14.3角的平分线（第2课时 角的平分线的判定）（课件）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备课系列（人教版2024）

人教版（2024）八年级数学上册 第十四章 全等三角形 14.3角的平分线 （第2课时 角的平分线的判定） 目录 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结与布置作业 课堂练习（分层练习） 01 学习目标 学习目标 1.理解角平分线判定定理， 2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.（重点） 3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.（难点） 新课导入 几何语言描述：∵ OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD= PE. 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 回顾复习 叙述角的平分线的性质定理. （不必再证全等） 我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等.反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？ 已知： 角的内部的一个点到这个角两边的距离相等. 求证： 这个点在这个角的平分线上. 自己证明看看？ 证明：如图，经过点 P 作射线 OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在 Rt△OPD 和 Rt△OPE 中， OP = OP， PD = PE， ∴ △OPD ≌ △OPE（HL） ∴∠AOC =∠BOC A B O D E P C ∴点 P 在∠AOB 的平分线上. 已知：如图，P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE.求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 知识点讲解 定义与概念 通过判定两个三角形全等，可以得到: 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 从上面两个结论可以看出，角的平分线上的点到角两边的距离相等;反过来，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。所以在角的内部，角的平分线(顶点除外)可以看成到角两边距离相等的所有点的集合. 典型例题 经典例题 例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证： (1)点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等； (2)△ABC 的三条角平分线交于一点. C A B M N P 分析:(1) 由已知可得点P到边AB，BC 的距离相等，点P到边BC，CA的距离相等，由此可得点P到三边的距离相等; (2) 要证△ABC的三条角平分线交于一点，只要证点P也在∠A 的平分线上. C A B M N P 证明：(1) 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA， 垂足分别为 D，E，F. ∵BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上， ∴PD = PE. 同理 PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等 . E F D (2) 由 (1) 得，点 P 到边 AB，CA 的距离相等， ∴点 P 在∠A 的平分线上 . ∴△ABC 的三条角平分线交于一点 . 总结归纳 特别提醒 1.证明一个命题的步骤不是固定不变的，要根据题目的情况而定，但是总体必须是完整的，并且证明的过程必须“步步有据”. 2.证明几何命题所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性.在画图时，要考虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别证明. 课堂练习 基础题 知识点 角平分线的判定 1.［2025安徽亳州期末］两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的 一条直角边分别与的边,重合，它们的顶点重合于点 ，则 点 一定在( ) A A.的平分线上 B. 边上的高上 C.边上的高上 D. 边上的中线上 【解析】如图，，，， 点在 的平分 线上，故选A. 关键点拨 掌握角平分线的判定定理是解题关键. 2.［2025江苏常州期中］如图，点在 内，且到三边的距离相 等，连接，，若 ，则 的大小是( ) B A. B. C. D. 【解析】 ， 点在内，且到三边的距离相等，平分，平分 ， ， ， ， .故选B. 15 （第3题图） 3.如图，平面内三条直线,,两两相交，在平面内找出一点 ， 使得点到三条直线的距离相等，那么符合条件的点 有___处. 4 【解析】 点到三条直线的距离相等， 点是三条直线, , 所形成的角的平分线的交点，如图所示，图中点,点,点 , 点 即为所求，故答案为4. 16 （第4题图） 4.［2024河南许昌期末］如图是两把完全相同的长方形直尺， 一把直尺的一边与射线重合，且另一边与射线交于点 ， 另一把直尺的一个直角顶点在射线 上，且与第一把直尺交于 点，作射线，已知 ，则 的度数是____． 【解析】由题意，得平分 ， .由长方形直尺可知 ， .故答案为 ． 17 提升题 5.［2025北京西城区期末］如图，在中， ， 于点， ， 点在上， .求证： （1）平分 ； 证明： ， . ， ， . ，， . 又，， . ， ，平分 . （2） . [答案] 平分 ， . ， ， ， . 由（1）得 ， ， ， . 拓展题 6.综合与实践 【情境再现】 如图①，的平分线与的外角的平分线相交于点 . 【提出问题】 （1）与 满足怎样的数量关系？ 解：平分，平分 ，， . ， ， ， . 【数学感悟】 （2）如图②，在中， ，是上一点，将沿翻折得到，与 相交于点.延长交于点 ，若平分，平分，求 的度数； 解：如图①，延长到点 ， ， . 平分 ，， 平分 . 平分 ， 由（1）得 .由折叠得， . ， . 【学以致用】 （3）如图③，在四边形中，平分 ， ，若 ，求 的度数. 解：如图②，过点作 的延长线，，的延长线， 垂足分别为， ， . ，， ， 平分 .平分, ， 由（1）得 ， . 平分,平分， ，， ，， ， ，平分 ， . 20 课堂小结 角平分线 的判定定理 内容 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 作用 判断一个点是否在角的平分线上 结论 三角形的角平分线相交于内部一点 本节课同学们学到了什么？ 布置作业 作业题 教科书第51-52页练习 第1，2题 课本练习 1. 如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为 B，E，AB = CE，AB，CE 相交于点 F，连接 DF. 求证：FD 平分∠BFE. C A B D E F 证明：∵AB⊥CD，CE⊥AD，∴∠ABD =∠CED = 90°. 在△ABD 和△CED 中， ∠ADB =∠CDE， ∠ABD =∠CED， AB = CE， ∴△ABD ≌△CED（AAS） ∴BD = ED. 又 AB⊥CD，CE⊥AD， ∴FD 平分∠BFE. 2.如图，已知△ABC ，BF 是△ABC的外角∠CBD 的平分线， CG 是△ABC 的外角∠BCE 的平分线，BF，CG 相交于点 P. 求证： 点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等； 点 P 在∠A 的平分线上. C A B D E F G P C A B D E F G P J I H 证明：(1) 如图，过点 P 分别作 PJ，PI，PH 垂直于三 边 AB，BC，AC 所在的直线，垂足分别为 J，I，H. ∵BF 是∠CBD 的平分线，点 P 在 BF 上，∴PI = PJ. 同理，PH = PI，∴PJ = PI = PH， 即点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等. (2) 由(1)知 PH⊥AE，PJ⊥AD，且 PH = PJ， ∴点 P 在∠A 的平分线上. 感谢观看 $$