七年级数学上学期第一次月考·拔尖卷（沪教版五四制2024，举一反三）

七年级数学上学期第一次月考·拔尖卷 【沪教版五四制2024】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：整式的加减~整式的乘除 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知，则正整数m的值为（   ） A．84 B．86 C．94 D．96 2．（3分）（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知，，，为常数，，，若的取值与x无关，是不含的多项式，且恒成立，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（3分）（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）下面是某同学的作业题：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 4．（3分）（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，将一张长方形纸片分割为一个正方形与一个长方形，并按图、两种方式放置在正方形内记图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积分别为，，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．（3分）已知，，，下列结论正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 6．（3分）（24-25七年级下·广东广州·期末）甲、乙两名同学各提一个水桶在同一个水龙头前打水．如果甲打满一桶水需要分钟，乙打满一桶水需分钟，要使两人都打满一桶水所用时间和（包括等待时间）最少，应如何安排？（  ） A．安排甲先打水 B．安排乙先打水 C．甲、乙的打水顺序不影响总时间 D．无法确定 7．（3分）关于的整式与，令，，下列说法正确的有（    ）个． ①若是关于的二次整式，则的值共有3种不同的可能； ②若，，为整式，则中除常数项外其余各项系数和为； ③若，，，，，，则的最小值为； ④若，，，，令，，且，，则共有项． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（3分）（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）已知a，b，c为自然数，且满足，则的取值不可能是（    ） A． B．2 C．1 D．7 9．（3分）（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒6个单位和每秒3个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（    ） A．4 B．16 C．4或16 D．8或16 10．（3分）（24-25七年级上·河北石家庄·期末）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，错误的是（   ） A．“2”上边的数是8 B．“20”右边的“□”表示4 C．运算结果可以是9225 D．“5”右边的“□”表示5 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若，则 ． 12．（3分）（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）已知为任意的两位数，若的各位数字不同且不为0，这样的两位数称为“数”．把一个“数”的十位和个位数字交换位置，得到一个新的两位数，把这两个数相加的和除以11的商记为．例如对调后的两位数为54，这两个数的和为99，，所以．计算： ．若，都是“数”，（，，，为整数）当时，则 ． 13．（3分）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 平方厘米． 14．（3分）（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）已知实数，满足：，，则 ． 15．（3分）（24-25七年级下·辽宁锦州·阶段练习）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点，连接、，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为10，图2的阴影部分面积为4，则图1的阴影部分面积为 ． 16．（3分）（24-25七年级上·重庆·阶段练习）对于一个四位自然数，若千位数字与个位数字之和等于9，百位数字与十位数字之和等于7，则称这个四位数为“欢喜数”．将“欢喜数”的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调组成新的四位数，并规定，则 ；若一个四位自然数N是“欢喜数”，且能被7整除，则满足条件的N的最大值为 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级上·吉林·阶段练习）已知多项式，，．求． 老师展示了一位同学的作业如下： 解： …第一步 …第二步 …第三步 (1)这位同学从第 步开始出现的错误； (2)求的正确结果； (3)若的结果与字母a的取值无关，求m的值． 18．（6分）（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图是某城市市民休闲健身公园的一块长为米，宽为米的长方形空地．为进一步规范市民网络直播，市政部门计划在空地上建造一个网红打卡直播大舞台（图中阴影部分，单位：米）． (1)用含有m，n的式子表示网红打卡直播大舞台的面积（结果化为最简）； (2)若修建网红打卡直播大舞台的费用为0.02万元/平方米，且，，则修建网红打卡直播大舞台需要费用多少万元？ 19．（8分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此4，12，20都是“神秘数”． (1)和这两个数是“神秘数”吗？为什么？ (2)设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是的倍数吗？为什么？ (3)试结合（2）中的结论说明两个连续奇数的平方差（取正数）不可能是“神秘数”． 20．（8分）（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）周长相等的长方形和正方形，按如图所示的方式叠放在一起（其中点D在上，点B在的延长线上，和相交于点G），正方形的边长为m，长方形的宽为x，长为． (1)写出x，y，m之间的等量关系； (2)若长方形的周长记作，长方形的周长记作． ①求的值（用含y、m的代数式表示）； ②若关于y的不等式的正整数解只有1个，求m的取值范围； (3)若长方形的面积记作，长方形的面积记作，试比较与的大小，并说明理由． 21．（10分）（24-25八年级上·山西朔州·期末）实践教学： 某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． ①组的同学认为图1中回字形福建土楼的占地面积更大； ②组的同学认为图2中山西大院的占地面积更大． 数据采集： 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 数据应用： (1)请分别计算这两个建筑物的占地面积； (2)若，则__________组同学的想法正确．（填“①”或“②”） 22．（10分）（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．如；． …… …… …… …… … … (1)请你写出和的展开式； (2)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过天是星期________． (3)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令则，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； (4)你能在（3）的基础上求出的值吗？若能，请写出过程． 23．（12分）（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）在整式乘法的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究代数式的变形问题．借助直观、形象的几何图形，加深对整式乘法的认识和理解，感悟代数与几何的内在联系．如图1，现有边长分别为，的正方形Ⅰ号和Ⅱ号，以及长为，宽为的长方形Ⅲ号卡片足够多，我们可以选取适量的卡片拼接成几何图形（卡片间不重叠、无缝隙）．解答下列问题： (1)图2的长方形是由图1中的卡片拼接而成，则这个几何图形表示的等式是_______________________________________； (2)若用图1中的卡片拼得一个面积为的长方形，求共用了多少张卡片？ (3)设，，Ⅰ号、Ⅱ号和Ⅲ号每种卡片各有9张．从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），若把取出的这些卡片拼成一个正方形，当所拼正方形的边长最大时，请直接写出所用卡片的最少数量． 24．（12分）（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）一般地，我们把按照确定顺序排列的一列数，，，叫做数列．若数列满足（为非零常数），我们把数列叫做等比数列，叫做公比；若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”；若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”；依次类推，若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”，且为整数． (1)分别写出等比数列1，2，4，8的“2级等比数列”和“3级等比数列”； (2)若等比数列：，，，，． ①求该等比数列的所有数之和． ②设，，分别是该数列的，，级等比数列的所有数之和．若，求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级数学上学期第一次月考·拔尖卷 【沪教版五四制2024】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知，则正整数m的值为（   ） A．84 B．86 C．94 D．96 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方等的逆运算，合并同类项．将等式右边的两个幂次项提取公因数，转化为平方数的乘积形式，进而开平方得到m的值，即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选D． 2．（3分）（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知，，，为常数，，，若的取值与x无关，是不含的多项式，且恒成立，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减、代数式求值，解决本题的关键是求出、．根据题意，求出，且的取值与无关，所以，，即，；，因为是不含的多项式，所以，即；因为，将、、代入到式子中，可得，即，因为式子恒成立，所以，即，将、、、代入求出． 【详解】解：因为，， 所以 ， 因为的取值与无关， 所以，， 得：，； ； 因为是不含的多项式， 所以， 即， 因为， 即， ， 因为该式子恒成立， 所以， 即， ． 故选：A． 3．（3分）（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）下面是某同学的作业题：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查整式的混合运算，根据合并同类项运算法则判断①，根据单项式乘单项式的运算法则判断②，根据单项式除以单项式的运算法则判断③，根据幂的乘方运算法则判断④，根据同底数幂的除法运算法则判断⑤． 【详解】解：①与不是同类项，不能合并计算，故①不符合题意； ②，原计算正确，故②符合题意； ③，原计算正确，故③符合题意； ④，故④不符合题意； ⑤，故⑤不符合题意； 正确的是②③，共2个． 故选：A． 4．（3分）（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，将一张长方形纸片分割为一个正方形与一个长方形，并按图、两种方式放置在正方形内记图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积分别为，，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，根据各图形面积间的关系，用含，的代数式表示出，，是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，则长方形的长为，宽为，根据各图形的放置方式，可用含，的代数式表示出，，，结合，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则长方形的长为，宽为， ，，． ， ， ， ∴ ． 故选：B． 5．（3分）已知，，，下列结论正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查整式的乘法，先把变形为，然后代入即可确定，然后根据即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选C． 6．（3分）（24-25七年级下·广东广州·期末）甲、乙两名同学各提一个水桶在同一个水龙头前打水．如果甲打满一桶水需要分钟，乙打满一桶水需分钟，要使两人都打满一桶水所用时间和（包括等待时间）最少，应如何安排？（  ） A．安排甲先打水 B．安排乙先打水 C．甲、乙的打水顺序不影响总时间 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要查了不等式的应用，解题关键是熟练掌握作差法，通过比较单次打水时间，依据让用时短者先打水可最小化总等待时间的原则，计算并对比不同顺序的总时间来确定最优安排 ； 分两种情况讨论：若甲先打水，和若乙先打水，分别求出两人都打满一桶水所用时间和，比较即可求解． 【详解】∵， 由于，故， 即乙的单次打水时间比甲短． 故乙的打水时间总比甲短． 甲打水时间为分钟，乙打水时间为分钟．乙等待甲打水的时间∶分钟，加上乙自己打水的时间b分钟， 此时两人都打满一桶水所用时间和为分钟； 若乙先打水， 乙打水时间∶分钟，甲等待乙打水的时间∶分钟，加上甲自己打水的时间钟， 此时两人都打满一桶水所用时间和为分钟； ∴ ∴乙先打水时总时间更短． 故选：B． 7．（3分）关于的整式与，令，，下列说法正确的有（    ）个． ①若是关于的二次整式，则的值共有3种不同的可能； ②若，，为整式，则中除常数项外其余各项系数和为； ③若，，，，，，则的最小值为； ④若，，，，令，，且，，则共有项． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式的项与系数等知识．熟练掌握多项式乘以多项式，多项式的项与系数是解题的关键． （1）由是关于的二次整式，可知至少有一个为2，然后分情况求解；进而可判定①的正误；由，可得，则，可求，即，由，可判断②的正误；由，，，，，，可得，，则，由，可得，进而可判断③的正误；由，，，，可得，，然后根据题意，推导规律并作答即可． 【详解】解：∵是关于的二次整式， ∴至少有一个为2， 当时，；此时的值为； 当时，；此时的值为； 综上，的值共有3种不同的可能；①正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴中除常数项外其余各项系数和为，②正确，故符合要求； ∵，，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，③正确，故符合要求； ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴，共3项； ∴，， ∴，共项； ∴，， ∴，共项； …… ∴可推导，，共项； ，共项； ，共项； ，共项； ∴，共项．④正确，故符合要求； 故选：D． 8．（3分）（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）已知a，b，c为自然数，且满足，则的取值不可能是（    ） A． B．2 C．1 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，掌握相关运算法则是解题的关键． 将等式化简为，得到且，列举所有可能的自然数组合，计算的值，判断选项中不可能的结果． 【详解】解：原式可化为：， ， ， ，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 时，为负数，不符合自然数条件， 可能的结果为，，，而不在其中，故的取值不可能是1． 故选：C． 9．（3分）（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒6个单位和每秒3个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（    ） A．4 B．16 C．4或16 D．8或16 【答案】D 【分析】本题以数轴的形式考查了行程问题，分类讨论思想，根据题意得到的值，分类进行讨论即可，正确根据不同情况得到不同的式子是解题的关键． 【详解】解：，且， 点、表示的数分别为，10， 根据题意得，，， 长分两种情况： ①当时，， ， 要使的值在某段时间内不随着的变化而变化，则，即， ②当时，， ， 要使的值在某段时间内不随着的变化而变化，则，即， 故答案为：D． 10．（3分）（24-25七年级上·河北石家庄·期末）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，错误的是（   ） A．“2”上边的数是8 B．“20”右边的“□”表示4 C．运算结果可以是9225 D．“5”右边的“□”表示5 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键． 设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B、D选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，把代入，故可判断C选项． 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ， ∴A、“2”上边的数是，故本选项不符合题意； B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； C、上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， ∴当时，， ∴C选项不符合题意， D、“5”右边的“□”表示1，故该选项符合题意， 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算，整式的化简求值，先根据题意得出，再代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（3分）（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）已知为任意的两位数，若的各位数字不同且不为0，这样的两位数称为“数”．把一个“数”的十位和个位数字交换位置，得到一个新的两位数，把这两个数相加的和除以11的商记为．例如对调后的两位数为54，这两个数的和为99，，所以．计算： ．若，都是“数”，（，，，为整数）当时，则 ． 【答案】 6 7 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，理解“数”的定义是解题的关键． 根据“数”的定义列出算式即可求得的值，先求得、列出等式整理即可解答． 【详解】解：； ， ∴， ∵， ∴，整理得：． 故答案为：6，7． 13．（3分）如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形纸片按图1和图2两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等．    （1）若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为 厘米； （2）若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是 平方厘米． 【答案】 4 【分析】（1）根据正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等可得②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，进而计算即可； （2）观察图形，②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，②号长方形纸片的长的3倍是①号长方形纸片的长，进而计算即可． 【详解】解：（1）由图知，②号长方形纸片的宽为（厘米）， 故答案为：4； （2）设①长方形纸片的长为a，宽为b，则， 由图知，②长方形纸片的长为，宽为， ∴②号长方形纸片的面积是（平方厘米）， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的乘法运算的应用，利用图形，正确列出式子是解答的关键． 14．（3分）（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）已知实数，满足：，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了运用平方差公式进行整式求值的能力，关键是能准确理解并变形运用该知识．先将两式相减并变形为，可得，代入计算即可． 【详解】解：，， ， 两式相减得，， 即， 变形得，， ， 即， ， 故答案为：1． 15．（3分）（24-25七年级下·辽宁锦州·阶段练习）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点，连接、，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为10，图2的阴影部分面积为4，则图1的阴影部分面积为 ． 【答案】27 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，设甲的边长为a，乙的边长为b，则，，进而根据完全平方公式推出，再根据图1的阴影部分面积，据此计算求解即可． 【详解】解：设甲的边长为a，乙的边长为b， ∴， ∴， ∵图2的阴影部分面积为4， ∴， ∴， ∴， ∴图1的阴影部分面积 ， 故答案为：27． 16．（3分）（24-25七年级上·重庆·阶段练习）对于一个四位自然数，若千位数字与个位数字之和等于9，百位数字与十位数字之和等于7，则称这个四位数为“欢喜数”．将“欢喜数”的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调组成新的四位数，并规定，则 ；若一个四位自然数N是“欢喜数”，且能被7整除，则满足条件的N的最大值为 ． 【答案】 52 9340 【分析】本题考查了新定义“欢喜数”的理解与应用，涉及数的构造、代数式化简及整除性质，解题的关键是通过代数式转化将与“欢喜数”的数字特征关联，结合整除条件求解最大值． （1）根据“欢喜数”定义验证1438，构造后直接代入公式计算； （2）用字母表示“欢喜数”的数字，推导 的化简式，结合整除条件确定数字间关系，通过最大化千位数字求解 N 的最大值． 【详解】解：（1）计算F（1438）： 验证1438是“欢喜数”：千位1与个位8之和为9，百位4与十位3之和为7，符合定义． 构造M：千位与十位对调，百位与个位对调，得． 计算． （2）求满足条件的N的最大值： 设“欢喜数”，则，构造， 则，， ． 代入，得． 由能被7整除，得能被7整除， ∵， ∴能被7整除，又2与7互质， ∴也能被7整除，又a、b是0～9之间的整数，， ∴或， 要使N最大，需最大化千位a，即，这时（舍去的情况）， 取最大数字，得， 此时， ∴． 故答案为：52；9340． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级上·吉林·阶段练习）已知多项式，，．求． 老师展示了一位同学的作业如下： 解： …第一步 …第二步 …第三步 (1)这位同学从第 步开始出现的错误； (2)求的正确结果； (3)若的结果与字母a的取值无关，求m的值． 【答案】(1)二 (2) (3) 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握去括号法则和合并同类项的方法是解答本题的关键． （1）根据题目中的解答过程可知：这位同学第二步开始出现错误，错误原因是去括号时，第二项没有变号； （2）直接利用整式的加减运算法则计算得出答案； （3）先计算出，然后根据的结果与字母的取值无关，即可求得的值． 【详解】（1）解：由题目中的解答过程可知：这位同学第二步开始出现错误，错误原因是去括号时，第二项没有变号， 故答案为：二； （2）解： ． （3）解： ， ∵的结果与字母的取值无关， ， 解得：． 18．（6分）（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图是某城市市民休闲健身公园的一块长为米，宽为米的长方形空地．为进一步规范市民网络直播，市政部门计划在空地上建造一个网红打卡直播大舞台（图中阴影部分，单位：米）． (1)用含有m，n的式子表示网红打卡直播大舞台的面积（结果化为最简）； (2)若修建网红打卡直播大舞台的费用为0.02万元/平方米，且，，则修建网红打卡直播大舞台需要费用多少万元？ 【答案】(1)平方米 (2)万元 【分析】本题考查列代数式，整式的混合运算，代数式求值，解题的关键在于根据题意用含有m，n的式子表示出网红打卡直播大舞台的面积． （1）利用健身公园一半的面积减去右上角小三角形的面积，即可解题； （2）先将，代入（1）中式子求出网红打卡直播大舞台的面积，再结合修建网红打卡直播大舞台的费用为0.02万元/平方米，列式求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，网红打卡直播大舞台的面积为： 平方米； （2）解： ，， 网红打卡直播大舞台的面积为 （平方米）； 修建网红打卡直播大舞台的费用为0.02万元/平方米， 修建网红打卡直播大舞台需要的费用为：（万元）． 19．（8分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此4，12，20都是“神秘数”． (1)和这两个数是“神秘数”吗？为什么？ (2)设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是的倍数吗？为什么？ (3)试结合（2）中的结论说明两个连续奇数的平方差（取正数）不可能是“神秘数”． 【答案】(1)是“神秘数”，不是“神秘数”，理由见解析； (2)由两个连续偶数和（其中取非负整数）构造的“神秘数”是的倍数，理由见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查平方差公式． （1）根据“神秘数”的定义，判断即可； （2）化简计算和的平方差即可； （3）取两个连续奇数，计算平方差，结合（2）的结论即可得结论． 【详解】（1）解：是“神秘数”，不是“神秘数”， 理由： ∵， ∴是“神秘数”， ∵，而不可能为两个连续偶数的和， ∴不能表示为两个连续偶数的平方差， ∴不是“神秘数”， 答：是“神秘数”，不是“神秘数”． （2）解：由两个连续偶数和构造的“神秘数”是的倍数， 理由： ， ∵为非负整数， ∴是的倍数， 答：由两个连续偶数和（其中取非负整数）构造的“神秘数”是的倍数． （3）解：设两个连续奇数为和， ， 由（2）知，“神秘数”是的奇数倍， ∵是的偶数倍， ∴两个连续奇数的平方差（取正数）不可能是“神秘数”． 20．（8分）（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）周长相等的长方形和正方形，按如图所示的方式叠放在一起（其中点D在上，点B在的延长线上，和相交于点G），正方形的边长为m，长方形的宽为x，长为． (1)写出x，y，m之间的等量关系； (2)若长方形的周长记作，长方形的周长记作． ①求的值（用含y、m的代数式表示）； ②若关于y的不等式的正整数解只有1个，求m的取值范围； (3)若长方形的面积记作，长方形的面积记作，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②． (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了长方形和正方形的性质，列代数式，整式的运算，解含有参数的一元一次不等式和解不等式组，用求差法比较大小，熟练根据题意列出式子是解题的关键． （1）根据长方形与正方形的周长相等，构建关系式即可解决问题； （2）①用，，表示上述出矩形的周长，相加即可； ②把的值代入得到关于的不等式解得求出的取值范围，其正整数解只有1个，得到关于的不等式组，解出即可得到的取值范围； （3）利用求差法比较大小即可． 【详解】（1）解：长方形和正方形的周长相等， ， ； （2）解：①由题意，得，，， ∴，， 长方形的周长记作， 长方形的周长记作， ； ②， ， 的正整数解只有1个， ， ， 的取值范围是． （3）解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ． 21．（10分）（24-25八年级上·山西朔州·期末）实践教学： 某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． ①组的同学认为图1中回字形福建土楼的占地面积更大； ②组的同学认为图2中山西大院的占地面积更大． 数据采集： 为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 数据应用： (1)请分别计算这两个建筑物的占地面积； (2)若，则__________组同学的想法正确．（填“①”或“②”） 【答案】(1)回字形福建土楼占地面积为，山西大院占地面积为 (2)① 【分析】本题考查多项式乘法的实际应用，整式加减的应用： （1）用含a，b的式子表示出图形的长和宽，再利用多项式乘多项式求解； （2）结合：，计算这两个建筑物的占地面积之差，即可求解． 【详解】（1）解：回字形福建土楼占地面积为： ； 山西大院占地面积为： ； （2）解：这两个建筑物的占地面积之差 ， ， ， 回字形福建土楼的占地面积更大， 即①组同学的想法正确， 故答案为：①． 22．（10分）（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．如；． …… …… …… …… … … (1)请你写出和的展开式； (2)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过天是星期________． (3)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令则，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； (4)你能在（3）的基础上求出的值吗？若能，请写出过程． 【答案】(1)； (2)三 (3) (4) 【分析】本题考查了数字类变化规律，读懂题意并根据所给的式子找到规律是解题的关键． （1）根据规律即可求解； （2）通过变形得到，根据规律即可得解； （3）由题意可得，即可解答； （4）令则，与（3）中所给的式子相加，即可解答． 【详解】（1）解：； ； （2）解：， 故除以余1， 则今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过天是星期三， 故答案为：三； （3）解：令则， 令则， ； （4）解：令则， ， 23．（12分）（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）在整式乘法的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究代数式的变形问题．借助直观、形象的几何图形，加深对整式乘法的认识和理解，感悟代数与几何的内在联系．如图1，现有边长分别为，的正方形Ⅰ号和Ⅱ号，以及长为，宽为的长方形Ⅲ号卡片足够多，我们可以选取适量的卡片拼接成几何图形（卡片间不重叠、无缝隙）．解答下列问题： (1)图2的长方形是由图1中的卡片拼接而成，则这个几何图形表示的等式是_______________________________________； (2)若用图1中的卡片拼得一个面积为的长方形，求共用了多少张卡片？ (3)设，，Ⅰ号、Ⅱ号和Ⅲ号每种卡片各有9张．从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），若把取出的这些卡片拼成一个正方形，当所拼正方形的边长最大时，请直接写出所用卡片的最少数量． 【答案】(1) (2)84张 (3)16张 【分析】本题考查了整式乘法与图形面积、完全平方公式与图形面积，熟练掌握整式乘法与完全平方公式是解题关键． （1）方法一：利用长方形的面积公式直接计算图2的长方形的面积；方法二：图2的长方形的面积等于四个小正方形的面积与四个小长方形的面积之和，由此即可得出等式； （2）利用整式的乘法法则可得，再根据三种卡片的面积即可得； （3）根据所拼成的是边长最大的正方形，再结合三种卡片的数量，可得最大正方形的边长为，利用完全平方公式计算即可得． 【详解】（1）解：方法一：图2的长方形的长为，宽为， 则图2的长方形的面积为； 方法二：图2的长方形的面积等于四个小正方形的面积与四个小长方形的面积之和， 则图2的长方形的面积为； 所以这个几何图形表示的等式是， 故答案为：． （2）解： ， ∵一张Ⅰ号卡片的面积为，一张Ⅱ号卡片的面积为，一张Ⅲ号卡片的面积为， ∴共用卡片的张数为（张）， 答：共用了84张卡片． （3）解：当所拼正方形的边长最大时，则卡片Ⅰ号用的要尽可能的多，每条边上最多是3个，又因为三种卡片均要使用，所以正方形的边上还应有卡片Ⅱ号，则所拼正方形的边长可以为，，， ①当所拼正方形的边长为时，所拼正方形的面积为，此时需要12张Ⅲ号卡片，不符合题意，舍去； ②当所拼正方形的边长为时，所拼正方形的面积为，此时需要18张Ⅲ号卡片，不符合题意，舍去； ③当所拼正方形的边长为时，所拼正方形的面积为，符合题意，此时所用三种卡片的数量为（张）， 答：所用卡片的最少数量为16张． 24．（12分）（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）一般地，我们把按照确定顺序排列的一列数，，，叫做数列．若数列满足（为非零常数），我们把数列叫做等比数列，叫做公比；若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”；若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”；依次类推，若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”，且为整数． (1)分别写出等比数列1，2，4，8的“2级等比数列”和“3级等比数列”； (2)若等比数列：，，，，． ①求该等比数列的所有数之和． ②设，，分别是该数列的，，级等比数列的所有数之和．若，求证：． 【答案】(1)级等比数列为：，，， 级等比数列为：，，， (2) ① ②证明见解析 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，整式乘法混合运算等知识点，理解材料提示的计算方法，掌握数字规律的计算及整式乘法混合运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示的计算方法求解即可； （2）①根据题意可得，，两室相减即可得解；②根据题意，设数列的公比为，其，，级等比数列分别为，，，分别计算出，，的值，然后按照同底数幂的乘法、幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用、整式乘法混合运算法则计算即可得出结论． 【详解】（1）解：等比数列1，2，4，8的公比为， ∴级等比数列为：，，，； 设3级等比数列为：， ∵， ∴，，，， ∴级等比数列为：，，，； （2）①解：若等比数列：，，，，， ∵，， ∴， 即：； ②证明：根据题意，若数列满足（为非零常数），数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”，且为整数， ∴设数列的公比为，其，，级等比数列分别为，，， ∴，，， ∴，，，， ，，，， ，，，， 又∵， ∴， ， ， ∵，， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$