4.3.2抛物线的几何性质 课件-2025-2026学年高二上学期中职数学人教版(2021)拓展模块一

4.3　抛物线 4.3.2　抛物线的几何性质 本节思维导图 课前预习导学 典型例题分析 课堂速效达标 序号 学习目标 1 理解并掌握抛物线的几何性质． 2 熟练掌握直线与抛物线的位置关系. 知识点1　抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 顶点 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) 对称轴 y＝0 y＝0 x＝0 x＝0 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 焦点 F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)) F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0)) F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))) F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))) 准线 x＝－eq \f(p,2) x＝eq \f(p,2) y＝－eq \f(p,2) y＝eq \f(p,2) 离心率 e＝1 e＝1 e＝1 e＝1 M(x0，y0)到 准线的距离 |MF|＝x0＋eq \f(p,2) |MF|＝－x0＋eq \f(p,2) |MF|＝y0＋eq \f(p,2) |MF|＝－y0＋eq \f(p,2) 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 注意：p的几何意义是焦点到准线的距离． 知识点2　直线与抛物线的位置关系 1．位置关系 联立直线和椭圆的方程，消元后，得到一个关于x或y一元二次方程，再根据判别式Δ来进行判断： (1)Δ＞0 ⇔ 有____个交点⇔相交； (2)Δ＝0 ⇔ 有____个交点⇔相切； (3)Δ＜0 ⇔ 有____个交点⇔相离． 2．弦长 直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|叫做弦长． (1)求弦长的方法通常是设出直线与抛物线的交点坐标，联立直线方程与抛物线方程，得到关于x或y一元的二次方程，通过韦达定理求出x1＋x2和x1x2，通过转化两点间的距离进行求解． (2)抛物线中过焦点的弦长，可以根据抛物线的定义，转化为交点的横(纵)坐标和的绝对值与焦点到准线的距离之和． 当焦点在x轴上时，|AB|＝__________； 当焦点在y轴上时，|AB|＝__________. 题型1　抛物线的几何性质 [例题1]　已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若抛物线上一动点P到点A(3,1)和焦点F的距离之和的最小值为4，求抛物线的标准方程． 分析： 因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，所以抛物线线上的点P到点A和焦点F的距离之和就可以转化成点P到点A和到准线的距离之和，当点P在点A到准线的垂线上时距离最小． 解：因为抛物线的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，所以可设其标准方程为y2＝2px(p＞0)． 因为抛物线上一动点P到点A(3,1)和焦点F的距离之和的最小值为4， 所以点A(3,1)到准线x＝－eq \f(p,2)的距离为4， 即3＋eq \f(p,2)＝4，解得p＝2. 所以抛物线的标准方程为y2＝4x. ♨强化练习 1．已知抛物线的标准方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0.若抛物线上的动点P到其准线的距离为d1，点P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________． 解析：设抛物线的焦点为F，由题意知，d1＋d2＝|PF|＋d2. 当由F向直线l作垂线时，d1＋d2的值最小， 因为焦点F的坐标为(1,0)， 所以焦点F到直线l的距离为|PF|＋d2＝d1＋d2＝eq \f(|1＋5|,\r(2))＝3eq \r(2). 所以d1＋d2的最小值为3eq \r(2). 答案：3eq \r(2) ☞名师点拨 因为抛物线上的任意一点到焦点的距离和到准线的距离相等，所以解决问题时可以进行等价转化． 题型2　抛物线与直线的的位置关系 [例题2]　直线l过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点．求 eq \o(OA,\s\up16(→))· eq \o(OB,\s\up16(→)). 分析： 直线与抛物线相交的问题，直线方程与抛物线方程联立得到关于x的一元二次方程，由根与系数的关系得出x1＋x2和x1x2，再求 eq \o(OA,\s\up16(→))· eq \o(OB,\s\up16(→)). 解：因为y2＝2px(p＞0)的焦点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))， 当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝eq \f(p,2)， 与抛物线的两个交点为A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－p))， 所以 eq \o(OA,\s\up16(→))· eq \o(OB,\s\up16(→))＝x1x2＋y1y2＝eq \f(p2,4)－p2＝－eq \f(3,4)p2. 当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2))). 联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y2＝2px,y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))))，消去y， 得k2x2－(k2＋2)px＋eq \f(k2p2,4)＝0. 所以x1＋x2＝eq \f(k2＋2p,k2)，x1x2＝eq \f(p2,4)， 则y1y2＝k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(p,2)))·k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(p,2)))＝k2 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x1x2－\f(p,2)x1＋x2＋\f(p2,4)))＝－p2. 所以 eq \o(OA,\s\up16(→))· eq \o(OB,\s\up16(→))＝x1x2＋y1y2＝eq \f(p2,4)－p2＝－eq \f(3,4)p2. ♨强化练习 2．斜率为－1的直线过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于A，B两点，O为坐标原点，求eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OB,\s\up16(→)). 解：因为抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，所以直线l的方程为y＝－x＋1. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝－x＋1,y2＝4x))，消去y，得x2－6x＋1＝0， 由韦达定理，得x1＋x2＝6，x1x2＝1，所以y1y2＝－4. 所以eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OB,\s\up16(→))＝x1x2＋y1y2＝1－4＝－3. ☞名师点拨 对于直线与抛物线相交的问题，可联立直线和抛物线的方程，消元后，利用韦达定理求得x1＋x2和x1x2，再求得y1＋y2和y1y2.最后，根据题目给出的关系列方程或不等式求解． 一、选择题 1．抛物线y2＝－16x的焦点坐标是(　　) A．(0，－4) B．(4,0) C．(－4,0) D．(0,4) C　由题意知，抛物线的焦点在x轴负半轴上，2p＝16，则eq \f(p,2)＝4，所以抛物线的焦点坐标为(－4,0)，故选C. 2．抛物线x2＝8y的准线方程为(　　) A．x＝－2 B．y＝－2 C．x＝2 D．y＝2 B　由题意知，抛物线的焦点在y轴正半轴上，2p＝8，则eq \f(p,2)＝2，所以抛物线的准线方程为y＝－2，故选B. 3．顶点在原点，准线为x＝4的抛物线方程为(　　) A．y2＝16x B．y2＝－16x C．x2＝－16y D．x2＝16y B　因为准线方程为y＝4，所以抛物线的焦点在x轴的负半轴上，eq \f(p,2)＝4，则p＝8，所以抛物线的标准方程为y2＝－16x，故选B. 4．准线方程为y＝－1的抛物线的标准方程是(　　) A．x2＝－4y B．x2＝－eq \f(1,4)y C．x2＝4y D．x2＝eq \f(1,4)y C　由题意知，抛物线的焦点在y轴正半轴上，eq \f(p,2)＝1，则2p＝4，所以抛物线的标准方程为x2＝4y，故选C. 5．抛物线的焦点是(－2,0)，则该抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．x2＝－4y D．x2＝4y B　因为抛物线的焦点是(－2,0)，在x轴负半轴上，eq \f(p,2)＝2，则p＝4，所以抛物线的标准方程为y2＝－8x，故选B. 6．已知抛物线y2＝mx的焦点坐标为(2,0)，则实数m的值(　　) A．eq \f(1,2) B．2 C．4 D．8 D　因为抛物线的焦点是(2,0)，在x轴正半轴上，eq \f(p,2)＝2，则p＝4，所以m＝2p＝8.故选D. 7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|等于(　　) A．10 B．8 C．6 D．4 B　由抛物线的定义知，|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8，故选B. 8．若O为坐标原点，抛物线y2＝2x与过其焦点的直线交于A，B两点，则 eq \o(OA,\s\up16(→))· eq \o(OB,\s\up16(→))等于(　　) A．eq \f(3,4) B．－eq \f(3,4) C．3 D．－4 B　eq \o(OA,\s\up16(→))· eq \o(OB,\s\up16(→))＝x1x2＋y1y2＝eq \f(p2,4)－p2＝－eq \f(3,4)p2＝－eq \f(3,4)，故选B. 二、填空题 9．过抛物线y2＝8x的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|的值为________． 解析：由抛物线的定义知：|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋4＝10. 答案：10 10．若双曲线x2－eq \f(y2,8)＝1的右焦点与抛物线的焦点相同，则该抛物线的标准方程是________． 解析：因为双曲线x2－eq \f(y2,8)＝1的右焦点F(3,0)，所以抛物线的焦点为(3,0)，所以 eq \f(p,2)＝3，p＝6，所以抛物线的标准方程为y2＝12x. 答案：y2＝12x 11．已知抛物线y2＝4x ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝______. 解析：因为抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，所以直线l的方程为y＝x－1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x－1,y2＝4x))，消去y，得x2－6x＋1＝0，由韦达定理，得x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8. 答案：8 三、解答题 12．过抛物线y2＝8x的焦点且与斜率为1直线交抛物线于A，B两点，求 eq \o(OA,\s\up16(→))· eq \o(OB,\s\up16(→)). 解：设直线与抛物线的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为y2＝8x的焦点为(2,0)，所以过焦点的直线为y＝x－2. 联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x－2,y2＝8x))，消去y，得x2－12x＋4＝0， 所以x1＋x2＝12，x1x2＝4. 所以y1y2＝(x1－2)(x2－2)＝4－2×12＋4＝－16. 所以 eq \o(OA,\s\up16(→))· eq \o(OB,\s\up16(→))＝x1x2＋y1y2＝4－16＝－12. 13．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求|AB|. 解：因为抛物线x2＝4y的焦点为F(0,1)，所以直线l的方程为y＝eq \r(3)x ＋1. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x＋1,x2＝4y))，消去y，得x2－4eq \r(3)x－4＝0， 由韦达定理，得x1＋x2＝4eq \r(3)，所以y1＋y2＝eq \r(3)(x1＋x2)＋2＝14. 因为|AF|＝y1＋eq \f(p,2)，|BF|＝y2＋eq \f(p,2)， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝|y1＋y2|＋p＝14＋2＝16. 14．已知抛物线的顶点在原点，准线垂直于x轴，且经过点(3，－2 eq \r(6))． (1)求抛物线的方程； (2)若直线2x－y－3＝0与抛物线交于不同的两点A，B，求|AB|的长． 解：(1)设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0) 则(－2 eq \r(6))2＝2p×3，解得p＝4， 所以抛物线的方程为y2＝8x. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y2＝8x,2x－y－3＝0))，解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2),y＝－2))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(9,2),y＝6)). 所以|AB|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)＝eq \r(42＋82)＝4eq \r(5). $$