专题09 常见函数的性质及应用（讲义） -广西2026年职教高考一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：广西2026年职教高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《广西高等职业教育考试大纲与说明（数学）》进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含10个模块共38个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是广西2026年职教高考一轮复习《数学知识点清单》的第9个专题：常见函数的性质及应用。本专题涵盖函数的综合、函数的实际应用等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 广西2026年职教高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题09 常见函数的性质及应用（讲义） 知识点1 一次函数及反比例函数 1、 一次函数： (1) 定义：一般地，形如的函数称为一次函数。 (2) 图像及性质： 图像 单调性 在上单调递增 在上单调递减 奇偶性 当时为奇函数图像关于原点对称；当时为非奇非偶函数 定义域及值域 2、 反比例函数： (1) 定义：一般地，形如的函数称为反比例函数。 (2) 图像及性质： 图像 单调性 在和上是增函数 在和上是减函数 奇偶性 奇函数，图像关于原点对称 定义域及值域 知识点2 建立函数模型解应用题的步骤 （1） 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2） 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型； （3） 求解：求解数学模型，得出数学结论； （4） 还原：用数学方法将得到的结论还原到实际问题中.用图形表示如下： 1．（24-25高三下·广西南宁·二模）已知一次函数的图像在全体实数范围内随的增大而减小，则可以是（    ） A． B．0 C．1 D．不确定 2．（24-25高三上·广西南宁·模拟预测）下列函数中，在实数集内既是奇函数又是减函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高三·广西南宁·三模）下列函数中，偶函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·重庆·职教高考）设曲线与x轴在内有且仅有一个交点，则常数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（18-19高三·广西·对口/高职单招）用8米长的铁丝围成一个矩形. (1)写出该矩形的面积S与该矩形的长x的函数解析式和自变量的取值范围. (2)问矩形的长和宽为多少时？所围成的矩形面积最大，此时矩形的面积为多少？ 1．“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用表示漏水时间，表示壶底到水面的高度．下列哪个图象适合表示与的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响）（   ） A． B． C． D． 2．随着社会经济的发展与生活水平的提高，人们越来越注重运动健身．周阿姨从家里步行10分钟到离家800m的健身公园跳广场舞，跳了30分钟时间，因有急事需回家．于是周阿姨用了8分钟返回到家中，则下列图像中能大致表达周阿姨离开家的距离（米）与时间（分钟）关系的是（   ） A． B． C． D． 3．的图象为（    ） A． B． C． D． 4．下列函数在R上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 5．假设函数是增函数，则（    ） A． B． C． D． 6．一次函数的图像不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．函数的图像是（    ） A．   B．   C．   D．   8．函数（为常数）在区间上的单调性为（    ） A．增函数 B．减函数 C．先增后减的函数 D．单调性无法确定 9．函数（    ） A．在上减函数 B． 在上减函数 C．在上增函数 D． 在上减函数 10．要得到函数的图像，可以由函数得图像（    ） A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度 C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度 11．函数在的单调性是 函数. 12．如图，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与y轴交于负半轴． （1）给出四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论的序号是 ； （2）给出四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论的序号是 ． 13．已知函数对于任意实数，均有，则实数的取值范围为 ． 14．函数 的顶点坐标为 15．函数的单调减区间是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：广西2026年职教高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《广西高等职业教育考试大纲与说明（数学）》进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含10个模块共38个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是广西2026年职教高考一轮复习《数学知识点清单》的第9个专题：常见函数的性质及应用。本专题涵盖函数的综合、函数的实际应用等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 广西2026年职教高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题09 常见函数的性质及应用（讲义） 知识点1 一次函数及反比例函数 1、 一次函数： (1) 定义：一般地，形如的函数称为一次函数。 (2) 图像及性质： 图像 单调性 在上单调递增 在上单调递减 奇偶性 当时为奇函数图像关于原点对称；当时为非奇非偶函数 定义域及值域 2、 反比例函数： (1) 定义：一般地，形如的函数称为反比例函数。 (2) 图像及性质： 图像 单调性 在和上是增函数 在和上是减函数 奇偶性 奇函数，图像关于原点对称 定义域及值域 知识点2 建立函数模型解应用题的步骤 （1） 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2） 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型； （3） 求解：求解数学模型，得出数学结论； （4） 还原：用数学方法将得到的结论还原到实际问题中.用图形表示如下： 1．（24-25高三下·广西南宁·二模）已知一次函数的图像在全体实数范围内随的增大而减小，则可以是（    ） A． B．0 C．1 D．不确定 【答案】A 【分析】根据一次函数的单调性即可得解. 【详解】一次函数的图像在全体实数范围内随的增大而减小，则一次函数为减函数， 所以，即选项A符合，选项BCD错误， 故选：. 2．（24-25高三上·广西南宁·模拟预测）下列函数中，在实数集内既是奇函数又是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数、一次函数、反比例函数及正比例函数的图像和性质，结合奇函数和减函数的定义，即可判断求解． 【详解】对于A，因为函数在实数集内是奇函数，但不是实数集上的减函数，故选项A不符合题意； 对于B，因为函数不是奇函数，且是实数集上的增函数，故选项B不符合题意； 对于C，因为函数在区间和上是减函数，故选项C不符合题意； 对于D，因为函数是实数集上的奇函数，也是实数集上的减函数，故选项D符合题意； 故选：D． 3．（23-24高三·广西南宁·三模）下列函数中，偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的图象与性质及函数奇偶性的定义可判断． 【详解】对A选项，函数的对称轴为，故不符合，错误； 对B选项，的定义域为，且，故函数为奇函数，不符合，错误； 对C选项，由余弦函数的图象与性质可知，是偶函数，符合，故正确； 对D选项，的定义域为，，故函数为奇函数，不符合，错误； 故选：C 4．（24-25高三下·重庆·职教高考）设曲线与x轴在内有且仅有一个交点，则常数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像与x轴在的交点个数分类讨论即可； 【详解】当时，此时曲线为与x轴相交于点，满足题意； 当时，曲线为二次函数，令， 因为曲线与x轴在内有且仅有一个交点， 又因为， 所以当，即时，， 此时与轴交于点，满足题意； 当，即时，，即，解得； 综上可知，常数k的取值范围为. 故选：C 5．（18-19高三·广西·对口/高职单招）用8米长的铁丝围成一个矩形. (1)写出该矩形的面积S与该矩形的长x的函数解析式和自变量的取值范围. (2)问矩形的长和宽为多少时？所围成的矩形面积最大，此时矩形的面积为多少？ 【答案】(1)，， (2)矩形的长和宽均为米时，所围成的矩形面积最大，此时矩形的面积为. 【分析】（1）由条件用表示矩形的宽，再用面积公式写出函数解析式和自变量的取值范围即可； （2）由（1）求出的函数解析式，利用二次函数的图象和性质求最值即可. 【详解】（1）用8米长的铁丝围成一个矩形， 该矩形的长为x，则宽为， 可得， 所以该矩形的面积S与该矩形的长x的函数解析式为 ，， （2）由（1）得，， 所以当时，有最大值，最大值为， 所以矩形的长和宽均为米时，所围成的矩形面积最大，此时矩形的面积为. 1．“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用表示漏水时间，表示壶底到水面的高度．下列哪个图象适合表示与的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知随的增大而匀速减小判断出函数的图象即可. 【详解】由题意可知，随着的增大而匀速减小，图形是递减的直线， 只有C图象符合． 故选：C. 2．随着社会经济的发展与生活水平的提高，人们越来越注重运动健身．周阿姨从家里步行10分钟到离家800m的健身公园跳广场舞，跳了30分钟时间，因有急事需回家．于是周阿姨用了8分钟返回到家中，则下列图像中能大致表达周阿姨离开家的距离（米）与时间（分钟）关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周阿姨的行动过程，分析离家距离随时间的变化情况，从而判断符合条件的图像. 【详解】周阿姨从家里步行10分钟到离家800m的健身公园， 随着时间的增加，离家的距离从0逐渐增加到800m，是一个上升的线段，时间区间是， 周阿姨在公园跳了30分钟广场舞，此时保持800m不变， ，图像是一段水平的线段； 周阿姨用8分钟返回到家中，随着时间的增加，从800m逐渐减小到0， ，图像是一个下降的线段， 所以大致符合图像的是选项A. 故选：A. 3．的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用在与上的取值范围即可得解. 【详解】对于， 当时，，排除AB； 当时，，排除D；而C满足上述性质. 故选：C. 4．下列函数在R上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基本初等函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，在上单调递减，在上单调递增，故选项A错误； 对于B，在R上为增函数，选项B正确； 对于C，在上单调递减，故选项C错误； 对于D，在单调递减，在单调递减，故选项D错误， 故选：B. 5．假设函数是增函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一次函数的单调性即可得解. 【详解】根据一次函数的图像可知， 当时，函数是增函数. 故选：A. 6．一次函数的图像不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据一次函数中即可得出结果. 【详解】已知一次函数，其中， 则图像过二，四象限， 又，图像与轴交于负半轴， 所以图像经过二、三、四象限. 所以不经过的象限是第一象限. 故选：A. 7．函数的图像是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据一次函数的图像判断即可. 【详解】函数为一次函数，是一条直线， 由选项可知，只有A选项正确. 故选：A. 8．函数（为常数）在区间上的单调性为（    ） A．增函数 B．减函数 C．先增后减的函数 D．单调性无法确定 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质判断函数的单调性即可. 【详解】由题意可知，函数为一次函数，其图象为一条直线， 且斜率，所以在上是减函数. 故选：B 9．函数（    ） A．在上减函数 B． 在上减函数 C．在上增函数 D． 在上减函数 【答案】C 【分析】根据一次函数单调性即可解得. 【详解】由题意可知，函数为一次函数，其图像为一条直线， 且斜率，所以在上是增函数， 故选：C 10．要得到函数的图像，可以由函数得图像（    ） A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度 C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度 【答案】C 【分析】由赋值法即可求解. 【详解】赋值法：当时，函数，而函数， 即函数需要将函数向上平移2个单位长度得到. 故选：C. 11．函数在的单调性是 函数. 【答案】减 【分析】根据反比例函数的性质即可求解. 【详解】由题意得，因为是反比例函数，则定义域为. 又，则在上是减函数. 故答案为：减. 12．如图，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与y轴交于负半轴． （1）给出四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论的序号是 ； （2）给出四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论的序号是 ． 【答案】【答题空1】①④ 【答题空2】②③④ 【分析】根据二次函数的图像与性质判断即可； 【详解】（1）①抛物线的开口向上，，正确； ②对称轴为，a、b异号，即，错误； ③图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，，错误； ④当时，，正确． 故第（1）问正确的结论的序号是①④． （2）①，，错误； ②对称轴为，，正确； ③图象经过点和，，，，正确；④，，正确． 故第（2）问正确的结论的序号是②③④． 故答案为：（1）①④  （2）②③④ 13．已知函数对于任意实数，均有，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】对a分类讨论，根据二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】由题意知函数，对于任意实数，均有， 当时，，符合题意； 当，且， 解得：； 当时，不符合题意， 综上所述. 故答案为：. 14．函数 的顶点坐标为 【答案】 【分析】由二次函数的顶点式写出顶点坐标即可. 【详解】函数的顶点坐标为. 故答案为：. 15．函数的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】利用二次函数性质可求. 【详解】函数，开口向下，对称轴， 则函数的单调减区间是； 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$