1.1.1两角和与差的余弦公式（课件）--人教版《数学 拓展模块一》《上好课》

1.1.1 两角和与差的余弦公式 第一章 三角计算 人教版 拓展模块一 目 录 学习目标 01 新课导入 02 探究新知 03 课堂小结 04 当堂检测 01 学习目标 知识目标 理解并掌握两角和与差的余弦公式； 能力目标 通过公式的推导及运用，培养学生类比推理的能力，理解化归思想在三角变换中的应用，能用余弦的和角公式进行简单的三角函数式的化简、求值，通过公式的推导，在培养学生三大能力的基础上，着重培养学生获得数学知识的能力和数学交流的能力. 情感目标 通过观察、对比，引导学生体会公式的对称美，体验成功的喜悦；通过教师的启发引导，培养学生不怕困难、勇于探索、勇于创新的求知精神. 核心素养 通过思考、讨论等活动，提升数学运算、逻辑推理和数学建模等核心素养． 1.1.1 两角和与差的余弦公式 新课导入 创设背景，生成问题 本章导语中需要求cos 15°的值．事实上，我们已经知道了 30°，45°的正弦、余弦值， 能否根据这些值来求cos15°的值？ 带着问题一起进入新知探究： 一般地，怎样根据α和β的三角函数值求出cos（α-β）的值？ 1.1.1 两角和与差的余弦公式 探究新知 问题1　已知角α的终边与单位圆的交点为P，请写出点P的坐标. 调动思维，探究新知 提示　P(cos α，sin α). 问题2　你还记得初中所学两点间的距离公式吗？ 提示　平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式P1P2＝ ， 我们首先研究角α和β均为锐角的情况． 如图所示，以坐标原点为中心作单位圆， 并设单位圆与x轴的正半轴交于点A（1，0），以Ox为始边作角α，α＋β，－β，设它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，B. 调动思维，探究新知 你能写出点P，Q，B的坐标吗? 调动思维，探究新知 能否根据已学知识，推导出 可小组讨论一下？ 易证得△QOA△POB，则 ＝ ，即 =， 两边平方，得2－2cos（α＋β） ＝2－2cos αcos β＋2sin αsin β， 化简，得 cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β． （Cα＋β） 问题3 你能根据两角和的余弦公式推导出两角差的余弦公式吗？ 提示 又因为 ，所以 cos（α-β）＝cos αcos β+sin αsin β． （Cα-β） 　　若把锐角α，β推广到任意角，此公式仍然成立． cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β． （Cα＋β） 因此，我们可以得到以下公式： 注意点： (1)该公式对任意角都能成立. (2)公式的结构，左端为两角差的余弦，右端为这两角的同名三角函数值积的和. (3)公式的逆用仍然成立. (4)记忆要点：余余正正，符号反 例1 求cos105°及cos15°的精确值． 巩固练习，提升素养 解 cos105° =cos(60°+45°)  =cos60°cos45°-sin60°sin45° 巩固练习，提升素养 cos15° =cos(60°-45°)  =cos60°cos45°+sin60°sin45° （1） cos 75°； （2）cos 20°cos 25°－sin 20°sin 25°； （3）cos 22.5°cos 22.5°－sin 22.5°sin 22.5°； （4） cos215°－sin215°． 变式训练 求下列各式的精确值： 巩固练习，提升素养 例2 已知 ，且 ， 求 的值. 巩固练习，提升素养 解 因为 ，且 ，所以 巩固练习，提升素养 变式练习 ，，的值. 例3 已知，则的值为________ 巩固练习，提升素养 变式训练 已知 的值. 巩固练习，提升素养 题后反思 给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角. (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有： ①α＝(α＋β)－β；α＝(α-β)+β ②2α＝(α＋β)＋(α－β)； ③2β＝(α＋β)－(α－β). 1.1.1 两角和与差的余弦公式 课堂小结 课堂小结 两角和与差的余弦公式 两角差的余弦公式应用： 给角求值 给值求值 1.1.1 两角和与差的余弦公式 当堂检测 随堂检测，查漏补缺 1. 等于（ ） 2.求证： 3.已知 ，求 的值. D 思考题　试比较cos(α－β)和cos(α＋β)，观察两者之间的联系，你能发现什么？ 提示　我们注意到α－β与α＋β有联系，α＋β＝α－(－β)，于是我们可以根据已知的两角差的余弦公式进行展开.即cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos α·cos(－β)＋sin αsin(－β)＝cos αcos β－sin αsin β，于是我们得到了两角和的余弦公式. 作业布置 P5，练习2./3./4. 谢谢 THANKS $$