3.1 二次根式的概念及性质 导学案 2025-2026学年湘教版（2024）数学八年级上册

3.1 第2课时 二次根式的化简 素养目标 1.掌握积的算术平方根的性质,会根据这一性质化简二次根式. 2.理解最简二次根式的概念,并能把一个不是最简二次根式的二次根式化为最简二次根式. 3.经历知识产生的过程,培养学生合情推理的能力. 重点 会利用积的算术平方根的性质化简二次根式. 【自主预习】 1.化简. 2.请你写出一个最简二次根式. 1.化简的结果是 (　　) A.2 B.-2 C.3 D.-3 2.下列二次根式是最简二次根式的是 (　　) A. B. C. D. 【合作探究】 知识点一：积的算术平方根的性质 阅读课本本课时“思考”中的内容,回答下列问题. 1.用“>”“<”或“=”填空: 　　　　×,　　　　×.  2.上面的计算结果有什么规律?请你再写出两例,并验算你的规律是否成立. 　　积的算术平方根:=·(其中a≥0,b≥0). 讨论:1.=　　　　　　　　(a≥0,b≥0,c≥0,…,n≥0).  2.在公式中的a,b,c,…,n只能表示单个的数字或字母吗? 1.化简:(1);(2); (3)(a>0,b>0);(4). 【温馨提示】在化简二次根式时,可以直接把根号下的每一个平方因式去掉平方号以后移到根号外,但移到根号外的数必须是非负数. 知识点二：最简二次根式 阅读课本本课时“例4、例5”的内容,回答下列问题. 1.“例4”的被开方数有什么特点?你还能再举一个这样的例子吗? 2.化简二次根式,直接把被开方数写成一个　　　　乘另一个因数,直接去掉平方号后移到根号外.  3.移到根号外的数可以是负数吗?=-3成立吗? 4.=3可以作为最后的计算结果吗?为什么? 【温馨提示】化简二次根式时,最后的结果要求被开方数中不含　　　　　的因数.  5.,的被开方数有什么特点?化简过程用到了什么知识? 6.观察“例4、例5”的结果3,2,6,,中被开方数有什么特点? 　　同时满足“(1)被开方数中不含　　　　;(2)被开方数中不含能开得尽方的　　　　”这两个条件的二次根式叫作　　　　.  2.下列二次根式中,哪些是最简二次根式?哪些不是最简二次根式? (1);(2);(3); (4);(5). 二次根式的化简 例　已知实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简:2+-|a+b|. 变式训练　已知实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,化简:-|a+c|+-. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.=5. 2.例如. 自学检测 1.A　2.B 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.=　= 2.规律是积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积. 例:=×,=×.规律成立. 讨论　1.···…· 2.不是;a,b,c,…,n可以表示数,也可以表示代数式. 对点训练 1.解:(1)==×=3; (2)==6; (3)=ab; (4)==. 知识点二 1.被开方数18,20,72可以化成两个数的积,并且其中一个因数可以写成一个数的平方,即18=32×2,20=22×5,72=62×2,也就是说都含有一个平方因子.举例:45=32×5. 2.平方因数 3.不可以是负数,因为=|a|,所以从根号下直接移到根号外的数必须是非负数;=-3不成立. 4.不可以,因为的被开方数8还可以化为22×2,含有开得尽方的因数22,所以不能作为最后的计算结果. 【温馨提示】　开得尽方 5.,的被开方数都是分数;化简过程利用了分数的基本性质和=·(a≥0,b≥0). 6.有两个特点:(1)不含开得尽方的因数(或因式); (2)不含分母. 归纳总结　分母　因数(或因式)　最简二次根式 对点训练 2.解:(3)(4)是最简二次根式;(1)(2)(5)不是最简二次根式. 题型精讲 例 解:观察数轴可知-1<a<0,b>1, 所以b-1>0,a+1>0,a+b>0, 所以2+-|a+b| =2(b-1)+a+1-(a+b) =2b-2+a+1-a-b =b-1. 变式训练 解:由题意得c<a<0<b, 所以a+c<0,c-b<0,b-a>0, 所以原式=-a+a+c+b-c-(b-a) =-a+a+c+b-c-b+a =a. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1 第1课时 二次根式 素养目标 1.说出二次根式的定义. 2.会求二次根式中被开方数所含字母的取值范围. 3.会利用二次根式的非负性解题. 重点 二次根式的概念. 【自主预习】 1.类比算术平方根,请写出一个二次根式. 2.二次根式的被开方数有什么特点? 1.下列各式一定是二次根式的是 (　　) A. B. C. D. 2.若在实数范围内有意义,则x的取值范围是 (　　) A.x>2 B.x≥2 C.x≤2 D.x≠2 【合作探究】 知识点一：二次根式的概念 1.阅读课本本课时“思考”中的内容,并回答下列问题: (1)的平方根是　　　　.  (2)正实数m+n的算术平方根是　　　　.  (3)正方形的面积为S,则正方形的边长为　　　　　　　　.  2.观察±,和,说一说它们有什么共同特点. 　　形如(a≥0)的式子叫作　　　　,根号下的数叫作　　　　.  ·学习小助手· 　　二次根式必须具备以下特点:1.有二次根号;2.被开方数不能小于0. 1.下列式子中,不是二次根式的是 (　　) A. B. C. D. 知识点二：二次根式有意义的条件 阅读课本本课时“例1”之前的那段文字填空. 当a　　　　0时,二次根式在实数范围内有意义.  　　二次根式在实数范围内有意义⇔a≥0. 2.若x<-1,则下列二次根式一定有意义的是 (　　) A. B. C. D. 知识点三：()2的化简 阅读课本本课时“例2”及其之前一段的内容,填空. (1)因为(a≥0)是a的算术平方根,所以()2=　　　　(a≥0).  (2)因为(ab)2=a2b2,所以(a)2=　　　　(b≥0).  (3)式子()2=a的运算顺序是先求a的　　　　,再求　　　　.  (4)式子()2=a的被开方数是　　　　,取值范围是　　　　, 运算结果是　　　　.  　　当a是非负数时,即a≥0时,()2=a. 3.计算:()2=　　　　;=　　　　;  =　　　　;()2=　　　　.  知识点四：的化简 阅读课本本课时“做一做”至“例3”的内容,回答下列问题. (1)当a≥0时,=　　　　;当a<0时,=　　　　.所以=|a|=  (2)式子=a的运算顺序是先求a的　　　　,再求　　　　.  (3)式子=a的被开方数是　　　　,取值范围是　　　　, 运算结果是　　　　.  　　 当a≥0时,=a;当a<0时,=-a.即=|a|. 4.计算:=　　　　;=　　　　;=　　　　;=　　　　.  二次根式的非负性 例　已知y=++2. (1)求式子的值. (2)求式子-的值. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.例如. 2.二次根式的被开方数为非负数. 自学检测 1.B　 2.B 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.(1)± (2) (3) 2.都含有“”(二次根号). 归纳总结　二次根式　被开方数 对点训练 1.C 知识点二　≥ 对点训练 2.D 知识点三 (1)a (2)a2b (3)算术平方根　算术平方根的平方 (4)a　a≥0　a 对点训练 3.1.21　3　　π 知识点四 (1)a　-a (2)平方　a的平方的算术平方根 (3)a的平方　a取全体实数　a 对点训练 4.0　2　　1.2 题型精讲 例 解:(1)由题意得x-8≥0,8-x≥0,解得x=8,则y=2,所以xy=16. 因为16的算术平方根是4,所以==4. (2)把x=8和y=2代入原式,得-=-=1. 学科网（北京）股份有限公司 $$