10.1.2立方根（知识点梳理+题型举一反三+同步练习）易错重难点同步备课2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

10.1.2立方根 【题型1】立方根的定义 1. 知识点 如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根（也叫做三次方根）。 记作，其中是被开方数，“”是根指数，根指数“”不能省略。 2. 考点 判断一个数是否为另一个数的立方根。 根据立方根的定义求简单数的立方根。 3. 易错点 混淆立方根与平方根的定义，误认为立方根也有两个（正数和负数）。 忽略根指数“”，将立方根表示为（与平方根混淆）。 4. 解题技巧 紧扣定义：若判断是否为的立方根，只需验证是否等于。 记准符号：立方根的表示必须带根指数“”，即。 【例题1】．（2024-2025•通榆县校级月考）的立方根是（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【变式题1-1】．（2024-2025•广阳区校级月考）﹣2是下列哪个数的立方根（　　） A．4 B．8 C．﹣4 D．﹣8 【变式题1-2】．（2024-2025•丰泽区期末）等于（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4 【变式题1-3】．（2024-2025•雷州市校级月考）已知，则a的值为（　　） A．9 B．±9 C．±3 D．3 【题型2】立方根的基本性质 1. 知识点 正数的立方根是正数；负数的立方根是负数。 的立方根是；任何实数都有且只有一个立方根。 2. 考点 根据性质判断立方根的符号或取值。 利用性质解决“一个数的立方根等于它本身”的问题（满足条件的数为、、）。 3. 易错点 错误认为“负数没有立方根”（与平方根混淆，负数没有平方根，但有立方根）。 遗漏“立方根等于本身的数”中的。 4. 解题技巧 口诀记忆：“正正得正，负负得负，零零得零”（正数立方根为正，负数立方根为负，的立方根为）。 验证法：对于“立方根等于本身”的问题，直接代入验证，解得、、。 【例题2】．（2024-2025•蓬江区校级月考）一个数的立方根等于它本身，这个数是（　　） A．1 B．﹣1 C．0或1 D．0或1或﹣1 【变式题2-1】．（2024-2025•黄石港区校级月考）要使成立，那么a的取值范围是（　　） A．a≤4 B．a＜4 C．a≥4 D．任意数 【变式题2-2】．（2024-2025•金乡县期末）若，则x的值为（　　） A．﹣6 B．3 C．﹣1 D． 【变式题2-3】8．（2024-2025•津南区校级月考）有这样一道题目：“已知x﹣1，求x的值．”甲、乙二人的说法如下，则下列判断正确的是（　　） 甲：x的值是1； 乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值． A．甲说的对，x的值就是1 B．乙说的对，x的另一个值是2 C．乙说的对，x的另一个值是﹣1 D．两人都不对，x应有3个不同值 【题型3】立方根与平方根的区别 1. 知识点 对比项 立方根 平方根 定义 若，则 若（），则 个数 任何数都有且只有1个立方根 正数有2个（互为相反数），有1个（为），负数没有 被开方数范围 任意实数 非负数（） 符号表示 （根指数“3”不能省） （根指数“2”可省） 2. 考点 区分立方根与平方根的概念、性质及表示方法。 结合具体数值判断关于立方根和平方根的说法是否正确。 3. 易错点 误认为“负数没有立方根”（混淆平方根的性质）。 对“一个数的立方根与平方根都是它本身”的条件判断错误（只有满足）。 4. 解题技巧 列表对比：重点记忆两者在个数、被开方数范围、符号表示上的区别。 逐项验证：遇到辨析题时，逐一验证每个选项是否符合立方根或平方根的定义及性质。 【例题3】．（2024-2025•兴和县校级月考）下列说法正确的是（　　） A．立方根等于本身的数只有1 B．负数没有平方根，但有立方根 C．25的平方根为5 D．的立方根为3 【变式题3-1】．（2024-2025•巴彦县期末）下列说法中正确的是（　　） A．|﹣25|有平方根 B．﹣64没有立方根 C．0.09的平方根是±0.03 D．的算术平方根是4 【变式题3-2】．（2024-2025•西青区期末）如果一个数的平方根与立方根相同，那么这个数是（　　） A．0 B．±1 C．0和1 D．0 或±1 【变式题3-2】．（2024-2025•葫芦岛月考）规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则a的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【题型4】开立方运算 1. 知识点 求一个数的立方根的运算叫做开立方。 开立方与立方互为逆运算，即若，则，反之。 2. 考点 求具体数的立方根（如整数、分数、小数的立方根）。 利用开立方与立方的逆运算验证立方根的正确性。 3. 易错点 计算负数的立方根时符号错误（如误认为）。 对分数或小数的立方根计算失误（如混淆小数点移动规律）。 4. 解题技巧 正数开立方：若，通过立方运算反推（如，则）。 负数开立方：遵循，先求正数的立方根，再添负号（如）。 【例题4】．（2024-2025•兖州区期末）已知有一个数值替换器，其原理如图所示，当输入x的值是64时，输出y的值是（　　） A．4 B． C．2 D． 【变式题4-1】．（2024-2025•阳谷县期末）已知x是5的算术平方根，则x2﹣13的立方根是（　　） A．13 B．13 C．2 D．﹣2 【变式题4-2】．（2024-2025•惠州期末）在如图所示的运算程序中，当输入x的值是64时，输出的y值是（　　） A． B． C．2 D．1 【变式题4-3】．（2024-2025•平原县期末）我国著名数学家华罗庚有一次看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出39．请你用有关立方根的知识，逐一确定的位数、各个数位上的数字，可知的值是（　　） A．22 B．24 C．26 D．28 【题型5】立方根的符号表示与化简 1. 知识点 立方根的符号表示为，根指数“”必须写，不能省略。 化简公式：；。 2. 考点 正确书写立方根的符号。 利用化简公式对含立方根的式子进行化简（如、）。 3. 易错点 省略根指数“”，将写成。 化简时错误处理符号（如误认为）。 4. 解题技巧 符号规则：根指数“”是立方根的标志，必须保留。 化简口诀：“立方开方互逆算，符号跟着原数走”（即，符号与一致）。 【例题5】．（2024-2025•岳西县月考）如果x2＝（﹣7）2，，那么x﹣y的值是（　　） A．0 B．﹣14 C．0或﹣14 D．0或14 【变式题5-1】．（2024-2025•滨海新区校级月考）已知，则x2+x的值为　 　 ． 【变式题5-2】．（2024-2025•浦北县校级月考）求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式题5-3】．（2024-2025•凌源市期末）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出﹣50653的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为103＝1000，1003＝1000000，所以是两位数； ②其次观察了立方数：13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为33＝27，43＝64，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： （1）　 　 ； （2）若，则x＝　 　 ； （3）在平面直角坐标系中，点P（x，y）到y轴的距离是2，若与是互为相反数，求P点的坐标． 【题型6】利用立方根解方程 1. 知识点 形如的方程，解法为两边同时开立方得，进而解得。 2. 考点 解简单的含立方根的方程（如、）。 结合移项、系数化为1等步骤解复杂方程。 3. 易错点 开立方后符号错误（如解方程时，误得）。 漏写“开立方”步骤，直接移项导致错误。 4. 解题技巧 步骤规范：先将方程化为的形式，再两边开立方，最后求解。 符号验证：开立方后及时代入原方程验证，确保符号正确。 【例题6】．（2024-2025•昆明期中）解方程： （1）（x﹣1）2﹣25＝0； （2）． 【变式题6-1】．（2024-2025•浦北县校级月考）求下列各式中x的值： （1）（x﹣2）2＝0.49； （2）（2x+1）3＝27． 【变式题6-2】．（2024-2025•鄂伦春自治旗校级月考）求下列各式中的x． （1）4x2﹣16＝0； （2）27（x﹣3）3＝﹣64． 【变式题6-3】．（2024-2025•夷陵区月考）求下列各式中x的值： （1）（2x﹣1）2＝25； （2）（2﹣x）3+27＝0． 【题型7】立方根的规律探究 1. 知识点 被开方数的小数点每向右（或向左）移动位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动位。 例如：，，。 2. 考点 利用规律求已知立方根的数的倍数（或分数）的立方根（如已知，求或）。 根据规律补全表格或填空。 3. 易错点 混淆小数点移动方向（如被开方数向右移位，立方根误向右移位）。 倍数关系错误（如认为被开方数扩大10倍，立方根也扩大10倍）。 4. 解题技巧 规律口诀：“被开方数移三位，立方根移一位，方向相同”。 举例验证：遇到规律题时，先举简单例子验证规律，再应用到题目中。 【例题7】．（2024-2025•惠城区期末）已知0.5981，1.289，2.776，则（　　） A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.981 【变式题7-1】．（2024-2025•云溪区期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题： b 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 （1）用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向 　 　 移动 　 　 位． （2）运用你发现的规律，探究下列问题：已知2.35，则　 　 ，　 　 ． （3）类比上述立方根运算：已知1.913，则　 　 ，　 　 ． 【变式题7-2】．（2024-2025•西平县期末）观察下表，并解决问题． a 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 （1）①随着被开方数的小数点的移动，它的算术平方根的小数点是怎样移动的？请归纳总结这一规律； ②已知，则 　 　 ． （2）①猜想被开方数的小数点移动和它的立方根的小数点移动有怎样的关系？写出你的猜想； ②已知，请用含m的式子表示n． 【变式题7-3】．（2024-2025•厦门校级月考）（1）填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 由表你发现了：被开方数的小数点向右（或左）移动　 　 位，其立方根的小数点向右（或左）移动　 　 位； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则　 　 ； ②已知，则　 　 ． （3）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为0.125立方米，需要多大面积的铁皮？ 【题型8】立方根的实际应用 1. 知识点 正方体体积，则棱长。 2. 考点 已知正方体体积求棱长。 体积变化问题（如熔铸前后体积不变，利用立方根求新棱长）。 3. 易错点 体积公式记忆错误（如混淆正方体体积与表面积公式）。 单位换算失误（如体积单位是，棱长单位是，忽略单位一致性）。 4. 解题技巧 明确公式：根据几何体类型确定体积公式，建立方程。 步骤清晰：先列体积等式，再通过立方根求解未知量，最后验证单位是否合理。 【例题8】．（2024-2025••大荔县期末）我们规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的实数为“最美实数”． （1）若是“最美实数”，则a＝　 　 ； （2）若m+n与3m﹣n都是“最美实数”，且mn≠0，求m﹣n的值． 【变式题8-1】．（2024-2025•西城区校级期中）【定义】用（a，b）表示一个数对，其中a为任意数，b≥0．记，，将对（m，n）和（n，m）称为数对（a，b）的一对“开方对称数对”．例如：数对（8，25）的开方对称数对为（2，﹣5）和（﹣5，2）． 【知识运用】 （1）直接写出数对（27，1.69）的开方对称数对　 　 ； （2）若数对（x，y）的一个开方对称数对是，求x，y的值； （3）若数对（a，b）的一个开方对称数对是（﹣4，﹣5），求a+b的值． 【变式题8-2】．（2024-2025•重庆期中）【课本再现】据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，要求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了下列的计算过程： 第一步：因为103＝1000，1003＝1000000，1000＜59319＜1000000，．所以59319的立方根是两位数 第二步：因为59319的个位上的数是9，而在0～9中，只有9的立方的个位上的数是9，所以59319的立方根的个位上的数是9． 第三步：划去59319后面的三位319得到数59，而33＝27，43＝64，27＜59＜64，所以的十位上的数是3．综上，可得． 【方法迁移】 第一步：103＝1000，1003＝1000000，则15625的立方根是 　 　 位数； 第二步：15625个位上的数字是5，则15625的立方根个位上的数字是 　 　 ； 第三步：如果划去15625后面的三位“625”得到数15，而23＝8，33＝27，由此可确定15625的立方根十位上的数字是 　 　 ， 因此15625的立方根是 　 　 ． 【解决问题】 （1）将上述过程补充完整； （2）现在换一个数300763，你能按这种方法得出它的立方根吗？如果能，请求出它的立方根，并写出必要的推理过程． 【变式题8-3】．（2023春•武隆区校级期中）一个三位数A，它的各个数位上的数字均不为零，且满足百位上数字与个位上数字的和等于十位上数字的两倍，则称这个三位数为“明德数”．将“明德数”A的百位数字与个位数字交换位置后得到的新数记为A′，另记A和A′的和为F（A）．例如：852满足8+2＝5×2，则852是“明德数”，且F（A）＝A+A′＝852+258＝1110．已知“明德数”M的百位数字小于个位数字，F（M）能被个位数字与百位数字的差整除，且为整数，则满足条件的“明德数”M的最大值为 　 　 ． 【题型9】与立方根相关的新定义问题 【例题9】．（2024-2025••乾安县期中）将半径为12cm的实心铁球熔化，重新铸造出8个半径相同的实心小铁球，不计损耗，小铁球半径多少？（球的体积公式VπR3） 【变式题9-1】．（2024-2025•兴文县期中）小明有一个大正方体铁块，其体积为125cm3． （1）求这个大正方体铁块的棱长； （2）小明要将这个大正方体铁块熔化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个小正方体铁块的体积为98cm3，求另一个小正方体铁块的棱长． 【变式题9-2】．（2024-2025••襄州区期末）如图，是一块体积为216立方厘米的立方体铁块． （1）求出这个铁块的棱长． （2）现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【变式题9-3】．（2024-2025•老河口市期中）小明打算利用一张面积为900cm2的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． （1）求正方形卡纸的边长； （2）如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为4：3，裁出的长方形的面积能否为768cm2？请通过计算说明； （3）如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为343cm3，求该正方体的表面积． 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．若，则ab＝（　　） A． B． C． D． 2．2025的算术平方根为（　　） A．45 B．55 C．±45 D．±55 3．的值是（　　） A．±5 B． C．5 D．﹣5 4．4的平方根是（　　） A．±2 B． C．2 D．﹣2 5．若一个正数x的两个平方根是2﹣3a和1+2a，则x的值为（　　） A．3 B．7 C．﹣7 D．49 二．填空题（共4小题） 6．若一个正数的两个平方根分别为3a和4﹣2a，则这个数是　 　 ． 7．若9x2﹣25＝0，则x的值为　 　 ． 8．，则a+b＝　 　 ． 9．已知一个正数的两个平方根分别是2m+1和m﹣7，则这个正数为 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 10．若，求的值． 11．已知2a+3是一个正数，它的一个平方根比另一个平方根大2，求a的值． 12．小明制作了一张面积为256cm2的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为420cm2． （1）求长方形信封的长和宽； （2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 13．如图，计划建一个面积为50米2的长方形苗圃ABCD（AB＜BC），一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为5：2． （1）求BC的长； （2）求出苗圃所用篱笆总长． 14．现有一张面积为210cm2的长方形纸片，它的长与宽的比为3：2． （1）求长方形纸片的长和宽； （2）要在这张长方形纸片上裁剪一个面积为144cm2正方形纸片，试判断能否裁剪出来，并说明理由． 15．如图1，用两个边长相同的小正方形拼成一个大的正方形． （1）如图2，若正方形纸片的面积为1dm2，则此正方形的对角线AC的长为 　 　 dm． （2）如图3，若正方形的面积为25dm2，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为12dm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，他能裁出吗？请说明理由． 16．根据如表回答下列问题： x 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5 x2 16 16.81 17.64 18.49 19.36 20.25 21.16 22.09 23.04 24.01 25 （1）17.64的平方根是 　 　 ， 　 　 ； （2）物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系是h＝4.9t2.有一个物体从99m高的建筑物上自由落下，物体到达地面需要多长时间？（请结合表中数据精确到0.1s） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.1.2立方根 【题型1】立方根的定义 1. 知识点 如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根（也叫做三次方根）。 记作，其中是被开方数，“”是根指数，根指数“”不能省略。 2. 考点 判断一个数是否为另一个数的立方根。 根据立方根的定义求简单数的立方根。 3. 易错点 混淆立方根与平方根的定义，误认为立方根也有两个（正数和负数）。 忽略根指数“”，将立方根表示为（与平方根混淆）。 4. 解题技巧 紧扣定义：若判断是否为的立方根，只需验证是否等于。 记准符号：立方根的表示必须带根指数“”，即。 【例题1】．（2024-2025•通榆县校级月考）的立方根是（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】先根据算术平方根的定义计算，再根据立方根的定义计算即可． 【解答】解：， ∵8的立方根是2， ∴的立方根是2， 故选：B． 【点评】本题考查了立方根、算术平方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 【变式题1-1】．（2024-2025•广阳区校级月考）﹣2是下列哪个数的立方根（　　） A．4 B．8 C．﹣4 D．﹣8 【答案】D 【分析】根据立方根的定义计算即可． 【解答】解：﹣2是﹣8的立方根， 故选：D． 【点评】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【变式题1-2】．（2024-2025•丰泽区期末）等于（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4 【答案】B 【分析】根据立方根的定义计算即可． 【解答】解：， 故选：B． 【点评】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【变式题1-3】．（2024-2025•雷州市校级月考）已知，则a的值为（　　） A．9 B．±9 C．±3 D．3 【答案】A 【分析】根据立方根的定义得出1﹣a＝﹣8，解一元一次方程即可得出答案． 【解答】解：∵， ∴1﹣a＝（﹣2）3，即1﹣a＝﹣8， ∴a＝9， 故选：A． 【点评】本题主要考查立方根，熟记立方根的定义是解题的关键． 【题型2】立方根的基本性质 1. 知识点 正数的立方根是正数；负数的立方根是负数。 的立方根是；任何实数都有且只有一个立方根。 2. 考点 根据性质判断立方根的符号或取值。 利用性质解决“一个数的立方根等于它本身”的问题（满足条件的数为、、）。 3. 易错点 错误认为“负数没有立方根”（与平方根混淆，负数没有平方根，但有立方根）。 遗漏“立方根等于本身的数”中的。 4. 解题技巧 口诀记忆：“正正得正，负负得负，零零得零”（正数立方根为正，负数立方根为负，的立方根为）。 验证法：对于“立方根等于本身”的问题，直接代入验证，解得、、。 【例题2】．（2024-2025•蓬江区校级月考）一个数的立方根等于它本身，这个数是（　　） A．1 B．﹣1 C．0或1 D．0或1或﹣1 【答案】D 【分析】根据特殊数的立方根直接找出，然后进行选择． 【解答】解：根据题意可知，立方根等于它本身的数是0或±1． 故选：D． 【点评】本题考查立方根，掌握立方根的定义是关键． 【变式题2-1】．（2024-2025•黄石港区校级月考）要使成立，那么a的取值范围是（　　） A．a≤4 B．a＜4 C．a≥4 D．任意数 【答案】D 【分析】根据立方根的定义解答即可． 【解答】解：要使成立，则a﹣4为任意数，即a为任意数， 故选：D． 【点评】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【变式题2-2】．（2024-2025•金乡县期末）若，则x的值为（　　） A．﹣6 B．3 C．﹣1 D． 【答案】C 【分析】由已知可得2x﹣3与x+6互为相反数，即得2x﹣3+x+6＝0，进而解方程即可求解． 【解答】解：由条件可知2x﹣3与x+6互为相反数， 即2x﹣3+x+6＝0， 解得x＝﹣1， 故选：C． 【点评】本题考查了立方根的性质，掌握立方根的性质是解题的关键． 【变式题2-3】．（2024-2025•津南区校级月考）有这样一道题目：“已知x﹣1，求x的值．”甲、乙二人的说法如下，则下列判断正确的是（　　） 甲：x的值是1； 乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值． A．甲说的对，x的值就是1 B．乙说的对，x的另一个值是2 C．乙说的对，x的另一个值是﹣1 D．两人都不对，x应有3个不同值 【答案】D 【分析】根据立方根的性质进行计算即可． 【解答】解：∵， ∴x﹣1＝±1或x﹣1＝0， 当x﹣1＝1时，x＝2； 当x﹣1＝﹣1时，x＝0； 当x﹣1＝0时，x＝1； 即x有3个不同的值，故两人说法都不对． 故选：D． 【点评】本题考查了立方根，掌握立方根的性质是解题的关键． 【题型3】立方根与平方根的区别 1. 知识点 对比项 立方根 平方根 定义 若，则 若（），则 个数 任何数都有且只有1个立方根 正数有2个（互为相反数），有1个（为），负数没有 被开方数范围 任意实数 非负数（） 符号表示 （根指数“3”不能省） （根指数“2”可省） 2. 考点 区分立方根与平方根的概念、性质及表示方法。 结合具体数值判断关于立方根和平方根的说法是否正确。 3. 易错点 误认为“负数没有立方根”（混淆平方根的性质）。 对“一个数的立方根与平方根都是它本身”的条件判断错误（只有满足）。 4. 解题技巧 列表对比：重点记忆两者在个数、被开方数范围、符号表示上的区别。 逐项验证：遇到辨析题时，逐一验证每个选项是否符合立方根或平方根的定义及性质。 【例题3】．（2024-2025•兴和县校级月考）下列说法正确的是（　　） A．立方根等于本身的数只有1 B．负数没有平方根，但有立方根 C．25的平方根为5 D．的立方根为3 【答案】B 【分析】根据立方根、平方根、算术平方根的定义分别计算判断即可． 【解答】解：A、立方根等于本身的数有±1和0，原说法错误，故此选项不符合题意； B、负数没有平方根，但有立方根，正确，故此选项符合题意； C、25的平方根为±5，原说法错误，故此选项不符合题意； D、27的立方根为3，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键． 【变式题3-1】．（2024-2025•巴彦县期末）下列说法中正确的是（　　） A．|﹣25|有平方根 B．﹣64没有立方根 C．0.09的平方根是±0.03 D．的算术平方根是4 【答案】A 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的性质逐项判断即可． 【解答】解：A、|﹣25|＝25＞0，有平方根，故此选项符合题意； B、﹣64有立方根，原说法错误，故此选项不符合题意； C、0.09的平方根是±0.3，原说法错误，故此选项不符合题意； D、，4的算术平方根是2，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键． 【变式题3-2】．（2021春•西青区期末）如果一个数的平方根与立方根相同，那么这个数是（　　） A．0 B．±1 C．0和1 D．0 或±1 【答案】A 【分析】由于一个数的平方根与立方根相同，根据平方根的定义这个数只能是非负数，然后根据立方根和平方根相等即可确定这个数． 【解答】解：∵一个数的平方根与立方根相同， ∴这个数为0． 故选：A． 【点评】此题主要考查了立方根、平方根的定义和性质，其中分别利用了：求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方；求一个数的平方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的平方． 【变式题3-3】．（2024-2025•葫芦岛月考）规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则a的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据“最美实数”的定义，可知或，求出a的值即可． 【解答】解：根据“最美实数”的定义若是“最美实数”，则有或， 若，解得， 若，解得， 综上，a的值为或， 故选：D． 【点评】本题考查算术平方根及立方根，理解“最美实数”是关键． 【题型4】开立方运算 1. 知识点 求一个数的立方根的运算叫做开立方。 开立方与立方互为逆运算，即若，则，反之。 2. 考点 求具体数的立方根（如整数、分数、小数的立方根）。 利用开立方与立方的逆运算验证立方根的正确性。 3. 易错点 计算负数的立方根时符号错误（如误认为）。 对分数或小数的立方根计算失误（如混淆小数点移动规律）。 4. 解题技巧 正数开立方：若，通过立方运算反推（如，则）。 负数开立方：遵循，先求正数的立方根，再添负号（如）。 【例题4】．（2024-2025•兖州区期末）已知有一个数值替换器，其原理如图所示，当输入x的值是64时，输出y的值是（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据立方根的定义，即可解答． 【解答】解：64的立方根是4， 4的立方根是：． 故选：B． 【点评】本题考查了立方根，解决本题的根据是熟记立方根的定义． 【变式题4-1】．（2024-2025•阳谷县期末）已知x是5的算术平方根，则x2﹣13的立方根是（　　） A．13 B．13 C．2 D．﹣2 【答案】D 【分析】根据算术平方根、立方根的定义进行计算即可． 【解答】解：∵x是5的算术平方根， ∴x ∴x2﹣13＝5﹣13＝﹣8， ∴x2﹣13的立方根，即﹣8的立方根是2， 故选：D． 【点评】本题考查算术平方根、立方根，理解算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•惠州期末）在如图所示的运算程序中，当输入x的值是64时，输出的y值是（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【解答】解：根据流程图，列出算式进行计算可得： 当输入x的值是64时，取算术平方根得， 8是有理数，再取立方根得， 2是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的y值是． 故选：A． 【点评】本题考查流程图与实数的计算，理解流程图是解题的关键． 【变式题4-3】．（2024-2025•平原县期末）我国著名数学家华罗庚有一次看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出39．请你用有关立方根的知识，逐一确定的位数、各个数位上的数字，可知的值是（　　） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】D 【分析】根据立方根的定义求解即可． 【解答】解：∵103＝1000，1003＝1000000， 故1000＜21952＜1000000， ∴是两位数， ∵83＝512，个位数字是2， ∴的个位上的数是8， 如果划去21952后面的三位952得到21， 而23＝8，33＝27， ∵8＜21＜27， ∴十位上的数是2， ∴的值是28， 故选：D． 【点评】本题考查了数的立方根，理解一个数的立方根的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解本题的关键． 【题型5】立方根的符号表示与化简 1. 知识点 立方根的符号表示为，根指数“”必须写，不能省略。 化简公式：；。 2. 考点 正确书写立方根的符号。 利用化简公式对含立方根的式子进行化简（如、）。 3. 易错点 省略根指数“”，将写成。 化简时错误处理符号（如误认为）。 4. 解题技巧 符号规则：根指数“”是立方根的标志，必须保留。 化简口诀：“立方开方互逆算，符号跟着原数走”（即，符号与一致）。 【例题5】．（2024-2025•岳西县月考）如果x2＝（﹣7）2，，那么x﹣y的值是（　　） A．0 B．﹣14 C．0或﹣14 D．0或14 【答案】D 【分析】根据方程 x2＝（﹣7）2 和 ，分别求出 x 和 y 的值，再计算 x﹣y 的可能结果，即可解答． 【解答】解：由题意可得：x＝±7，y＝﹣7． ∴x＝7时，x﹣y＝7﹣（﹣7）＝14． x＝﹣7时，x﹣y＝﹣7﹣（﹣7）＝0． 综上，x﹣y的值为0或 14． 故选：D． 【点评】本题考查了平方根、立方根的运算，代数式求值，掌握平方根、立方根的定义是解本题的关键． 【变式题5-1】．（2024-2025•滨海新区校级月考）已知，则x2+x的值为　0或2或6　 ． 【答案】0或2或6． 【分析】根据立方根的定义求出x的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵x﹣1，即一个数的立方根等于它本身， ∴x﹣1＝1或x﹣1＝0或x﹣1＝﹣1， 解得x＝2或x＝1或x＝0， 当x＝2时，x2+x＝4+2＝6， 当x＝1时，x2+x＝1+1＝2， 当x＝0时，x2+x＝0， 综上所述，x2+x＝6或x2+x＝2或x2+x＝0， 故答案为：0或2或6． 【点评】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． 【变式题5-2】．（2024-2025•浦北县校级月考）求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）4； （2）2； （3）±2； （4）． 【分析】（1）利用算术平方根的定义即可求得答案； （2）利用立方根的定义即可求得答案； （3）利用平方根的定义即可求得答案； （4）利用立方根的定义即可求得答案． 【解答】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【点评】本题考查算术平方根，平方根及立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 【变式题5-3】．（2024-2025•凌源市期末）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出﹣50653的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为103＝1000，1003＝1000000，所以是两位数； ②其次观察了立方数：13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为33＝27，43＝64，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： （1）　﹣49　 ； （2）若，则x＝　3　 ； （3）在平面直角坐标系中，点P（x，y）到y轴的距离是2，若与是互为相反数，求P点的坐标． 【答案】（1）﹣49； （2）3； （3）点P（2，）或（﹣2，）． 【分析】（1）根据题目所提供的方法进行解答即可； （2）由题意得1﹣2x＝﹣5即可； （3）根据点P（x，y）到y轴的距离是2，得到x＝2或x＝﹣2，再分两种情况进行解答，即当x＝2时，有3y﹣1＝3，解得y，从而确定点P的坐标，当x＝﹣2时，有3y﹣1＝﹣5，解得y，从而确定点P的坐标即可． 【解答】解：（1）首先进行了估算：因为103＝1000，1003＝1000000，所以是两位数；②其次观察了立方数：13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729；猜想的个位数字是9；③接着将117649往前移动3位小数点后约为118，因为43＝64，53＝125，所以的十位数字应为4，于是猜想49，验证得：117649的立方根是49；④最后再依据“负数的立方根是负数”得到49，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 故答案为：﹣49； （2）由题意得，1﹣2x＝﹣5， 解得x＝3， 故答案为：3； （3）∵点P（x，y）到y轴的距离是2， ∴x＝2或x＝﹣2， 当x＝2时， ， ∵与互为相反数， ∴3y﹣1＝3， 解得y， 此时点P（2，）， 当x＝﹣2时， ， ∵与互为相反数， ∴3y﹣1＝﹣5， 解得y， 此时点P（﹣2，）， 综上所述点P（2，）或（﹣2，）． 【点评】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． 【题型6】利用立方根解方程 1. 知识点 形如的方程，解法为两边同时开立方得，进而解得。 2. 考点 解简单的含立方根的方程（如、）。 结合移项、系数化为1等步骤解复杂方程。 3. 易错点 开立方后符号错误（如解方程时，误得）。 漏写“开立方”步骤，直接移项导致错误。 4. 解题技巧 步骤规范：先将方程化为的形式，再两边开立方，最后求解。 符号验证：开立方后及时代入原方程验证，确保符号正确。 【例题6】．（2024-2025•昆明期中）解方程： （1）（x﹣1）2﹣25＝0； （2）． 【答案】（1）x＝6或x＝﹣4； （2）． 【分析】（1）利用开平方解方程； （2）利用立方根解方程即可． 【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣25＝0， x﹣1＝5或x﹣1＝﹣5， x＝6或x＝﹣4； （2）， （2x+3）3＝64， 2x+3＝4， 2x＝1， ． 【点评】本题考查利用平方根、立方根解方程，掌握一个正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键． 【变式题6-1】．（2024-2025•浦北县校级月考）求下列各式中x的值： （1）（x﹣2）2＝0.49； （2）（2x+1）3＝27． 【答案】（1）x＝2.7或x＝1.3； （2）x＝1． 【分析】（1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【解答】解：（1）（x﹣2）2＝0.49， 则x﹣2＝±0.7， 即x﹣2＝0.7或x﹣2＝﹣0.7， 解得：x＝2.7或x＝1.3； （2）（2x+1）3＝27， 则2x+1＝3， 解得：x＝1． 【点评】本题考查平方根及立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 【变式题6-2】．（2024-2025•鄂伦春自治旗校级月考）求下列各式中的x． （1）4x2﹣16＝0； （2）27（x﹣3）3＝﹣64． 【答案】（1）x＝±2；（2）． 【分析】（1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【解答】解：（1）4x2﹣16＝0， 4x2＝16， x2＝4， ∴x＝±2； （2）27（x﹣3）3＝﹣64， ， ， ∴． 【点评】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握利用平方根立方根解方程是关键． 【变式题6-3】．（2024-2025•夷陵区月考）求下列各式中x的值： （1）（2x﹣1）2＝25； （2）（2﹣x）3+27＝0． 【答案】（1）x＝3或x＝﹣2； （2）x＝5． 【分析】（1）利用平方根的定义解方程即可； （2）将原方程整理后利用立方根的定义解得x的值即可． 【解答】解：（1）（2x﹣1）2＝25， 则2x﹣1＝±5， 即2x﹣1＝5或2x﹣1＝﹣5， 解得：x＝3或x＝﹣2； （2）（2﹣x）3+27＝0， 整理得：（2﹣x）3＝﹣27， 则2﹣x＝﹣3， 解得：x＝5． 【点评】本题考查平方根及立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 【题型7】立方根的规律探究 1. 知识点 被开方数的小数点每向右（或向左）移动位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动位。 例如：，，。 2. 考点 利用规律求已知立方根的数的倍数（或分数）的立方根（如已知，求或）。 根据规律补全表格或填空。 3. 易错点 混淆小数点移动方向（如被开方数向右移位，立方根误向右移位）。 倍数关系错误（如认为被开方数扩大10倍，立方根也扩大10倍）。 4. 解题技巧 规律口诀：“被开方数移三位，立方根移一位，方向相同”。 举例验证：遇到规律题时，先举简单例子验证规律，再应用到题目中。 【例题7】．（2024-2025•惠城区期末）已知0.5981，1.289，2.776，则（　　） A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.981 【答案】A 【分析】先将化简成含有的式子再计算． 【解答】解：102.776×10＝27.76． 故选：A． 【点评】本题考查求立方根的计算，解题关键是熟练掌握根式运算方法． 【变式题7-1】．（2024-2025•云溪区期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题： b 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 （1）用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向 　右　 移动 　一　 位． （2）运用你发现的规律，探究下列问题：已知2.35，则　0.235　 ，　23.5　 ． （3）类比上述立方根运算：已知1.913，则　19.13　 ，　191.3　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律； （2）根据（1）的规律可得结论； （3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值． 【解答】解：（1）用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位． 故答案为：右，一； （2）∵2.35， ∴0.235，23.5， 故答案为：0.235，23.5； （3）同理得：在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位． ∵1.913， ∴19.13，191.3． 故答案为：19.13，191.3． 【点评】本题考查数字的变化类、数的开方，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所求数字的值． 【变式题7-2】．（2024-2025•西平县期末）观察下表，并解决问题． a 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 （1）①随着被开方数的小数点的移动，它的算术平方根的小数点是怎样移动的？请归纳总结这一规律； ②已知，则 　0.447　 ． （2）①猜想被开方数的小数点移动和它的立方根的小数点移动有怎样的关系？写出你的猜想； ②已知，请用含m的式子表示n． 【答案】（1）①被开方数a的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位；②0.447； （2）①被开方数的小数点每向右移3位，它的立方根的小数点相应向右移一位；②n＝106m． 【分析】（1）①从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律； ②根据（1）的规律即可得出答案； （2）①仿照算术平方根的规律探讨被开方数与其立方根小数点移动规律；②根据①所求规律解决此题即可． 【解答】解：（1）①观察表格可知，被开方数a的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位； ②∵， ∴， 故答案为：0.447； （2）①∵；， ∴规律是：被开方数的小数点每向右移3位，它的立方根的小数点相应向右移一位； ②∵， ∴n＝1000000m＝106m． 【点评】本题考查算术平方根、立方根、数字的变化规律，熟练掌握算术平方根、立方根的变化规律是解决本题的关键． 【变式题7-3】．（2024-2025•厦门校级月考）（1）填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 由表你发现了：被开方数的小数点向右（或左）移动　三　 位，其立方根的小数点向右（或左）移动　一　 位； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则　0.1442　 ； ②已知，则　7.696　 ． （3）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为0.125立方米，需要多大面积的铁皮？ 【答案】（1）填表见解析，三，一；（2）①0.1442；②7.696；（3）需要大约1.5平方米的铁皮． 【分析】（1）利用立方根的定义，先将表格填完整，根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （2）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可； （3）设正方体的棱长为a米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【解答】解：（1）填表： a 0.001 1 1000 1000000 0.1 1 10 100 规律：数a的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位； 故答案为：三，一； （2）①∵， ∴； ②∵ ∴； 故答案为：①0.1442；7.696； （3）设正方体的棱长为a米，则a3＝0.125， ∴a＝0.5， ∴6a2＝6×0.52＝1.5（平方米）， 答：需要大约1.5平方米的铁皮． 【点评】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． 【题型8】立方根的实际应用 1. 知识点 正方体体积，则棱长。 2. 考点 已知正方体体积求棱长。 体积变化问题（如熔铸前后体积不变，利用立方根求新棱长）。 3. 易错点 体积公式记忆错误（如混淆正方体体积与表面积公式）。 单位换算失误（如体积单位是，棱长单位是，忽略单位一致性）。 4. 解题技巧 明确公式：根据几何体类型确定体积公式，建立方程。 步骤清晰：先列体积等式，再通过立方根求解未知量，最后验证单位是否合理。 【例题8】．（2024-2025•大荔县期末）我们规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的实数为“最美实数”． （1）若是“最美实数”，则a＝　或1　 ； （2）若m+n与3m﹣n都是“最美实数”，且mn≠0，求m﹣n的值． 【答案】（1）或1；（2）或或0． 【分析】（1）根据题意可得a＝0或1，解得 a的值即可； （2）根据题意可得或或或解得m，n的值后根据mn≠0确定符合题意的m，n的值，再将其代入m﹣n中计算即可． 【解答】（1）•∵a是“最美实数”， ∴a＝0或1， 解得：a或1， 故答案为：或1； （2）∵m+n与3m﹣n都是“最美实数”， ∴或或或， 解得：或 或 或， ∵mn≠0，不符合题意，舍去， ∴m﹣n或 m﹣n或 m﹣n0， 故答案为：或或0． 【点评】本题考查算术平方根及立方根，充分理解题意并进行正确的分类讨论是解题的关键． 【变式题8-1】．（2024-2025•西城区校级期中）【定义】用（a，b）表示一个数对，其中a为任意数，b≥0．记，，将对（m，n）和（n，m）称为数对（a，b）的一对“开方对称数对”．例如：数对（8，25）的开方对称数对为（2，﹣5）和（﹣5，2）． 【知识运用】 （1）直接写出数对（27，1.69）的开方对称数对　（3，﹣1.3）和（﹣1.3，3）　 ； （2）若数对（x，y）的一个开方对称数对是，求x，y的值； （3）若数对（a，b）的一个开方对称数对是（﹣4，﹣5），求a+b的值． 【答案】（1）（3，﹣1.3）和（﹣1.3，3）； （2）x，y＝49； （3）﹣39或﹣109． 【分析】（1）根据新定义直接求，的值，然后写出开方对称数对即可； （2）根据新定义得，，解得x，y的值； （3）分情况求a，b的值，进而求a+b的值． 【解答】解：（1）∵3，1.3， ∴数对（27，1.69）的开方对称数对为（3，﹣1.3）和（﹣1.3，3）； （2）由题意得：，， ∴x，y＝49； （3）当4，5时， 解得a＝﹣64，b＝25， ∴a+b＝﹣64+25＝﹣39； 当5，4时， 解得a＝﹣125，b＝16， ∴a+b＝﹣125+16＝﹣109， 综上所述，a+b的值为﹣39或﹣109． 【点评】本题考查了立方根，算术平方根，准确理解题目中的新定义是解题的关键． 【变式题8-2】．（2024-2025•重庆期中）【课本再现】据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，要求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了下列的计算过程： 第一步：因为103＝1000，1003＝1000000，1000＜59319＜1000000，．所以59319的立方根是两位数 第二步：因为59319的个位上的数是9，而在0～9中，只有9的立方的个位上的数是9，所以59319的立方根的个位上的数是9． 第三步：划去59319后面的三位319得到数59，而33＝27，43＝64，27＜59＜64，所以的十位上的数是3．综上，可得． 【方法迁移】 第一步：103＝1000，1003＝1000000，则15625的立方根是 　2　 位数； 第二步：15625个位上的数字是5，则15625的立方根个位上的数字是 　5　 ； 第三步：如果划去15625后面的三位“625”得到数15，而23＝8，33＝27，由此可确定15625的立方根十位上的数字是 　2　 ， 因此15625的立方根是 　25　 ． 【解决问题】 （1）将上述过程补充完整； （2）现在换一个数300763，你能按这种方法得出它的立方根吗？如果能，请求出它的立方根，并写出必要的推理过程． 【答案】（1）2，5，2，25； （2）能，，推理过程见解析． 【分析】（1）根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，再确定十位数，即可求得立方根； （2）利用以上规律求解即可． 【解答】解：（1）第一步：103＝1000，1003＝1000000，则15625的立方根是2位数； 第二步：15625个位上的数字是5，则15625的立方根个位上的数字是5； 第三步：如果划去15625后面的三位“625”得到数15，而23＝8，33＝27，由此可确定15625的立方根十位上的数字是2，因此15625的立方根是25． 故答案为：2，5，2，25； （2）∵103＝1000，1003＝1000000，1000＜300763＜1000000， ∴， ∵300763的个位上的数是3，只有个位数字是7的数的立方的个位数字是3， ∴的个位数字是7． 如果划去300763后面的三位763得到数300，而63＝216，73＝343，216＜300＜343， ∴， ∴，即的十位数字是6． ∴． 【点评】本题考查了数的立方，解题的关键是理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数． 【变式题8-3】．（2024-2025•武隆区校级期中）一个三位数A，它的各个数位上的数字均不为零，且满足百位上数字与个位上数字的和等于十位上数字的两倍，则称这个三位数为“明德数”．将“明德数”A的百位数字与个位数字交换位置后得到的新数记为A′，另记A和A′的和为F（A）．例如：852满足8+2＝5×2，则852是“明德数”，且F（A）＝A+A′＝852+258＝1110．已知“明德数”M的百位数字小于个位数字，F（M）能被个位数字与百位数字的差整除，且为整数，则满足条件的“明德数”M的最大值为 　345　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】设M的百位数字为a，十位数字为b，个数数字为c，则a+c＝2b，然后根据题意求出F（M）＝222b，进而得到，再由是一个整数，0≤b≤9，求出b＝4，则F（M）＝888，再由是整数，得到c﹣a＝2或c﹣a＝4或c﹣a＝3或c﹣a＝1或c﹣a＝6或c﹣a＝8，再结合a+c＝2b＝8，进行讨论求解即可． 【解答】解：设M的百位数字为a，十位数字为b，个数数字为c， ∴a+c＝2b， ∴M＝100a+10b+c，M′＝100c+10b+a， ∴F（M）＝M+M′＝100a+10b+c+100c+10b+a ＝100（a+c）+20b+a+c ＝200b+20b+2b ＝222b， ∴， ∵是一个整数，0≤b≤9， ∴2b＝0或2b＝8， ∵当2b＝0时，a+c＝2b＝0，且0＜a＜c， ∴此时不满足题意， ∴2b＝8， ∴b＝4， ∴F（M）＝888， ∵F（M）能被个位数字与百位数字的差整除， ∴是整数， ∴c﹣a＝2或c﹣a＝4或c﹣a＝3或c﹣a＝1或c﹣a＝6或c﹣a＝8， 又∵a+c＝2b＝8， ∴当c＝6时，a＝2； 当c＝7时，a＝1； 当c＝5时，a＝3； ∴M可以是246，147，345， ∴满足题意的M的最大值为345． 故答案为：345． 【点评】本题主要考查立方根，正确理解题意是解题的关键． 【题型9】与立方根相关的新定义问题 【例题9】．（2024-2025•乾安县期中）将半径为12cm的实心铁球熔化，重新铸造出8个半径相同的实心小铁球，不计损耗，小铁球半径多少？（球的体积公式VπR3） 【答案】6cm． 【分析】根据球的体积公式，由“8个小铁球的体积与大铁球的体积相等”可求出结果． 【解答】解：设小铁球的半径为rcm，由题意得， πr3×8π×123， 解得r＝6， 答：小铁球的半径为6cm． 【点评】本题考查立方根，理解立方根的定义，掌握“8个小铁球的体积与大铁球的体积相等”是正确解答的前提． 【变式题9-1】．（2024-2025•兴文县期中）小明有一个大正方体铁块，其体积为125cm3． （1）求这个大正方体铁块的棱长； （2）小明要将这个大正方体铁块熔化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个小正方体铁块的体积为98cm3，求另一个小正方体铁块的棱长． 【答案】（1）5cm；（2）3cm． 【分析】（1）根据正方体的体积公式和立方根的定义进行解答； （2）根据题意先求得另一个小立方体铁块的体积，再根据立方根的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）铁块的棱长为5cm， 答：这个铁块的棱长为5cm． （2）另一个小立方体铁块的体积为125﹣98＝27（cm3）， ∴另一个小立方体铁块的棱长为3cm， 答：另一个小立方体铁块的棱长为3cm． 【点评】本题考查立方根的应用、正方体的体积，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【变式题9-2】．（2024-2025•襄州区期末）如图，是一块体积为216立方厘米的立方体铁块． （1）求出这个铁块的棱长． （2）现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】（1）6厘米； （2）长方体铁块底面正方形的边长为5厘米． 【分析】（1）根据正方体的体积公式和立方根的定义进行解答； （2）根据题意列出式子再进行计算即可． 【解答】解：（1）由题可知，铁块的棱长为6（厘米）； （2）由题可知，设长方体铁块底面正方形的边长为a厘米， 2×23+a×a×8＝216， 16+8a2＝216， 解得a＝5． 答：长方体铁块底面正方形的边长为5厘米． 【点评】本题考查立方根、算术平方根和一元一次方程的应用，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【变式题9-3】．（2024-2025•老河口市期中）小明打算利用一张面积为900cm2的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． （1）求正方形卡纸的边长； （2）如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为4：3，裁出的长方形的面积能否为768cm2？请通过计算说明； （3）如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为343cm3，求该正方体的表面积． 【答案】（1）正方形卡纸的边长为30cm；（2）裁出的长方形的面积不能为768cm2.理由见解析；（3）294cm2． 【分析】（1）利用正方形的面积公式和算术平方根的意义解答即可； （2）设长方形的长宽之比为4x，3x，利用长方形的面积公式解答即可； （3）利用正方体的体积公式，立方根的意义和正方体的表面积的公式解答即可． 【解答】解：（1）设正方形卡纸的边长为x cm， ∵x2＝900，x＞0， ∴x＝30． ∴正方形卡纸的边长为30cm． （2）裁出的长方形的面积不能为768cm2.理由： 设长方形的长宽之比为4x cm，3x cm， 假设裁出的长方形的面积为768cm2， ∴4x•3x ＝768， ∴x2＝64， ∵x＞0， ∴x＝8． ∴长方形的长宽之比为32cm，24cm， 由（1）知：正方形卡纸的边长为30cm， ∵32＞30， ∴裁出的长方形的面积不能为768cm2． （3）设小正方体的棱长为y cm， ∴y3＝343， ∴y＝7． ∵4×7＝28＜30，3×7＝21＜30， ∴符合题意． ∴正方体的表面积＝6×72＝294（cm2）． 【点评】本题主要考查了正方形的面积，正方体的体积与表面积，立方根的意义，算术平方根的意义，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 同步练习 选择题快对 题号 1 2 3 4 5 答案 D B C C D 一．选择题（共5小题） 1．下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根、立方根的定义分别计算判断即可． 【解答】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、被开方数为﹣9，没有意义，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了立方根，算术平方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 2．已知，，，则的值约是（　　） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【答案】B 【分析】根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答即可． 【解答】解：∵， ∴3.255×10≈32.55． 故选：B． 【点评】本题考查了立方根，掌握被开方数与立方根的小数点的移动变化规律是关键． 3．下列说法正确的是（　　） A．9的平方根是3 B． C．0的算术平方根是0 D．1的立方根是±1 【答案】C 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：A.9的平方根是±3，因此选项A不符合题意； B.4，即16的算术平方根是4，因此选项B不符合题意； C.0的算术平方根是0，因此选项C符合题意； D.1的立方根是1，因此选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键． 4．下列说法正确的是（　　） A．若一个正方体体积为216，则它的棱长为16 B．的算术平方根是 C．若式子成立，则x＝1 D．的值等于±3 【答案】C 【分析】逐一分析各选项的正误，结合算术平方根的定义、方程解的条件及平方根与算术平方根的区别进行判断． 【解答】解：A、正方体体积公式为V＝a3，当V＝216时，棱长，而非16，选项计算错误，不符合题意； B、，其算术平方根为（算术平方根非负），而选项B中结果为负数，选项计算错误，不符合题意； C、由和有意义，需满足x﹣1≥0且1﹣x≥0，即x＝1．代入原式得，成立，选项计算正确，符合题意； D、表示算术平方根，结果为3，而±3是平方根，选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】此题考查了算术平方根，立方根，掌握相应的定义是关键． 5．下列结论正确的是（　　） A．64的立方根是±4 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是0 D． 【答案】D 【分析】A．根据立方根定义求出64的立方根，然后判断即可； B．根据立方根定义求出的立方根，然后判断即可； C．根据立方根等于本身的数是±1和0，然后判断即可； D．根据立方根的定义进行计算，然后判断即可． 【解答】解：A．∵64的立方根是4， ∴此选项的结论错误， 故此选项不符合题意； B．∵的立方根是， ∴此选项的结论错误， 故此选项不符合题意； C．∵立方根等于本身的数是±1和0， ∴此选项的结论错误， 故此选项不符合题意； D．∵， ∴此选项的结论正确， 故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了立方根，解题关键是熟练掌握立方根的定义． 二．填空题（共5小题） 6．阅读理解：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．华罗庚是按照下面的方法算出的：由103＝1000，1003＝1000000，从而确定是两位数，由59319的个位上的数是9，所以能确定的个位上的数是9，如果划去59319后面的三位319得到数59，而33＝27，43＝64，由此就能确定的十位上的数是3，所以59319的立方根是39．模仿华罗庚的方法，请确定195112的立方根是　58　 ． 【答案】58． 【分析】根据例题的方法求解即可． 【解答】解：∵1003＝1000000，10003＝1000000000， ∴是两位数， 又∵只有个位上是8的数的立方的个位上的数是2， ∴的个位上的数是8， 如果划去后面的三位112得到195，而53＝125，63＝216， ∴十位上的数是5， ∴195112的立方根是58， 故答案为：58． 【点评】本题考查了数的立方根，理解一个数的立方根的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解本题的关键． 7．已知，那么x+y的立方根是　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【分析】先根据非负数的性质求出x、y的值，再根据立方根的定义计算即可． 【解答】解：已知， 那么x+2＝0，y﹣1＝0， 所以x＝﹣2，y＝1， 所以x+y＝﹣2+1＝﹣1， 所以x+y的立方根是﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了立方根，非负数的性质：绝对值、算术平方根，正确计算是解题的关键． 8．若a3＝8，（b﹣1）2＝9，则a﹣b的值为 　﹣2或4　 ． 【答案】﹣2或4． 【分析】根据平方根和立方根的知识可知a＝2，b＝4或b＝﹣2，最后将所求得的值代入a﹣b中进行计算即可． 【解答】解：由a3＝8，得a＝2， 由（b﹣1）2＝9，得b＝4或b＝﹣2， 将a＝2、b＝4代入可得a﹣b＝﹣2， 将a＝2、b＝﹣2代入可得a﹣b＝4． 故答案为：﹣2或4． 【点评】本题考查了有理数的乘方，立方根，掌握算相应的运算法则是关键． 9．若x是25的算术平方根，y是﹣8的立方根，则xy的值为 　﹣10　 ． 【答案】﹣10． 【分析】根据算术平方根的意义可得x＝5；根据立方根的意义可得y＝﹣2，进而得出结果． 【解答】解：∵x是25的算术平方根，y是﹣8的立方根， ∴x＝5，y＝﹣2， ∴xy＝5×（﹣2）＝﹣10． 故答案为：﹣10． 【点评】本题考查了算术平方根与立方算，掌握算术平方根和立方根的定义是关键． 10．　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【分析】根据立方根的性质即可得出结论． 【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8， ∴． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了二次根式，体会立方与立方根之间的联系是解题的关键． 三．解答题（共6小题） 11．已知m﹣3的平方根是±3，2n+6的立方根是2． （1）求m，n的值； （2）求10m+n的算术平方根． 【答案】（1）m＝12，n＝1； （2）11． 【分析】（1）根据平方根的定义求出m的值，根据立方根的定义求出n的值即可； （2）把（1）中的m、n的值代入代数式计算，再根据算术平方根的定义计算即可． 【解答】解：（1）∵m﹣3的平方根是±3，2n+6的立方根是2， ∴m﹣3＝9，2n+6＝8， ∴m＝12，n＝1； （2）由（1）可知 m＝12，n＝1， ∴10m+n＝10×12+1＝121， ∵121的算术平方根是11， ∴10m+n的算术平方根是11． 【点评】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键． 12．已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的立方根是2． （1）求a，b的值； （2）求3a+2b的平方根． 【答案】（1）a的值是5，b的值是﹣6； （2）． 【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义解答即可； （2）把（1）中a、b的值代入计算，再根据平方根的定义计算即可． 【解答】解：（1）根据题意可得， ∴； （2）由（1）知a＝5，b＝﹣6， ∴3a+2b＝3×5+2×（﹣6）＝3， ∵3的平方根是， ∴3a+2b 的平方根是． 【点评】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键． 13．计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）7； （2）； （3）5． 【分析】（1）根据算术平方根的定义计算即可； （2）根据平方根的定义计算即可； （3）根据立方根的定义计算即可． 【解答】解：（1）； （2）； （3）． 【点评】本题考查了平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键． 14．已知3a﹣5的平方根是±2，a﹣2b﹣7的立方根是﹣2． （1）求a，b的值． （2）求2ab+15的立方根． 【答案】（1）a＝3，b＝2；（2）3． 【分析】（1）根据平方根的定义得到3a﹣5＝4，根据立方根的定义得到a﹣2b﹣7＝﹣8，即可求解； （2）根据立方根的定义即可求解． 【解答】解：（1）∵3a﹣5的平方根是±2， ∴3a﹣5＝4， 解得：a＝3， ∵a﹣2b﹣7的立方根是﹣2， ∴a﹣2b﹣7＝3﹣2b﹣7＝﹣8， 解得：b＝2， 综上所述，a＝3，b＝2； （2）2ab+15 ＝2×3×2+15 ＝27， ∵． 【点评】本题考查了平方根，立方根，掌握平方根，立方根的定义是关键． 15．王老师在“给数学学习插上想象的翅膀”数学兴趣课上引导同学们展开了丰富的想象（如图）： 然后引导同学们解决以下两个问题： （1）求的平方根． 解：由知，求的平方根也就是求4的平方根，的平方根是 　±2　 （填空）； （2）某正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2． ①求a，b的值； ②直接写出2a﹣b的算术平方根． 【答案】（1）±2； （2）①a＝4，b＝﹣8； ②4． 【分析】（1）先把化简，再根据平方根的定义进行解答即可； （2）①根据一个正数的平方根是互为相反数，列出关于a的方程，解方程求出a，再根据立方根的定义求出b； ②把①中求出的a，b代入2a﹣b，进行计算，从而求出答案即可． 【解答】解：（1）∵， ∴的平方根为：， 故答案为：±2； （2）①由题意得：a+3+2a﹣15＝0， 3a﹣12＝0， 3a＝12， a＝4， ∵b的立方根是﹣2， ∴b＝﹣8； ②由①可知：a＝4，b＝﹣8， ∴2a﹣b ＝2×4﹣（﹣8） ＝8+8 ＝16， ∴2a﹣b的算术平方根为4． 【点评】本题主要考查了平方根与立方根，解题关键是熟练掌握平方根与立方根的定义． 16．已知3a﹣21的立方根是﹣3，4a﹣b﹣1的算术平方根是2，c的平方根是它本身． （1）求a，b，c的值． （2）求3a﹣b+9c的平方根． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据立方根，算术平方根，平方根的概念即可求出答案； （2）根据（1）中所求a＝﹣2，b＝﹣13，c＝0的值代入代数式中求出答案再求平方根即可求出答案． 【解答】解：（1）由条件可知：3a﹣21＝﹣27，4a﹣b﹣1＝4，c＝0， ∴a＝﹣2， ∴b＝﹣13． （2）由（1）知：a＝﹣2，b＝﹣13，c＝0， ∴3a﹣b+9c＝3×（﹣2）﹣（﹣13）+9×0＝7， ∴3a﹣b+9c的平方根是． 【点评】本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根及代数式的求值，熟练掌握相关概念进行求解是解决本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$