第5章 勾股定理与实数（知识清单）数学新教材青岛版八年级上册

第5章 勾股定理与实数 1.直角三角形两直角边的平方和_____________________。在直角三角形中，如果两条直角边长分别为，斜边长为，那么_________________。 2.在我国古代，人们将直角三角形中较短的直角边称为_______，较长的直角边称为_______，斜边称为_______，所以这个定理在我国被称为“_________________”。 3.___________________________分别相等的两个直角三角形全等。（HL） 4.如果三角形两边的平方和____________________________，那么这个三角形是直角三角形。 5.如果一个正数x的平方等于ɑ，即x2=ɑ,那么这个正数x叫作ɑ的__________________，记作_______，读作“_____________”。特别地，规定0的算术平方根是0，即=0。 6.正数__________________算术平方根，0的算术平方根是0，负数_________算术平方根。 7.________________________叫作无理数。任何一个无理数都可以用数轴上的点来表示。 8.如果一个数x的平方等于ɑ，即x2=ɑ,那么x叫作ɑ的______________或________________。 9.一个正数____________________，它们__________________；0的平方根是0；负数_____________________。 10.求一个数ɑ（ɑ≥0）的平方根的运算叫作______________，ɑ叫作________________。 11.如果一个数x的立方等于ɑ，即x3=ɑ,那么x叫作ɑ的______________或______________。 12.正数的立方根是_______________，负数的立方根是_______________，0的立方根是0。 13.求一个数的立方根的运算叫作____________，立方运算与开立方运算________________。 14.数ɑ的立方根记作“_______”，读作“_______________”，其中ɑ叫作_____________，3叫作______________。 15.一般而言，如果ɑ>0，那么_______________。也就是说，求一个负数的立方根，可以先求这个负数的______________________，再取相反数。 16._____________与_____________统称为实数。无理数是无限不循环小数，所有有理数都可以化作_______________________________。 17.实数的分类： ①按实数的符号分类：__________________________。 ②按实数的概念分类：______________________________________________。 18.每一个实数都可以用______________________________，数轴上的每一个点都表示____________________，实数与数轴上的点_______________。 19.与有理数一样，数轴上原点表示0，一般来说，原点右边的点表示____________，左边的点表示___________。对于数轴上任意两个点，右边的点所表示的实数总_____________________________。 20.将数的范围从有理数扩充至实数后，相反数、绝对值等有关概念________________，有理数的运算法则、运算律、运算顺序和运算性质在实数范围内_____________。 易错点1 忽略勾股定理使用条件 错误：勾股定理只适用于直角三角形，对于非直角三角形不能使用勾股定理。 注意：如果没有明确三角形是直角三角形，则不能直接使用勾股定理求解。 例题1 如图，小微同学想测量一条河的宽度，出于安全考虑，河岸边不宜到达，她在地面上取一个参考点，发现延长线上的点处有一棵大树，用测距仪测得米，米，米，已知米，请你计算这条河的宽度．（结果保留根号） 易错点2 算术平方根与平方根概念混淆 错误：对算术平方根与平方根的概念理解不透彻而导致错误。 注意：“√”默认指算术平方根，结果必非负；例：将√9写成±3（实际应为3），或认为负数有平方根（实数范围内无解）。 例题2 3的平方根是（    ） A． B． C．3 D． 易错点3 忽略被开方数的范围 错误：忽略被开方数的范围限制而导致错误。 注意：注意被开方数的范围，例： （≥0），（为任意实数）。 例题3 已知，求的算术平方根． 1．“的算术平方根”用数学式子表示正确的是（   ） A． B． C． D．4 2．下列说法正确的有（   ） ①一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根；②64的平方根是，立方根是；③表示a的平方根，表示a的立方根；④不一定是负数． A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④ 3．已知，则的值为（    ） A．或0或1 B．0或2 C．0或6 D．0或2或6 4．已知一个数的绝对值是，则的值为 ． 5．已知，则的值为 ． 6．求满足下列各式的未知数： (1)； (2)． 7．先说出下列各式的意义，再计算． (1) (2) (3) 8．如图，在中，D为上的一点，若，，，，求的周长和面积． 9．如图，在中，，，边上的中线，延长至点，使，连接． (1)求证：； (2)求的长． 10．如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理． (1)求出空地的面积． (2)若每种植平方米草皮需要元，问总共需投入多少元？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 勾股定理与实数 1.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。在直角三角形中，如果两条直角边长分别为，斜边长为，那么。 2.在我国古代，人们将直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，所以这个定理在我国被称为“勾股定理”。 3.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。（HL） 4.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 5.如果一个正数x的平方等于ɑ，即x2=ɑ,那么这个正数x叫作ɑ的算数平方根，记作，读作“根号ɑ”。特别地，规定0的算术平方根是0，即=0。 6.正数有一个正的算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。 7.无限不循环小数叫作无理数。任何一个无理数都可以用数轴上的点来表示。 8.如果一个数x的平方等于ɑ，即x2=ɑ,那么x叫作ɑ的平方根或二次方根。 9.一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 10.求一个数ɑ（ɑ≥0）的平方根的运算叫作开平方，ɑ叫作被开方数。 11.如果一个数x的立方等于ɑ，即x3=ɑ,那么x叫作ɑ的立方根或三次方根。 12.正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0。 13.求一个数的立方根的运算叫作开立方，立方运算与开立方运算互为逆运算。 14.数ɑ的立方根记作“”，读作“三次根号ɑ”，其中ɑ叫作被开方数，3叫作根指数。 15.一般而言，如果ɑ>0，那么=—。也就是说，求一个负数的立方根，可以先求这个负数的绝对值的立方根，再取相反数。 16.有理数与无理数统称为实数。无理数是无限不循环小数，所有有理数都可以化作有限小数或无限循环小数。 17.实数的分类： ①按实数的符号分类：正实数、0、负实数。 ②按实数的概念分类：有理数（有限小数或无限循环小数）、无理数（无限不循环小数）。 18.每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示，数轴上的每一个点都表示一个唯一的实数，实数与数轴上的点一一对应。 19.与有理数一样，数轴上原点表示0，一般来说，原点右边的点表示正实数，左边的点表示负实数。对于数轴上任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点所表示的实数大。 20.将数的范围从有理数扩充至实数后，相反数、绝对值等有关概念也同样适用，有理数的运算法则、运算律、运算顺序和运算性质在实数范围内仍然成立。 易错点1 忽略勾股定理使用条件 错误：勾股定理只适用于直角三角形，对于非直角三角形不能使用勾股定理。 注意：如果没有明确三角形是直角三角形，则不能直接使用勾股定理求解。 例题1 如图，小微同学想测量一条河的宽度，出于安全考虑，河岸边不宜到达，她在地面上取一个参考点，发现延长线上的点处有一棵大树，用测距仪测得米，米，米，已知米，请你计算这条河的宽度．（结果保留根号） 【答案】米． 【详解】解：米，米，米， ， 为直角三角形，且， 在中，米，米， 米， 米， 即这条河的宽度为米． 易错点2 算术平方根与平方根概念混淆 错误：对算术平方根与平方根的概念理解不透彻而导致错误。 注意：“√”默认指算术平方根，结果必非负；例：将√9写成±3（实际应为3），或认为负数有平方根（实数范围内无解）。 例题2 3的平方根是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴3的平方根是． 故选：A． 易错点3 忽略被开方数的范围 错误：忽略被开方数的范围限制而导致错误。 注意：注意被开方数的范围，例： （≥0），（为任意实数）。 例题3 已知，求的算术平方根． 【答案】3或或 【详解】解：∵， ∴，解得， ，解得， 或，解得， 或，解得， 故或8或7， 则的算术平方根为3或或． 1．“的算术平方根”用数学式子表示正确的是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：的算术平方根表示为：， 故选：B 2．下列说法正确的有（   ） ①一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根；②64的平方根是，立方根是；③表示a的平方根，表示a的立方根；④不一定是负数． A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④ 【答案】C 【详解】解：①一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根，故说法①正确； ②64的立方根是4，故说法②错误； ③表示a的算术平方根，故说法③错误； ④，则不一定是负数，故说法④正确； 故选：C． 3．已知，则的值为（    ） A．或0或1 B．0或2 C．0或6 D．0或2或6 【答案】D 【详解】解：∵， ∴ ∴ 当时，； 当时，； 当时，； 故选：D． 【点睛】本题考查了立方根的概念，解决本题的关键是牢记“立方根等于本身的数为-1,0,1”． 4．已知一个数的绝对值是，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵一个数的绝对值是， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：． 5．已知，则的值为 ． 【答案】9 【详解】解：∵，， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：9 ． 6．求满足下列各式的未知数： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．先说出下列各式的意义，再计算． (1) (2) (3) 【答案】(1)表示的算术平方根； (2)表示的平方根； (3)表示的负的平方根； 【详解】（1）解：表示的算术平方根，． （2）解：表示的平方根，． （3）解：表示的负的平方根，． 8．如图，在中，D为上的一点，若，，，，求的周长和面积． 【答案】的周长为48，面积为84 【详解】解：，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； ； ∴的周长为48，面积为84． 9．如图，在中，，，边上的中线，延长至点，使，连接． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的长为． 10．如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理． (1)求出空地的面积． (2)若每种植平方米草皮需要元，问总共需投入多少元？ 【答案】(1)空地的面积为 (2)总共需投入 11400 元 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ∴是直角三角形， ∴需要绿化的空地的面积． 答：空地的面积为； （2）解：（元）． 答：总共需投入 11400 元． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$