分层作业(3)空间向量基本定理及其应用-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册分层作业（人教A版）

12.30°[因为∠ABC=90°，所以BA·BC-0. 又DA-BA-B币，所以BC·DA=B戒，(BA-Bj) =BC.BA-Bt.BD=-√3， 所以B戒，B市=3】 又BC-1,BD=2, 所以BC.Bd-BCIBD1·cos∠CBD-2cos∠CBD-√3， 所以<CBD-停 又0°<∠CBD<180°，所以∠CBD=30°.] 13.解：(1)证明：设CA=a,Ci=b,CC=c, 根据题意得，la=bl-cl,且a·b=b·c=a·c=0, 所以正-成+成-成+丽-b+, 防=i+=成+2成-i=-+号02 1 所以主.防-(b+2)(-e+b-2) =-2+2=0, 所以C克⊥A方，即CE⊥A'D. (2)周为AC-AA+AC-cC-Ci=-a+c, 所以ac1-E1al,2-al。 国为d.应-(-a+e(b+)-2c=al片， 所以cos(AC,Ci)= 含o √/10 10 所以C正与AC所成商的余孩值为 101 分层作业（三） 答案速对 2 3 0 D D ABD 试题精析 1.D[由向量OA,OB,OC不能构成空间的一个基底，知OA, OB,OC三向量共面，所以0，A,B,C四点共面.] 2.D[国为萨=E成+Bi+A市+D亦=-寻B丽-A+A市 +号D丽=-号a-A+币+2A=-A++ 名a所以x-1y-1-名，故x+y+-合故 选D.] 3.C[连接DN,如图所示， 在四面体ABCD中，DA=a,Di=b,D元=c, 又点M在枚DA上，且DM=3MA, 所以D-是成 又N为BC的中点， 所以D丽-是D成+心， 所以M衣=M市+D成 -i+2Di+心 41 4D[由题意，设存在唯一的实数对(x,y),使得A言=xAC+ yAj,即2a-3b=x(a-c)+y(2b+c),剿2a-3b=xa+ 2b+y-c,则=2y=-号y-=0 解得A=一3故选D] 5号[设=a,C=b,=e, 以M-M+A,B+BN-号B不+A店+号B,C -号-++号花-前 -+a+aM=号a+b+e. 国为(a+b+e)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c -1+1+1+0+2×1×1×cos60°+2×1×1×cos60°-5， 所以1M1=吉a+b+e=] 6.解：(1)因为D,E分别是PA,BC的中点， 所以店-防+P心)-i+成-+， 时-i-, 所以证-呢-市-b+- 11 又亦=成，所以亦-号硫， 则市=币+亦-币+成 -+(位b+c-)小-b+c+日a (2)国为PA=4,PB=5,PC=3,∠APB=∠BPC=60°， ∠CPA=90°， 所以Pi,P哺=i·Pcos∠APB=4×5×2=10. 又AC-P元-PA-c-a, 所以序，心-(+c+合)小e-) 1 4×3×0=-7 7.ABD[如图所示，固为E,F分别是OA,BC的中点，所以 O=2(0丽+6心)=2O丽+2心=号6+2，故A 正确： 球-0亦-o庞=b+-a. 591 图为PF-2EP, 所以EP=专EP,FP=号ER, 所以-球（+-） 1 =号-号（+-）=4 故C错误： o亦-0成+成-4-言4+ 6 c= 3+ -b+ 故D正确.故选ABD.] 8.A[如图所示，连接AM,AN,因为G是MN的中点，所以 花-号+矿， C B 图为M,N分别是A,C,BB,的中点， 所以AN=A店+B丽=A店+2AA, AM-AM+A,M-M+2A花， 则AG-号+A) =2(aA+2Ac)+2(ai+2An) -2+m+花， 又周为A店=2红+2A+花， = 所以可得y=解得y- -六 所以y十：=++片1做选A] 9.证明：如图，设Oi=a,Oi=b,O元=c, ∠AOB=∠BOC=∠AOC=8, 则la=|b1=|cl. 因为G是MN的中点， 所以0元=2O+O) =号[2oi+2oi+oò] -(a+b+e).BC-0-0B-c-b, I60 所以0成，C-a+b+e)e-b) -t(a:e-a:b+8.e-ste-6.c)-0. 所以OG⊥BC,即OG⊥BC. 10.解：1)AC-a+b,BD,-AD,-AB-b+c-a. (2)由题意得AC·BD1=(a十b)·(b十c一a) =a·b+a·c-a2+b3+b·c-b·a =0--1+1-9-0=- 又周为AC=2,BD1'=(b+c-a) =b2+c2+2b·c-2b·a-2e·a+a =1+2-2-0+2+1=4, 所以1BD1=2. 设AC与BD1所成的角为0，则cos0= A花.BD, AC·IBD, 2-号又0<0≤180，片以0-12w,所以直线AC 2√2 与BD,所成的角为60 分层作业（四） 答案速对 2 3 4 56 12 13 AC BCD BB A B B 14-》&-19(哈日)10-号 4[g 试题精析 1.A[在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,-2,3)在坐标平面 Oyz上的射影的坐标是(0，一2,3). 故选A,] 2.C[根据ab,则存在常数入，使得a=Ab, 3 =A, n一2 有以叫侣 可得m-4·所以m+2m=8.款选C.] n=2, 3.BCD[对于A,点P(1,2,3)关于坐标平面Oxy的对称点的 坐标为(1,2，一3)，故A错误： 对于B,点Q(1,0,2)的飙坐标为0，则点Q(1,0,2)在坐标平 面Ozx上，故B正确： 对于C,z一1，剥横、纵坐标为任意值，所以z■1表示一个与 坐标平面Oxy平行的平面，故C正确， 对于D,因为x轴、y轴均与之轴垂直，且x轴、y轴交于点 O,则坐标平面Oxy与坐标轴g轴垂直，故D正确.故 选BCD.] 4.B[若a,b,p共面，则a=b十p 即(-2,1，m)=(-,一入+2#4)，智学分层作业 智学分层作业（三） 空间向量基本定理及其应用 (满分：79分) ·基础对点练· 1.(5分)O,A,B,C为空间四点，且向量OA, OB,OC不能构成空间的一个基底，则( [A]OA,OB,OC共线 []OA,OB共线 [c1OB,OC共线 [D]O,A,B,C四点共面 2.(5分)如图，在平行六面体AB- CD-A1BCD1中，E,F分别A 在棱BB,和DD1上，且BE= B,DF-DD.者E xAB+yAD+:AAi,则x+y十z= 1 [AJ-1 [B]0 o13 ()6 3.(5分)已知四面体ABCD, DA=a,DB=b,DC=c,点M 在棱DA上，DM=3MA,N 为BC的中点，则MN= 3 1 1 [A] -4a-2b-2c 1 1 4a+2b+2c -+号+ 2b+2 1 4.(5分)已知{a,b,c}是空间的一组基底，其中 AB=2a-3b,AC=a-c,AD=2b+c.A, B,C,D四点共面，则入= () CA]-3 033 [03 o1- 01■0口0▣■00□ ■▣▣■□ 初和2四刀2 题卡信息 年级： 学号后 】知 4初口4和和4可 班级： 位 505]5]55] D园创四 姓名： 0口2口口口 D8g8□ 9■99J■9▣9I 5.(5分)如图，在三棱柱 ABC-AB,C1中，M、N分 别是A1B,B,C1上的点， 且BM=2A,M,C,N= 2B1N.若∠BAC=90°， ∠BAA1=∠CAA1=60°，AB=AC=AA1=1,则 线段MN的长为 □ 19876543210+0. 6.(14分)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=4,PB =5,PC=3,∠APB=∠BPC=60°，∠CPA= 90°，D,E分别是PA,BC的中点，点F在DE 上，且D=2FE,记PA=a,PB=b,PC=c. (1)试用基底{a,b,c}表示向量PE,DE,PF: (2)求PA·PB和PF·AC的值. 5 ·能力提升练· 7.(6分)（多选题）在空间四边形OABC中，E,F 分别是OA,BC的中点，P为线段EF上一点， 且PF=2EP,设OA=a,Oi=b,O元=c,则下 列等式成立的是 () 【woi=b+ 60+6b+ []Ep=-1 1 [c]FF--1a+1n 1 3a+3b+3 oo丽=+b+ 1 8.(5分)（创新拔高题）《九章算术》中的“商功”篇 主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的 计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱 柱.如图，在堑堵ABC-AB1C1中，M,N分别 是AC1,BB:的中点，G是MN的中点，若AG =2zA店+2AA+AC,则x++x= C A --.G B B [B]2 3 [A]1 o是 19876543210+0.5 9.(15分)已知在空间四边形OABC中，∠AOB =∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC,M,N 分别是OA,BC的中点，G是MN的中点. 求证：OG⊥BC 智学分层作业 19876543210+0.5 10.(14分)如图，在平行六面体ABCD-A,B,C,D 中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1= 2.设AB=a,AD=b,AA1=c. (1)试用a,b,c表示向量AC,BD1; (2)若∠A1AD=∠A1AB=120°，求直线AC 与BD,所成的角， D以