第四单元 解决问题的策略（知识梳理+5个考点讲练+真题演练+难度分层练 共45题）-2025-2026学年苏教版数学六年级上学期举一反三培优精讲练

第四单元 解决问题的策略 （知识梳理+5个考点讲练+真题演练+难度分层练 共45题） 【原卷版】 资料简介 内容梳理 1 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：替换策略 2 知识点梳理02：假设策略 3 重点难点 考点讲练 4 高频考点讲练1：等量代换问题 4 高频考点讲练2：列表法解鸡兔同笼问题 5 高频考点讲练3：假设法解鸡兔同笼问题 6 高频考点讲练4：方程法解鸡兔同笼问题 7 高频考点讲练5：用假设法解决含有两个未知数的应用题 7 升学真题 实战演练 8 优选题型 培优强化 9 基础夯实 能力提升 9 创新拓展 拔尖冲刺 11 同学你好，该份讲义用于苏教版六年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：替换策略 1.含义： 当问题中出现两种或两种以上的未知量，并且这些未知量之间存在一定的数量关系（通常是倍数关系或相差关系）时，我们可以用一种量去“替换”另一种量，使问题简化为只含有一种未知量的问题。 2.两种主要类型及方法： 类型一：倍数关系的替换 （1）特点： 已知两种量之间的倍数关系（例如：大杯容量是小杯的3倍；1个篮球的价钱相当于2个足球的价钱）。 （2）替换方法： 可以把一个“较大量”替换成几个“较小量”，或者把几个“较小量”替换成一个“较大量”。 （3）关键： 替换后，总量不变，只是把两种量合并成了一种量。 （4）解题步骤： ①明确两种量的倍数关系。 ②根据倍数关系进行替换，将两种未知量转化为一种未知量。 ③计算出替换后单一未知量的数值。 ④根据替换关系求出另一种未知量。 （5）典型例题：小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好都倒满。已知小杯的容量是大杯的，小杯和大杯的容量各是多少毫升？ ①思路： 因为1个大杯的容量 = 3个小杯的容量，所以可以把1个大杯替换成3个小杯。那么，总量720毫升就相当于倒入了 (6 + 3) 个小杯。 ②解答： 小杯容量：720 ÷ (6 + 3) = 720 ÷ 9 = 80 (毫升) 大杯容量：80 × 3 = 240 (毫升) 类型二：相差关系的替换 （1）特点： 已知两种量之间的相差关系（例如：一个大盒比一个小盒多装8个球；一件上衣比一条裤子贵50元）。 （2）替换方法： 把一种量替换成另一种量时，总量会发生变化。 （3）关键： ①若将“较大的量”替换成“较小的量”，总量要减去多出的部分。 ②若将“较小的量”替换成“较大的量”，总量要加上少掉的部分。 （4）解题步骤： ①明确两种量的相差关系。 ②根据相差关系进行替换，将两种未知量转化为一种未知量，并调整总量。 ③计算出替换后单一未知量的数值。 ④根据相差关系求出另一种未知量。 （5）典型例题：在1个大盒和5个同样的小盒里装满球，正好是80个。每个大盒比每个小盒多装8个，大盒里装了多少个球？每个小盒呢？ ①思路一（把大盒换成小盒）： 1个大盒替换成1个小盒，总量就会减少8个，即 80 - 8 = 72个，相当于 (1 + 5) 个小盒的容量。 解答：小盒：(80 - 8) ÷ (1 + 5) = 72 ÷ 6 = 12 (个)；大盒：12 + 8 = 20 (个) ②思路二（把小盒换成大盒）： 5个小盒替换成5个大盒，总量就会增加 5 × 8 = 40个，即 80 + 40 = 120个，相当于 (1 + 5) 个大盒的容量。 解答：大盒：(80 + 5 × 8) ÷ (1 + 5) = 120 ÷ 6 = 20 (个)；小盒：20 - 8 = 12 (个) 知识点梳理02：假设策略 1.含义： 当问题中存在两种或两种以上的未知量，且已知它们的总数量以及与单量相关的总数量（如总头数和总腿数、总价钱和总数量等），可以先对题中的未知量作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾进行适当调整，从而找到正确答案。“鸡兔同笼”问题是其典型代表。 2.解题步骤（以鸡兔同笼为例）： （1）假设： 假设笼中全是鸡（或全是兔）。 （2）计算： 根据假设算出总腿数。 （3）比较： 把假设的总腿数与实际总腿数相比较，求出腿数差。 （4）调整： 用“腿数差 ÷ 单只动物腿数差”，求出另一种动物的只数。 （5）求解： 用总头数减去已求出的动物只数，得到第一种动物的只数。 3.典型例题：鸡和兔一共有8只，它们的腿有22条。鸡和兔各有多少只？ （1）思路一（假设全是鸡）： ①假设全是鸡，总腿数：8 × 2 = 16 (条) ②腿数差：22 - 16 = 6 (条) (少算了兔的腿) ③每只兔比鸡多的腿数：4 - 2 = 2 (条) ④兔的只数：6 ÷ 2 = 3 (只) ⑤鸡的只数：8 - 3 = 5 (只) （2）思路二（假设全是兔）： (过程类似) ①假设全是兔，总腿数：8 × 4 = 32 (条) ②腿数差：32 - 22 = 10 (条) (多算了鸡的腿) ③每只鸡比兔少的腿数：4 - 2 = 2 (条) ④鸡的只数：10 ÷ 2 = 5 (只) ⑤兔的只数：8 - 5 = 3 (只) 4.其他典型例题：全班42人去公园划船，一共租了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。大、小船各租了几只？ （1）思路（假设全是大船）： ①假设全是大船，可坐人数：10 × 5 = 50 (人) ②人数差：50 - 42 = 8 (人) (多算了小船的人数) ③每只小船比大船少坐人数：5 - 3 = 2 (人) ④小船的只数：8 ÷ 2 = 4 (只) ⑤大船的只数：10 - 4 = 6 (只) 高频考点讲练1：等量代换问题 【典例精讲】（2025六年级·全国·竞赛）运一批苹果，如果用3辆大卡车和2辆小卡车运，8次可以运完；如果用1辆大卡车和4辆小卡车运，12次可以运完。如果只用大卡车运，多少辆大卡车5次可以运完？如果只用小卡车运，8辆小卡车多少次可以运完？ 【变式训练1】（2025六年级·全国·竞赛）运一批桃子，如果用2辆大卡车和3辆小卡车运，16次可以运完；如果用5辆大卡车和2辆小卡车运，8次可以运完。现在只用4辆大卡车运，多少次可以运完？ 【变式训练2】（2025六年级·全国·竞赛）艺术节快到了，郁老师为小为小演员们采购演出服，买3件上衣和6条裤子共需495元，买同样的5件上衣和3条裤子共需475元，上衣和裤子的单价各多少元？ 【变式训练3】（2025六年级·全国·竞赛）新学期到了，欢欢准备去文具店买3本语文练习本，和5本数学练习本，算好了价钱是5元1角。他带了5元1角钱到了文具店，又想买5本语文练习本和3本数学练习本，可是缺2角钱。语文练习本和数学练习本的单价各是多少？ 高频考点讲练2：列表法解鸡兔同笼问题 【典例精讲】（24-25四年级下·甘肃陇南·期末）妈妈买黄瓜和西红柿共6千克，花了8元。已知黄瓜每千克1元，西红柿每千克2元，妈妈买了( )千克黄瓜。 A．2 B．3 C．4 【变式训练1】（24-25四年级下·湖北鄂州·期末）某班参加研学活动，共入住9间“四人房”和“六人房”，且都住满。丽丽用列表法尝试求解（如下图），则四人房有( )间，六人房有( )间。 【变式训练2】（24-25四年级下·湖北武汉·期末）小林解决一道“鸡兔同笼”问题，根据鸡和兔共10只的信息，假设有5只鸡、5只兔时，发现它们脚的总数比实际脚的总数多6只。这个问题的正确结果是鸡有( )只、兔有( )只。 【变式训练3】（24-25六年级下·海南儋州·期中）2025年是新中国成立76周年，儋州市某小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛。比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 高频考点讲练3：假设法解鸡兔同笼问题 【典例精讲】（24-25四年级下·云南昆明·期末）某玩具店新购进飞机和汽车模型共30个，其中每个飞机模型有3个轮子，每个汽车模型有4个轮子，这些玩具模型共有100个轮子。新购进的飞机模型有( )个，汽车模型有( )个。 【变式训练1】（24-25六年级下·山东聊城·期中）六年级一共有108人参加踢毽子和跳绳活动，踢毽子3人一组，跳绳5人一组，一共有22组，踢毽子有( )组，跳绳有( )组。 【变式训练2】（24-25四年级下·广东潮州·期末）李奶奶做了鲜肉包和豆沙包两种口味的包子共7袋，一共有46个，鲜肉包每袋6个，豆沙包每袋8个。李奶奶做的鲜肉包和豆沙包各有多少袋？ 【变式训练3】（23-24四年级下·河南驻马店·期末）乒乓球起源于英国，是一种世界流行的球类体育项目，比赛分团体、单打、双打、混双等数种。近年来，我国乒乓球在国际上取得令人瞩目的成绩，乒乓球在中国得到大力推广。某市一次乒乓球比赛中，既有单打（两人对打）又有双打（四人对打），有36人在11张乒乓球桌上同时进行比赛，进行单打、双打的乒乓球桌分别有几张？ 高频考点讲练4：方程法解鸡兔同笼问题 【典例精讲】（24-25六年级下·山东枣庄·期末）一个房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共12个。如果椅子腿和凳子腿加起来共有44条，那么椅子有( )个，凳子有( )个。 【变式训练1】（24-25六年级下·河北沧州·期末）阳光小学正在举行“快乐乒乓球”比赛，8张球桌共22人进行比赛。进行单打的乒乓球桌有3张，双打的乒乓球桌有5张。( )（判断对错） 【变式训练2】（24-25六年级下·湖北黄冈·期末）把浓度30%和15%的糖水混合，配成浓度为25%的糖水600克，需要浓度30%的糖水( )克、浓度15%的糖水( )克。 【变式训练3】（24-25五年级下·山东烟台·期末）乒乓球被称为中国的“国球”。霞光小学利用“阳光大课间”时间，组织30个同学在12张乒乓球桌上同时进行乒乓球单打和双打比赛，那么正在进行双打的有( )张桌子。 高频考点讲练5：用假设法解决含有两个未知数的应用题 【典例精讲】（24-25六年级下·江苏常州·期中）乒乓球馆中有40名学员在训练，一共用了15张桌子，其中单打和双打各有多少张桌子？ 【变式训练1】（24-25六年级下·江苏盐城·期中）在一次竞赛中，规定答对一题得10分，答错或不答题倒扣2分，现共有10题，小明得了64分，小明答对了( )题。 【变式训练2】（24-25六年级下·山西临汾·期末）二号活动区的选手们正在进行侯马非遗产品解说，其中蝴蝶杯广为人知！蝴蝶杯主题文化节上，需要用陶瓷制作一批蝴蝶杯形状的纪念品，大陶瓷工坊和小陶瓷工坊共同承担制作任务，大工坊一天能制作12个蝴蝶杯纪念品，小工坊一天能制作7个，大工坊先做了几天后，剩下的由小工坊制作，两个工坊一共制作了9天，一共制作了93个蝴蝶杯纪念品。主办方想知道大、小工坊分别制作了几天？小朋友们，你们有解决的办法吗？（先解答，再检验） 【变式训练3】（23-24四年级下·陕西商洛·期末）为庆祝新中国成立75周年，传承红色基因，体悟中华优秀文化内涵，激发文化自信自强，感受新中国成立和建设的光辉历程、辉煌成就，厚植爱党爱国爱社会主义情怀，洛南县某中学举办了“唱响红色新童谣，经典诵读润书香”的诵读比赛。本次比赛一共有35人参加，共有7组诵读节目，分别是3人一组的小朗诵和10人一组的集体朗诵。小朗诵和集体朗诵分别有多少组？ 【演练1】（2025·江苏苏州·小升初真题）2025年是新中国成立76周年，实验小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛。比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 【演练2】（2024·河北承德·小升初真题）有2分和5分的硬币共100枚，一共3.2元钱。5分的硬币有（    ）枚。 A．40 B．100 C．60 D．30 【演练3】（2022·广东广州·小升初真题）某仓库内有一批货物，如果用3辆大卡车，4天可以运完；如果用4辆小卡车，5天可以运完；如果用20辆手推车，6天可以运完．现在先用2辆大卡车，3辆小卡车和7辆手推车共同运2天后，全部改用手推车运，必须在两天内运完，那么后两天每天至少需要多少辆手推车？ 【演练4】（2024·湖南长沙·小升初真题）有甲、乙、丙三种商品，买甲3件，乙7件，丙1件，共需32元，买甲4件，乙10件，丙1件，共需43元，则甲、乙、丙各买1件需 元钱？ 【演练5】（2024·辽宁鞍山·小升初真题）8条腿的蜘蛛和6条腿的螳螂共有25只。如果它们一共有170条腿，那么蜘蛛和螳螂各有多少只？ 你想用什么策略来解决问题请在下面相应的策略上画圈，再解答出来。 基础夯实 能力提升 1．（2023五年级·全国·竞赛）小明和元元去体育用品商店里买球，小明买了3个足球和4个篮球，共花去520元；元元买了5个足球和2个篮球，共花去540元。那么，每个篮球______元。（    ） A．70 B．75 C．80 D．85 2．（24-25四年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在知识竞赛中，有10道判断题，评分规定：每答对一道得2分，答错一道要倒扣1分。小明同学虽然答了全部的题目，但最后只得了14分，请问他答错了（    ）题。 A．1 B．2 C．3 3．（2024五年级·全国·竞赛）小明买10支铅笔和16个练习本，用了148元，小红买16支铅笔和10本练习本，比小明少用36元，一支铅笔（    ）元。 A．2 B．3 C．1 D．4 E．5 4．（2017五年级·全国·竞赛）太原街是香港的一条玩具商店街，是不少玩具发烧友的宝地。星星、希希和望望在一个小店买玩具，他们看中了这个店的一款机器人和一款小汽车。星星买了3个机器人和2辆小汽车花了360港元，希希买了5个机器人和4辆小汽车花了640港元，望望买1个机器人和2辆小汽车需要花( )港元。 5．（2023六年级·广东汕尾·竞赛）装水瓶的盒子有大小两种，小盒能装4个，大盒能装7个，要把41个水瓶恰好装入盒里，需这两种盒各( )个。 6．（2018五年级·全国·竞赛）一个工地用两台挖掘机挖土，小挖掘机工作8小时，大挖掘机工作12小时，一共挖土588方。已知小挖掘机2小时的挖土量等于大挖掘机1小时的挖土量，大挖掘机每小时挖土 方。 7．（24-25四年级下·浙江杭州·期末）笼子里有若干只鸡和兔，从上面数有10个头；从下面数有24只脚，鸡和兔各有几只？下图是小明的计算过程，下列说法正确的是（    ）。 第一步：10×2＝20（只） 第二步：24－20＝4（只） 第三步：4÷（4－2）＝2（只） 第四步：10－2＝8（只） ①第一步假设10只动物都是鸡，一共会有20只脚。 ②第二步求出实际会比假设多出4只脚。 ③第三步算出的是兔子的数量。 ④第四步算出的是鸡的数量。 A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 8．（2024五年级·全国·竞赛）小明从商店买了4块橡皮和3把小刀，共付5.9元，小红买了同样的2块橡皮和3把小刀共付4.3元。问：一块橡皮和一把小刀各是多少元？ 9．（24-25六年级下·福建宁德·期中）外卖员负责为蛋糕店送蛋糕，完整不损坏不变形的送完一个蛋糕可以挣8元，损坏变形一个蛋糕，倒扣12元，一个星期下来，小王送了65个蛋糕，共挣了460元，外卖员小王送蛋糕过程中有几个蛋糕损坏变形？ 10．（2018五年级·全国·竞赛）贝贝将1，2，3，…，n中的一个数划掉，然后计算剩下的数的平均数，平均数保留一位小数是14.1，划掉的这个数最大是 。 创新拓展 拔尖冲刺 11．（2025六年级·全国·竞赛）李强用66元买了一本字典、一支钢笔和一把尺子。字典比钢笔贵11元，字典和钢笔一共比尺子贵56元。字典、钢笔和尺子的单价各是多少元？ 12．一个工地用两台挖掘机挖土，小挖掘机工作9小时，大挖掘机工作12小时，一共挖土486方。已知小挖掘机3小时的挖土量等于大挖掘机1小时的挖土量，大挖掘机每小时挖土 方。 13．（2025五年级·全国·竞赛）琳琳、彤彤各带一些钱去书店，她们看上了一本8元的书。如果这8元由琳琳出，则琳琳剩下的钱是彤彤的3倍；如果这8元由彤彤出，琳琳的钱是彤彤剩下的钱的4倍。那么开始时琳琳带了( )元，彤彤带了( )元。 14．（2025六年级·全国·竞赛）二月份小明、小亮和小丽三家公用电700千瓦时，小明家比小亮家多用电20千瓦时，小明和小亮两家一共比小丽家多用电120千瓦时。二月份小明、小亮和小丽三家各用电多少千瓦时？ 15．（2025六年级·全国·竞赛）李涛用188元买了一件大衣、一条裤子和一双鞋。大衣比裤子贵117元，大衣和裤子一共比鞋贵138元。大衣、裤子和鞋的单价各是多少元？ 16．（24-25四年级下·浙江温州·期末）停车场里停放着自行车和三轮车共10辆，车轮总数是27个，那么自行车有( )辆，三轮车有( )辆。 17．（24-25六年级下·山东聊城·期中）南北朝时期，中国出现了一部数学著作，它的作者是“孙子”， 在这部著作中最著名的一个问题就是“鸡兔同笼”问题。这个问题对整个世界的数学界都有很大影响。书中是这样记载的，“今有雉、兔同笼，上有三十五头，下九十四足。问雉、兔各几何？”意思是说：现在笼子里有鸡（雉）和兔子在一起。从上面数一共有三十五个头，从下面数一共有九十四只脚，问一共有多少只鸡、多少只兔子？你会用两种不同的方法解决这个问题吗？ 18．（24-25六年级下·安徽蚌埠·期中）晨晨参加的“普法小达人”知识竞答活动规定：答对一题得5分，放弃一题得0分，答错一题扣1分。晨晨这次共答21道题。得了75分。他答对几题？答错几题？ 19．（24-25四年级下·湖北武汉·期末）大家还记得鸡兔同笼我们是怎么解决的吗？聪聪、明明、小丽想根据课堂上的学习经验试着解决这个问题：蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，现在这三种动物共有16只，共有110条腿和14对翅膀，那么蜘蛛、蜻蜓和蝉各有多少只？你试一试。 我想用假设法来解决这个问题，但是这里有三种动物，怎么假设呀？ 可不可以先假设都是其中某两种动物 20．（2025四年级下·全国·专题练习）在我国古代算书《九章算法比类大全》中记载着一则“哪吒战夜叉”的趣题。这道题在书中是这样叙述的： 八臂一头号夜叉，三头六臂是哪吒。两出争强来斗争，不相胜负正相交。 三十六头齐出动，一百八手乱相抓。旁边看者殷勤问，几个哪吒几夜叉？ 这道题的意思是夜叉有1个头和8个胳膊，哪吒有3个头和6个胳膊；哪吒与夜叉打得不可开交。只看见战场上有36个头和108只手在搏斗。旁边观看的人问：战场上有几个哪吒，几个夜叉？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四单元 解决问题的策略 （知识梳理+5个考点讲练+真题演练+难度分层练 共45题） 【解析版】 资料简介 内容梳理 1 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：替换策略 2 知识点梳理02：假设策略 3 重点难点 考点讲练 4 高频考点讲练1：等量代换问题 4 高频考点讲练2：列表法解鸡兔同笼问题 6 高频考点讲练3：假设法解鸡兔同笼问题 10 高频考点讲练4：方程法解鸡兔同笼问题 12 高频考点讲练5：用假设法解决含有两个未知数的应用题 14 升学真题 实战演练 17 优选题型 培优强化 19 基础夯实 能力提升 19 创新拓展 拔尖冲刺 25 同学你好，该份讲义用于苏教版六年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：替换策略 1.含义： 当问题中出现两种或两种以上的未知量，并且这些未知量之间存在一定的数量关系（通常是倍数关系或相差关系）时，我们可以用一种量去“替换”另一种量，使问题简化为只含有一种未知量的问题。 2.两种主要类型及方法： 类型一：倍数关系的替换 （1）特点： 已知两种量之间的倍数关系（例如：大杯容量是小杯的3倍；1个篮球的价钱相当于2个足球的价钱）。 （2）替换方法： 可以把一个“较大量”替换成几个“较小量”，或者把几个“较小量”替换成一个“较大量”。 （3）关键： 替换后，总量不变，只是把两种量合并成了一种量。 （4）解题步骤： ①明确两种量的倍数关系。 ②根据倍数关系进行替换，将两种未知量转化为一种未知量。 ③计算出替换后单一未知量的数值。 ④根据替换关系求出另一种未知量。 （5）典型例题：小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好都倒满。已知小杯的容量是大杯的，小杯和大杯的容量各是多少毫升？ ①思路： 因为1个大杯的容量 = 3个小杯的容量，所以可以把1个大杯替换成3个小杯。那么，总量720毫升就相当于倒入了 (6 + 3) 个小杯。 ②解答： 小杯容量：720 ÷ (6 + 3) = 720 ÷ 9 = 80 (毫升) 大杯容量：80 × 3 = 240 (毫升) 类型二：相差关系的替换 （1）特点： 已知两种量之间的相差关系（例如：一个大盒比一个小盒多装8个球；一件上衣比一条裤子贵50元）。 （2）替换方法： 把一种量替换成另一种量时，总量会发生变化。 （3）关键： ①若将“较大的量”替换成“较小的量”，总量要减去多出的部分。 ②若将“较小的量”替换成“较大的量”，总量要加上少掉的部分。 （4）解题步骤： ①明确两种量的相差关系。 ②根据相差关系进行替换，将两种未知量转化为一种未知量，并调整总量。 ③计算出替换后单一未知量的数值。 ④根据相差关系求出另一种未知量。 （5）典型例题：在1个大盒和5个同样的小盒里装满球，正好是80个。每个大盒比每个小盒多装8个，大盒里装了多少个球？每个小盒呢？ ①思路一（把大盒换成小盒）： 1个大盒替换成1个小盒，总量就会减少8个，即 80 - 8 = 72个，相当于 (1 + 5) 个小盒的容量。 解答：小盒：(80 - 8) ÷ (1 + 5) = 72 ÷ 6 = 12 (个)；大盒：12 + 8 = 20 (个) ②思路二（把小盒换成大盒）： 5个小盒替换成5个大盒，总量就会增加 5 × 8 = 40个，即 80 + 40 = 120个，相当于 (1 + 5) 个大盒的容量。 解答：大盒：(80 + 5 × 8) ÷ (1 + 5) = 120 ÷ 6 = 20 (个)；小盒：20 - 8 = 12 (个) 知识点梳理02：假设策略 1.含义： 当问题中存在两种或两种以上的未知量，且已知它们的总数量以及与单量相关的总数量（如总头数和总腿数、总价钱和总数量等），可以先对题中的未知量作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾进行适当调整，从而找到正确答案。“鸡兔同笼”问题是其典型代表。 2.解题步骤（以鸡兔同笼为例）： （1）假设： 假设笼中全是鸡（或全是兔）。 （2）计算： 根据假设算出总腿数。 （3）比较： 把假设的总腿数与实际总腿数相比较，求出腿数差。 （4）调整： 用“腿数差 ÷ 单只动物腿数差”，求出另一种动物的只数。 （5）求解： 用总头数减去已求出的动物只数，得到第一种动物的只数。 3.典型例题：鸡和兔一共有8只，它们的腿有22条。鸡和兔各有多少只？ （1）思路一（假设全是鸡）： ①假设全是鸡，总腿数：8 × 2 = 16 (条) ②腿数差：22 - 16 = 6 (条) (少算了兔的腿) ③每只兔比鸡多的腿数：4 - 2 = 2 (条) ④兔的只数：6 ÷ 2 = 3 (只) ⑤鸡的只数：8 - 3 = 5 (只) （2）思路二（假设全是兔）： (过程类似) ①假设全是兔，总腿数：8 × 4 = 32 (条) ②腿数差：32 - 22 = 10 (条) (多算了鸡的腿) ③每只鸡比兔少的腿数：4 - 2 = 2 (条) ④鸡的只数：10 ÷ 2 = 5 (只) ⑤兔的只数：8 - 5 = 3 (只) 4.其他典型例题：全班42人去公园划船，一共租了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。大、小船各租了几只？ （1）思路（假设全是大船）： ①假设全是大船，可坐人数：10 × 5 = 50 (人) ②人数差：50 - 42 = 8 (人) (多算了小船的人数) ③每只小船比大船少坐人数：5 - 3 = 2 (人) ④小船的只数：8 ÷ 2 = 4 (只) ⑤大船的只数：10 - 4 = 6 (只) 高频考点讲练1：等量代换问题 【典例精讲】（2025六年级·全国·竞赛）运一批苹果，如果用3辆大卡车和2辆小卡车运，8次可以运完；如果用1辆大卡车和4辆小卡车运，12次可以运完。如果只用大卡车运，多少辆大卡车5次可以运完？如果只用小卡车运，8辆小卡车多少次可以运完？ 【答案】6辆；10次 【思路引导】根据题意可知，如果一次运完，3×8辆大卡车＋2×8辆小卡车＝1×12辆大卡车＋4×12辆小卡车；可得3辆大卡车＝8辆小卡车；进而求出一辆大卡车运完需要的次数或一辆小卡车运完需要的次数；一辆大卡车运完需要的次数除以5即等于大卡车5次运完需要的辆数；一辆小卡车运完需要的次数除以8等于8辆小卡车运完需要的次数；据此即可解答。 【规范解答】3×8辆大卡车＋2×8辆小卡车＝1×12辆大卡车＋4×12辆小卡车 24辆大卡车＋16辆小卡车＝12辆大卡车＋48辆小卡车 12辆大卡车＝32辆小卡车 3辆大卡车＝8辆小卡车 一辆小卡车：8×8＋2×8 ＝64＋16 ＝80（次） 一辆大卡车：3×8＋2×3 ＝24＋6 ＝30（次） 30÷5＝6（辆） 80÷8＝10（次） 答：6辆大卡车5次可以运完，8辆小卡车10次可以运完。 【变式训练1】（2025六年级·全国·竞赛）运一批桃子，如果用2辆大卡车和3辆小卡车运，16次可以运完；如果用5辆大卡车和2辆小卡车运，8次可以运完。现在只用4辆大卡车运，多少次可以运完？ 【答案】11次 【思路引导】如果用2辆大卡车和3辆小卡车运，16次可以运完，因此如果一次运完，则需用32辆大卡车和48辆小卡车运；可得3辆大卡车＝8辆小卡车；如果用5辆大卡车和2辆小卡车运，8次可以运完，因此如果一次运完，则需用40辆大卡车和16辆小卡车运；由此可以知道32辆大卡车＋48辆小卡车＝40辆大卡车＋16辆小卡车，即1辆大卡车＝4辆小卡车；据此即可解答。 【规范解答】2×16＝32（次） 3×16＝48（次） 5×8＝40（次） 2×8＝16（次） 32辆大卡车＋48辆小卡车＝40辆大卡车＋16辆小卡车 8辆大卡车＝32辆小卡车 1辆大卡车＝4辆小卡车 （2×4＋3）×16÷4 ＝11×16÷4÷4 ＝176÷4÷4 ＝44÷4 ＝11（次） 答：11次可以运完。 【变式训练2】（2025六年级·全国·竞赛）艺术节快到了，郁老师为小为小演员们采购演出服，买3件上衣和6条裤子共需495元，买同样的5件上衣和3条裤子共需475元，上衣和裤子的单价各多少元？ 【答案】65元；50元 【思路引导】买5件上衣和3条裤子共需475元，将上衣和裤子都扩大到原来的2倍，即可得到买10件上衣和6条裤子共需950元；再结合买3件上衣和6条裤子共需495元，即可知道多买了7件上衣，多花了455元钱，由此用除法即可求出1件上衣的价格。然后将上衣的价格带入到原条件，就可以算出1条裤子的价格。 【规范解答】买10件上衣和6条裤子：（元） 上衣： （元） 裤子： （元） 答：上衣的单价是65元，裤子的单价是50元。 【变式训练3】（2025六年级·全国·竞赛）新学期到了，欢欢准备去文具店买3本语文练习本，和5本数学练习本，算好了价钱是5元1角。他带了5元1角钱到了文具店，又想买5本语文练习本和3本数学练习本，可是缺2角钱。语文练习本和数学练习本的单价各是多少？ 高频考点讲练2：列表法解鸡兔同笼问题 【典例精讲】（24-25四年级下·甘肃陇南·期末）妈妈买黄瓜和西红柿共6千克，花了8元。已知黄瓜每千克1元，西红柿每千克2元，妈妈买了( )千克黄瓜。 A．2 B．3 C．4 【答案】C 【思路引导】该题为鸡兔同笼问题，题目所给条件数值较小，可以用列表法通过枚举可能的组合验证是否符合条件，本题为选择题可以直接代入选项验证，据此作答。 【规范解答】A．买了2千克黄瓜，则买了4千克西红柿，花费价格： 1×2＋4×2 ＝2＋8 ＝10（元）不符合题意 B．买了3千克黄瓜，则买了3千克西红柿，花费价格： 1×3＋3×2 ＝3＋6 ＝9（元）不符合题意 C．买了4千克黄瓜，则买了2千克西红柿，花费价格： 1×4＋2×2 ＝4＋4 ＝8（元）符合题意。 因此，妈妈买了4千克黄瓜。 故答案为：C 【变式训练1】（24-25四年级下·湖北鄂州·期末）某班参加研学活动，共入住9间“四人房”和“六人房”，且都住满。丽丽用列表法尝试求解（如下图），则四人房有( )间，六人房有( )间。 【答案】 2 7 【思路引导】根据题意可知，一共有（40＋10）人，“四人房”和“六人房”一共9间。四人房间数乘4可以算出四人房住了多少人，六人房间数乘6可以算出六人房住了多少人，四人房住的人数加上六人房住的人数，即可算出一共住了多少人。据此列表算出各种住宿方案，再进一步解答。 【规范解答】总人数：（人） 四人房 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 六人房 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 总人数 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 根据表格可知，当四人房有2间，六人房有7间时，总人数是50人。 【变式训练2】（24-25四年级下·湖北武汉·期末）小林解决一道“鸡兔同笼”问题，根据鸡和兔共10只的信息，假设有5只鸡、5只兔时，发现它们脚的总数比实际脚的总数多6只。这个问题的正确结果是鸡有( )只、兔有( )只。 【答案】 8 2 【思路引导】一只鸡有2只脚，一只兔子有4只脚，那么5只鸡脚的总数为5×2＝10（只），5只兔子腿的总数为4×5＝20（只），5只鸡和5只兔的脚的总数为10＋20＝30（只），此时脚的只数比实际还多6条，所以实际脚的总数为30－6＝24（只），鸡和兔共有10只，然后列出脚24只的情况即可。 【规范解答】5×2＝10（只） 4×5＝20（只） 10＋20＝30（只） 实际脚数： 30－6＝24（只） 当兔有10只时，脚的数量为： 4×10＝40（只） 当兔有9只时，鸡有1只时，脚的数量为： 9×4＋1×2 ＝36＋2 ＝38（只） 当兔有8只时，鸡有2只时，脚的数量为： 8×4＋2×2 ＝32＋4 ＝36（只） 当兔有7只时，鸡有3只时，脚的数量为： 7×4＋3×2 ＝28＋6 ＝34（只） 当兔有6只时，鸡有4只时，脚的数量为： 6×4＋4×2 ＝24＋8 ＝32（只） 当兔有5只时，鸡有5只时，脚的数量为： 5×4＋5×2 ＝20＋10 ＝30（只） 当兔有4只时，鸡有6只时，脚的数量为： 4×4＋6×2 ＝16＋12 ＝28（只） 当兔有3只时，鸡有7只时，脚的数量为： 3×4＋7×2 ＝12＋14 ＝26（只） 当兔有2只时，鸡有8只时，脚的数量为： 2×4＋8×2 ＝8＋16 ＝24（只） 如表： 鸡 0 1 2 3 4 5 6 7 8 兔 10 9 8 7 6 5 4 3 2 脚 40 38 36 34 32 30 28 26 24 即小林解决一道“鸡兔同笼”问题，根据鸡和兔共10只的信息，假设有5只鸡、5只兔时，发现它们脚的总数比实际脚的总数多6只。这个问题的正确结果是鸡有8只、兔有2只。 【变式训练3】（24-25六年级下·海南儋州·期中）2025年是新中国成立76周年，儋州市某小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛。比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 【答案】单人独唱：6组；双人合唱：12组 【思路引导】分析题目，单人独唱组组数＋双人合唱组组数＝18，单人独唱组的组数×1＋双人合唱组的组数×2＝总人数，据此列出表格，找出总人数为30的方法即为所求。 【规范解答】 单人独唱组/组 9 8 7 6 双人合唱组/组 9 10 11 12 总人数/人 27 28 29 30 答：单人独唱有6组，双人合唱有12组。 高频考点讲练3：假设法解鸡兔同笼问题 【典例精讲】（24-25四年级下·云南昆明·期末）某玩具店新购进飞机和汽车模型共30个，其中每个飞机模型有3个轮子，每个汽车模型有4个轮子，这些玩具模型共有100个轮子。新购进的飞机模型有( )个，汽车模型有( )个。 【答案】 20 10 【思路引导】根据题意，本题属于鸡兔同笼问题，已知两种模型的总数量和轮子总数，可通过假设法求解；假设全部是飞机模型，计算轮子总数与实际轮子数的差值，进而求出汽车模型的数量，再得出飞机模型的数量，据此解答。 【规范解答】假设30个模型全是飞机模型，轮子总数为： 30×3＝90（个） 实际轮子数为100个，比假设多： 100－90＝10（个） 每辆汽车模型比飞机模型多1个轮子，汽车模型的数量为： 10÷（4－3） ＝10÷1 ＝10（个） 飞机模型的数量为：30－10＝20（个） 验证轮子数： 20×3＋10×4 ＝60＋40 ＝100（个） 符合题意，因此飞机模型有20个，汽车模型有10个。 所以新购进的飞机模型有20个，汽车模型有10个。 【变式训练1】（24-25六年级下·山东聊城·期中）六年级一共有108人参加踢毽子和跳绳活动，踢毽子3人一组，跳绳5人一组，一共有22组，踢毽子有( )组，跳绳有( )组。 【答案】 1 21 【思路引导】假设22组全是跳绳组，每组5人，则总人数为22×5＝110人。实际总人数是108人，假设的总人数比实际多110－108＝2人。每组跳绳比每组踢毽子多5－3＝2人，多出来的2人对应踢毽子的组数为2÷2＝1组。跳绳的组数为总组数减去踢毽子的组数，即22－1＝21组。 【规范解答】假设全是跳绳组。 22×5＝110（人） 110－108＝2（人） 5－3＝2（人） 2÷2＝1（组） 22－1＝21（组） 踢毽子有1组，跳绳有21组。 【变式训练2】（24-25四年级下·广东潮州·期末）李奶奶做了鲜肉包和豆沙包两种口味的包子共7袋，一共有46个，鲜肉包每袋6个，豆沙包每袋8个。李奶奶做的鲜肉包和豆沙包各有多少袋？ 【答案】鲜肉包5袋，豆沙包2袋 【思路引导】方法一：假设7袋都是鲜肉包，鲜肉包的总个数就是6乘7，再与实际的个数相减，用相差的个数除以每袋鲜肉包与豆沙包相差的个数，就是实际豆沙包的袋数，最后用总的袋数减去豆沙包的袋数，就是鲜肉包的袋数。方法二：假设7袋都是豆沙包，豆沙包的总个数就是8乘7，再与实际的个数相减，用相差的个数除以每袋鲜肉包与豆沙包的相差的个数，就是实际鲜肉包的袋数，最后用总的袋数减去鲜肉包的袋数，就是豆沙包的袋数。据此解答即可。 【规范解答】方法一：6×7＝42（个）     46－42＝4（个）     8－6＝2（个）     4÷2＝2（袋）     7－2＝5（袋） 方法二： 8×7＝56（个） 56－46＝10（个） 8－6＝2（个） 10÷2＝5（袋） 7－5＝2（袋） 答：李奶奶做的鲜肉包有5袋，豆沙包有2袋。 【变式训练3】（23-24四年级下·河南驻马店·期末）乒乓球起源于英国，是一种世界流行的球类体育项目，比赛分团体、单打、双打、混双等数种。近年来，我国乒乓球在国际上取得令人瞩目的成绩，乒乓球在中国得到大力推广。某市一次乒乓球比赛中，既有单打（两人对打）又有双打（四人对打），有36人在11张乒乓球桌上同时进行比赛，进行单打、双打的乒乓球桌分别有几张？ 【答案】单打4张；双打7张 【思路引导】本题是鸡兔同笼类问题，可以用假设法来解决该问题。假设11张乒乓球桌上全部进行的是双打（四人对打），那么一共有：11×4＝44（人）在比赛。实际上有36人在比赛，两者相差：44－36＝8（人）。每把一桌双打换成一桌单打，总人数就会减少：4－2＝2（人），直接用8除以2算出进行单打的有几张桌子。最后再用11减去前面的得数即可算出进行双打的有几张桌子。 【规范解答】11×4＝44（人） 44－36＝8（人） 4－2＝2（人） 8÷2＝4（张） 11－4＝7（张） 答：进行单打的乒乓球桌有4张，进行双打的乒乓球桌有7张。 高频考点讲练4：方程法解鸡兔同笼问题 【典例精讲】（24-25六年级下·山东枣庄·期末）一个房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共12个。如果椅子腿和凳子腿加起来共有44条，那么椅子有( )个，凳子有( )个。 【答案】 8 4 【思路引导】设椅子有x个，因为椅子和凳子共12个，所以凳子有（12－x）个，根据等量关系：“椅子腿＋凳子腿＝44条”列方程解答求出椅子个数，再用12减去椅子个数即可求出凳子个数。 【规范解答】解：设椅子有x个。 4x＋（12－x）×3＝44 4x＋36－3x＝44 x＋36＝44 x＋36－36＝44－36 x＝8 12－8＝4（个） 所以椅子有8个，凳子有4个。 【变式训练1】（24-25六年级下·河北沧州·期末）阳光小学正在举行“快乐乒乓球”比赛，8张球桌共22人进行比赛。进行单打的乒乓球桌有3张，双打的乒乓球桌有5张。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】设进行双打的乒乓球桌有x张，则单打的乒乓球桌有（8－x）张；双打是4人，x张桌有4x人；单打是2人，（8－x）张桌有2×（8－x）人，共22人，列方程：4x＋2×（8－x）＝22，解方程，求出单打桌子的数量和双打桌子的数量，进而解答。 【规范解答】解：设双打乒乓球桌有x张，则单打乒乓球桌有（8－x）张。 4x＋2×（8－x）＝22 4x＋2×8－2x＝22 2x＋16＝22 2x＋16－16＝22－16 2x＝6 2x÷2＝6÷2 x＝3 单打：8－3＝5（张） 阳光小学正在举行“快乐乒乓球”比赛，8张球桌共22人进行比赛。进行单打的乒乓球桌有5张，双打的乒乓球桌有3张。 原题干说法错误。 故答案为：× 【变式训练2】（24-25六年级下·湖北黄冈·期末）把浓度30%和15%的糖水混合，配成浓度为25%的糖水600克，需要浓度30%的糖水( )克、浓度15%的糖水( )克。 【答案】 400 200 【思路引导】先设30%的糖水为克，15%糖水就有（600－）克，根据糖水质量×含糖率＝糖的质量，分别表示出浓度30%、15%和25%的糖水中糖的质量。根据用30%糖水的糖加上15%糖水的糖等于25%糖水的糖，列出方程求解即可。 【规范解答】解：设30%的糖水为克， 15%糖水就有（600－）克。 600－400＝200（克） 需要浓度30%的糖水400克、浓度15%的糖水200克。 【变式训练3】（24-25五年级下·山东烟台·期末）乒乓球被称为中国的“国球”。霞光小学利用“阳光大课间”时间，组织30个同学在12张乒乓球桌上同时进行乒乓球单打和双打比赛，那么正在进行双打的有( )张桌子。 【答案】3 【思路引导】设正在进行双打的有x张桌子，则正在单打的有（12－x）张桌子，根据双打的桌子数×4＋单打的桌子数×2＝总人数，列出方程求出x的值即可。 【规范解答】解：正在进行双打的有x张桌子。 4x＋（12－x）×2＝30 4x＋24－2x＝30 2x＋24＝30 2x＋24－24＝30－24 2x＝6 2x÷2＝6÷2 x＝3 正在进行双打的有3张桌子。 高频考点讲练5：用假设法解决含有两个未知数的应用题 【典例精讲】（24-25六年级下·江苏常州·期中）乒乓球馆中有40名学员在训练，一共用了15张桌子，其中单打和双打各有多少张桌子？ 【答案】单打10张；双打5张 【思路引导】可通过假设法，利用单打和双打桌子数量与学员人数的关系来求解。单打是2人用一张桌子，即每张单打桌子对应2名学员。双打是4人用一张桌子，即每张双打桌子对应4名学员。 假设15张桌子全是单打桌子，那么此时的学员人数为15×2＝30名。但实际有40名学员，实际人数比假设全是单打时多了40－30＝10名。因为每张双打桌子比每张单打桌子多的人数为4－2＝2名。总共多了10名学员，所以双打桌子的数量为用10除以2即可解答。再用15减去双打桌子的数量即可得到单打桌子的数量。 【规范解答】假设15张桌子全是单打。 15×2＝30（名） 40－30＝10（名） 4－2＝2（名） 双打桌子数量：10÷2＝5（张） 单打桌子数量：15－5＝10（张） 答：单打10张桌子，双打5张桌子。 【变式训练1】（24-25六年级下·江苏盐城·期中）在一次竞赛中，规定答对一题得10分，答错或不答题倒扣2分，现共有10题，小明得了64分，小明答对了( )题。 【答案】7 【思路引导】假设全答错或不答题，则扣10×2＝20分，已知小明得了64分，实际多得64＋20＝84分，因为答错一题或不答题和答对一题相差10＋2＝12分，所以答对84÷12＝7题。 【规范解答】64＋（10×2） ＝64＋20 ＝84（分） 84÷（10＋2） ＝84÷12 ＝7（题） 所以小明答对了7题。 【变式训练2】（24-25六年级下·山西临汾·期末）二号活动区的选手们正在进行侯马非遗产品解说，其中蝴蝶杯广为人知！蝴蝶杯主题文化节上，需要用陶瓷制作一批蝴蝶杯形状的纪念品，大陶瓷工坊和小陶瓷工坊共同承担制作任务，大工坊一天能制作12个蝴蝶杯纪念品，小工坊一天能制作7个，大工坊先做了几天后，剩下的由小工坊制作，两个工坊一共制作了9天，一共制作了93个蝴蝶杯纪念品。主办方想知道大、小工坊分别制作了几天？小朋友们，你们有解决的办法吗？（先解答，再检验） 【答案】 大工坊制作了6天；小工坊制作了3天 【思路引导】大工坊一天制作12个，假设9天全由大工坊制作，用每天制作的数量乘天数计算出总量为12×9＝108个，但实际一共制作了93个，比假设的情况多了108－93＝15个，这是因为把小工坊制作的天数也当成大工坊的了，大工坊一天比小工坊多制作12－7＝5个；多出来的数量除以大、小工坊每天制作数量的差，就是小工坊制作的天数；已知两个工坊一共制作了9天，用总天数减去小工坊制作天数就是大工坊的制作天数。 检验：分别用每天制作的数量乘天数计算出大、小工坊各自制作的总量，将两者相加计算出总数量，与题目中给的总数93个作比较，一致即计算正确。 【规范解答】12×9＝108（个） 108－93＝15（个） 15÷（12－7） ＝15÷5 ＝3（天） 9－3＝6（天） 检验：12×6＝72（个） 7×3＝21（个） 72＋21＝93（个） 答：大工坊制作了6天，小工坊制作了3天。 【变式训练3】（23-24四年级下·陕西商洛·期末）为庆祝新中国成立75周年，传承红色基因，体悟中华优秀文化内涵，激发文化自信自强，感受新中国成立和建设的光辉历程、辉煌成就，厚植爱党爱国爱社会主义情怀，洛南县某中学举办了“唱响红色新童谣，经典诵读润书香”的诵读比赛。本次比赛一共有35人参加，共有7组诵读节目，分别是3人一组的小朗诵和10人一组的集体朗诵。小朗诵和集体朗诵分别有多少组？ 【答案】小朗诵5组，集体朗诵2组 【思路引导】假设7组都是小朗诵组，那么一共有7×3＝21（人），因为实际一共有35人，多了（35－21）人，就是因为把集体朗诵的人数全看作小朗诵的人数，集体朗诵的每组人数比小朗诵的每组人数多（10－3）人，所以用（35－21）除以（10－3）就是集体朗诵的组数，再用总共的组数减去集体朗诵的组数，即可求出小朗诵的组数。 【规范解答】（35－7×3）÷（10－3） ＝（35－21）÷（10－3） ＝14÷7 ＝2（组） 7－2＝5（组） 答：小朗诵有5组，集体朗诵有2组。 【演练1】（2025·江苏苏州·小升初真题）2025年是新中国成立76周年，实验小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛。比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 【答案】单人独唱6组；双人合唱12组 【思路引导】本题可通过设未知数，设双人合唱的组数为x组，因为总组数是18组，所以单人独唱的组数就是（18－x）组。再根据单人独唱每组1人，双人合唱每组2人，以及总共有30名学生参加比赛这一条件，列出方程2×x＋1×（18－x）＝30求解。 【规范解答】设双人合唱有x组，则单人独唱有（18－x）组。根据人数关系可列方程： 2×x＋1×（18－x）＝30 2x＋18－x＝30 x＋18－18＝30－18 x＝12 将x＝12代入18－x，可得单人独唱的组数为18－12＝6（组） 答：单人独唱有6组，双人合唱有12组。 【演练2】（2024·河北承德·小升初真题）有2分和5分的硬币共100枚，一共3.2元钱。5分的硬币有（    ）枚。 A．40 B．100 C．60 D．30 【答案】A 【思路引导】假设都是2分的硬币，则一共2×100＝200分，而实际一共有3.2元＝320分，原因是硬币中有5分的，1个5分硬币比1个2分硬币多3分，现在多出320－200＝120分需要多少个5分硬币呢？用120除以3，即可得解。 【规范解答】3.2元＝320分 假设全是2分的硬币，5分的硬币有： （320－100×2）÷（5－2） ＝（320－200）÷3 ＝120÷3 ＝40（枚） 有2分和5分的硬币共100枚，一共3.2元钱。5分的硬币有40枚。 故答案为：A 【演练3】（2022·广东广州·小升初真题）某仓库内有一批货物，如果用3辆大卡车，4天可以运完；如果用4辆小卡车，5天可以运完；如果用20辆手推车，6天可以运完．现在先用2辆大卡车，3辆小卡车和7辆手推车共同运2天后，全部改用手推车运，必须在两天内运完，那么后两天每天至少需要多少辆手推车？ 【答案】15辆 【思路引导】本题考查工程问题，一般将工作总量看为单位1，工作时间×工作效率=工作总量 只要先求出2天后还剩余多少工作量就可以求得还每天至少需要手推车的辆数． 【规范解答】大卡车工作效率是1÷3÷4= 小卡车工作效率是1÷4÷5= 手推车工作效率是1÷20÷6= 2辆大卡车，3辆小卡车和7辆手推车共同运2天的工作量为： ×2×2+×3×2+×7×2= 那么剩余工作量为1-= 则2天后全部改用手推车运，需要的手推车数量为÷÷2=15（辆） 答：后两天每天至少需要15辆手推车． 【演练4】（2024·湖南长沙·小升初真题）有甲、乙、丙三种商品，买甲3件，乙7件，丙1件，共需32元，买甲4件，乙10件，丙1件，共需43元，则甲、乙、丙各买1件需 元钱？ 【答案】10 【规范解答】         组合上面式子，可以得到： 可见：。 【演练5】（2024·辽宁鞍山·小升初真题）8条腿的蜘蛛和6条腿的螳螂共有25只。如果它们一共有170条腿，那么蜘蛛和螳螂各有多少只？ 你想用什么策略来解决问题请在下面相应的策略上画圈，再解答出来。 【答案】 方程；蜘蛛10只；螳螂15只 【思路引导】根据题意得：这是比较经典的“鸡兔同笼”问题，即可设蜘蛛有x只，根据蜘蛛＋螳螂＝25只，可得出螳螂有（25-x）只，再根据等量关系：蜘蛛的只数×8＋螳螂的只数×6＝总腿数170条，据此列出方程，并求解。 【规范解答】我选用方程的策略来解决问题。 解：设蜘蛛有x只，则螳螂有（25-x）只。 则螳螂只数为：（只） 答：蜘蛛有10只，螳螂有15只。 基础夯实 能力提升 1．（2023五年级·全国·竞赛）小明和元元去体育用品商店里买球，小明买了3个足球和4个篮球，共花去520元；元元买了5个足球和2个篮球，共花去540元。那么，每个篮球______元。（    ） A．70 B．75 C．80 D．85 【答案】A 【思路引导】根据题意得出以下两个数量关系式： 5个足球＋2个篮球＝540元，将这些球看成一个整体，买这样的两份，即10个足球＋4个篮球＝1080元； 3个足球＋4个篮球＝520元。 两个式子作差即可求出7个足球的金额，即可求出1个足球的单价，然后代入前面某个等式即可求出1个篮球的单价。 【规范解答】540×2＝1080（元） 1080－520＝560（元） 1个足球：560÷7＝80（元） 1个篮球：（540－5×80）÷2 ＝（540－400）÷2 ＝140÷2 ＝70（元） 则每个篮球70元。 故答案为：A 2．（24-25四年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在知识竞赛中，有10道判断题，评分规定：每答对一道得2分，答错一道要倒扣1分。小明同学虽然答了全部的题目，但最后只得了14分，请问他答错了（    ）题。 A．1 B．2 C．3 【答案】B 【思路引导】本题是鸡兔同笼类问题，可以用假设法来解决该问题。假设小明10道题目全答对，那么他可以得到：10×2＝20（分）。实际上小明只得了14分，两者相差：20－14＝6（分）。错一题倒扣1分，即做错一题实际比做对一题少得：2＋1＝3（分），直接用6除以3即可算出小明答错题目的数量。据此解答。 【规范解答】10×2＝20（分） 20－14＝6（分） 2＋1＝3（分） 6÷3＝2（道），即小明答错了2道题。 故答案为：B 3．（2024五年级·全国·竞赛）小明买10支铅笔和16个练习本，用了148元，小红买16支铅笔和10本练习本，比小明少用36元，一支铅笔（    ）元。 A．2 B．3 C．1 D．4 E．5 【答案】A 【思路引导】小红买16支铅笔和10本练习本，比小明少用36元，说明小红买16支铅笔和10本练习本用了148－36＝112（元），所以买26支铅笔和26个练习本用了148＋112＝260（元），所以买1支铅笔和1个练习本用了260÷26＝10（元），那么买10支铅笔和10个练习本用了10×10＝100（元），所以买6支铅笔用了112－100＝12（元），所以买1支铅笔用了12÷6＝2（元）。 【规范解答】148－36＝112（元） 148＋112＝260（元） 260÷（16＋10）＝10（元） 112－10×10＝12（元） 12÷6＝2（元） 所以一支铅笔2元。 故答案选：A 【考点剖析】 4．（2017五年级·全国·竞赛）太原街是香港的一条玩具商店街，是不少玩具发烧友的宝地。星星、希希和望望在一个小店买玩具，他们看中了这个店的一款机器人和一款小汽车。星星买了3个机器人和2辆小汽车花了360港元，希希买了5个机器人和4辆小汽车花了640港元，望望买1个机器人和2辆小汽车需要花( )港元。 【答案】200 【思路引导】由题意可知3个机器人和2辆小汽车花了360港元，因此都乘2，即可知道6个机器人和4辆小汽车花了720港元。再结合5个机器人和4辆小汽车花了640港元，对比即可知道多买了1个机器人多花了80港元，因此机器人的单价为80港元。然后代入题目条件即可求出1个小汽车的价格，由此即可解决。 【规范解答】机器人： （港元） 小汽车： （港元） （港元） 因此买1个机器人和2辆小汽车需要花200港元。 5．（2023六年级·广东汕尾·竞赛）装水瓶的盒子有大小两种，小盒能装4个，大盒能装7个，要把41个水瓶恰好装入盒里，需这两种盒各( )个。 【答案】5、3 【思路引导】根据题意，4×小盒的数量＋7×大盒的数量＝41，则把41拆成两个数相加，其中一个加数是41以内7的倍数，另一个加数是4的倍数，据此解答即可。 【规范解答】41以内7的倍数有7、14、21、28、35； 当大盒装7个时，需要大盒的个数是：7÷7＝1（个），剩下的个数是41－7＝34（个），34不是4的倍数； 当大盒装14个时，需要大盒的个数是：14÷7＝2（个），剩下的个数是41－14＝27（个），27不是4的倍数； 当大盒装21个时，需要大盒的个数是：21÷7＝3（个），剩下的个数是41－21＝20（个），20是4的倍数，20÷4＝5（个），所以需要小盒5个，大盒3个； 当大盒装28个时，需要大盒的个数是：28÷7＝4（个），剩下的个数是41－28＝13（个），13不是4的倍数； 当大盒装35个时，需要大盒的个数是：35÷7＝5（个），剩下的个数是41－35＝6（个），6不是4的倍数。 则要把41个水瓶恰好装入盒里，需要小盒5个，大盒3个。 6．（2018五年级·全国·竞赛）一个工地用两台挖掘机挖土，小挖掘机工作8小时，大挖掘机工作12小时，一共挖土588方。已知小挖掘机2小时的挖土量等于大挖掘机1小时的挖土量，大挖掘机每小时挖土 方。 【答案】36.75 【思路引导】小挖掘机2小时的挖土量等于大挖掘机1小时的挖土量，因此小挖掘机工作8小时相当于大挖掘机工作4小时，再根据小挖掘机工作8小时，大挖掘机工作12小时，一共挖土588方即可求出大挖掘机每小时挖土多少方。 【规范解答】588÷（12＋8÷2） ＝588÷（12＋4） ＝588÷16 ＝36.75（方） 因此大挖掘机每小时挖土36.75方。 7．（24-25四年级下·浙江杭州·期末）笼子里有若干只鸡和兔，从上面数有10个头；从下面数有24只脚，鸡和兔各有几只？下图是小明的计算过程，下列说法正确的是（    ）。 第一步：10×2＝20（只） 第二步：24－20＝4（只） 第三步：4÷（4－2）＝2（只） 第四步：10－2＝8（只） ①第一步假设10只动物都是鸡，一共会有20只脚。 ②第二步求出实际会比假设多出4只脚。 ③第三步算出的是兔子的数量。 ④第四步算出的是鸡的数量。 A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【思路引导】首先假设10只都是鸡，总脚数是20只，总脚数比实际的少了4只；一只鸡比一只兔子少2只脚，也就是每少2只脚就对应一只兔子，所以少的4只脚是因为有2只兔子被当成了鸡，再用总只数减去兔子的数量，即可得到鸡的数量。 【规范解答】①第一步假设10只动物都是鸡，计算出总脚数；（只） ②第二步求出总脚数实际会比假设多出：（只） ③第三步算出的是兔子的数量： （只） ④第四步算出的是鸡的数量：（只） 综上所述，①②③④说法正确。 故答案为：D 8．（2024五年级·全国·竞赛）小明从商店买了4块橡皮和3把小刀，共付5.9元，小红买了同样的2块橡皮和3把小刀共付4.3元。问：一块橡皮和一把小刀各是多少元？ 【答案】一块橡皮的价格是0.8元，一把小刀的价格是0.9元。 【思路引导】4块橡皮和3把小刀共付5.9元，同样的2块橡皮和3把小刀共付4.3元，这两个条件作差即可知道2块橡皮多少钱，除以2就可以求出1块橡皮的价格，最后再求出1把小刀的价格。 【规范解答】1块橡皮：（5.9－4.3）÷（4－2） ＝1.6÷2 ＝0.8（千克） 1把小刀：（5.9－0.8×4）÷3 ＝（5.9－3.2）÷3 ＝2.7÷3 ＝0.9（千克） 答：一块橡皮的价格是0.8元，一把小刀的价格是0.9元。 9．（24-25六年级下·福建宁德·期中）外卖员负责为蛋糕店送蛋糕，完整不损坏不变形的送完一个蛋糕可以挣8元，损坏变形一个蛋糕，倒扣12元，一个星期下来，小王送了65个蛋糕，共挣了460元，外卖员小王送蛋糕过程中有几个蛋糕损坏变形？ 【答案】3个 【思路引导】本题可通过“假设法”进行解答。假设全部蛋糕完好，每个完好蛋糕挣8元，共送65个，理论总收益为65×8＝520元。实际挣了460元，收益差为520－460＝60元。损坏1个蛋糕，少赚“完好时的8元＋倒扣的12元”，即每个损坏蛋糕少赚8＋12＝20元。损坏数量＝总收益差÷每个损坏蛋糕的收益差，即用60除以20即可。 【规范解答】假设全部蛋糕完好。 65×8＝520（元） 520－460＝60（元） 8＋12＝20（元） 60÷20＝3（个） 答：外卖员小王送蛋糕过程中有3个蛋糕损坏变形。 10．（2018五年级·全国·竞赛）贝贝将1，2，3，…，n中的一个数划掉，然后计算剩下的数的平均数，平均数保留一位小数是14.1，划掉的这个数最大是 。 【答案】26 【思路引导】划掉一个数后剩下的数的平均数为14.1，原来1，2，3，…，n这一列数的平均数为，因为n是整数，因此，由此即可求出n是多少。然后用原来的和减去现在的和，即可求出划掉的数最大是多少。 【规范解答】原平均数为，因为n是整数，因此 所以 原来的和： 现在的和： 划掉的数最大： 因此划掉的数最大是26。 创新拓展 拔尖冲刺 11．（2025六年级·全国·竞赛）李强用66元买了一本字典、一支钢笔和一把尺子。字典比钢笔贵11元，字典和钢笔一共比尺子贵56元。字典、钢笔和尺子的单价各是多少元？ 【答案】字典的单价是36元，钢笔的单价是25元，尺子的单价是5元。 【思路引导】由题意可知，字典和钢笔一共比尺子贵56元，字典、钢笔和尺子一共是66元，对比这两个算式即可知道，2把尺子的价格一共是：66－56＝10（元），由此即可求出1把尺子的价格是：10÷2＝5（元）；因此继续分析可知，字典比钢笔贵11元，字典和钢笔一共的价格为：66－5＝61（元），因此一支钢笔的价格为：（61－11）÷2＝25（元）；最后再用钢笔的价格加上11元，即可求出字典的价格。 【规范解答】尺子： （元） 钢笔： （元） 字典：（元） 答：字典的单价是36元，钢笔的单价是25元，尺子的单价是5元。 12．一个工地用两台挖掘机挖土，小挖掘机工作9小时，大挖掘机工作12小时，一共挖土486方。已知小挖掘机3小时的挖土量等于大挖掘机1小时的挖土量，大挖掘机每小时挖土 方。 【答案】32.4 【思路引导】小挖掘机3小时的挖土量等于大挖掘机1小时的挖土量，因此小挖掘机工作9小时相当于大挖掘机工作3小时，再根据小挖掘机工作9小时，大挖掘机工作12小时，一共挖土486方即可求出大挖掘机每小时挖土多少方。 【规范解答】486÷（12＋9÷3） ＝486÷（12＋3） ＝486÷15 ＝32.4（方） 因此大挖掘机每小时挖土32.4方。 13．（2025五年级·全国·竞赛）琳琳、彤彤各带一些钱去书店，她们看上了一本8元的书。如果这8元由琳琳出，则琳琳剩下的钱是彤彤的3倍；如果这8元由彤彤出，琳琳的钱是彤彤剩下的钱的4倍。那么开始时琳琳带了( )元，彤彤带了( )元。 【答案】 128 40 【思路引导】设彤彤带了x元，根据如果这8元由琳琳出，则琳琳剩下的钱是彤彤的3倍，则琳琳带了（3x＋8）元； 根据如果这8元由彤彤出，琳琳的钱是彤彤剩下的钱的4倍，由此可知，彤彤剩下的钱是（x－8）元，琳琳开始时带的钱为4（x－8）元；根据琳琳带的钱数不变列方程解答即可。 【规范解答】解：设彤彤带了x元。 3x＋8＝4（x－8） 3x＋8＝4x－32 4x－3x＝32＋8 x＝40 3×40＋8 ＝120＋8 ＝128（元） 则开始时琳琳带了128元，彤彤带了40元。 14．（2025六年级·全国·竞赛）二月份小明、小亮和小丽三家公用电700千瓦时，小明家比小亮家多用电20千瓦时，小明和小亮两家一共比小丽家多用电120千瓦时。二月份小明、小亮和小丽三家各用电多少千瓦时？ 【答案】二月份小明、小亮和小丽三家分别用电215、195、290千瓦时。 【思路引导】由题意可知，小明和小亮两家一共比小丽家多用电120千瓦时，小明、小亮和小丽三家公用电700千瓦时，对比这两个算式即可知道，小丽家的用电量是：（700－120）÷2＝290（千瓦时）；因此继续分析可知，小明和小亮两家的用电量是：700－290＝410（千瓦时），小明家比小亮家多用电20千瓦时，因此小亮家的用电量是：（410－20）÷2＝195（千瓦时）；最后再用小亮家的用电量加上20千瓦时，即可求出小明家的用电量。 【规范解答】小丽： （元） 小亮： （元） 小明：（元） 答：二月份小明、小亮和小丽三家分别用电215、195、290千瓦时。 15．（2025六年级·全国·竞赛）李涛用188元买了一件大衣、一条裤子和一双鞋。大衣比裤子贵117元，大衣和裤子一共比鞋贵138元。大衣、裤子和鞋的单价各是多少元？ 【答案】鞋子的单价是25元，裤子的单价是23元，大衣的单价是140元。 【思路引导】由题意可知，大衣和裤子一共比鞋贵138元，大衣、裤子和鞋一共是188元，对比这两个算式即可知道，2双鞋子的价格一共是：188－138＝50（元），由此即可求出1双鞋子的价格是：50÷2＝25（元）；继续分析可知，大衣比裤子贵117元，大衣和裤子一共的价格为：188－25＝163（元），因此一条裤子的价格为：（163－117）÷2＝23（元）；最后再用裤子的价格加上117元，即可求出大衣的价格。 【规范解答】鞋子： （元） 裤子： （元） 大衣：（元） 答：鞋子的单价是25元，裤子的单价是23元，大衣的单价是140元。 16．（24-25四年级下·浙江温州·期末）停车场里停放着自行车和三轮车共10辆，车轮总数是27个，那么自行车有( )辆，三轮车有( )辆。 【答案】 3 7 【思路引导】假设法五步解鸡兔同笼问题：假设10辆都是三轮车，计算假设和实际的差，3×10－27＝3（个），计算每辆车的轮子差3－2＝1（个），两个差的商就是假设外的另一个值：3÷1＝3（辆），总数－假设外的另一个值＝假设的值，10－3＝7（辆）。以此答题即可。 【规范解答】3×10＝30（个） 30－27＝3（个） 3－2＝1（个） 3÷1＝3（辆） 10－3＝7（辆） 停车场里停放着自行车和三轮车共10辆，车轮总数是27个，那么自行车有3辆，三轮车有7辆。 17．（24-25六年级下·山东聊城·期中）南北朝时期，中国出现了一部数学著作，它的作者是“孙子”， 在这部著作中最著名的一个问题就是“鸡兔同笼”问题。这个问题对整个世界的数学界都有很大影响。书中是这样记载的，“今有雉、兔同笼，上有三十五头，下九十四足。问雉、兔各几何？”意思是说：现在笼子里有鸡（雉）和兔子在一起。从上面数一共有三十五个头，从下面数一共有九十四只脚，问一共有多少只鸡、多少只兔子？你会用两种不同的方法解决这个问题吗？ 【答案】鸡23只；兔子12只 【思路引导】解决“鸡兔同笼”问题，最常用的两种方法是算术法（假设法）和方程法。 方法一：算术法（假设法），假设全是鸡，若35只全是鸡，每只鸡2只脚，则总脚数为：35×2＝70（只）。实际总脚数是94只，比假设的70只多：94－70＝24（只）。每把1只兔当成1只鸡，会少算4－2＝2只脚（兔比鸡多2只脚）。因此，多出来的24只脚，是由“把兔当成鸡”导致的，兔子的数量为：24÷2＝12（只）。总只数是35只，减去兔子的12只，就是鸡的数量。 方法二：方程法，设兔子有x只，因为总头数是35只，所以鸡有（35－x）只。每只兔4只脚，共4x只兔的脚数，每只鸡2只脚，共2（35－x）只。总脚数是94只，根据“鸡的脚数＋兔的脚数＝总脚数”可列方程：4x＋2（35－x）＝94，然后解方程即可。 【规范解答】方法一：假设法，假设全是鸡。 35×2＝70（只） 94－70＝24（只） 4－2＝2（只） 24÷2＝12（只） 35－12＝23（只） 方法二：方程法 解：设兔子有x只。 4x＋2（35－x）＝94 4x＋70－2x＝94 2x＋70＝94 2x＝94－70 2x＝24 x＝24÷2 x＝12 35－12＝23（只） 答：鸡有23只，兔子有12只。 18．（24-25六年级下·安徽蚌埠·期中）晨晨参加的“普法小达人”知识竞答活动规定：答对一题得5分，放弃一题得0分，答错一题扣1分。晨晨这次共答21道题。得了75分。他答对几题？答错几题？ 【答案】16题；5题 【思路引导】本题可通过“假设法”求解，假设全答对，共答21题，全答对得分为5×21＝105分。实际得75分，总差值为105－75＝30分（即少得30分）。 若全是答错导致少分：答错1题少得6分，30分对应答错30÷6＝5题，无余数，说明没有放弃的题。若有放弃题：放弃1题少得5分，会导致总差值无法被6整除，因此排除放弃题的可能。总题数21题，答错5题，故答对题数为21－5＝16题。 【规范解答】假设全答对。 5×21＝105（分） 105－75＝30（分） 30÷6＝5（题） 21－5＝16（题） 答：他答对16题，答错5题。 19．（24-25四年级下·湖北武汉·期末）大家还记得鸡兔同笼我们是怎么解决的吗？聪聪、明明、小丽想根据课堂上的学习经验试着解决这个问题：蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，现在这三种动物共有16只，共有110条腿和14对翅膀，那么蜘蛛、蜻蜓和蝉各有多少只？你试一试。 我想用假设法来解决这个问题，但是这里有三种动物，怎么假设呀？ 可不可以先假设都是其中某两种动物 【答案】蜘蛛：7只；蜻蜓：5只；蝉：4只 【思路引导】本题是鸡兔同笼类问题，可以用假设法来解决该问题。假设16只动物全是蜘蛛，那么一共有：16×8＝128（条）腿。实际上只有110条腿，两者相差：128－110＝18（条）。每把一只蜘蛛换成一只蜻蜓或者蝉，腿的总数就会减少：8－6＝2（条），直接用18除以2即可算出蜻蜓和蝉的总数。然后再用16减去蜻蜓和蝉的总数算出蜘蛛的数量。得到了蜻蜓和蝉的总数，可以再用假设法假设全是蜻蜓。然后用同样的方法算出蜻蜓和蝉的数量。 【规范解答】假设16只全是蜘蛛：16×8＝128（条） 128－110＝18（条） 8－6＝2（条） 18÷2＝9（只） 16－9＝7（只） 假设9只全是蜻蜓：9×2＝18（对） 18－14＝4（对） 2－1＝1（对） 4÷1＝4（只） 9－4＝5（只） 答：蜘蛛有7只，蜻蜓有5只，蝉有4只。 【考点剖析】本题是鸡兔同笼类的变式问题，因为蜻蜓和蝉的腿的只数相同，所以最开始需要蜻蜓和蝉看成一种动物来运用假设法算出蜘蛛的数量和蜻蜓和蝉的总数量。得到蜻蜓和蝉的总数量之后，再用一次假设法即可算出蜻蜓和蝉各自的只数。 20．（2025四年级下·全国·专题练习）在我国古代算书《九章算法比类大全》中记载着一则“哪吒战夜叉”的趣题。这道题在书中是这样叙述的： 八臂一头号夜叉，三头六臂是哪吒。两出争强来斗争，不相胜负正相交。 三十六头齐出动，一百八手乱相抓。旁边看者殷勤问，几个哪吒几夜叉？ 这道题的意思是夜叉有1个头和8个胳膊，哪吒有3个头和6个胳膊；哪吒与夜叉打得不可开交。只看见战场上有36个头和108只手在搏斗。旁边观看的人问：战场上有几个哪吒，几个夜叉？ 【答案】哪吒10个；夜叉6个 【思路引导】经过计算，夜叉和哪吒，臂加头的数量都是9个，那么夜叉和哪吒一共有的个数＝战场上一共有头和手的只数÷9，假设全是夜叉，用总个数乘夜叉手的个数，再减去108，算出多了多少只手。因为把哪吒看成夜叉，一个哪吒多看两只手。再用多的手的只数除以2就是哪吒的个数。夜叉的个数＝一共有的个数－哪吒的个数，据此代入数值作答即可。 【规范解答】不管是夜叉还是哪吒，臂加头的数量都是1＋8＝9（个）或3＋6＝9（个） 夜叉和哪吒总共有（36＋108）÷9 ＝144÷9 ＝16（个） 假设全是夜叉。 16×8－108 ＝128－108 ＝20（个） 哪吒：20÷（8－6） ＝20÷2 ＝10（个） 夜叉：16－10＝6（个） 答：战场上有10个哪吒，6个夜叉。 【考点剖析】根据臂和手的数量都是9，算出哪吒和夜叉的总数。再根据假设法，假设都是夜叉，算出各自的个数即可。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$