第02讲 等差数列（知识梳理+例题讲解+考点练习）-五年级奥数培优讲义

第02讲 等差数列 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解等差数列的定义及“首项、末项、项数、公差”等基本概念； 2.掌握等差数列中“求末项、求首项、求项数、求公差”的核心公式，并能灵活逆用； 3.理解并熟练运用等差数列的求和公式解决实际问题； 4.培养观察数列规律、逻辑推理及数学建模的能力，提升解决数列问题的综合素养。 知识梳理 知识点一、数列的概念 1.按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。 2.递增数列：2、5、8、11、14、17、20、...从第二项起，每一项比前一项大3。 3.递减数列：100、95、90、85、80、...从第二项起，每一项比前一项小5。 知识点二、等差数列的定义 1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个固定的数，这个数列就叫做等差数列。这个固定的数叫做等差数列的公差（通常用字母“d”表示）。 举例： （1）自然数列：1，2，3，4，5，…（公差d=1） （2）奇数列：1，3，5，7，9，…（公差d=2） （3）偶数列：2，4，6，8，10，…（公差d=2） 知识点三、等差数列的基本概念 1.项：数列中的每一个数都叫做数列的“项”。 2.首项：数列的第1项，通常用字母“a₁”表示。 3.末项：数列的最后一项，通常用字母“aₙ”表示（n表示项数）。 4.项数：数列中项的总数，通常用字母“n”表示。 5.公差：每相邻两项的差，用字母“d”表示（d=后项-前项，且在等差数列中d为固定值）。 知识点四、等差数列的核心公式 所有公式中，默认为首项，为第n项，n为项数，d为公差，为前n项的和。 1.求末项公式： （1）公式：第n项 = 首项 + (项数 - 1) × 公差，即 （2）推导思路：第1项： = + 0×d；第2项： = + 1×d；第3项： = + 2×d；… 第n项：比首项多(n-1)个公差。 （3）举例：等差数列3，7，11，15，…，求第8项。 解：=3，d=7-3=4，n=8 =3 + (8-1)×4 = 3 + 28 = 31 2.求首项公式：（末项公式逆推） （1）公式：首项 = 末项 - (项数 - 1) × 公差，即 （2）举例：等差数列中，第5项是25，公差是4，求首项。 解：=25，d=4，n=5 =25 - (5-1)×4 = 25 - 16 = 9 3.求项数公式： （1）公式：项数 = (末项 - 首项) ÷ 公差 + 1，即 （2）推导思路：末项与首项的“总差” = ，总差由(n-1)个公差组成，因此(n-1) = ()÷d，故n = ()÷d + 1。 （3）举例：等差数列2，5，8，11，…，末项是32，求项数。 解：=2，=32，d=5-2=3 n=(32-2)÷3 + 1 = 30÷3 + 1 = 10 + 1 = 11 4.求公差公式：（项数公式逆推） （1）公式：公差 = (末项 - 首项) ÷ (项数 - 1)，即 （2）举例：等差数列首项是5，第7项是35，求公差。 解：=5，=35，n=7 d=(35-5)÷(7-1) = 30÷6 = 5 5.求和公式：（高斯求和公式） （1）公式：等差数列总和 = (首项 + 末项) × 项数 ÷ 2，即 （2）推导思路（配对求和法）：将数列首尾配对，每对和为(首项+末项)，共有n÷2对。 （3）举例：求等差数列2，5，8，11，14的总和。 解：=2，=14，n=5 =(2+14)×5÷2 = 16×5÷2 = 40 例题讲解 一、等差数列的认识 【例题1】判断下面的数列是否为等差数列。如果是，请指出它的首项（）、公差（d）；如果不是，请说明理由。 数列：5，10，15，20，25，30 【答案】计算每相邻两项的差：10-5=5，15-10=5，20-15=5，25-20=5，30-25=5。 所有相邻两项的差都相等，均为5。 所以这是一个等差数列。 它的第一项（首项）是5，公差d是5。 【解析】【分析】本题主要考察对等差数列定义的理解和应用。需要逐一计算相邻两项的差，看是否为同一个固定的数。如果是，则为等差数列，并能准确识别出首项和计算出公差。 【例题2】一群小猴上山摘野果，第一只小猴摘了一个野果，第二只小猴摘了2个野果，第三只小猴摘了3个野果，依次类推，后面的小猴都比它前面的小猴多摘一个野果。最后，每只小猴分得8个野果。这群小猴一共有　 　只。 【答案】15 【解析】【解答】解：只 故答案为：15。 【分析】本题考查等差数列，观察到这是一个等差数列的问题，其中首项为1，公差为1。利用这个公式和已知的平均野果数，求解出小猴的总数。平均每只猴分8个野果，所以最后一只猴摘了只果，共有15只猴。 二、等差数列的核心公式 【例题1】在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数，第　 　个数是1994。 【答案】 【解析】【解答】解：每个数比前一个数大7，根据求通项 的公式得 （1994-6）÷7+1 =1988÷7+1 =284+1 =285． 故答案为：285。 【分析】根据已知的数可得排列规律：从6开始每次递增7；这个等差数列：首项是6，公差是7，末项是1994，然后根据“项数=（末项-首项）÷公差+1”列式为：（1994-6）÷7+1，然后解答即可求出答案，据此解答。 【例题2】1，3，5，7，……是从1开始的奇数，其中第2005个奇数是　 　。 【答案】4009 【解析】【解答】解：2×2005-1=4009 故答案为：4009。 【分析】根据求项数以及求和公式，项数(末项首项)公差，和Sn=（首项+末项）×项数÷2，代入公式求和即可。 【例题3】1+2+……+8+9+10+9+8+……+2+1=　 　。 【答案】100 【解析】【解答】解：1+2+……+8+9+10+9+8+……+2+1 =（1+2+……+8+9+10）+（1+2+……+8+9） =（10×11）÷2+（9×10）÷2 =55+45 =100 故答案为：100。 【分析】观察数列结构，发现其从1递增到10，再从9递减到1，因此可以拆分为两部分：前半部分为1到10的等差数列，后半部分为9到1的等差数列。通过分别求和再相加，即可得到最终结果。其中等差数列的求和公式为Sn=（首项+末项）×项数÷2，代入公式求和。 【例题4】2，5，8，11，14……是按照规律排列的一串数，第21项是多少？ 【答案】解：此数列为一个等差数列，将第21项看做末项， 末项=2+（21-1）×3 =2+20×3 =2+60 =62 【解析】【分析】设首项为a1 ，末项为an，项数为n ，公差为d ，an=a1+（n-1）d，首项是2，公差是3，项数是21，代入公式计算即可得出答案。 【例题5】已知一个等差数列第8项等于50，第15项等于71。请问这个数列的第1项是多少？ 【答案】解：公差=（71-50）÷（15-8） =21÷7 =3； 首项=50-（8-1）×3 =50-7×3 =50-21 =29。 【解析】【分析】先根据第8项和第15项的值计算出公差，即a15-a8=（15-8）×d，计算即可得出公差，接下来根据第8项和公差计算出首项。 【例题6】计算： 【答案】解： 【解析】【分析】本题计算一系列分母相同，分子从1到99的分数的和。可以使用等差数列求和的公式来解决，也可以通过观察找出规律，简化计算。 【例题7】自然数按一定规律排成下表，问第60行第5个数是几？ 【答案】解：第59行所用数的个数为： （个） 从第一行排到第59行所用数的总个数为： （个）， 到第60行第5数共用去数的个数为： （个）， 第60行第5个数是数列1，3，5，7， 中第3486项，为： 答：第60行第5个数是6971。 【解析】【分析】从两个方面考虑： ⑴先看组成这张表的数：1，3，5，7，9， 。这是一个公差为2的等差数列。第60行第5个数是这数列中的一项，已知首项和公差，知道第60行第5个数是数列中的第几项即可求解。而这个项数就是排列第60行第5个数时所用去数的个数。 ⑵从表的排法来看，每行的数的个数也是等差数列：1，3，5，7， 。第60行第5个数也就是排完59行后又排5个数。59行所排数的个数就是1，3，5，7， ，中的第59项。 三、等差数列的应用 【例题1】小红读一本故事书，第一天读了 20 页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多 2 页，最后一 天读了 38 页， 这本书共有　 　页。 【答案】290 【解析】【解答】解：根据题意，可得 （38－20）÷2＋1 ＝18÷2＋1 ＝10（天） （20＋38）×10÷2 ＝58×10÷2 ＝580÷2 ＝290（页） 答： 这本书共有290页 故答案为：290 【分析】每天看的页数依次构成等差数列，利用等差数列求和公式求出这本书共多少页。 【例题2】有若干根长度相同的火柴，将这些火柴摆成如下图形，照这样摆下去，第20幅图形一共用了　 　根火柴。 【答案】859 【解析】【解答】第一个图形火柴数4根；第2个图形火柴数13根=4+9；第三个图形火柴数26根4+9+13；第四个图形有火柴数43根=4+9+13+17…… 第20个图形火柴数4+9+13+17+21+……+81=4+（9+81）×19÷2=859（根） 故答案为：859。 【分析】列出每个图形的火柴数。规律是除第一个数外其他的过程首项是9公差是4的等差数列，第19个数是：第n项=首项+（n-1)×公差，等差数列的和等于（首项+末项）×项数÷2。 【例题3】一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人，那么这个队列共有多少人？ 【答案】解：由题意可知，每排人数构成等差数列，其中首项为2，公差为2，末项为100， 由 即， 解得， 根据等差数列的求和公式可得， 故这个队伍共有2550人。 【解析】【分析】由题意可知，每排人数构成等差数列，其中首项为2，公差为2，末项为100，根据等差数列的通项求得项数，再根据等差数列额求和公式求和，即可求得这个队伍的总人数。 【例题4】把所有奇数排列成下面的数表，根据规律，请指出：197排在第几行的第几个数？ 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 43 45 47 49 … … 【答案】解：（197+1）÷2=198÷2=99（个） 因为9×9＜99＜10×10； 所以，第99个数位于数表的第10行的倒数第2个数，即第18个数，即197位于第10行第18个数。 答：197排在第10行的第18个数。 【解析】【分析】数表中，第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数…第几行有（2×行数－1）个数 因此，前n行中共有奇数的个数为：1+3+5+7+…+（2n-1）=［1+（2n-1）〕×n÷2=n×n。 【例题5】一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？ 【答案】解： 这堆钢管每一层都比上一层多1根，也就是从上到下每层钢管的数量构成了一个等差数列，而且首项为3，末项为10，项数为8。由等差数列求和公式可以求出这堆钢管的总数量： （根） 【解析】【分析】由题意，根据等差数列的求和公式计算即可。 考点练习 一、等差数列的认识 1．观察右面的五个数：19、37、55、a、91排列的规律，推知a=　 　。 【答案】 【解析】【解答】解：19+18=37，37+18=55， 所以a=55+18=73 故答案为：73。 【分析】 根据题干中的数据可以得出此组数据是一个等差数列，它的规律是前一个数+18=后一个数．由此规律即可求得a的值。 2．某班学生去参加义务劳动，其中一组到一果园去摘梨子，第一个进园的学生摘了 1 个梨子，第二个学生摘了 2 个，第三个学生摘了 3 个，……以此类推，后来的学生都比前面一个多摘 1 个梨子，这样恰好平均每个学生摘了 11 个梨子，请问这组学生的人数　 　人。 【答案】21 【解析】【解答】解：设这组学生的人数为 人， 依题意有： ， （舍去）或． 这组学生的人数为 21 人。 【分析】设这组学生的人数为 人，根据等差数列求和公式和平均数公式得到关于梨子个数的方程，解方程求解即可。 3．下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。 ①6，10，14，18，22，…，98； ②1，2，1，2，3，4，5，6； ③ 1，2，4，8，16，32，64； ④ 9，8，7，6，5，4，3，2； ⑤3，3，3，3，3，3，3，3； ⑥1，0，1，0，l，0，1，0； 【答案】解：①是，公差d=4。 ②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项。 ③不是，因为4-2≠2-1。 ④是，公差d=l。 ⑤是，公差d=0。 ⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项。 【解析】【分析】设首项为a1 ，末项为an，项数为n ，公差为d ，an=a1+（n-1）d，本题判断是否是等差数列，即是观察数列中的公差是否相等。 4．妈妈的消费卡积了35次分，最低一次积了42分，最高一次积了178分，中间还有33次，而且全部积分组成一个等差数列，你知道最中间一次积分是多少吗？ 【答案】(42+178)÷2=110(分) 【解析】【分析】等差数列前后相邻两项的差值都相等，33次积分的中间一次积分与最低分和最高分的差值都一样，即最低分和最高分的平均数。 二、等差数列的核心公式 1．有一个等差数列3、9、15、21……，那么，579是它的第　 　项。 【答案】95 【解析】【解答】解：9-3=15-9=21-15=6 （579-3）÷6＋1 =576÷6＋1 =96＋1 =97（项）。 故答案为：97。 【分析】项数=（末项-首项）÷公差＋1。 2．五个连续奇数的和是185，这五个数中最小的数是　 　。 【答案】33 【解析】【解答】解：根据题意，可得 185÷5=37 37-2-2=33 故答案为：33 【分析】根据自然数的排列规律：偶数、奇数、偶数、奇数⋯；因为相邻的自然数相差1，所以相邻的奇数相差2．已知五个连续奇数的和是185，先求出五个连续奇数的中间数（即平均数），然后用中间的数减去2再减2，即可求出最小的一个．据此解答． 3．计算：1÷50+2÷50+……+98÷50+99÷50=　 　。 【答案】99 【解析】【解答】解：原式= 故答案为：99。 【分析】提取公因式后发现括号内为一个等差数列，等差数列Sn=（首项+末项）×项数÷2，代入公式求和即可。 4．数列1、1、3、3、5、5、7、7、……的前2010项的和是　 　。 【答案】2020050 【解析】【解答】前2010项中，每个奇数1，3，5，7，……，2009都出现两次， 因此总和是 故答案为：2020050。 【分析】找出数列的规律：观察数列，可以发现每个奇数都会出现两次，因此第2009和2010项都是2009。 5．有一个数列：2，5，8，11，……，101。这个数列共有多少项？ 【答案】(101-2)÷3+1= 34(项) 【解析】【分析】容易看出，这是一个等差数列，公差为3，首项是2，末项是101。要求项数，可根据“项数=(末项-首项) ÷公差+1”进行计算。项数=(101- 2) ÷3+1=34，即这个数列共有34项。 6．已知数列0、4、8、12、16、20、…… ，它的第43项是多少？ 【答案】解：公差是4， 所以第43项的数=0+（43-1）×4 =42×4 =168。 【解析】【分析】设首项为a1 ，末项为an，项数为n ，公差为d ，an=a1+（n-1）d，根据公式进行计算。 7．如果一个等差数列的第3项是18，第6项是30，那么它的第50项是多少？ 【答案】先求公差：(30-18)÷(6-3)=4， 再求第50项：(50-6)×4+30= 206。 【解析】【分析】由第6项是30，第3项是18，相差12，项数相差3，可求出公差为4，利用末项公式可求出第50项的数。 8．计算： 【答案】解： = = 【解析】【分析】首先可以将原式改写为一个等差数列的和除以分母的形式。接着可以利用等差数列的求和公式来简化表达式。最后将得到的表达式进行化简，即可得到答案。 9．有一列数：1，2，4，7，11，16，22，29，37，…，问这列数第1001个数是多少？ 【答案】解：第1个数：1=1， 第2个数：2=1+1， 第3个数：4=2+2=1+1+2， 第4个数：7=3+4=1+1+2+3， 第5个数：11=4+7=4+1+1+2+3， 第6个数：16=5+11=5+1+1+2+3+4=1+1+2+3+4+5， …… 第 n 个数：1+1+2+3+4+……+（n-1） 。 第1001个数为： 1+1+2+3+4+5+……+（1001-1） =1+1+2+3+4+5+……+1000 =1+（1+1000）×1000÷2 =1+1001×1000÷2 =1+500500 =500501。 【解析】【分析】从题目中可以看出第二个数与第一个数差1，第三个数与第二个数相差2，第四个数与第三个数相差3，……，依此类推，以后每一项与前一项的差都会依次增加1，因此有以下规律：第n个数=1+1+2+3+4+……+（n-1），接下来从第2项开始是个公差是1的等差数列，根据求和公式计算即可得出答案。 10．下列数阵中有100个数，它们的和是多少？ 【答案】解：第一行和：（11+20）×10÷2=31×10÷2=310÷2=155； 第二行和：（12+21）×10÷2=33×10÷2=330÷2=165； 第三行和：（13+22）×10÷2=35×10÷2=350÷2=175； 第四行和：（14+23）×10÷2=37×10÷2=370÷2=185； …… 第十行和：（20+29）×10÷2=49×10÷2=490÷2=245； 100个数的和：（155+245）×10÷2=400×10÷2=4000÷2=2000。 答：数阵中有100个数，它们的和是2000。 【解析】【分析】 利用等差数列求和公式计算出所给数串每一行的和，新构成一个等差数列，然后利用等差数列求和公式计算。 三、等差数列的应用 1．甲、乙两个电动玩具车同时从轨道的两端相对而行，甲车每秒行5厘米，乙车第一秒行1厘米，第二秒行2厘米，第三秒行3厘米，……，这样两车相遇时，走的路程相同。则轨道长　 　厘米。 【答案】90 【解析】【解答】解：第5秒时，速度相等. 因为走的路程相等，所以，一共走了9秒. 所以两车9秒相遇，5×9×2=90(厘米) 答：轨道长90厘米. 故答案为：90 【分析】这题属于行程问题，要求轨道的长度(路程)，路程=时间×速度.所以首先求出相遇时间.再用甲的速度×2(因为在同一时间内走的路程相等，所以乙的平均速度也是每秒5厘米)×相遇时间，即可. 2．张老师在黑板上从左到右写上1，2，3，4，…，50，然后开始进行操作：每擦去最左边的两个数，把它们的和数加上1写到最右边。如第一次擦去1和2，在50的右边写上4，第二次擦去3和4，在5，6，…，50，4的右边写上8。擦了若干次之后，黑板上只剩下了一个数，这个数是　 　。 【答案】1324 【解析】【解答】解：1+2+3+…+50+(50-1) =(1+50)×50÷2+49 =1275+49 =1324 故答案为：1324。 【分析】每次擦去2个数，新写1个数，且新写的数比擦去2个数的和多1。最后剩了1个数，则擦了49次。最后剩下的数就比原来这50个数的和多49，所以为1+2+…+50+49。再根据等差数列求和公式灵活计算，即和=(首项+末项)×项数÷2。 3．将自然数1，2，3，4，…按箭头所指方向顺序排列，依次在2，3，5，7，10等数的位置处拐弯，如果2算作第1次拐弯处，那么第50次拐弯处的数是　 　。 【答案】651 【解析】【解答】依次写出拐角的数分别是2，3，5，7，10，13，17，21，26，31……，奇数列2，5，10，17，26，……规律是分别加3，5，7，9，11……。偶数列3，7，13，21，31……，规律是分别加4，6，8，10，……，第50次拐弯是偶数列的第25个数，所以第50次拐弯的数是3+4+6+8+……+50=3+（4+50）=3+648=651。 故答案为：651。 【分析】1、依次写出拐角的数，分奇数列和偶数列找出规律，可求第50次拐角的数。 2、用等差数列求和。 4．编号为1~9的9个盒子里共放有351粒糖，已知每个盒子都比前一个盒子里多同样数量的糖．如果3号盒子里放23粒糖，那么后面的盒子比它前一个盒子里多放几粒糖？ 【答案】解：(351÷9−23)÷(5−3)=8 答： 后面的盒子比它前一个盒子里多放8粒糖。 【解析】【分析】9个盒子是等差数列（后盒比前盒多固定公差），因项数9为奇数，由等差数列求和“和=中间项×项数”得第5盒糖数为351÷9=39，第3盒到第5盒间隔2个公差，故公差为(39−23)÷(5−3)=8。 5．某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位？ 【答案】解：第一排座位数： （个）， 一共有座位： （个）。 【解析】【分析】由题意，根据等差数列的通项公式求得第一排的座位数，再根据等差数列的求和公式计算这个剧院一共有多少座位即可。 6．体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？ 【答案】解：由题意可知：每位同学报的数是一个等差数列，其中首项为17，公差为7，末项为150， 设为第项，则 ， 解得， 故队伍里一共有20人。 【解析】【分析】由题意可知，每位同学报的数是一个等差数列，其中首项为17，末项为150，公差为7，根据等差数列的通项公式求解即可。 7．用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形。如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形。如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴? 【答案】 【解析】【解答】解：3×（1+2+3+……+20）=630 故答案为：630 【分析】把大的等边三角形分为“20”层分别计算火柴的根数： 最上一层只用了3根火柴； 从上向下数第二层用了3×2=6根； 从上向下数第二层用了3×3=9根； ……从上向下数第二层用了3×20=60根；所以总共要用火柴3×（1+2+3+……+20）=630． 8．如图，把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色。如果最底层有15个正方形，问其中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？ 【答案】解：由图可知，从上到下每层的正方形个数构成等差数列，其中首项 ，公差为 ， 因为 ，所以 ，即金字塔形有8层， 则白色方格数为：； 黑色方格数是： 。 【解析】【分析】由图可知，从上到下每层的正方形个数构成等差数列，其中首项为1，公差为2，根据等差数列的通项公式求得“金字塔形”的层数，再根据等差数列的求和公式求有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形。 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 等差数列 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解等差数列的定义及“首项、末项、项数、公差”等基本概念； 2.掌握等差数列中“求末项、求首项、求项数、求公差”的核心公式，并能灵活逆用； 3.理解并熟练运用等差数列的求和公式解决实际问题； 4.培养观察数列规律、逻辑推理及数学建模的能力，提升解决数列问题的综合素养。 知识梳理 知识点一、数列的概念 1.按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。 2.递增数列：2、5、8、11、14、17、20、...从第二项起，每一项比前一项大3。 3.递减数列：100、95、90、85、80、...从第二项起，每一项比前一项小5。 知识点二、等差数列的定义 1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个固定的数，这个数列就叫做等差数列。这个固定的数叫做等差数列的公差（通常用字母“d”表示）。 举例： （1）自然数列：1，2，3，4，5，…（公差d=1） （2）奇数列：1，3，5，7，9，…（公差d=2） （3）偶数列：2，4，6，8，10，…（公差d=2） 知识点三、等差数列的基本概念 1.项：数列中的每一个数都叫做数列的“项”。 2.首项：数列的第1项，通常用字母“a₁”表示。 3.末项：数列的最后一项，通常用字母“aₙ”表示（n表示项数）。 4.项数：数列中项的总数，通常用字母“n”表示。 5.公差：每相邻两项的差，用字母“d”表示（d=后项-前项，且在等差数列中d为固定值）。 知识点四、等差数列的核心公式 所有公式中，默认为首项，为第n项，n为项数，d为公差，为前n项的和。 1.求末项公式： （1）公式：第n项 = 首项 + (项数 - 1) × 公差，即 （2）推导思路：第1项： = + 0×d；第2项： = + 1×d；第3项： = + 2×d；… 第n项：比首项多(n-1)个公差。 （3）举例：等差数列3，7，11，15，…，求第8项。 解：=3，d=7-3=4，n=8 =3 + (8-1)×4 = 3 + 28 = 31 2.求首项公式：（末项公式逆推） （1）公式：首项 = 末项 - (项数 - 1) × 公差，即 （2）举例：等差数列中，第5项是25，公差是4，求首项。 解：=25，d=4，n=5 =25 - (5-1)×4 = 25 - 16 = 9 3.求项数公式： （1）公式：项数 = (末项 - 首项) ÷ 公差 + 1，即 （2）推导思路：末项与首项的“总差” = ，总差由(n-1)个公差组成，因此(n-1) = ()÷d，故n = ()÷d + 1。 （3）举例：等差数列2，5，8，11，…，末项是32，求项数。 解：=2，=32，d=5-2=3 n=(32-2)÷3 + 1 = 30÷3 + 1 = 10 + 1 = 11 4.求公差公式：（项数公式逆推） （1）公式：公差 = (末项 - 首项) ÷ (项数 - 1)，即 （2）举例：等差数列首项是5，第7项是35，求公差。 解：=5，=35，n=7 d=(35-5)÷(7-1) = 30÷6 = 5 5.求和公式：（高斯求和公式） （1）公式：等差数列总和 = (首项 + 末项) × 项数 ÷ 2，即 （2）推导思路（配对求和法）：将数列首尾配对，每对和为(首项+末项)，共有n÷2对。 （3）举例：求等差数列2，5，8，11，14的总和。 解：=2，=14，n=5 =(2+14)×5÷2 = 16×5÷2 = 40 例题讲解 一、等差数列的认识 【例题1】判断下面的数列是否为等差数列。如果是，请指出它的首项（）、公差（d）；如果不是，请说明理由。 数列：5，10，15，20，25，30 【例题2】一群小猴上山摘野果，第一只小猴摘了一个野果，第二只小猴摘了2个野果，第三只小猴摘了3个野果，依次类推，后面的小猴都比它前面的小猴多摘一个野果。最后，每只小猴分得8个野果。这群小猴一共有　 　只。 二、等差数列的核心公式 【例题1】在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数，第　 　个数是1994。 【例题2】1，3，5，7，……是从1开始的奇数，其中第2005个奇数是　 　。 【例题3】1+2+……+8+9+10+9+8+……+2+1=　 　。 【例题4】2，5，8，11，14……是按照规律排列的一串数，第21项是多少？ 【例题5】已知一个等差数列第8项等于50，第15项等于71。请问这个数列的第1项是多少？ 【例题6】计算： 【例题7】自然数按一定规律排成下表，问第60行第5个数是几？ 三、等差数列的应用 【例题1】小红读一本故事书，第一天读了 20 页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多 2 页，最后一 天读了 38 页， 这本书共有　 　页。 【例题2】有若干根长度相同的火柴，将这些火柴摆成如下图形，照这样摆下去，第20幅图形一共用了　 　根火柴。 【例题3】一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人，那么这个队列共有多少人？ 【例题4】把所有奇数排列成下面的数表，根据规律，请指出：197排在第几行的第几个数？ 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 43 45 47 49 … … 【例题5】一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？ 考点练习 一、等差数列的认识 1．观察右面的五个数：19、37、55、a、91排列的规律，推知a=　 　。 2．某班学生去参加义务劳动，其中一组到一果园去摘梨子，第一个进园的学生摘了 1 个梨子，第二个学生摘了 2 个，第三个学生摘了 3 个，……以此类推，后来的学生都比前面一个多摘 1 个梨子，这样恰好平均每个学生摘了 11 个梨子，请问这组学生的人数　 　人。 3．下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。 ①6，10，14，18，22，…，98； ②1，2，1，2，3，4，5，6； ③ 1，2，4，8，16，32，64； ④ 9，8，7，6，5，4，3，2； ⑤3，3，3，3，3，3，3，3； ⑥1，0，1，0，l，0，1，0； 4．妈妈的消费卡积了35次分，最低一次积了42分，最高一次积了178分，中间还有33次，而且全部积分组成一个等差数列，你知道最中间一次积分是多少吗？ 二、等差数列的核心公式 1．有一个等差数列3、9、15、21……，那么，579是它的第　 　项。 2．五个连续奇数的和是185，这五个数中最小的数是　 　。 3．计算：1÷50+2÷50+……+98÷50+99÷50=　 　。 4．数列1、1、3、3、5、5、7、7、……的前2010项的和是　 　。 5．有一个数列：2，5，8，11，……，101。这个数列共有多少项？ 6．已知数列0、4、8、12、16、20、…… ，它的第43项是多少？ 7．如果一个等差数列的第3项是18，第6项是30，那么它的第50项是多少？ 8．计算： 9．有一列数：1，2，4，7，11，16，22，29，37，…，问这列数第1001个数是多少？ 10．下列数阵中有100个数，它们的和是多少？ 三、等差数列的应用 1．甲、乙两个电动玩具车同时从轨道的两端相对而行，甲车每秒行5厘米，乙车第一秒行1厘米，第二秒行2厘米，第三秒行3厘米，……，这样两车相遇时，走的路程相同。则轨道长　 　厘米。 2．张老师在黑板上从左到右写上1，2，3，4，…，50，然后开始进行操作：每擦去最左边的两个数，把它们的和数加上1写到最右边。如第一次擦去1和2，在50的右边写上4，第二次擦去3和4，在5，6，…，50，4的右边写上8。擦了若干次之后，黑板上只剩下了一个数，这个数是　 　。 3．将自然数1，2，3，4，…按箭头所指方向顺序排列，依次在2，3，5，7，10等数的位置处拐弯，如果2算作第1次拐弯处，那么第50次拐弯处的数是　 　。 4．编号为1~9的9个盒子里共放有351粒糖，已知每个盒子都比前一个盒子里多同样数量的糖．如果3号盒子里放23粒糖，那么后面的盒子比它前一个盒子里多放几粒糖？ 5．某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位？ 6．体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？ 7．用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形。如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形。如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴? 8．如图，把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色。如果最底层有15个正方形，问其中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？ 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $$