4.1.2椭圆的几何性质 课件-2025-2026学年高二上学期中职数学人教版(2021)拓展模块一

4.1　椭圆 4.1.2　椭圆的几何性质 本节思维导图 课前预习导学 典型例题分析 课堂速效达标 序号 学习目标 1 熟练掌握椭圆的几何性质． 2 掌握椭圆的基本元素a，b，c，e的几何意义，掌握它们之间的关系． 3 利用椭圆的几何性质解决有关问题. 知识点1　椭圆的几何性质 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0) eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0) 图形 a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 a2＝b2＋c2 焦点位置 在x轴上 在y轴上 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a 对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，c)，F2(0，－c) 焦距 2c 2c 长轴、短轴 长轴长＝2a，短轴长＝2b 长轴长＝2a，短轴长＝2b 离心率 e＝eq \f(c,a)(0＜e＜1) e＝eq \f(c,a)(0＜e＜1) 知识点2　弦长公式 直线l交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|叫做弦长． |AB|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)＝eq \r(x2－x12＋kx2－kx12)＝eq \r(1＋k2)· eq \r(x2＋x12－4 x1x2)(k为直线的斜率)． 知识点3　直线与椭圆的位置关系 联立直线和椭圆的方程，消元后，得到一个关于x或y一元二次方程，再根据判别式Δ来进行判断： (1)Δ＞0 ⇔ 有____个交点 ⇔相交； (2)Δ＝0 ⇔ 有____个交点 ⇔相切； (3)Δ＜0 ⇔ 有____个交点 ⇔相离． 题型1　椭圆的几何性质 [例题1]　若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则椭圆的离心率等于(　　) A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2) C．eq \r(2) D．2 分析： 因为椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，所以b＝c，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2). 解：如图所示， 在△B1FB2中， 因为B1F＝B2F，B1F⊥B2F， 所以∠B2B1F＝45°.因为B1F＝a，OF＝c， 所以e＝eq \f(c,a)＝sin∠B2B1F＝eq \f(\r(2),2)，故选B. ☞名师点拨 1．e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(a2－b2,a2))＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)，可以用a，c的比值表示，也可以用a，b的比值表示． 2．离心率的范围为：0＜e＜1.e越大，椭圆形状越扁；e越小，椭圆形状越趋近于圆． ♨强化练习 1．已知椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点和短轴的一个端点构成一个正三角形，则椭圆的离心率为(　　) A．eq \f(\r(3),2) B．eq \f(3,4) C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(2),2) C　由题意知，a＝2c，所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(c,2c)＝eq \f(1,2). 题型2　椭圆的标准方程 [例题2]　已知椭圆以坐标轴为对称轴，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的3倍，焦距为4 eq \r(2)，求椭圆的标准方程． 分析：题目已知焦点的位置，可以直接设出椭圆的标准方程，根据长、短轴及焦距的关系确定出参数a、b的值． 解：椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)． 由题意得，2a＝3×2b，即a＝3b.又因为2c＝4 eq \r(2)，所以c＝2 eq \r(2). 因为a2＝b2＋c2，即(3b)2－b2＝8.所以b2＝1， a2＝9.故所求椭圆的标准方程为 eq \f(x2,9)＋y2＝1. ♨强化练习 2．已知焦距为6，离心率＝eq \f(3,5)，焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为 (　　) A．eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1 B．eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1 C．eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,9)＝1 D．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1 A　由题意知，2c＝6，所以c＝3，又因为 离心率＝eq \f(3,5)，所以a＝5，b2＝16，因为焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为 eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1. ☞名师点拨 1．2a表示椭圆的长轴长，a表示椭圆的长半轴长；2b表示椭圆的短轴长，b表示椭圆的短半轴长；2c表示椭圆的焦距，c表示椭圆的半焦距；e表示椭圆的离心率． 2．a，b，c，e间的关系 (1)a＞b＞0，a＞c＞0； (2)a2＝b2＋c2； (3)e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(a2－b2,a2))＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2). 题型3　直线与椭圆的位置关系 [例题3]　已知斜率为1的直线过椭圆 eq \f(x2,2)＋y2＝1的右焦点F2，交椭圆于M与N两点．求： (1)|MN|； (2)S△MNF1 . 分析： 根据弦长公式求出|MN|，再根据点到直线的距离公式求出三角形的高，最后计算三角形的面积． 解：(1)因为a2＝2，b2＝1，所以c2＝2－1＝1， 则c＝1. 所以F1(－1,0)，F2(1,0)，所以椭圆的右焦点F2(1,0)．因此，所求直线MN的方程是y＝x－1. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)是直线与椭圆的交点，则M，N满足 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x－1,x2＋2y2＝2))，消去y，得3x2－4x＝0. 由韦达定理，得x1＋x2＝eq \f(4,3)，x1x2＝0.所以|MN|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq \f(4\r(2),3). (2)因为焦点F1(－1,0)到直线x－y－1＝0的距离d＝eq \f(|－1－1|,\r(2))＝eq \r(2)， 所以S△MNF1 ＝eq \f(1,2)× eq \f(4\r(2),3)×eq \r(2)＝eq \f(4,3). ♨强化练习 3．已知斜率为1的直线过椭圆 eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左焦点F1，交椭圆于A与B两点．求： (1)弦长|AB|；(2)求△ABF2的面积． 解：(1)因为a2＝4，b2＝3，则c2＝4－3＝1，所以c＝1，F1(－1,0)，F2(1,0)．又因为直线的斜率为1，所以，所求直线AB的方程为y＝x＋1. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1))，消去y，得7x2＋8x－8＝0， 由韦达定理，得x1＋x2＝－eq \f(8,7)，x1x2＝－eq \f(8,7). 所以|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq \r(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,7)))2－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,7))))))＝eq \f(24,7). (2)因为焦点F2(1,0)到直线x－y＋1＝0的距离d＝eq \r(2)，所以S△ABF2 ＝eq \f(1,2)×eq \f(24,7)×eq \r(2)＝eq \f(12 \r(2),7). ☞名师点拨 求弦长的方法：联立直线与椭圆的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，由韦达定理得出x1＋x2和x1x2.将x1＋x2和x1x2代入|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])求出弦长． 一、选择题 1．已知椭圆的方程为 eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1，则此椭圆的长轴长等于(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 D　长轴长等于2a＝8，故选D. 2．椭圆2x2＋3y2＝6的焦距是(　　) A．2 B．2(eq \r(3)－ eq \r(2)) C．2 eq \r(5) D．2(eq \r(3)＋ eq \r(2)) A　原方程可化为 eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1，所以 c2＝1，所以焦距是2c＝2，故选A. 3．椭圆25x2＋9y2＝225的离心率为(　　) A．eq \f(3,5) B．eq \f(4,5) C．eq \f(3,4) D．eq \f(4,3) B　原方程可化为 eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,25)＝1，所以a2＝25，c2＝16，则a＝5，c＝4，所以椭圆的离心率e＝eq \f(4,5)，故选B. 4．椭圆 eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的短轴上一个顶点与两个焦点F1，F2所围成的三角形的周长为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 D　由题意知，三角形的周长为2a＋2c＝4＋2＝6，故选D. 5．已知椭圆 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个顶点A(a,0)，B(0，b)，左焦点F，∠FBA＝90°，则该椭圆的离心率为(　　) A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),2) C．eq \f(\r(3),3) D．eq \f(\r(5)－1,2) D　Rt△FAB中，|FA|＝a＋c，|BF|＝a，|BA|2＝a2＋b2，所以(a＋c)2＝a2＋a2＋b2，又因为b2＝a2－c2，所以a2＋2ac＋c2＝3a2－c2，即c2＋ac－a2＝0，两边同时除以a2，得e2＋e－1＝0，解得e＝eq \f(\r(5)－1,2)，故选D. 6．已知焦点在x轴上的椭圆 eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,6)＝1的离心率为 eq \f(1,2)，则实数m的值等于(　　) A．16 B．8 C．7 D．4 B　因为焦点在x轴上的椭圆 eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,6)＝1，所以a2＝m，b2＝6，所以e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(m－6,m)＝eq \f(1,4)，所以m＝8，故选B. 7．过点(－2,0)，(0，－4)的椭圆的标准方程为(　　) A．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,16)＝1 B．eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,16)＝1 C．eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,16)＝1 D．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,20)＝1 A　因为过点(－2,0)，(0，－4)的椭圆的标准方程，所以a＝4，b＝2， 所以所求椭圆的标准方程 eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,16)＝1，故选A. 8．已知椭圆的短轴长为6，离心率为 eq \f(4,5)，则椭圆的焦点到长轴的一个端点的距离为(　　) A．1 B．9 C．1或9 D．4 C　由题意知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2b＝6，,\f(c,a)＝\f(4,5)，,a2＝b2＋c2，))解得a＝5，c＝4，所以椭圆的焦点到长轴的一个端点的距离为a＋c＝9或a－c＝1，故选C. 二、解答题 9．已知椭圆C: eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)过点(5,0)，离心率为eq \f(3,5). (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线l过椭圆的右焦点，斜率为eq \f(4,5)的直线与椭圆C交于A，B两点，坐标原点为O，求△OAB的面积． 解：(1)由题意知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝5，,\f(c,a)＝\f(3,5)，,a2＝b2＋c2，))解得b＝4，c＝3，所以椭圆C的标准方程为 eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1. (2)过椭圆的右焦点(3,0)，斜率为eq \f(4,5)的直线方程为y＝eq \f(4,5)(x－3)，即4x－5y－12＝0. 16x2＋25·eq \f(16,25)(x2－6x＋9)＝25×16 2x2－bx－b＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\f(4,5)x－3，,\f(x2,25)＋\f(y2,16)＝1，)) 消去y，得x2－3x－8＝0， 由韦达定理，得x1＋x2＝3，x1x2＝－8. 所以|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq \r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2))[32－4×－8])＝eq \f(41,5). 又因为原点到直线l的距离d＝eq \f(|－12|,\r(42＋52))＝eq \f(12\r(41),41)， 所以S△OAB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×eq \f(41,5)×eq \f(12\r(41),41)＝eq \f(6\r(41),5). $$