中）下列各数中：，，，，，负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，掌握正负数的定义是解决问题的关键．根据正数和负数的定义判断即可，注意：零既不是正数，也不是负数． 【详解】解：在，，，，中，负数有，，共个， 故选：B． 知识点二：具有相反意义的量 一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 比如：用正数表示向北，那么向南5km可以用负数表示为－5km。 例题1：（2025·云南楚雄·三模）中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．若公元2025年记作年，则公元前1000年可记作（   ） A．1000年 B．年 C．1025年 D．年 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】正负数的定义、相反意义的量 【分析】本题考查正负数的应用，根据正负数可以表示具有相反意义的量求解即可． 【详解】解：∵公元2025年记作年， ∴公元前1000年可记作年， 故选：B． 【变式训练1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数．若收入元记作元，则支出元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】正负数的定义、相反意义的量 【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键．在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据题意，收入与支出为相反意义的量，若收入记为正，则支出应记为负． 【详解】解：∵收入元记作元， ∴支出元记作元． 故选：B． 【变式训练2】（2025·四川成都·二模）如果收入元记作元，那么支出元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查的知识点是相反意义的量，解题关键是熟练掌握“相反意义的量的表示”． 根据正负数的含义，可得：收入记住“”，则支出记作“”，据此求解即可． 【详解】解：收入元记作元， 支出元记作元． 故选：． 知识点03正负数的实际应用 一方面能根据正方向规定，将实际量转化为正负数；另一方面能根据给出的正负数，反向解读其实际意义，同时能在简单复合场景中，分别按对应正方向规范表示，实现正负数与实际情境的精准对接。 例题1：（24-25七年级上·四川自贡·期中）肥料口袋上标有，以下哪个重量（单位）是合格的（  ） A．52 B． C．49.25 D．50.12 【答案】D 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数在生活中的应用，有理数的加法和减法，熟悉相关性质是解题的关键． 根据有理数的加法和减法，可得合格范围，根据有理数的大小比较，可得答案． 【详解】解：一种面粉包装袋上的质量标识为“”，可知合格的范围是到， ，故不合格； ，故不合格； ，所以C 不合格； ，所以D合格； 故选：D． 【变式训练1】（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，这是某零件的设计图纸．由此图纸可知，该零件合格的最大长度是 ． 【答案】 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题主要考查正负数的实际应用，从图上可以看出合格尺寸最小应是：，最大应是，据此解答即可． 【详解】解：从图上可以看出合格尺寸最小应是：，最大应是， 故答案为：． 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）一个月内，李明体重增加，张华体重减少，刘伟体重无变化，写出他们这个月的体重增长值． （2）四种品牌的手机今年第二季度的销售量与第一季度相比，变化率如下：A品牌减少，B品牌增长，C品牌增长，D品牌减少，写出今年这些品牌的手机销售量的增长率． 【答案】（1），，；（2）A品牌，B品牌，C品牌，D品牌 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的实际应用，解题的关键是理解相反意义的量． （1）将增加量记作正数，减少量记作负数，无变化记作零即可； （2）将增长记作正数，减少记作负数，分别表示出每个国家的变化情况即可． 【详解】解：（1）这个月李明体重增长，张华体重增长，刘伟体重增长． （2）四种品牌的手机今年第二季度销售量的增长率是： A品牌，B品牌，C品牌，D品牌． 知识点04 “0”的意义 1）0既不是正数，也不是负数； 2）0是正数与负数的分界； 3）0是自然数； 4）0可以表示没有，比如文具盒中有0支铅笔，表示没有铅笔； 5）0可以是一个数，比如是一个确定的温度； 6）0有时也作为基准，比如海拔高度为0m表示的是海平面的平均高度。 【易错提醒】 1 禁止将 0 归为正数或负数，尤其注意避免 “带‘+’号的 0 是正数”“比负数大的就是正数”（如 0 比 - 1 大，但 0 不是正数）的误区； 2 区分 “0 的实际意义” 与 “数的大小关系”，如 “0℃比 - 5℃热”，但不能说 “0℃是正数温度”；③ 书写时不可省略 “0” 的占位作用，如表示 “支出 0 元” 不能写成 “支出元”，避免因 0 的缺失导致意义模糊。 例题1：（七年级上·广西钦州·期末）0是（    ） A．负数 B．分数 C．正数 D．整数 【答案】D 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查有理数的分类，根据0既不是正数也不是负数，是整数，进行判断即可． 【详解】解：0是整数； 故选D． 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列选项中，所填的数正确的是（    ） A．正数集合： B．负数集合： C．分数集合： D．整数集合： 【答案】A 【知识点】有理数的分类 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．根据有理数的分类方法进行逐一判断即可． 【详解】解：A、2，1，5，都是正数，故此选项符合题意； B、0不是负数，故此选项不符合题意； C、5是整数，故此选项不符合题意； D、是分数，不是整数，故此选项不符合题意． 故选：A． 【拓展培优】 一、知识深化：突破基础认知边界​ 1.正负数与数的分类整合​ 结合整数、分数（小数）的概念，理解 “正数包含正整数、正分数（如 + 3、+5.2、+27），负数包含负整数、负分数（如 - 1、-0.8、-43​ ）”，能准确判断任意有理数（如 - 3.14、+109、0）所属类别，避免将 “小数是否属于正负数”“分数能否用正负表示” 等问题混淆，建立 “有理数 = 正数 + 0 + 负数” 的完整数系框架。​ 2.“0” 的特殊情境延伸​ 超越基础情境，分析复杂场景中 0 的意义：如在数轴上，0 是原点，既是正方向的起点，也是负方向的起点；在误差范围中，“零件尺寸误差 ±0.5mm” 表示实际尺寸与标准尺寸的偏差不超过 0.5mm，0 表示 “完全符合标准”；在增长率中，“产量增长率为 0%” 表示产量与上期持平，不是 “没有产量”。通过此类案例，深化对 0 作为 “基准参照” 的理解，打破单一情境认知局限。​ 二、综合应用：跨场景问题解决​ 1.多维度相反意义量的表示​ 面对包含多个相反意义量的复杂情境，能自主建立 “正方向体系” 并规范表示。例如：​ 某物流公司一天内的运输情况：向东行驶 30km 记为 + 30km，向西行驶 15km 记为 - 15km；装载货物 2 吨记为 + 2 吨，卸载货物 1.5 吨记为 - 1.5 吨。要求分别表示 “向西行驶 20km 并装载 1 吨货物”“向东行驶 10km 并卸载 0.8 吨货物” 的记录，培养多变量下的正负数应用能力。​ 某股票一周内的涨跌情况：以周一开盘价为基准，上涨记为正，下跌记为负。已知周一涨 2 元、周二跌 1.5 元、周三涨 0.8 元、周四跌 0.3 元、周五涨 1 元，能计算周五收盘价相对周一开盘价的涨跌结果，实现正负数的初步加减运算渗透与实际问题结合。​ 2.正负数与生活数据的分析​ 结合统计数据，用正负数解读信息并解决问题：​ 某小组 6 名同学的身高与平均身高（160cm）的差值分别为：+3cm、-2cm、0cm、+5cm、-1cm、+1cm。能通过差值判断每名同学的实际身高（如 + 3cm 对应 163cm），并计算身高最高与最低的同学相差多少厘米，将正负数与 “差值”“比较大小” 结合，提升数据解读与计算能力。​ 某水库一周内的水位变化（以警戒水位为基准，上升记为正，下降记为负）：+0.2m、-0.1m、-0.3m、+0.1m、0m、-0.2m、+0.1m。能判断每天水位是否超出警戒水位，计算周末水位相对周一的变化情况，培养用正负数分析趋势的能力。​ 三、思维拓展：抽象与逻辑推理​ 1.正负数的抽象符号表示​ 摆脱具体数值，用字母表示正负数并推理：​ 已知 a 是正数，b 是负数，判断下列式子的结果是正数、负数还是无法确定：①a+b；②a-b；③-b（提示：a-b=a+(-b)，-b 是正数）。通过此类问题，引导学生从 “具体数值计算” 转向 “符号性质分析”，培养抽象思维。​ 规定 “⊕” 运算：若 x 为正数，则 x⊕=x-1；若 x 为负数，则 x⊕=x+1；若 x=0，则 x⊕=0。计算 (+3)⊕、(-2)⊕、(0)⊕的结果，并判断 “(x⊕)⊕是否等于 x”，通过自定义运算，深化对正负数分类处理的逻辑认知。​ 2.正负数的实际决策应用​ 结合优化问题，用正负数辅助决策：​ 某商店进货两种商品，A 商品每件盈利 5 元（记为 + 5 元），B 商品每件亏损 3 元（记为 - 3 元）。若某天卖出 A 商品 20 件、B 商品 15 件，能计算当天总盈利；若要实现当天总盈利不低于 80 元，在卖出 A 商品 18 件的情况下，最少需卖出 B 商品多少件（结果取整数），将正负数与不等式（或方程）结合，提升实际问题解决的严谨性。​ 某运动员在跳水比赛中，6 名裁判的打分（去掉一个最高分和一个最低分后取平均分）为：9.2 分、8.8 分、9.0 分、8.9 分、9.1 分、8.7 分。若规定 “与平均分的差值超过 0.2 分的打分视为无效”，需重新计算有效打分的平均分，用正负数判断数据有效性，培养数据筛选与分析的思维。​ 四、培优总结与提升建议​ 1.核心能力聚焦：通过拓展内容，重点提升 “正负数与其他数学概念的整合能力”“复杂情境下的符号表示与推理能力”“用正负数解决实际决策问题的能力”，突破基础学习中 “单一情境、简单应用” 的局限。 2.练习方向建议：可尝试寻找生活中的多维度数据（如家庭收支与消费分类、气温变化与穿衣建议等），用正负数进行表示、分析与决策，将数学知识与生活深度融合；同时，适当接触 “正负数与数轴”“正负数初步运算” 的衔接内容，为后续有理数学习铺垫。​ 3.易错点再提醒：在拓展应用中，需避免 “忽略正方向的统一规定”（如同一问题中同时用两种正方向表示相反意义量）、“混淆‘0’在不同运算或情境中的意义”（如盈利 0 元与亏损 0 元的一致性）、“抽象运算中符号判断错误”（如负数的相反数是正数，负数的运算需关注符号变化），培养严谨的数学思维习惯。 【典例1】 如图所示的是某古筝调音器软件的界面，已知古筝是标准音时，界面指针指向0，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．当古筝的音调低于标准音30时，该界面指针指向的数字是（   ） A． B． C．0 D．30 【答案】B 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的意义，理解题意是解题的关键． 根据指针指向的数字，结合正负数表示的含义即可求得答案． 【详解】解：古筝是标准音时，界面指针指向，指针指向表示音调偏高． 高于标准音用正数表示，则低于标准音用负数表示． 当古筝的音调低于标准音时，该界面指针指向的数字是． 故选：B 【变式训练1】某校七年级1至4班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，如表是实际购书情况： 班级 1班 2班 3班 4班 实际购书量（本） a 32 c 22 实际购书量与计划购书量的差值（本） b (1)直接写出___， ___； (2)根据记录的数据可知4个班实际购书共___本； (3)书店给出一种优惠方案：一次购买达到15本，其中2本书免费．若每本书售价为30元，求这4个班团体购书的最低费用． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】正负数的实际应用 【分析】（1）由于4班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为，即可得计划购书量为，进而可把表格补充完整； （2）把每班实际数量相加即可； （3）根据已知求出总费用即可． 【详解】（1）∵由于4班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为，即可得计划购书量为本， ∴一班实际购入本，二班实际购入数量与计划购入数量的差值本， 故答案依次为：，． （2）4个班一共购入数量为：本， 故答案为： （3）∵， ∴如果每次购买本，则可以购买次，且最后还剩本书需单独购买， ∴最低总花费为：元． 【变式训练2】下表列出了国外几个市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的点时数）如果现在的东京时间时8:00，那么北京时间是 ，伦敦的时间是 ，纽约的时间是 ． 城市 纽约 伦敦 东京 巴黎 时差/时 7 【答案】 【知识点】正负数的实际应用 【分析】根据正负数的意义，结合表格数据，即可求解． 【详解】解：∵东京与北京的时差是 则如果现在的东京时间时，那么北京时间是 ∵伦敦与北京的时差是， ∴伦敦的时间是前一天的 ∵纽约与北京的时差是 ∴纽约的时间是前一天的 【典例2】 食品包装袋上的 “”表示这种食品的标准质量是，那么这种食品净含量最少为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正负数的实际应用 【分析】净含量，表示这种食品净含量最多是，最少是，据此计算即可． 【详解】解：根据题意可知，净含量，表示这种食品净含量最多是，最少是， 故选：． 【点睛】此题考查了运用正负数概念解决问题的能力，能准确理解正数和负数是表示一对意义相反的量，明确表示的净含量范围是解答本题的关键． 【变式训练1】一种商品的标准价格是300元，但随着季节的变化，该商品的价格可浮动． (1)这里的含义是什么？ (2)请你算出该商品的最高价格和最低价格． (3)如果以标准价格作为参考，超过标准价格记作“”，低于标准价格记作“”，该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？ 【答案】(1)见解析 (2)元，元 (3)元 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数的知识． （1）“”表示加价，“”表示降价； （2）根据浮动标准，可计算出最高价格和最低价格； （3）求出所代表的价格，然后即可表示出价格的浮动范围． 【详解】（1）解：的含义是在标准价格的基础上，加价和降价的幅度不超过10%． （2）最高价格是（元）， 最低价格是（元）． （3）因为（元）， 所以该商品价格的浮动范围又可以表示为元． 【典例3】 把下列各数填在相应的横线上：，，，，，，，． (1)正数：______________________． (2)负数：______________________． (3)既不是正数也不是负数：___________． 【答案】(1)，，， (2)，， (3)0 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了正负数的定义，解题关键是明确正负数的定义，大于0的数是正数，在正数前面添一个负号的数叫负数，0既不是正数也不是负数，解题时根据正负数的概念直接判断即可． 【详解】（1）解：根据正数和负数的概念知，正数有：，，，； （2）负数有：，，； （3）既不是正数也不是负数的是0． 故答案为：（1），，，；（2），，；（3）0． 【课堂检测】 一、单选题 1．负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作元，那么支出5元记作（   ） A．元 B．0元 C．元 D．元 【答案】A 【知识点】相反意义的量 【分析】根据相反数的意义可进行求解． 【详解】解：由把收入5元记作元，可知支出5元记作元； 故选A． 2．如图所示的是某用户微信支付情况，表示的意思是（   ） 零钱明细 微信红包 10月25日8：21 余额 微信转账 10月25日9：01 余额 微信红包 10月25日9：29 余额 A．发出100元红包 B．收入100元 C．余额100元 D．抢到100元红包 【答案】A 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查正数与负数的实际意义，读懂题意，理解正数代表收到红包、负数代表发出红包，即可得到答案，理解正负数的实际意义是解决问题的关键． 【详解】解：由题图可知，正数代表收到红包、负数代表发出红包，则表示的意思是发出100元红包， 故选：A． 3．我国是较早认识负数的国家，金元时期数学家李冶在算筹的个位数上用斜画一杠表示负数，如“”写成“”．下列算筹表示负数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正负数的定义 【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案． 【详解】 解：在算筹的个位数上用斜画一杠表示负数，如“”写成“” 算筹表示负数的是选项“” 故选：B． 【点睛】此题考查了正数与负数，熟练掌握负数的意义，以及题目中表示负数的符号是解本题的关键． 4．已知某地白昼时长的计算公式为白昼时长正午时刻日出时刻日落时刻正午时刻，通常正午时刻为当地12时．若某地某日日出时刻为6时，日落时刻为18时，次日白昼时长变长，且正午时刻不变，则下列对次日日出，日落时刻描述正确的是（   ） A．日出时刻晚于6时，日落时刻晚于18时 B．日出时刻晚于6时，日落时刻早于18时 C．日出时刻早于6时，日落时刻早于18时 D．日出时刻早于6时，日落时刻晚于18时 【答案】D 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查白昼时长的计算．根据白昼时长的计算公式及正午时刻不变的条件，分析次日日出、日落时刻的变化． 【详解】解：∵当日日出时刻为6时，日落时刻为18时，正午时刻为12时， ∴白昼时长为小时． ∵次日白昼时长变长，且正午时刻仍为12时． ∴正午时刻与日出时刻的差值需减小，同时正午时刻与日落时刻的差值需增大． ∴日出时刻必须早于6时，日落时刻必须晚于18时，从而总白昼时长增加． 故选：D 5．一个物体先向右移动了3米，再向左移动了9米，那么这个物体又移动了米的意思是（   ） A．物体又向右移动了3米 B．物体又向右移动了6米 C．物体又向左移动了3米 D．物体又向左移动了6米 【答案】C 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了正数和负数可以表示具有相反意义的量．根据一个物体向右移动为正，则负数表示向左移动． 【详解】解：根据题意向右移动为正， 一个物体先向右移动了3米，再向左移动了9米，那么这个物体又移动了米的意思是物体又向左移动了3米， 故选：C． 6．在跳远测验中，合格的标准是4.00米，小明跳出了4.15米，记作米，小华跳出了3.85米，应记作（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数，根据高于标准记为正，可得低于标准记为负． 【详解】解：∵以4米为标准，小明跳出了4.15米，记作米， ∴小华跳出了3.85米，应记作米， 故选：B． 7．下列各数是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了负数的定义，熟练掌握负数的定义是解答本题的关键． 根据负数的定义解答即可． 【详解】解：是负数的是， 故选：A． 8．向东走，记为，那么走，表示（    ） A．向南走 B．向东走 C．向西走 D．向北走 【答案】C 【知识点】相反意义的量 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答即可． 【详解】解：由题意知：向东走为“+”，则向西走为“”，所以表示向西走， 故选：C． 【点睛】本题考查了具有相反意义的量，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 二、判断题 9．负数都比0小，正数都比0大，所以负数都小于正数． ( ) 【答案】√ 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了正负数的大小比较，在数轴上，从左到右的顺序就是数从小到大的顺序，根据“负数<0<正数”即可判断． 【详解】借助数轴比较数的大小，所有的负数都在0的左边，所有的正数都在0的右边，也就是负数都比0小，而正数都比0大，所以负数都小于正数，所以该说法是正确的， 故答案为：√． 10．判断题 （1）0是自然数，也是偶数( ). （2）0可以看成是正数，也可以看成是负数( ). （3）温度就是没有温度( ). 【答案】 正确 错误 错误 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了正数和负数，熟记零的意义是解题关键．根据0的意义逐一分析判断即可． 【详解】（1）0是自然数，也是偶数，故原说法正确； （2）0不是正数，也不是负数，故原说法错误； （3）温度不是没有温度，故原说法错误； 故答案为：正确，错误，错误． 三、填空题 11．如果收入元，记作元，那么支出元应记作 元． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查具有相反意义的量，熟练掌握定义是解题关键．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：如果收入元，记作元，那么支出元应记作， 故答案为：． 12．某种零件，标明要求是（表示直径，单位：毫米），有一个零件的直径为20.01mm，则这个零件 ．（填“合格”或“不合格”） 【答案】合格 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数的知识，解答本题的关键是求出合格直径范围．先求出合格直径范围，再判断即可． 【详解】解：由题意得， 合格直径，该零件的直径是，则该零件合格． 故答案为：合格． 13．已知一辆汽车向南行驶记作，则该汽车向北行驶记作 ，汽车停留原地不动记作 ． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】根据正数和负数表示具有相反意义的量，向南记作正，向北则记作负，正确表示即可． 【详解】∵一辆汽车向南行驶记作， ∴向北则记为负， 该汽车向北行驶记作，汽车停留原地不动记作， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了正数和负数，掌握用正数与负数正确表示相反意义的量是解题的关键． 14．在“，35，，，，0，，”这8个数中，正数有 个，负数有 个． 【答案】 5 2 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查正数与负数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据正数与负数的定义，直接作答即可． 【详解】解：正数有35，，，，，共5个； 负数有，共2个． 故答案为：5：2． 15．中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．成都实行的“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为次，若在平时训练时小成把次记为，则应把次记为 ． 【答案】 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用 【分析】本题考查了运用正数和负数表示两个相反意义的量．正确理解正、负数的意义是解题的关键．根据正负数的意义求解即可． 【详解】解：∵“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为次，若在平时训练时小成把次记为， ∴应把次记为， 故答案为：． 四、解答题 16．下列各数中哪些是正数，哪些是负数？ ，，，，0，，，，，，． 【答案】正数：，，，，；负数：，，，， 【知识点】正负数的定义 【分析】本题主要考查了正数和负数的定义，正确理解正数与负数的定义是解题的关键．根据正数和负数的定义划分即可． 【详解】解：正数：，，，，； 负数：，，，，． 17．如图，一名跳水运动员参加跳台的跳水比赛（跳台是指跳台离水面的高度为），这名运动员举高手臂时身长为，跳水池池深为（规定向上为正）． (1)若以水面为基准，则这名运动员指尖的高度及池底的深度分别如何表示？ (2)若以跳台为基准，则池底的深度与水面的高度分别如何表示？ 【答案】(1)这名运动员指尖的高度为，池底的深度为； (2)池底的深度为，水面的高度为． 【知识点】正负数的实际应用 【分析】（1）利用正数和负数的意义来表示； （2）利用正数和负数的意义来表示． 【详解】（1）解：（米） ∴以水面为基准，这名运动员指尖的高度为，池底的深度为； （2）解：（米） ∴以跳台为基准，池底的深度为，水面的高度为． 【点睛】本题考查了正负数的意义，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$