专题07 函数的单调性（讲义） -广西2026年职教高考一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：广西2026年职教高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《广西高等职业教育考试大纲与说明（数学）》进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含10个模块共38个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是广西2026年职教高考一轮复习《数学知识点清单》的第7个专题：函数的单调性。本专题涵盖函数的单调性、函数的最值、函数值域等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 广西2026年职教高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题07 函数的单调性（讲义） 知识点1 函数的单调性 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 4．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 1．（24-25高三下·广西南宁·三模）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广西南宁·一模）设的定义域为，图象关于y轴对称，且在上为增函数，则的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·贵州·职教高考）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·广西·职教高考）（多选）下列函数在定义域内是增函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（22-23高三下·宁夏·职教高考）已知偶函数在是增函数，那么在上是 函数．（填“增”或“减”） 1．已知函数在上单调递增且为偶函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．偶函数在区间上单调递增，则有（   ） A． B． C． D． 4．下列函数在定义域上为减函数的是（   ） A． B． C． D． 5．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义在区间上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 7．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 8．已知偶函数在区间上单调递增，若满足，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．已知函数，定义域为，则当取得最大值时，的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 10．已知函数在定义域上为单调递减函数，且，则（    ） A． B． C． D．以上都可能 11．若定义在上的函数的图像如图所示，则其单调递增区间是 ，单调递减区间是 . 12．函数的值域是 ． 13．已知函数在（2,+∞）为增函数，则a的取值范围是 . 14．若反比例函数在上单调递增，则k的取值范围是 . 15．若函数在区间内是增函数，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：广西2026年职教高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《广西高等职业教育考试大纲与说明（数学）》进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含10个模块共38个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是广西2026年职教高考一轮复习《数学知识点清单》的第7个专题：函数的单调性。本专题涵盖函数的单调性、函数的最值、函数值域等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 广西2026年职教高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题07 函数的单调性（讲义） 知识点1 函数的单调性 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 4．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 1．（24-25高三下·广西南宁·三模）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性的定义和常见函数的单调性逐项分析即可. 【详解】的定义域为，令， 则，所以不是偶函数，故A错误， 的定义域为，令， 则，所以是偶函数， 且当时，为增函数，故B正确， 的定义域为，令， 则，所以是偶函数， 但图像开口向下，在区间上为减函数，故C错误， 的定义域为， 不是偶函数，故D错误， 故选：B. 2．（24-25高三上·广西南宁·一模）设的定义域为，图象关于y轴对称，且在上为增函数，则的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的图象关于轴对称可知是偶函数,再根据的单调性即可求解. 【详解】因为的图象关于轴对称, 所以是偶函数, 所以,, 因为在上为增函数, 所以, 即. 故选：. 3．（24-25高三下·贵州·职教高考）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合指数函数的单调性，即可判断求解. 【详解】因为指数函数在定义域实数集R上是单调增函数， 因为，所以，故选项A错误； 因为，所以，故选项B错误； 因为，所以，故选项C正确； 因为，所以，故选项D错误； 故选：C. 4．（24-25高三下·广西·职教高考）（多选）下列函数在定义域内是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】根据对数函数，指数函数，幂函数和二次函数的单调性逐项分析即可. 【详解】对于A，中底数为， 所以该函数在定义域内是增函数，故A正确， 对于B，为幂函数，其中指数为， 所以该函数在定义域内是增函数，故B正确， 对于C，中，底数为， 所以该函数在定义域内是增函数，故C正确， 对于D，， 当时，为增函数， 当时，为增函数，， 所以该函数在定义域内是增函数，故D正确， 故选：ABCD. 5．（22-23高三下·宁夏·职教高考）已知偶函数在是增函数，那么在上是 函数．（填“增”或“减”） 【答案】减 【分析】根据奇偶性的性质及单调性的定义即可得解. 【详解】任取，且，则， 因为在是增函数，所以， 因为函数为偶函数，所以， 所以函数在上是减函数， 故答案为：减. 1．已知函数在上单调递增且为偶函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的性质，结合的单调性得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增且为偶函数， 所以由，得， 则，得，解得, 所以不等式的解集为. 故选：A. 2．已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合奇函数与单调函数的性质，可得，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】∵是定义在上的奇函数，∴， ∵正实数满足，∴， ∵是定义在上的单调函数，∴，即， ∴，且， ∴ ， 当且仅当且，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：A. 3．偶函数在区间上单调递增，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合函数的单调性和奇偶性，即可判断求解. 【详解】因为偶函数在区间上单调递增， 又，所以， 因为函数是偶函数，所以， 则，即. 故选：C. 4．下列函数在定义域上为减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数，指数函数以及一次函数的性质求解即可. 【详解】选项A.在其定义域上单调递增，故该选项错误. 选项B.在其定义域上单调递增，故该选项错误. 选项C.，中在定义域上为减函数. 选项D.在上单调递增，在上单调递增，故该选项错误. 故选：C. 5．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数和增函数的定义，逐一分析选项. 【详解】选项A，指数函数是增函数，因为，所以函数不是奇函数，故A错误； 选项B，对数函数的定义域为，不关于原点对称，不是奇函数， 函数，在区间上单调递增，故B错误； 选项C，函数在R是增函数，因为，是奇函数，故C正确； 选项D，函数定义域为关于原点对称， 因为，所以它是奇函数， 函数在和上单调递增，在和上单调递减，故D错误. 故选：C. 6．已知函数是定义在区间上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合函数的单调性和奇偶性，即可列式求解. 【详解】因为函数是定义在区间上的偶函数，且在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 又， 所以或， 解得或， 即不等式的解集为. 故选：C. 7．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求解函数的定义域，再由复合函数求单调区间的方法求解即可. 【详解】函数为，则有，解得：或， 所以函数的定义域为， 设函数，可知为二次函数，且开口向上， 则函数在区间上为减函数，在区间上为增函数， 而对数函数在上为减函数， 由复合函数单调性“同增异减”可知， 函数的单调递减区间为. 故选：D. 8．已知偶函数在区间上单调递增，若满足，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用偶函数的单调性进行求解. 【详解】因为是偶函数，且在区间上单调递增， 所以， 所以由等价于， 又 所以， 因此，的取值范围. 故选：B. 9．已知函数，定义域为，则当取得最大值时，的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据一次函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以当时函数取最大值. 故选：A. 10．已知函数在定义域上为单调递减函数，且，则（    ） A． B． C． D．以上都可能 【答案】B 【分析】根据函数的单调性的概念即求解. 【详解】因为函数在定义域上为单调递减函数， 若，则函数值越大自变量越小， 所以. 故选：B. 11．若定义在上的函数的图像如图所示，则其单调递增区间是 ，单调递减区间是 . 【答案】 和 和 【分析】根据图像及函数单调性定义求解即可. 【详解】由函数图像可知，图像在，上从左到右是“上升”的， ∴函数的单调递增区间为和； 图像在，上从左到右是“下降”的， ∴函数的单调递减区间为和. 故答案为： 和；和. 12．函数的值域是 ． 【答案】 【分析】根据分段函数判断每一段的单调性，求出每一段函数的取值范围，即可得出该函数的值域. 【详解】当时，，函数在该范围内单调递增，即； 当时，，函数在该范围内单调递增，即； 综上，函数在定义域范围内的值域为. 故答案为：. 13．已知函数在（2,+∞）为增函数，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】该二次函数开口向上，在对称轴右侧为增函数，故求出该二次函数的对称轴即可求解. 【详解】解：由题意知 函数的开口向上，对称轴为直线， 因为函数在对称轴右侧为增函数， 所以当区间在对称轴右侧时，函数在为增函数， 则有，即. 故答案为：. 14．若反比例函数在上单调递增，则k的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据反比例的单调性即可求解. 【详解】因为反比例函数在上单调递增. 所以，则. 即k的取值范围是. 故答案为：. 15．若函数在区间内是增函数，则 ． 【答案】 【分析】利用函数的单调性即可得解. 【详解】因为函数在区间内是增函数， 又，所以. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$