4.2.2双曲线的几何性质 课件-2025-2026学年高二上学期中职数学人教版(2021)拓展模块一

4.2　双曲线 4.2.2　双曲线的几何性质 本节思维导图 课前预习导学 典型例题分析 课堂速效达标 序号 学习目标 1 掌握双曲线的几何性质． 2 掌握双曲线的基本元素a，b，c，e的几何意义． 3 利用双曲线的性质解决有关问题. 知识点　双曲线的几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0) 图形 顶点 (－a,0)，(a,0) (0，a)，(0，－a) 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦点 (－c,0)，(c,0) (0，c)，(0，－c) 对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称 焦距 2c 2c 实轴长 2a 2a 虚轴长 2b 2b 离心率 e＝eq \f(c,a)(e＞1) e＝eq \f(c,a)(e＞1) a，b，c的关系 a2＋b2＝c2 a2＋b2＝c2 渐近线方程 y＝± eq \f(b,a)x y＝± eq \f(a,b)x 题型1　双曲线的几何意义 [例题1]　双曲线 eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的焦点到其渐近线的距离为(　　) A．2eq \r(3) B．2eq \r(2) C．2 D．1 分析： 双曲线的焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，渐近线为y＝± eq \r(3)x，由点到直线的距离公式求出距离． 解：由双曲线 eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1得渐近线为y＝± eq \r(3)x，焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)由点到直线的距离公式得焦点到渐近线的距离为2 eq \r(3).故选A. ♨强化练习 1．双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离为(　　) A．a B．b C．c D．eq \f(b2,a) B　由双曲线 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)得渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，焦点坐标为(±c,0)，由点到直线的距离得：d＝eq \f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b，故选B. ☞名师点拨 1．焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x ，焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x. 2．求双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 的渐近线方程，可令右边的1为0，开方得渐近线方程y＝±eq \f(b,a)x. 3．已知双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x ，可设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ ≠0)，根据其它条件求出λ ，当λ ＞0时双曲线的焦点在x轴上，当λ ＜0时双曲线的焦点在y轴上． 4．与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 共渐近线的双曲线的方程可设为为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)． 题型2　求双曲线的标准方程 [例题2]　已知以坐标轴为对称轴，且焦点在x轴上，实轴长是虚轴长的3倍，焦距为2eq \r(10)，求双曲线的标准方程． 解：已知双曲线的焦点在x轴上，则设双曲线的标准方程为 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0) 由题意得，2a＝3×2b，即a＝3b.又因为2c＝2 eq \r(10)，所以c＝eq \r(10). 因为c2＝a2＋b2，即(3b)2＋b2＝10.所以b2＝1，a2＝9. 故所求双曲线的标准方程为 eq \f(x2,9)－y2＝1. ♨强化练习 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)和(4,0)，则双曲线的标准方程为(　　) A．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 B．eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1 C．eq \f(x2,10)－eq \f(y2,6)＝1 D．eq \f(x2,6)－eq \f(y2,10)＝1 A　由题意知，c＝4，a＝2，所以b2＝12，所以双曲线的标准方程为 eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1，故选A. ☞名师点拨 双曲线的实轴长等于2a，虚轴长等于2b，焦距等于2c，所以a表示双曲线的实半轴长，b表示双曲线的虚半轴长，c表示双曲线的半焦距长．a，b，c均为正数，大小关系为：c＞a＞0，c＞b＞0，且c2＝a2＋b2. 题型3　直线与双曲线的位置关系 [例题3]　斜率为－1的直线，与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点，若OA⊥OB(O为坐标原点)，求直线的方程． 分析： 设出直线的方程，与双曲线方程联立，再根据OA⊥OB列方程，求出直线方程． 解：由题意知，可设直线的方程为y＝－x＋m，设直线与双曲线交点A(x1，x2)，B(y1，y2)．联立方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝－x＋m,3x2－y2＝1))，消去y， 得2x2＋2mx－m2－1＝0. 所以x1＋x2＝－m，x1x2＝eq \f(－m2－1,2)，Δ＞0. 所以y1y2＝(－x1＋m)(－x2＋m)＝eq \f(－m2－1,2)＋2m2＝eq \f(3m2－1,2). 因为 eq \o(OA,\s\up16(→))＝(x1，x2)，eq \o(OB,\s\up16(→))＝(y1，y2)，OA⊥OB. 所以 eq \o(OA,\s\up16(→))· eq \o(OB,\s\up16(→))＝x1x2＋y1y2＝0， 所以 eq \f(－m2－1,2)＋eq \f(3m2－1,2)＝0，所以m2＝1. 经检验符合题意． 所以m＝1或m＝－1. 所以，所求直线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－1＝0. ♨强化练习 3．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的斜率为－1，在y轴上的截距为1，且与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点． 求证：OA⊥OB. 证明：由题意知，直线l的方程为y＝－x＋1， 设直线与双曲线交点A(x1，x2)，B(y1，y2)． 联立方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝－x＋1,3x2－y2＝1))，消去y得：x2＋x－1＝0.所以x1x2＝－1，同理消x得y1y2＝1. 因为 eq \o(OA,\s\up16(→))＝(x1，x2), eq \o(OB,\s\up16(→))＝(y1，y2)，所以 eq \o(OA,\s\up16(→))· eq \o(OB,\s\up16(→))＝x1x2＋y1y2＝0，所以OA⊥OB. ☞名师点拨 解析几何中常借助中点关系、垂直关系、面积关系等列等式求待定系数． 一、选择题 1．双曲线 eq \f(x2,36－m2)－eq \f(y2,m2)＝1(0＜m＜3)的焦距为(　　) A．6 B．12 C．36 D．2 eq \r(36－2m2) B　由题意知，a2＝36－m2，b2＝m2，所以焦距2c＝12，故选B. 2．双曲线 eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的离心率是(　　) A．4 B．eq \r(2) C．2 D．eq \f(\r(6),3) C　由题意知，c2＝16，所以c＝4，故选C. 3．设双曲线 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2 eq \r(3)，则双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝± eq \r(2)x B．y＝±2x C．y＝± eq \f(\r(2),2)x D．y＝± eq \f(1,2)x C　由题意知：2b＝2,2c＝2 eq \r(3)，所以b＝1，c＝eq \r(3)，a＝eq \r(2)，所以双曲线的渐近线方程为y＝± eq \f(b,a)x＝± eq \f(\r(2),2)x，故选C. 4．已知双曲线 eq \f(y2,3)－eq \f(x2,m2)＝1(m＞0)的焦点到其渐近线的距离为2，则m的值等于(　　) A．2 B．eq \f(\r(6),2) C．eq \f(\r(5),2) D．1 A　焦点到其渐近线的距离为虚半轴长，故选A. 5．过点(2，－2)与双曲线y2－eq \f(x2,5)＝1有公共焦点的双曲线方程是(　　) A．eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1 C．eq \f(y2,2)－eq \f(x2,4)＝1 D．eq \f(y2,4)－eq \f(x2,2)＝1 C　因为与双曲线y2－eq \f(x2,5)＝1有公共焦点，所以焦点在y轴上，所以排除答案A，B，又因为过点(2，－2)，故选C. 6．双曲线与椭圆 eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,25)＝1共焦点，它们的离心率之和为 eq \f(14,5)，则此双曲线方程是(　　) A．eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 C．eq \f(y2,12)－eq \f(x2,4)＝1 D．eq \f(y2,4)－eq \f(x2,12)＝1 D　因为与椭圆 eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,25)＝1共焦点，所以焦点在y轴上，所以排除答案A，B，又因为椭圆的离心率为 eq \f(4,5)，所以双曲线的离心率为2，故选D. 7．下列方程中，以x±2y＝0为渐近线的双曲线方程是(　　) A．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,16)＝1 C．eq \f(x2,2)－y2＝1 D．x2－eq \f(y2,2)＝1 A　因为A选项的渐近线方程为y＝±eq \f(2,4)x＝±eq \f(1,2)x，即x±2y＝0，故选A. 8．双曲线 eq \f(x2,b2)－eq \f(y2,a2)＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是(　　) A．2 B．eq \r(3) C．eq \r(2) D．eq \f(\r(3),2) C　因为双曲线 eq \f(x2,b2)－eq \f(y2,a2)＝1的两条渐近线互相垂直，所以双曲线为等轴双曲线，所以该双曲线的离心率为 eq \r(2).故选C. 二、解答题 9．设直线y＝x－2与双曲线 eq \f(x2,2)－y2＝1交于A、B两点，求|AB|. 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2) 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x－2,\f(x2,2)－y2＝1))))，得x2－8x＋10＝0，所以x1＋x2＝8，x1x2＝10， 所以|AB|＝eq \r(1＋1)×eq \r(64－40)＝4 eq \r(3). 10．求与双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1 有共同的渐近线，且过点(－3,2eq \r(3))的双曲线的标准方程． 解：设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1， 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(－32,a2)－\f(2\r(3)2,b2)＝1，,\f(b,a)＝\f(4,3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝\f(9,4)，,b2＝4，)) 所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,\f(9,4))－eq \f(y2,4)＝1. $$