6.3 反比例函数的应用（分层作业）数学北师大版九年级上册

6.3 反比例函数的应用 1．（24-25九年级下·江苏常州·阶段练习）为丰富学生课余活动，某校用5000元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列函数表达式，根据总价等于单价乘以数量，列出函数关系式即可． 【详解】解：依题意得， 即：． 故选：B． 2．（24-25八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）如图机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（   ） A．8 B．3 C．9 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出反比例函数的解析式是解题的关键； 利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度； ， 反比例函数解析式为， 当时，． 故选：D． 3．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，分类讨论是关键．根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论． 【详解】解：∵， ∴，或，， ①若，，则直线经过一、三、四象限，反比例函数图象位于二、四象限， ②若，，则直线经过一、二、四象限，反比例函数图象位于一、三象限， 只有选项A符合题意， 故选：A． 4．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，，若火焰的像高为，则小孔到蜡烛的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握相关知识．设反比例函数解析式为，将，代入求出反比例函数解析式为，即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将，代入得：， 反比例函数解析式为， 当时，得： 解得：， 小孔到蜡烛的距离为， 故选：C． 5．（2025·湖北·一模）古希腊著名的科学家阿基米德发现了“杠杆原理”，即“阻力阻力臂=动力动力臂”．建筑工人甲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：N）关于动力臂（单位：m）的函数表达式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键． 根据所给公式列式，整理即可得答案． 【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂， ∴，整理得：， 故选：D． 6．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示.当电流I从增加到时，电阻R减小了（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意得到反比例函数解析式是解题的关键. 根据题意，由待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质进行计算即可得到答案. 【详解】解：设， 把代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， 当电流I从增加到时，电阻R减小了 故选：D ． 7．（24-25九年级上·吉林·期中）若反比例函数的图象经过点，则m的值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数中为定值．直接根据反比例函数中的特点进行解答． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，即． 故答案为：． 8．（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图2所示．则I与R之间的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象与性质．要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想是解答本题的关键．设电流（A）与电阻之间的函数关系，根据待定系数法求得． 【详解】解：由图象可知，电流（A）与电阻之间满足反比例函数关系， 设电流（A）与电阻之间的函数关系为， 点在函数的图象上， ， 解得：， 电流（A）与电阻之间的函数关系为， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）若函数与函数（）的图象交于两点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象的性质等内容，解题的关键是熟练掌握反比例函数图象的性质． 利用反比例函数的中心对称性即可求出另外一点的坐标． 【详解】解：将代入和，可得，， 根据反比例函数的中心对称性，另一点与点成中心对称， 所以另一点为， 故答案为：． 10．（2025·湖南邵阳·三模）已知电磁波的频率、波长满足关系：（为常数）．某种电磁波的频率为时，波长为．若将该电磁波的波长调谐为，则其频率为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先根据已知求出常数，再求出时，的值即可． 【详解】解：∵某种电磁波的频率为时，波长为， ∴， ∴当时，， 故答案为：15． 11．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）成反比，当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为，则镜片焦距为时，近视眼镜的度数为 度． 【答案】250 【分析】本题考查反比例函数的实际应用．正确求出反比例函数解析式是解题关键．根据题意可求出近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）的反比例关系为，再将代入求解即可． 【详解】解：∵近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）成反比， ∴可设． ∵当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为， ∴， 解得：， ∴， 当镜片焦距为时，即， ∴． 故答案为：250． 12．（24-25九年级下·吉林松原·期中）人的视觉机能受运动速度的影响很大．行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为时，视野为度，如果视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数． (1)求与之间的函数关系式； (2)计算当车速为时视野的度数． 【答案】(1)； (2)度． 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，求函数值的计算是关键． （1）设，运用待定系数法即可求解； （2）把代入函数解析式求函数值即可． 【详解】（1）解：∵视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数， ∴设， ∵当车速为时，视野为度， ∴， 解得，， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：当时，， ∴当车速为时视野的度数为度． 13．（23-24九年级上·湖南株洲·期中）已知反比例函数的解析式，并且当时，． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求函数值． （1）待定系数法求解析式即可； （2）把代入解析式求值即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的解析式，并且当时，， ∴； ∴； （2）当时，． 14．（2023·浙江丽水·一模）如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧挂一个物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数（单位：）是（弹簧秤与中点的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．    (1)求关于的函数表达式． (2)移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值． 【答案】(1)关于的函数解析式为 (2)弹簧秤的示数的最小值为 【分析】（1）根据反比例函数的定义，运用待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数图形的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意设，把，代入，得， ∴关于的函数解析式为． （2）解：由（1）可知，关于的函数解析式为，，是弹簧秤与中点的距离是，如图所示，    ∵， ∴随的增大而减小， ∴把代入，得， ∴弹簧秤的示数的最小值为． 【点睛】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质是解题的关键． 15．（23-24九年级上·广西梧州·期末）跨学科应用 在密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求密度关于体积的函数解析式； (2)当时，求该气体的密度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意，设反比例函数的解析式为，利用待定系数法即可求得函数解析式． （2）把V的值代入所求函数解析式中即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 由图象知，函数过点，把此点坐标代入上式中，得：， 解得：， ∴， 答：密度关于体积的函数解析式为． （2）解：当时，， 答：当时，该气体的密度为． 1．（24-25九年级下·广西桂林·阶段练习）如图，双曲线与直线的图象交于点和点，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，熟练掌握方法是解答本题的关键．根据题意找到交点坐标，利用图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：根据题意得，， 由图象可知：不等式的解集是或， 故选：A． 2．（24-25九年级上·山东泰安·期中）若是反比例函数与正比例函数的一个交点，那么两函数的另一交点点坐标应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数图象的交点问题，解题的关键是掌握：正比例函数与反比例函数图象的交点关于原点对称． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 故选：A． 3．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，顶点C、D位于第一象限，反比例函数的图象经过正方形的对角线的交点若的面积为，正方形边长为3，则k的值为（ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】过点D作轴于点H，设，则点，点，证明和全等得，由此得点D的坐标为，进而得点，再根据反比例函数的图象经过点E得，再由勾股定理得，由的面积为得，由此即可得出k的值． 【详解】解：过点D作轴于点H，如图所示： ， 设， 点A的坐标为，点B的坐标为， 四边形是正方形，且边长为3， ，点E为的中点， ， 在中，， ， 在和中，， ， ， ， 点D的坐标为， 又点B的坐标为，点E为的中点， 点E的坐标为， 反比例函数的图象经过点E， ， 在中，由勾股定理得：， ， 的面积为， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 4.（23-24八年级下·湖南株洲·期中）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象性质，解题的关键是根据函数解析式中系数的符号，分别确定一次函数图象经过的象限和反比例函数图象所在的象限，再判断两者的符号是否一致． 先明确：一次函数中，（图象必过y轴正半轴），时过一、二、三象限，时过一、二、四象限；反比例函数中，时图象在一、三象限，时图象在二、四象限；再逐一分析选项中两函数的符号是否一致，一致则为正确选项． 【详解】解：一次函数：（图象必过y轴正半轴），故时过一、二、三象限，时过一、二、四象限． 反比例函数：时图象在一、三象限，时图象在二、四象限． A、一次函数过一、二、三象限（则），反比例函数在二、四象限（则），符号矛盾，此选项不符合题意； B、一次函数过二、三、四象限（与矛盾，不存在此情况），此选项不符合题意； C、一次函数过一、二、四象限（则），反比例函数在一、三象限（则），符号矛盾，此选项不符合题意； D、一次函数过一、二、四象限（则），反比例函数在二、四象限（则），符号一致，此选项符合题意． 故选：D． 5．（2025·广东韶关·二模）如图1，现有一台可调节温度的取暖器，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现控温．如图2是该取暖器的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法错误的是（    ） A． I与R的函数关系式是 B． 当时 C．当时，I的取值范围是 D． 已知该取暖器的发热功率为，则P随R的增大而增大 【答案】D 【分析】根据题意，确定反比例函数的解析式，利用性质解答即可． 本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质，熟练掌握函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：A.点在反比例函数的图象上， ， 解得 反比例函数的解析式是，正确，不符合题意； B. 当时，，正确，不符合题意； C. 当时，，当时，，根据反比例函数的性质，得I随R的增大而减小，由，故I的取值范围是，正确，不符合题意； D. 已知该取暖器的发热功率为，I是变量，R是变量，无法这样描述它们之间的关系，错误，符合题意； 故选：D． 6．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点是坐标原点，，顶点在反比例函数的图象上，若菱形的周长为8，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解决问题是关键．连接交于点，根据菱形的性质得到，，再结合菱形的周长和勾股定理得到，从而得出点的坐标，再代入反比例函数解析式求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点， 菱形的顶点是坐标原点，， ，，， 菱形的周长为8， ， ， ， 顶点在反比例函数的图象上， ， 故选：C． 7．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，矩形的顶点A和对称中心都在双曲线上，若矩形的面积为8，则k的值为（   ） A．8 B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数k值的几何意义、矩形的性质，熟练掌握反比例函数性质是关键． 延长交y轴于点E，设点A坐标为，根据中心对称性质得到矩形中心点坐标，利用矩形面积建立，求出k值即可． 【详解】解：如图，延长交y轴于点E， 设点A坐标为， ∵四边形是矩形， ∴矩形中心的纵坐标为， ∴矩形中心的坐标为， ∴， ∵矩形的面积为8， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 8．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安装燃气报警器．其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器（图1中的），的阻值随空气中一氧化碳质量浓度的变化而变化（如图2），空气中一氧化碳体积浓度（）与一氧化碳质量浓度的关系见图3．下列说法不正确的有（   ） ①空气中一氧化碳质量浓度越大，的阻值越小 ②当时，的阻值为 ③当空气中一氧化碳体积浓度是时，燃气报警器为报警状态 ④当时，燃气报警器为报警状态 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，数形结合是解题的关键． 根据题意结合函数图象，类比反比例函数图象，逐项分析判断即可即可求解． 【详解】解：①由图2可知，的阻值随空气中一氧化碳质量浓度的增大而减小， ∴空气中一氧化碳质量浓度越大，的阻值越小，故①正确； ②由图2可知，当时，的阻值小于，故②错误； ③由图3可知，时，燃气报警器为报警状态， ∴当空气中一氧化碳体积浓度大于时，燃气报警器为报警状态，故③正确； ④由图2可知，时，，而大于时，燃气报警器报警，故④错误． 综上所述，不正确的是②④，共2个． 故选：B． 9．（24-25九年级上·山东烟台·阶段练习）如图，点A、B是双曲线上的点，分别过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若空白矩形面积与的和为6，则阴影部分面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数的几何性质（双曲线上点向坐标轴作垂线段，所得矩形面积为​），解题的关键是用“空白面积阴影面积”表示矩形面积，通过面积和差求阴影面积． 根据反比例函数k值得几何意义求出各矩形面积，然后代入求解即可． 【详解】解：如图， ∵点A、B是双曲线上的点， ， 即， 上两式左右相加，得， ∵， ∴， 故答案为：2． 10．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知等边，顶点在双曲线上，点的坐标为，过作交双曲线于点，过作交x轴于点，得到第二个等边；过作交双曲线于点，过作交x轴于点，得到第三个等边；以此类推，．．．，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，解一元二次方程，正确求出、、的坐标进而得出点的规律是解题的关键．根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出、、的坐标，得出规律，进而求出点的坐标． 【详解】如图， 作 轴于点C，设，则， ， ． ∵点在双曲线上， ， 解得 ，或（舍去）， ， ∴点的坐标为； 作轴于点，设，则， ，． ∵点在双曲线上， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴点的坐标为； 同理可得点的坐标为，即； 以此类推…， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线的图象与、轴交于、两点，与的图象交于点，过点作轴于点．如果，则的值为 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合，相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键.先求解的坐标，再证明 结合，可得 再求解的坐标，从而可得答案. 【详解】解： 直线的图象与、轴交于、两点， 令 则 令 则 轴于点， 轴， 而， 故答案为： 12．（24-25九年级下·四川内江·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和．    (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出不等式的解集： (3)点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）把点代入直线得：，即可求得一次函数的解析式，把点代入，得，即可求得反比例函数的解析式； （2）求出点的坐标，根据图象求解即可； （3）根据图象求出，再根据求出，即可求出． 【详解】（1）解：把点代入直线得：， 直线， 即一次函数的解析式为， 把点代入，得 ， 即反比例函数的解析式为； （2）解：把点代入，得， ∴， ∵， ∴不等式的解集为或； （3）解：把代入得：， 即点的坐标为：， ， ， ， ， 当点的纵坐标为3时，则，解得， 当点的纵坐标为时，则，解得， 点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数解析式，利用图象法求不等式的解集，一次函数图象与坐标轴交点，三角形面积，数形结合是解题关键． 13．（24-25九年级下·宁夏银川·阶段练习）如图是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图所示． (1)将水从加热到需要______． (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式． (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)4 (2) (3)一个加热周期内水温不低于的时间为 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题等知识点，掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题是解题的关键． （1）依题得开机加热时每分钟上升，则水温从加热到，再根据所需时间、热量差、每分钟加热的温度列式计算即可； （2）结合（1）中可得点在反比例函数的图象上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （2）分类讨论，加热过程中水温不低于的时间与降温过程中水温不低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于C的时间利用（2）中的函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到所需时间为． 故答案为：4． （2）解：设水温下降过程中，y与x的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图象上， ∴， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是． （3）解：在加热过程中，水温为时， 所需时间为，即温度都高于； 在降温过程中，水温为时，，解得：，即内温度都高于． ∵， ∴一个加热周期内水温不低于的时间为． 14．（2025·江苏苏州·三模）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若过点且平行于轴的直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，由在反比例函数的图象上，则，可得反比例函数的解析式，将代入，求出后可得的坐标，再由待定系数法可得一次函数的解析式即可； （2）设直线与直线的交点坐标为，把代入得，即，设，则，解出的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意，在反比例函数的图象上， ． 反比例函数为， 将代入， ． ． 由题意，将，分别代入，得 ， 解得， 一次函数为； （2）如图，设直线 与 的交点为， 把代入得， 即， 设， △的面积为21， ， ， 解得或， 的坐标为或． 15．（2025·四川内江·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点A坐标为，点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)观察图象直接写出满足时的x的取值范围； (3)求； (4)P为x轴上一动点，当三角形为等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4)或或或 【分析】本题属于反比例函数与一次函数的综合题，主要考查了利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，反比例函数与一次函数图象与性质，反比例函数与一次函数交点问题，本题难度适中，运用分类讨论思想是解答本题的关键． （1）利用待定系数法求两函数的解析式； （2）直接由图象一次函数在反比例函数上边时对应的取值； （3）记直线与轴交点为点，先求出，根据即可求解； （4）存在三种情况：，，，根据点的坐标综合图形可得点的坐标． 【详解】（1）解：点坐标为， 把点的坐标代入得：， 反比例函数的解析式是； 把点的坐标为代入得： ， 解得：， ； 把、两点的坐标代入中得： ， 解得：， 一次函数的解析式为：； （2）解：如图，由图象得：时的取值范围是：或； （3）解：记直线与轴交点为点， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴； （4）解：当是等腰三角形时，存在以下三种情况： 当时，如图， ， ， 或； 当时，如图，    设， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， ； 当时，如图，过作轴于，    设，则，， ， ， ， ； 综上，的坐标为或或或． 16．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值和E的坐标； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，N的坐标为或或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，中点坐标公式，矩形的性质等知识，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）根据点的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，即可求出的长； （2）根据坐标确定出直线与直线解析式，过点作轴交于点， 设， 三角形面积三角形面积三角形面积，把已知面积代入求出的值，即可确定出坐标； （3）分三种情况考虑，根据平行四边形性质及中点坐标公式确定出的坐标即可． 【详解】（1）解：点B的坐标为，D为中点， ， 反比例函数的图象经过的中点D， ， 反比例函数解析式为， 把代入反比例函数解析式中，得：， ∴； （2）解：由，得到直线解析式为， 由，得到直线解析式为， 过点M作轴交于点N， 设，则，， ， ， 解得：， ∴点M坐标为； （3）解：存在，理由如下： 由题意得：， 如图： 设， 分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴， 综上，的坐标为或或． 17．（2025·湖北·二模）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上有一点P，使得是直角三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查了待定系数法、一次函数与反比例函数的交点、一次函数与坐标轴的交点、三角形的面积公式、直角三角形的性质、勾股定理等知识，用分类讨论和方程思想解决问题是解题的关键． （1）先把代入，求得m的值即可； （2）把代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求得一次函数解析式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用三角形的面积公式即可求解；（3）分三种情况求解：①当时，②当时，③当点P在y轴上， 时，④，逐一分析，即可解答． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）∵点也在反比例函数的图象上， ∴． ∵点，都在一次函数的图象上， ∴， 解得． ∴一次函数的解析式为． 如图，设直线与x轴交于点C， ∴， ∴． ∵，， ∴ ． （3）当点P在x轴上时，设． ①如图，若， ∵点A的坐标为， ∴点P的坐标为； ②如图，若，则，． ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴点P的坐标为． ③当点P在y轴上时，设． 如图，若， ∵点A的坐标为， ∴点P的坐标为； ④如图，若，，则 ，． ∵是直角三角形， ∴， 即， 解得， ∴点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或或或． 1．（2025·河北沧州·模拟预测）变速自行车通过调节牙盘（前齿轮）与飞轮（后齿轮）的齿数组合来调节车速，如图，始终满足：前齿轮齿数前齿轮转速后齿轮齿数后齿轮转速．若将前齿轮齿数设定为40，转速为100转/分钟；后齿轮齿数为x，其转速为y转/分钟，错误的是（   ） A．当时， B．当时， C．要增大y，应增大x D．若x增大一倍，则y减少一半 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据前齿轮齿数前齿轮转速后齿轮齿数后齿轮转速，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，，故A正确，不符合题意； B、当时，，故B正确，不符合题意； C、根据题意得，所以要增大y，应减小x，故C不正确，符合题意； D、根据题意得，所以x增大一倍，则y减少一半，故D正确，不符合题意， 故选：C． 2．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，已知直线l与y轴、x轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点．若C、D两点为线段的三等分点，连接、，则面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，由题意可得为的中点，，设，，由中点坐标公式可得，，代入反比例函数的解析式可得，作轴于，则，，再由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵C、D两点为线段的三等分点， ∴，即为的中点， ∴， 设，， 由中点坐标公式可得，， 代入反比例函数解析式可得：， ∴， 如图，作轴于， 则，， ∴， ∴面积为， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴交于点．已知点A，B的坐标分别为和． (1)求反比例函数的解析式． (2)请直接写出不等式的解． (3)若点在反比例函数图象上且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、图象法求不等式的解集，求反比例函数与一次函数图象的交点坐标， 等面积法的运用，角平分线的性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线，利用数形结合思想求解是解题的关键． （1）把点A的坐标代入反比例函数解析式中求解即可； （2）利用函数图象，求得反比例函数图象位于一次函数图象上方部分或重合处的点的横坐标的取值范围即可； （3）当点E为第一象限内的点时，设射线与轴的交点为F，过点A作轴于点H，，交轴于点D， 设，利用勾股定理和等面积法解得，再利用角平分线的性质推出，接着可求出点F的坐标，利用待定系数法求直线的解析式， 再联立直线与反比例函数的解析式解方程求点E的坐标；过点A作，交轴于点M，可得，设， 利用等面积法求出，往下的解法同第1种情况，综合可得点E的坐标． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数，可得， 反比例函数的解析式为． （2）解： 不等式可化为， 由函数图象可知，当或时，， 不等式的解集为或． （3）解：将点代入，可得，， 直线的解析式为， 当时，由解得，故， 如图1，当点E为第一象限内的点时，设射线与轴的交点为F，过点A作轴于点H，，交轴于点D， 则，，， 由勾股定理得，， 设，则，， 由勾股定理得， 由，得， ， 方程两边平方整理得，，解得， ，， ，， ， 平分， 点F到和的距离相等， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 代入点，，可得， 解得， 直线的解析式为， 解方程得，，， 当时，， ； 如图2，过点A作，交轴于点M，则， ， 设，则，， ，， ， 由得，， ， 两边平方整理得，解得， ， 同理可求直线的解析式为， 解方程得，，， 当时，， ， 综上可知点的坐标为或． 14 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3 反比例函数的应用 1．（24-25九年级下·江苏常州·阶段练习）为丰富学生课余活动，某校用5000元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）如图机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（   ） A．8 B．3 C．9 D．4 3．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（    ） A．B． C． D． 4．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，，若火焰的像高为，则小孔到蜡烛的距离为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·湖北·一模）古希腊著名的科学家阿基米德发现了“杠杆原理”，即“阻力阻力臂=动力动力臂”．建筑工人甲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：N）关于动力臂（单位：m）的函数表达式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示.当电流I从增加到时，电阻R减小了（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·吉林·期中）若反比例函数的图象经过点，则m的值是 ． 8．（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图2所示．则I与R之间的函数关系式是 ． 9．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）若函数与函数（）的图象交于两点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标是 ． 10．（2025·湖南邵阳·三模）已知电磁波的频率、波长满足关系：（为常数）．某种电磁波的频率为时，波长为．若将该电磁波的波长调谐为，则其频率为 ． 11．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）成反比，当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为，则镜片焦距为时，近视眼镜的度数为 度． 12．（24-25九年级下·吉林松原·期中）人的视觉机能受运动速度的影响很大．行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为时，视野为度，如果视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数． (1)求与之间的函数关系式； (2)计算当车速为时视野的度数． 13．（23-24九年级上·湖南株洲·期中）已知反比例函数的解析式，并且当时，． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求y的值． 14．（2023·浙江丽水·一模）如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧挂一个物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数（单位：）是（弹簧秤与中点的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．    (1)求关于的函数表达式． (2)移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值． 15．（23-24九年级上·广西梧州·期末）跨学科应用 在密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求密度关于体积的函数解析式； (2)当时，求该气体的密度． 1．（24-25九年级下·广西桂林·阶段练习）如图，双曲线与直线的图象交于点和点，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 2．（24-25九年级上·山东泰安·期中）若是反比例函数与正比例函数的一个交点，那么两函数的另一交点点坐标应为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，顶点C、D位于第一象限，反比例函数的图象经过正方形的对角线的交点若的面积为，正方形边长为3，则k的值为（ ） A．2 B． C．3 D． 4.（23-24八年级下·湖南株洲·期中）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（   ） A．B．C． D． 5．（2025·广东韶关·二模）如图1，现有一台可调节温度的取暖器，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现控温．如图2是该取暖器的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法错误的是（    ） A． I与R的函数关系式是 B． 当时 C．当时，I的取值范围是 D． 已知该取暖器的发热功率为，则P随R的增大而增大 6．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点是坐标原点，，顶点在反比例函数的图象上，若菱形的周长为8，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，矩形的顶点A和对称中心都在双曲线上，若矩形的面积为8，则k的值为（   ） A．8 B． C． D．4 8．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安装燃气报警器．其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器（图1中的），的阻值随空气中一氧化碳质量浓度的变化而变化（如图2），空气中一氧化碳体积浓度（）与一氧化碳质量浓度的关系见图3．下列说法不正确的有（   ） ①空气中一氧化碳质量浓度越大，的阻值越小 ②当时，的阻值为 ③当空气中一氧化碳体积浓度是时，燃气报警器为报警状态 ④当时，燃气报警器为报警状态 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（24-25九年级上·山东烟台·阶段练习）如图，点A、B是双曲线上的点，分别过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若空白矩形面积与的和为6，则阴影部分面积为 ． 10．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，已知等边，顶点在双曲线上，点的坐标为，过作交双曲线于点，过作交x轴于点，得到第二个等边；过作交双曲线于点，过作交x轴于点，得到第三个等边；以此类推，．．．，则点的坐标为 ． 11．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线的图象与、轴交于、两点，与的图象交于点，过点作轴于点．如果，则的值为 12．（24-25九年级下·四川内江·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和．    (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出不等式的解集： (3)点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 13．（24-25九年级下·宁夏银川·阶段练习）如图是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图所示． (1)将水从加热到需要______． (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式． (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 14．（2025·江苏苏州·三模）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若过点且平行于轴的直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标． 15．（2025·四川内江·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点A坐标为，点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)观察图象直接写出满足时的x的取值范围； (3)求； (4)P为x轴上一动点，当三角形为等腰三角形时，求点P的坐标． 16．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值和E的坐标； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（2025·湖北·二模）如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上有一点P，使得是直角三角形，直接写出点P的坐标． 1．（2025·河北沧州·模拟预测）变速自行车通过调节牙盘（前齿轮）与飞轮（后齿轮）的齿数组合来调节车速，如图，始终满足：前齿轮齿数前齿轮转速后齿轮齿数后齿轮转速．若将前齿轮齿数设定为40，转速为100转/分钟；后齿轮齿数为x，其转速为y转/分钟，错误的是（   ） A．当时， B．当时， C．要增大y，应增大x D．若x增大一倍，则y减少一半 2．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，已知直线l与y轴、x轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点．若C、D两点为线段的三等分点，连接、，则面积为 ． 3．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴交于点．已知点A，B的坐标分别为和． (1)求反比例函数的解析式． (2)请直接写出不等式的解． (3)若点在反比例函数图象上且，求点的坐标． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$