4.3.1抛物线的标准方程 课件-2025-2026学年高二上学期中职数学人教版(2021)拓展模块一

4.3　抛物线 4.3.1　抛物线的标准方程 本节思维导图 课前预习导学 典型例题分析 课堂速效达标 序号 学习目标 1 会借助几何直观感知抛物线的定义及有关概念． 2 会根据条件求抛物线标准方程. 知识点1　抛物线的定义 平面内到一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的______，定直线l称为抛物线的______． 知识点2　抛物线的标准方程 焦点位置 x轴正半轴 x轴负半轴 y轴正半轴 y轴负半轴 标准 方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 焦点位置 x轴正半轴 x轴负半轴 y轴正半轴 y轴负半轴 顶点 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))) 准线 x＝－eq \f(p,2) x＝eq \f(p,2) y＝－eq \f(p,2) y＝eq \f(p,2) 题型1　抛物线的定义 [例题1]　在抛物线x2＝8y上求一点P，使点P到焦点的距离等于7. 分析： 根据抛物线的定义，P到焦点的距离等于P到准线的距离，可求出P点的纵坐标，代入求出点P的坐标． 解：因为x2＝8y，所以2p＝8，p＝4，eq \f(p,2)＝2， 根据抛物线的定义，P到焦点的距离等于P到准线的距离． 所以P到准线的距离为y＋eq \f(p,2)＝7，所以y＝5.所以点P的纵坐标为5. 又点P在抛物线上，所以x2＝40，x＝±2eq \r(10).所以P点的坐标为(±2eq \r(10)，5)． ♨强化练习 1．抛物线y2＝4x上一点M到焦点的距离为3，则点M的横坐标是 (　　) A．4 B．3 C．2 D．1 C　因为y2＝4x，所以2p＝4，p＝2, eq \f(p,2)＝1，根据抛物线的定义，M到焦点的距离等于M到准线的距离．所以M到准线的距离为x＋eq \f(p,2)＝3，所以x＝2.所以点M的横坐标为2. ☞名师点拨 根据抛物线定义，抛物线上任意一点到焦点的距离和到准线的距离相等，所以这两个距离可以相互转化． 题型2　求抛物线的方程 [例题2]　根据下列条件求抛物线方程． (1)顶点在原点，焦点为F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))； (2)顶点在原点，准线方程为x＝－5； (3)顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线y＝3x－6上． 分析： 先根据条件确定焦点所在的位置，再利用待定系数法求出p. 解：(1)因为焦点为F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))，设方程为x2＝－2py(p＞0)，则 eq \f(p,2)＝eq \f(1,2)，所以p＝1. 所以抛物线方程为x2＝－2y； (2)因为准线方程为x＝－5，则 eq \f(p,2)＝5，所以p＝10， 所以抛物线方程为y2＝20x； (3)当焦点在x轴上时，则焦点坐标为(2,0)，所以抛物线方程为y2＝8x. 当焦点在y轴上时，则焦点坐标为(0，－6)，所以抛物线方程为x2＝－24y. 综上可知，抛物线方程为x2＝－24y或y2＝8x. ♨强化练习 2．顶点在原点，准线为y＝－2的抛物线方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．x2＝－8y D．x2＝8y D　准线为y＝－2，所以设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，则 eq \f(p,2)＝2，所以p＝4，所以抛物线方程为x2＝8y. ☞名师点拨 用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤： (1)确定焦点的位置，明确焦点在哪个轴上及正半轴还是负半轴上，如果不知道焦点的位置，就要讨论； (2)确定p的值． 一、选择题 1．抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 B　焦点到准线的距离为p＝2，故选B. 2．抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离为(　　) A．1 B．2 C．eq \f(1,8) D．eq \f(1,4) C　焦点到准线的距离为p＝eq \f(1,8)，故选C. 3．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的渐近线的距离是(　　) A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),2) C．1 D．eq \r(3) B　抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的渐近线为y＝± eq \r(3)x，不妨设一条渐近线为y＝eq \r(3)x，即： eq \r(3)x－y＝0，由点到直线的距离公式得d＝eq \f(\r(3),2)，故选B. 4．顶点在原点，对称轴为y轴，且过点(2，－2)的抛物线为(　　) A．y2＝2x B．y2＝－2x C．x2＝2y D．x2＝－2y D　因为对称轴为y轴，所以排除A，B选项，把点(2，－2)带入验证选D. 5．抛物线y2＝－4x上一点P到焦点的距离是4，则P的横坐标是(　　) A．0 B．－1 C．－2 D．－3 D　抛物线y2＝－4x的准线方程为x＝1，所以P的横坐标是－3，故选D. 6．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与圆x2＋y2＋4y－5＝0的圆心重合，则抛物线的标准方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．x2＝－8y D．x2＝8y C　圆的圆心为(0，－2)，则抛物线的标准方程为x2＝－8y，故选C. 7．已知抛物线x2＝ay的准线方程为y＝－2，则a的值是(　　) A．4 B．－4 C．8 D．－8 C　由题意知，抛物线的焦点在y轴正半轴上，p＝4，则2p＝8，所以a＝2p＝8，故选C. 8．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则 p的值为(　　) A．1 B．2 C．eq \f(1,2) D．4 B　因为圆的圆心为(3,0)，半径为4.所以抛物线的准线方程为x＝－1，所以p＝2，故选B. 9．抛物线y2＝4x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 C　由题意知，抛物线的焦点在x轴正半轴上，p＝2，则|PF|＝6＋1＝7，故选C. 二、填空题 10．已知抛物线的准线方程为y＝1，则抛物线的标准方程为________． 解析：由题意知，抛物线的焦点在y轴的负半轴上，p＝2，所以抛物线的标准方程为x2＝－4y. 答案：x2＝－4y 11．抛物线y2＝8x的焦点坐标为______． 解析：由题意知，抛物线的焦点在x轴的正半轴上，所以抛物线的焦点坐标为(2,0)． 答案：(2,0) 12．抛物线y＝－x2上一点P到焦点的距离是1，则点P的纵坐标是________． 解析：抛物线y＝－x2的准线方程为y＝eq \f(1,4)，所以 eq \f(1,4)－y＝1，即y＝－eq \f(3,4)，所以点P的纵坐标是－eq \f(3,4). 答案：－eq \f(3,4) 三、解答题 13．抛物线的顶点是双曲线 eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的中心，而焦点是双曲线的右顶点，求该抛物线的标准方程和准线方程． 解：因为双曲线的右顶点为(3,0)，所以抛物线的焦点为(3,0)， 所以抛物线标准方程为y2＝12x，准线方程为x＝－3. $$