分层作业(5)用空间向量研究直线、平面的位置关系-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册分层作业（人教A版）

智学分层作业 智学分层作业（五） 用空间向量研究直线、 平面的位置关系 (满分：75分) ·基础对点练· 1.(5分)（教材改编题）已知直线1的一个方向向 量为a=(一3,2,5)，平面a的一个法向量为 b=(1,x,一1)，若1∥a,则x= (） [A]4 [8]3 [c]2 [D]1 2.(5分)若平面a∥B,则这两个平面的法向量可 以是 () [A]n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1) [B1n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1) [c1n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1) [D]n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2) 3.(6分)（多选题）如图，在平行六面体ABCD- ABC1D1中，M,P,Q分别为棱AB,CD,BC 的中点.若平行六面体的各棱长均相等，则下列 四个结论中，正确的是 () [A]AM∥D,P [B]A1M∥B1Q [c]AM∥平面DCC1D [D]A1M∥平面D1PQB, 4.(6分)（多选题）在菱形ABCD中，若PA是平 面ABCD的法向量，则以下等式中成立的是 () [A]PA.AB=0 [B]PC.BD=0 [c]PC·AB=0 [D]PA·CD=O 0口■0口▣■口0 ■口■▣D口 学 刀▣四初2 题卡信息 年级： 刀口口 后 44口4和04 班级： 505]5]505 位 60000四 姓名： 口口口D2口 HH 909口9刀09■ 5.(5分)已知AB-(1,5,-2),BC-(3,1,z),若 Ai⊥BC,B驴=(x-1,y,-3),且B驴⊥平面 ABC,则B萨等于 () (,-5) (,-5-3) to(9,-5-8)o(9,5,-3) 6.(5分)若平面a⊥平面B,且平面a的一个法向 量为n=(-2,1,),则平面日的法向量可 以是 () (-1,2) [B](2,-1,0) [c](1,2,0) o(分1,2) 7.(5分)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面 ABCD,PD/QA,QA=AB=2PD,则平面PQC 与平面DCQ的位置关系为 [A]平行 [B]垂直 [c]相交但不垂直[D]不确定 8.(5分)已知向量a=(1,一2,4)，b=(2,4x, y十1)分别是直线l1,l2的一个方向向量，若 l1∥z,则x+y= □ 9.(5分)已知n=(1,一2,2)是平面a的一个法向 量，点A(1,4,2),B(3,k,一2)在平面a内，则 k= ■ 9 ·能力提升练· 10.(5分)（创新拔高题）阅读下面材料：在空间直 角坐标系Oxyx中，过点P(xa,ya,),且一 个法向量为m=(a,b,c)的平面a的方程为 a(x-x。)+b(y-y。)+c(x-x。)=0,过点 P(x0,yo,zo)且方向向量为n=(u,v,w) (uw≠0)的直线1的方程为一x0-y一y =之二.根据上述材料，解决下面问题：直线 1是两个平面x-2y+2=0与2x-之十1=0 的交线，则！的一个方向向量为 () [A](2,1,4) [B](1,3,5) [c](1,-2,0) [D](2,0,-1) 11.(5分)如图，已知正方体ABCD-A,B,C1D1, E,F,G分别是AB,CC1,C1D1的中点，则 [A]直线A,F与直线EG相交 [B]直线B,D,∥平面EFG [c]直线BB,与平面EFG相交 [D]直线A,D⊥平面EFG D 第11题图 第12题图 12.(5分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底 面ABCD,底面ABCD是矩形，AB=2AD= 4,PD=45 ，E是PA的中点，F店=2P京.若 点M在矩形ABCD内，且PM⊥平面DEF, 则DM= w35 5 to)4/5 5 智学分层作业 19876543210+0. 13.(13分)如图，直三棱柱ABC-A1B,C1中，CA =CB=1,∠BCA=90°，AA1=2,M,N分别 是A1B1,A1A的中点 (1)求cos(BA1,CB,)的值； (2)求证：BW⊥平面C,MN. 015.解：(1)证明：周为平面ABEF⊥平面ABCD,平面ABEF∩平 面ABCD=AB,AD⊥AB,ADC平面ABCD,所以AD⊥平面 ABEF,又BFC平面ABEF,所以AD⊥BF (2)因为∠BAF=90°，所以AF⊥AB. 文AFC平面ABEF, 由(1)得AD⊥AF,AD⊥AB, 所以以A为坐标原点，以AB,AD, A下的方向分别为工，y,:轴的正方 向，建立如图所示的空间直角坐标系Axy, 则B10,0,E(20,1P(o1,2）,C1,2,0, 所以酝-(-0,1)-(-1，-1,2) 所以os(成，C币)= B匝.C币45 BE·1cP15 即并面直线BE与CP所成角的余孩值为 15 分层作业（五） 答案速对 1234567101112 A D ACD ABD B C B A C D 8.69.1 试题精折 1.A[因为l∥a,所以a⊥b,即a·b=0,即-3十2x-5=0,解 得x■4.故远A.] 2.D[周为平面a∥B,所以两个平面的法向量平行，只有D项 特合，故选D.] 3.ACD[因为AM=A+AM=A有+号Ai,D,户= DD+D币=AA+之A店，所以AM∥D产，所以AM∥ D1P,故A正确：由线面平行的判定定理可知，A,M∥平面 DCC,D1,A1M∥平面DPQB,故C,D正确，因为PQ与 D1B1平行但不相等，所以四边形D1PQB1为梯形，即D1P 与B,Q不平行，所以A1M与B1Q不平行，故B不正确. 4.ABD[因为PA⊥平面ABCD,所以BD⊥PA.又AC⊥BD, AC∩PA=A,AC,PAC平面PAC,所以BD⊥平面PAC 因为PCC平面PAC,所以PC⊥BD.故选项B成立，选项A 和选项D星然成立.] 5.B[由AB,BC=0,得3+5-2：=0，所以2=4. 又因为B驴⊥平面ABC, 萨·i=0任-1+5+0 所以 BP.BC=0, 3x-3+y-12=0, 共（供共 解得 6.C[因为平面a⊥平面3，所以平面a的一个法向量与平面B 的法向量垂直，即它们的数量积为0. 对于A(-12,）(21,）-2+2+日-g 162 0,故A错误： 对于B,(2-1,0)…（-2,1,2）=-4-1+0=-5≠0，故 B错误： 对于C,12,0)…(-21,2)=-2+2+0=0,故C正确： 对于D.(分12·(-21，号）-1+1+1=1≠0，故D 错误，故选C.] 7.B[如围，以D为些标原点，线役DA的 长为单位长度，DA,DP,DC所在直线分 别为工轴、y轴、z抽，建立空间直角坐 标系。 别D(0,0,0),Q(1,1,0),C(0,0,1), P(0,2,0), 所以D0-(1,1,0),DC=(0,0,1),P0-(1,-1,0). 周为P·D=0,Pi.DC=0, 所以PQ⊥DQ,PQ⊥DC,文DQ∩DC=D,DQ,DCC平面 DCQ,所以PQ⊥平面DCQ. 又PQC平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ.] 8.6[因为l1:,所以ab,故存在实数A使得b■a, 向量a=(1,-2,4),b=(2,4x,y+1), 2=1, 网二：解得-”所以+y=6] y+1=4, 9.1[由A1,4,2),B(3,k,-2),得AB=(2,k-4,-4). 周为n=(1,一2,2)是平面a的一个法向量，点A(1,4,2), B(3,k,一2)在平面a内， 所以n·A市=(1，-2,2)·(2，k-4,-4)=2-2(k-4)-8 =0,解得k=1.] 10.A[平面x一2y+2=0与2x一x+1=0的一个法向量分 别为m1=(1,一2,0)和m2=(2,0,-1),设直线【的一个方 向向量为n。=(x,y,z), 则m1:一2y=0不坊取工=2，则m4=2,1,4.故 m:·n。=2x一z=0, 选A.] 11.C[建立如图所示的空间直角坐标 系，设正方体的棱长为2 则D(0,0,0),B(2,2,0),E(2,1,0),4 A1(2,0,2),B,(2,2,2),G(0,1,2), D(0,0,2),F(0,2,1). 从而有A,F=(-2,2,-1), B,D=(-2,-2,0),BB1=(0,0,2), A1D=(-2,0,-2),E=(-2,0,2),EF=(-2,1,1). 对于A,因为GFD,C,DC∥AB,所以A1G,F,B阿点 共面， 而E在平面AA1B1B内，且平面A,GFB∩平面AA,B1B =A1B, 点E不在直线A,B上，所以点E不在平面AGFB内， 所以直线A,F与直战EG异面，故A错误： 对于B,设平面EFG的法向量为m=(xy,z), (E武·m=-2x十2x=0, 则市，m=-2x十y十：=0 从而可取m=(1,1,1)是平 面EFG的一个法向量， 所以BD,·m=-2×1十(-2)X1+十0=-4≠0，周此直 线B,D,与平面EFG不平行，故B错误， 对于C,BB1·m=2≠0，且直线BB1丈平面EFG,故直线 BB:与平面EFG相交，故C正确： 对于D,A1D=(一2,0，-2)与m=(1,1,1)不共线，故直线 A:D与平面EFG不垂直，故D错误. 故选C,门 12.D[如图，以D为坐标原点，DA D心，DP的方向分别为xy,z轴的 正方向，建立空间直角坐标系， 则D0.00,p(00,4） B2,40.E(10,2）. F(层台得)a成-(1,2). =(号) 设平面DEF的法向量为n=(x,y,z), 成=+25=0. 则 成=号++=0 令x=5,得n=(-2,-1,5) 设Mm,0,则P成-(m,-4）。 图为PM⊥平面DEF,所以PM∥n, 4v5 5 8 一，解得m=行n=万 故DM-后+7-5] 13.解：(1)在直三枚柱ABCA,B,C,中，C1C⊥平面ABC,又 ∠BCA=90°， 以点C为坐标原点，CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y 轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意得，A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2), 所以BA=(1,-1,2),CB=(0,1,2),BA·CB=3, IBA=6,ICB=5, 所以欧面-： BA·CB 3 √30 √6×√5 10 2证期：C00,2.B0,10N1,0,M(合，2 所以C-(合，0， C1N=(1,0,-1),BN=(1,-1,1) 所以CM,B时=号×1+号×(-1)+1X0=0, CN.BN=1×1+0×(-1)+(-1D×1=0, 所以C,M⊥BN,CN⊥BN,即C,M⊥BN,C1N⊥BN, 又C,M,C,NC平面CMN,C,MnCN=C1, 所以BN⊥平面C,MN. 分层作业（六） 答案速对 10 A D A A D 7. 试题精祝 1.A[因为A(2,3,1),P(4,3,2),所以A户=(2,0,1)， 剥A-5, 则点P到直线l的距离d= 2 故选A.] 2.C[如图，建立空问克角坐标系，则C(1,1,0),C(1,1,1), E0,21)所以=(1,2，-)，0=00,1D。 所以点C,到直线EC的距离d cC,-（ CC,·EC IECI -哥-c 3.D [AM=PM-FA=2PB+3PC, 剥|AM1=,√(2PB+3P元) =√4Pi+12Pi.P元+9P心 -√4+12x1x1x7+9-, Ai1=√PB-PA =√PB-2Pi·PA+PA =/1-2×1×1×2+1=1. 周为AM.Ai=(2P克+3P心)·(P克-PA =2Pi-2Pi,Pi+3P心.Pi-3P元.Pi =2-2X1X1×7+3X1X1x2-3X1X1x7-1 631