专题03 二次函数实际应用分类汇编（九大题型）-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（人教版）

专题03二次函数实际应用分类汇编 【题型01 ：投球问题】 【题型02 ：喷泉问题】 【题型03 ：拱桥问题】 【题型04：面积问题】 【题型05：每每问题】 【题型06：利润问题】 【题型07：分段函数】 【题型08：其他问题】 【题型01 ：投球问题】 1．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系是，则该运动员此次掷铅球的成绩是（   ）m． A．12 B．10 C．8 D．2 【答案】B 【分析】依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令，求x的正数值．本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 【详解】解：把代入得： ， 解之得：． 又，解得． 故选：B． 2．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）具有的函数关系，下列解释正确的是（   ） A．小球从飞出到落地要用 B．小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是 C．小球的飞行高度可以达到 D．小球飞行时飞行高度为，并将继续上升 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据函数表达式，可以求出的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间，求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程的意义为时所用的时间，据此解答． 【详解】解：的两根与，即时所用的时间， ∴小球的飞行高度是时，小球的飞行时间是或，故B不符合题意； ， ∴对称轴直线为：，最大值为，故C不符合题意； 时，，此时小球继续下降，故D不符合题意； ∵当时，，， ， ∴小球从飞出到落地要用，故A符合题意． 故选：A． 3．（24-25九年级上·广西钦州·期末）一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算判断球能否射进球门； (3)为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，结果恰好在点O正上方处进球，求n的值． 【答案】(1) (2)球不能射进球门 (3)1 【分析】本题考查的是二次函数的应用， （1）用待定系数法求出表达式即可； （2）计算当时，y的值与比较即可得出答案； （3）由题意得出移动后的抛物线为，把点代入求出结论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，        设抛物线表示的二次函数的表达式为， 把点代入，得， 解得，         ∴抛物线的表达式为； （2）当时，，   ∴球不能射进球门； （3）由题意，移动后的抛物线为， 把点代入，得， 解得（舍去），， ∴n的值为1． 4．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示．掷出时起点处高度为2m．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3.6m处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据陕西中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得该项目满分100分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 【答案】(1)； (2)该男生在此项考试中能得满分． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的实际应用等知识点，求出二次函数表达式是解题的关键． （1）已知顶点坐标为，设成顶点式，将代入求出a的值，即可求出函数表达式； （2）根据（1）中的表达式，求出时x的值，即D点的坐标，则可知的长，再与作比较即可判断是否得满分． 【详解】（1）解：设， 将代入得：，解得：， ∴， ∴； （2）解：当时，，即， ∴，（舍去）， ∴D点的坐标为，即的长为10， ， ∴该男生在此项考试中能得满分． 5．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）九年级的一名高个子男生推铅球，铅球的运动轨迹可看作某条抛物线的一部分，已知这名男生的出手处A点离地面的高度为2米，当球运动到点B最高处5米时，离该男生站立地点O的水平距离为6米．以点O为原点建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）； (2)求该男生把铅球推出去多远？ (3)有一个横截面为矩形的竹筐，长米，高米（不考虑竹筐的宽度），若铅球可落入筐内，请求竹筐的边到O点的水平距离m的取值范围． 【答案】(1)； (2)米 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据题意，得到为顶点坐标，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的的值，即可得出结果； （3）求出时的函数值，结合，即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意可知，，且为顶点坐标， 设抛物线的解析式为， 将代入，得，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：令，得， 解得，（舍去）． 答：该男生把铅球推出去米远； （3）解：令，得． 解得，（舍去）． ， ． 6．（24-25九年级上·河北保定·期末）发石车是古代远程攻击的武器．现有一发石车，发射出去的石块沿抛物线轨迹运动，距离发射点20米时达到最大高度10米．如图，现将发石车放置在山坡底部处，山坡上有一点，距离点的水平距离为30米，垂直高度3米，是高度为4米的防御墙． (1)求石块运动轨迹的函数解析式，并写出的取值范围； (2)计算说明石块能否飞越防御墙． 【答案】(1)（） (2)石块能飞越防御墙．理由见解析 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设石块运动轨迹的函数解析式为，把点代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； （2）把代入，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：设石块运动轨迹的函数解析式为． 把点代入解析式，得，解得， ∴石块运动轨迹的函数解析式为， 即（）． （2）石块能飞越防御墙． 理由：把代入， 得． ∵， ∴石块能飞越防御墙． 7．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图是篮球运动员甲在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时．分别以水平地面为x轴，出手点竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，甲投出的篮球在距原点水平距离2.5米处时，达到最大高度3.5米，已知篮筐的竖直高度为3.05米，离原点的水平距离为4米．（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计） (1)求此抛物线的解析式； (2)若防守队员乙在原点右侧且距原点1米处竖直起跳，其最大能摸高3.2米，问乙能否碰到篮球？并说明理由． (3)在（2）的情况下．若甲临时改变投篮方式，采取后仰跳投，后仰起跳后出手点距原点的水平距离为0.5米，垂直距离为2.75米（后仰跳投时的出手点位于第二象限），此时乙碰不到球．已知篮球运行所在抛物线的形状和（1）一致，并且当篮球运行到乙的正上方时，乙的最大摸高点距离篮球还有0.4米，问篮球有没有入筐？请说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 (3)没有，理由见解析 【分析】（1）将抛物线解析式设为顶点式，用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中解析式求出y的值，然后与3.2比较即可得出结论； （3）根据题意，设后仰跳投时的抛物线解析式为，再把和代入解析式求出，的值，即可求得后仰跳投时的抛物线解析式，然后把代入解析式求出的值，与3.05比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入解析式，得： ， 解得：， 此抛物线的解析式为； （2）解：乙能碰到篮球，理由如下： 当时，， ， 乙能碰到篮球， 答：乙能碰到篮球； （3）解：篮球没有入筐，理由如下： 设后仰跳投时的抛物线解析式为， 把和代入解析式，得： ， 解得：， 后仰跳投时的抛物线解析式为， 当时，， ， 篮球没有入筐， 答：篮球没有入筐． 【点睛】本题主要考查了实际问题与二次函数（投球问题），待定系数法求二次函数解析式，解二元一次方程组，解一元一次方程，求函数值，有理数大小比较的实际应用等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 8．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点为飞行距离计分的参照点，落地点超过点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点到起跳台的水平距离为，高度为 为定值）．设运动员从起跳点起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为：． (1)求c的值； (2)若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝，b＝，求基准点K的高度h； (3)若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由． 【答案】(1)66 (2)基准点K的高度h为 (3)他的落地点能超过K点，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题． （1）根据起跳台的高度为，即可得； （2）由，，得到，根据基准点到起跳台的水平距离为，即得基准点的高度为； （3）由题意设抛物线解析式为，可得抛物线解析式为，当时，，从而可知他的落地点能超过点． 【详解】（1）解：起跳台的高度为， ， 把代入得：，即， 所以的值为66； （2）解： ，， ， 基准点到起跳台的水平距离为， ， 答：基准点的高度为； （3）解：他的落地点能超过点，理由如下： 运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度， 抛物线的顶点为， 设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得， 抛物线解析式为， 当时，， 他的落地点能超过点． 答：他的落地点能超过点． 9．（24-25九年级上·北京海淀·期中）足球比赛中引入技术后，使足球比赛更加公平．如图分别为足球比赛中某一时刻的系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），进攻球员位于点处起脚射门，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．足球距离点的水平距离x（m）与离地高度y（m）的数据如下表： x/m … 9 12 15 18 21 … y/m … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … 以点为坐标原点，直线为横轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)根据表中数据预测，足球飞行过程中，离地最大高度 m；足球落地时， m； (2)求y关于x的函数解析式； (3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功．若守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明． 【答案】(1)5，30 (2) (3)守门员不能成功防守，说明见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）利用对称性进行求解即可； （2）利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）把代入二次函数解析式求出，再与最大防守高度比较即可． 【详解】（1）解：由表格可知，时和时，相等，时，时，相等， ∴抛物线关于直线对称， ∵抛物线的开口向下： ∴当时，最大，为， 当时，， 时，； 故答案为：5，30； （2）抛物线关于对称，设， 把代入上述解析式， ，解得， ． （3）解：守门员不能成功防守，理由如下： 当时，， ∴守门员不能成功防守． 【题型02 ：喷泉问题】 1．（2024·陕西·中考真题）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 【答案】(1) (2)不会 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出的最大值即可； （2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断． 【详解】（1）解：∵，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． ∴， 令，易得， 令，得， 可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为直线， 把代入，得 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； （2）解：依题意，函数， 令，得， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 2．（23-24九年级下·陕西榆林·开学考试）如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度， 竖直高度．洒水车到绿化带的距离为（单位：m），建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)此时，距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程． 【答案】(1) (2)行人会被洒水车淋到水，理由见详解 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，具体涉及以下知识点：二次函数顶点式的应用，二次函数的求值与实际意义分析，考查了函数值计算与实际场景的结合能力。 （1）根据抛物线顶点式设出函数解析式，再利用已知点的坐标求出解析式中的参数； （2）将行人所在位置的横坐标代入抛物线解析式，通过比较纵坐标与行人高度来判断是否会被淋到。 【详解】（1）解：已知上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为， 高出喷水口，喷水口H离地竖直高度为， 所以顶点A的坐标为， 那么上边缘抛物线设为。 又因为点在该抛物线上，将，代入可得： 解得： 所以上边缘抛物线的函数解析式为。 （2）解：已知行人距喷水口水平距离为5.5米，即x = 5.5， 将其代入上边缘抛物线的函数解析式中， 可得：= 因为，说明在行人所在位置，水的高度大于0， 所以该行人会被洒水车淋到水。 3．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，求水管长应为多少米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键．设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系： 设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，． 水管的长度是． 4．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）项目式学习：《洒水车浇灌绿化带》 项目背景 洒水车是城市绿化的主力军，如图1，一辆洒水车平行于绿化带行驶，给绿化带浇水，如何把控行驶中的洒水车与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？ 查阅资料 可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为两条抛物线的一部分（如图2），分别记为，．其中的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口可以看作由向左平移得到． 数据收集 由实际测量可知（如图2），喷水口离地面的高度．洒水车与绿化带之间的水平距离用的长来表示，把绿化带横截面抽象为矩形，测得其水平宽度，竖直高度． 建立模型 分别以和所在的直线为轴，轴建立如图3所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； 问题解决 （2）若，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由； （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）能，理由见解析；（3） 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数与轴的交点，二次函数的平移等知识，解题的关键是： （1）设上边缘抛物线为，根据题意求出该抛物线即可； （2）计算当时，的值，与比较；根据平移的规律求出，计算时，x的值，与比较，即可得出结论； （3）计算时，x的值，即可求出的最大值；计算时，x的值，即可求出的最小值，即可求解． 【详解】解：（1）设上边缘抛物线为， 根据题意，得，， ∴， 把代入，得， 解得， ∴； （2）∵，， ∴， 当时，， ∵可以看作由向左平移得到， ∴， 当时，， 解得，（舍去）， ∴能浇灌到整个绿化带； （3）先看上边缘抛物线， 当时，， 解得， 又， ∴， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则的最大值为， 再看下边缘抛物线， 由（2）知：洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则的最小值为2， 综上，的取值范围为． 5．（24-25九年级上·河南商丘·期中）水火箭（图1）又称气压式喷水火箭、水推进火箭，是用废弃的饮料瓶制作而成的一种玩具，水火箭科技含量高，寓教于乐，深受广大青少年喜爱．如图2，该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度y（）与离发射点O的水平距离x（）呈抛物线模型，已知当水平距离为米时，水火箭距离地面的竖直高度最大，为9米． (1)请确定抛物线的表达式； (2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为 时，距离地面的竖直高度． 【答案】(1) (2)当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为10时，距离地面的竖直高度为 ． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）依据题意可得，抛物线的顶点为，从而可设抛物线为，又抛物线过，求出a即可得解； （2）依据题意，结合(1) ， 令，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴可设抛物线为． 又抛物线过， ∴． ∴ ∴抛物线的表达式为． （2）解：由题意结合（1）， ∴令，则． 答：当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为10时，距离地面的竖直高度为 ． 6．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线．图是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为米时，达到最大高度米，现将喷架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为米． (1)求抛物线的解析式． (2)记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值． (3)如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点，那么喷射架应向后（即抛物线向左）平移 米． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）由题可知抛物线的顶点坐标为，进而利用待定系数法解答即可求解； （）先求出斜坡的高度的解析式，列出，再根据函数的性质解答即可求解； （）设喷射架向后平移了米，设出平移后的函数解析式，代入点的坐标即可求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意正确求出二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题可知，抛物线的顶点坐标为， 设水流形成的抛物线的表达式为，将点代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由题可知点坐标为， 设直线的函数解析式为，把代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：设喷射架向后平移了米， 则平移后的抛物线可表示为， 将点代入得，， 解得或(不合，舍去)， ∴喷射架应向后移动米， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面，水柱在距喷水头P水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（）是水柱距喷水头的水平距离，y（）是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在x轴上的横坐标x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）由抛物线顶点，设抛物线的表达式为，用待定系数法可得抛物线的表达式； （2）当时，，解得或，进而可得结论． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 解得或， 结合抛物线图象可得，当她的头发不接触到水柱时，她在x轴上的横坐标x的取值范围为． 8.（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为，设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离； (3)给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 【答案】(1) (2)18米 (3)米 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、二次函数平移等知识，熟练掌握与灵活运用相关知识，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． （1）设抛物线解析式为，将代入并求解，即可获得答案； （2）对于抛物线，令，求解即可获得答案； （3）设浇灌装置还要升高米，则抛物线解析式为，再确定点坐标，将点坐标代入，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为， 将代入，可得， 解得 ， ∴水柱所在抛物线的函数表达式为； （2）对于抛物线， 令，可得， 整理可得， 解得，（舍去）， ∴该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，此时喷到处的水柱距出水口的水平距离为18米； （3）设浇灌装置还要升高米，则抛物线解析式为， 对于直线：， 令，可得， 解得，即， 将点代入， 可得， 解得， ∴浇灌装置还要升高米． 【题型03 ：拱桥问题】 1．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图1是我国最大沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙丘，以抛物线型沙丘最顶端为点，建立如图2所示的坐标系，若点A的坐标为，点是图1中沙丘两个端点，则的值为（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式．根据题意，可设抛物线的解析式为，将点A坐标代入求出m的值即可得出其解析式，再求出时x的值即可得出答案． 【详解】解：根据题意，设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 则抛物线解析式为， 当时，， 解得：， ∵点B在第四象限， ． 故选：B． 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再上升，则水面的宽度是多少？（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点， 则：O为原点，，， 设函数解析式为，把A点坐标代入得， ∴抛物线解析式为， 当水面上升，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离， 把代入抛物线解析式得出：， 解得：， ∴此时的水面宽度为， 故选：C． 3.（24-25九年级上·云南楚雄·期中）建水双龙桥，俗称“十七孔桥”，位于云南省建水县，是一座具有极高历史，艺术和科学价值的古桥，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升米后水面宽度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，利用待定系数法可得抛物线解析式为，把代入可得，据此即可求解，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 【详解】解：如图，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为，将点代入得，， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴当水面上升米后水面宽度为米， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，有一座抛物线形拱桥，当水位正常时，水面宽度为，水位上升，就达到警戒水位，这时水面宽度为． (1)在图中建立平面直角坐标系，求出该抛物线的解析式； (2)若洪水到来时，水位以每天的速度上升，求水过警戒水位后几天淹到桥的拱顶； (3)在正常水位的基础上，当水位上升时，桥下水面的宽度为，求出用n表示为l的函数解析式． 【答案】(1) (2)水过警戒水位后天淹到桥的拱顶； (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题关键． （1）以所在直线为轴，中点所在直线为轴建立平面直角坐标系，令与轴的交点为，顶点为，根据题意可得，，，，设该抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）先得到顶点坐标，从而得出，再除以水位上涨速度求解即可； （3）由题意可知，点在抛物线上，代入求解即可． 【详解】（1）解：如图，以所在直线为轴，中点所在直线为轴建立平面直角坐标系，令与轴的交点为，顶点为， 由题意可知，，，， ，，，， 设该抛物线的解析式为， 则，解得：， 该抛物线的解析式为； （2）解：， ， ， ， 水位以每天的速度上升， ， 即水过警戒水位后天淹到桥的拱顶； （3）解：由题意可知，点在抛物线上， 则． 5．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，这是一个正在修建中的高速公路隧道，该高速公路隧道的横断面为抛物线，抛物线的最高点离地面的距离为米，宽度为米． (1)以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求该抛物线的表达式． (2)该隧道下方的公路是双向行车道（正中间有一条宽为米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的车辆？请通过计算说明． 【答案】(1)该抛物线的表达式为，自变量的取值范围是； (2)其中的一条行车道能行驶宽米、高米的车辆． 【分析】（1）根据题意得出，，，设该抛物线的表达式为，再用待定系数法即可求解； （2）根据抛物线解析式求出，当时，自变量的值，即可得出在什么范围内能通过题中的车辆，根据题意得出车道需要的宽度，比较即可得解． 【详解】（1）解：依题得：，，， 设该抛物线的表达式为， 将代入得， 该抛物线的表达式为，其中自变量的取值范围是； （2）解：由（1）得，抛物线的表达式为， 则当时，， 解得， 其中，， 即在范围内，可通过高米的车辆， 要使双向行车道（正中间有一条宽为米的隔离带）其中的一条行车道能行驶宽米、高米的车辆， 则能通过高米的车辆的宽度至少需为， ， 其中的一条行车道能行驶宽米、高米的车辆． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的实际应用，解题关键是熟练掌握二次函数的实际应用． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为，跨度为，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)夏天雨水增多，水位暴涨，当桥洞的最高点到水面的距离小于时，船只过桥洞会发生危险，需要发出警报，求此时水面的宽度． 【答案】(1)； (2)此时水面的宽度为． 【分析】本题主要考查二次函数的应用． （1）利用顶点式计算即可． （2）根据题意将代入求得，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：由图可知顶点为：，且经过原点， 设函数关系式为：， 代入原点得：， 解得：； ∴该抛物线的函数表达式为：； （2）解：将代入得， 解得， ∴ 答：此时水面的宽度为． 7．（2024·湖北·模拟预测）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，O为的中点．以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴．建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度．该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求抛物线的解析式： (2)现需在这一隧道内壁上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点处分别安装照明灯．已知照明灯的水平距离为，求照明灯距地面的高度； (3)如图，隧道上方还需安装一块高度为，宽度为的电子显示屏．为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少，并且距左右墙壁需各留至少的安全距离．能否满足安装设计要求？________（填“能”或“不能”）． 【答案】(1) (2) (3)能 【分析】本题主要考查了待定系数法解二次函数的解析式，矩形的性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，设抛物线的解析式为，再结合抛物线底面宽度米，且O为的中点，得出点的坐标分别为，代入求解即可作答． （2）由二次函数的图象性质得点M的横坐标为，点N的横坐标为5，代入，进行计算即可作答． （3）先作图，延长交抛物线于一点，，则，将其代入求出，在得出点F到地面距离与比较即可得出结论． 【详解】（1）由题意，设该抛物线的解析式为， ，O为AB的中点，， 点A，B的坐标分别为， 把代入， 得，解得， 抛物线的解析式为； （2）照明灯M，N的水平距离为10m，且位于同一高度， 点M的横坐标为，点N的横坐标为5， 当时，， 照明灯距地面的高度为； （3）能满足安装设计要求，理由如下： 依题意，电子显示屏是矩形， ∴（米）， （米）， 如图：延长交抛物线于一点，设， ∵电子显示屏，为确保行车安全， 距左右墙紧需各留至少1米的安全距离， ∴令， 则， 把代入中， ， ∴点F到地面距离为 (米)， ∵， ∴满足安装设计要求． 8．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点距离地面高度为4米．宽度为8米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图1所示）． (1)求出这条抛物线的函数解析式； (2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽米、高米的车辆？请通过计算说明； (3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”．使点，在抛物线上，点，在地面线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆，，的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 【答案】(1) (2)能同时并行两辆宽米、高米的车辆，见解析 (3)米 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．读懂题意并掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意，可得点及抛物线顶点的坐标，待定系数法求解析式即可求解； （2）由题知，当时，，即可得出结论； （3）设，则，根据矩形的性质得 设，进而表示出的长，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1） 为8米，最高点距离地面高度为4米， 点，顶点即， 设抛物线的解析式为． 把代入，得， 解得： ∴这条抛物线的函数解析式为 （2）能； 当时， ∴能同时并行两辆宽米、高米的车辆． （3）∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 设， 则 ∵ ∴当时， w有最大值，为米 答：三根木杆，，的长度和的最大值是米． 【题型04：面积问题】 1．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，为了美化环境，刘大爷准备利用自家墙外的空地种植3种不同的花卉，墙的最大可用长度是，现有长为的篱笆，计划靠着院墙围成一个中间有两道隔栏的矩形花圃． (1)若要围成总面积为的花圃，边的长应是多少？ (2)当为多少米时，花圃的面积最大？ 【答案】(1)边的长应是20米 (2)当长为，花圃有最大面积． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，得到长方形花圃的长的代数式以及面积的代数式是解题的关键． （1）设的长为x米，则长为米且，根据其面积列出方程求解即可； （2）把（1）中用代数式表示的面积并运用配方法整理为，然后再根据二次函数的性质以及x的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：设的长为x米，则长为米且，即， 根据题意得：， 解得：或5（不合题意舍弃）. 答：边的长应是20米． （2）解：花圃的面积为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，花圃有最大面积，即当长为，花圃有最大面积． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形试验田与墙垂直的一边长为（单位：），面积为S（单位：）． (1)求S与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)当 时，矩形试验田的面积最大，最大面积是 ． 【答案】(1)； (2)20；800 【分析】（1）根据题意，得矩形的长为，根据面积公式列出方程即可． （2）构造二次函数，求最值即可． 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值应用，转化思想，熟练掌握求二次函数最值是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得矩形的长为， 故， 根据题意，得，且， 解得， 故，且． （2）解：∵， ∴， 由， ∴当时，S有最大值，最大值为． 故答案为：20,800． 3．（2023·陕西·中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式． （1）由题意知抛物线的顶点，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式； （2）令可得或，故；再比较的大小即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 方案一中抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得，， 解得：， ， 方案一中抛物线的函数表达式为； （2）解：在中， 令得：； 解得或， ， ， ， ． 4．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，并且预留两个各的门，设花圃的宽为，面积为． (1)求与之间的函数关系式并写出的取值范围； (2)若，则的最大值是多少？请说明理由． 【答案】(1)与之间的函数关系式为，的取值范围为 (2)的最大值为55，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先求出的长，再利用矩形的面积公式即可得与之间的函数关系式，再根据求出的取值范围即可得； （2）先求出的取值范围，再利用二次函数的性质求出最值即可得． 【详解】（1）解：∵花圃的宽为， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：与之间的函数关系式为，的取值范围为． （2）解：∵， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线，且， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为． 【题型05：每每问题】 1．（24-25九年级上·河南郑州·期末）某商场将进货价为元的台灯以元售出．每月能售出个．按商场管理规定，售价在元至元范围内．调查发现，在该范围内，这种台灯的售价每上涨元，其销售量就减少个． (1)为了实现每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ 解：假设售价为元，则每月台灯的销售量为______个，每个台灯的利润为______元．(用含的代数式表示，并完成解答) (2)要使每月的销售利润最大，售价应定为多少？请说明原因． 【答案】(1)， ；这种台灯的售价应定为元，即每个台灯应涨价元； (2)要使每月的销售利润最大，售价应定为元，理由见解析． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数表达式． （1）依据题意，由这种台灯的售价应定为元，那么就少卖出个，根据利润售价进价，可列方程求解； （2）依据题意，设每月销售利润为，该商场决定把售价上涨元，根据总利润单件利润数量，列出函数表达式，化为顶点式，根据二次函数的增减性，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，这种台灯的售价应定为元， 每月台灯的销售量为：． 又每个台灯的利润为：， ， ， ， 舍去． 答：这种台灯的售价应定为元，即每个台灯应涨价元． 故答案为：；． （2）要使每月的销售利润最大，售价应定为元．理由如下： 由题意，设每月销售利润为，该商场决定把售价上涨元， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，售价为元，取最大值，此时， 答：要使每月的销售利润最大，售价应定为元． 2．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）一位助农主播利用“互联网+”销售一种农业加工品）这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种加工品的销售利润率不高于，市场调查发现，当销售价定为12元/件时，每天售出220件，售价每上涨2元，每天销售量减少20件，设该加工品每天的销售量y（件），销售价x（元/件），每天的销售利润W（元）． (1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润=销售量×每件的利润） 【答案】(1) (2)，每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是1080元 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的最值问题，掌握知识点是解题的关键． （1）根据当销售价定为12元/件时，每天售出220件，售价每上涨2元，每天销售量减少20件，列出一次函数解析式，并求出x的取值范围，即可解答； （2）根据每天的销售利润等于单件的利润每天的销售量，列出二次函数，再由确定W的最大值，即可解答． 【详解】（1）解：， 由 ， 解得． （2）， 由，开口向下，对称轴为， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，W取得最大值为（元）． 答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是1080元． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一款便携式轮椅，计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少？ 【答案】每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元，根据题意建立二次函数，通过分析开口方向及自变量取值范围确定最大值． 【详解】解：设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． 由题意，得 ． ， ， 当时，（元）． 答：每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元． 4．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）某社区利用一块长方形空地建了一个小型电动汽车停车场，并且可以免费充电，其布局如图所示．已知停车场的长为26米，宽为14米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道，已知铺花砖的面积为108平方米．    (1)求通道的宽是多少米． (2)该停车场共有车位20个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为3960元？ 【答案】(1)4米 (2)20元 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找出等量关系列出方程是解答此题的关键． （1）设通道的宽为x米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设每个车位的月租金上涨a元，则租出的车位数量为个，再根据“月租金每个车位的月租金租出的车位数”列方程并求解，根据实际取值即可． 【详解】（1）解：设通道的宽为x米， 根据题意，得， ， ， 或（不符合实际，舍去）， 答：通道的宽是4米； （2）解：设每个车位的月租金上涨a元，停车场的月租金收入为14400元， 根据题意，得， 整理，得， 解得，或（不合题意，舍去）， 答：每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为3960元． 5．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件． (1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，求函数关系式，根据题意列出函数关系和方程是解题的关键． （1）进而设销售单价为x元，平均月销售量为y件，根据题意先求得x的取值范围，根据题意列出y与x的函数关系式； （2）设销售这种童装每月获得的利润为w，根据利润=（售价-进价）×数量-其他费用，得到w关于x的二次函数，进而求得答案，注意x的取值范围． 【详解】（1）解：∵单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元， 设销售单价为x元， ∴， ∵平均月销售量为y件，则， ∴； （2）解：设每月获得的利润为w元，由题意得： ∵ ∴当时，w随x的增大而增大 ∵ ∴当时， 答：当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元 6．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置，宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用，根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调元（为的正整数），设一天订住的房间数为． (1)直接写出与的函数关系式：________，自变量的取值范围是________． (2)若宾馆一天的利润为7770元，则房价应该为多少元？ (3)房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)； (2)240元 (3)房价为300元时，宾馆的利润最大，最大利润是8370元 【分析】此题考查一次函数与二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意、熟练掌握配方法求二次函数的最值是解答此题的关键，不考虑自变量x的范围是易错点． （1）根据当每个房间每天房价增加10元，就会空闲一个房间，可以写出与的函数关系式； （2）根据题意，宾馆一天的利润每个房间的利润订住的房间数，列出方程，解方程即可； （3）利用配方法将（2）中的二次函数化成顶点式，再求二次函数的最大值即可得利润的最大值，特别注意自变量的取值的范围． 【详解】（1）解：依题，得， 每个房间每天的房价不得高于300元， ； （2）解：根据题意得： 整理，得， 解得：，（舍去）， （元）， 答：房价应该为240元； （3）解：设宾馆一天的利润为元， ， ，， ∴当时，w取得最大值，此时（元）， 房价为（元）， 答：房价为300元时，宾馆的利润最大，最大利润是8370元． 【题型06：利润问题】 1．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，大熊猫是成都最具特色的对外传播标识物，此次成都大运会吉祥物“蓉宝”便是以熊猫基地真实的大熊猫“芝麻”为原型创作的．某商店销售“蓉宝”毛绒玩具，进价为25元，经市场调查发现，销售这种毛绒玩具，每天的销售量y（件）是每件的售价x（元）（且x为正整数）的一次函数，其部分对应数据如表所示： 每件的售价x（元） … 36 37 38 … 每天的销售量y（件） … 78 76 74 … (1)直接写出y与x之间的函数关系式． (2)求出每天销售的总利润w（元）与x之间的函数关系式． (3)请你分析该商店销售这种毛绒玩具，能否实现投入总成本最少且获利最大． 【答案】(1) (2) (3)能实现 【分析】本题考查了二次函数的应用，求一次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求一次函数的解析式，即可作答． （2）根据总利润等于单个利润乘上销售量进行列式，即可作答． （3）先化为顶点式，再结合二次函数的图象性质进行作答． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 把和代入得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为． （2）解：根据题意得， 即每天销售的总利润w（元）与x之间的函数关系式为． （3）解：由（2）知， ∵， ∴w有最大值， ∵， ∴当时，该商店销售这种毛绒玩具获利最大为元，此时销售量y最小，即投入总成本最少． 答：能实现投入总成本最少且获利最大． 2．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）“秋风起，吃腊味”是广东地区的习俗之一，东莞某腊肠店销售A，B两类腊肠．A类腊肠进价50元/件，B类腊肠进价60元/件．已知购买1件A类腊肠和1件B类腊肠需132元，购买3件A类腊肠和5件B类腊肠需540元． (1)求A类腊肠和B类腊肠每件的售价各是多少元？ (2)A类腊肠供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类腊肠降价x元，每天的销售量为y件，请直接写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，设该店每天销售A类腊肠的利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类腊肠降价多少元时利润w最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A类腊肠的售价为60元/件，B类腊肠的售价为72元/件 (2)； (3)，A类腊肠每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为640元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质， （1）根据题意设每件A类腊肠的售价为x元，则每件B类腊肠的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可； （2）根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； （3）结合（2）中A类腊肠降价x元与每天的销售量y件，得到A类腊肠的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件A类腊肠的售价为x元，则每件B类腊肠的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类腊肠的售价（元）． 答：A类腊肠的售价为60元/件，B类腊肠的售价为72元/件； （2）解：由题意得 ∵A类腊肠进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴． 答：； （3）解： ． ∴当时，w有最大值640． 答：A类腊肠每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为640元． 3．（24-25九年级上·天津静海·阶段练习）某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价（元/件）与每天销售量（件）之间满足如图所示的关系． (1)求出与之间的函数关系式； (2)如果商场销售这种商品，每天要获得1500元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？ (3)写出每天的利润与销售单价之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将销售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)每件商品的销售价应定为130元或150元 (3)销售价定为140元，最大利润为1600元 【分析】本题考查了求一次函数解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意正确列出函数关系式和方程是解题的关键． （1）由图象可知，与之间满足一次函数关系，再利用待定系数法即可求解； （2）设每件商品的销售价应定为元，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （3）根据题意列出，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：由图象可知，与之间满足一次函数关系， 设与之间的函数关系式为， 代入和，得， 解得：， ∴与之间的函数关系式； （2）解：设每件商品的销售价应定为元， 由题意得，， 整理得：， 解得：，， 答：每件商品的销售价应定为130元或150元； （3）解：由题意得， ， ， 当时，有最大值，最大值为1600， 答：将销售价定为140元，来保证每天获得的利润最大，最大利润是1600元． 【题型07：分段函数】 1．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售120天后，统计发现：在这120天内，该商品每天的销售价格x（单位：元/件）与时间t（第t天）之间满足如图所示的函数关系，该商品的日销售量y（单位：件）与时间t（第t天）之间满足一次函数关系． (1)求x与t之间的函数关系式； (2)设销售该商品的日利润为w元，求w与t之间的函数关系式，并求出在这120天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ 【答案】(1) (2)，第70天的日利润最大，最大日利润是6400元 【分析】（1）分两种情况：当时，当时，分别列出函数关系式，即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别列出函数关系式，结合二次函数以及一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ①当时，设x与t之间的函数关系式为． 由图象可得，函数图象经过， 所以， 解得， 所以． ②当时，． 综上所述，x与t之间的函数关系式为； （2）解：由题意可得， ①当时，． ， ∴当时，w最大，； ②当时，． ， 随t的增大而减小， 当时，w最大，． 综上所述，w与t之间的函数关系式为 因为，所以在这120天内第70天的日利润最大，最大日利润是6400元． 【题型08：其他问题】 1．（2020·湖北襄阳·中考真题）汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t的函数关系是，汽车从刹车到停下来所用时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用．由题意可知当汽车停下来时，s最大，故将写成顶点式，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴当秒时，s取得最大值，即汽车停下来， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）若汽车刹车后行驶的距离(m)关于行驶的时间的函数表达式为，则汽车刹车后行驶的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，当汽车停下来时，由，当时，求出最大，即汽车刹车后行驶的距离，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由， ∴汽车刹车后行驶的距离为，当时，， 故答案为：． 3（22-23九年级上·广东广州·期中）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，则汽车从开始刹车到完全停下这段时间的最后2秒前行了 米． 【答案】8 【分析】首先根据二次函数的性质，即可求得汽车从开始刹车到完全停下来所需要的时间为，前行的距离为米，再求出当时，汽车前行的距离，据此即可求得． 【详解】解：， ， 当时，前行的距离最大，最大距离为米， 当时，， 汽车从开始刹车到完全停下这段时间的最后2秒前行的距离为：(米)， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解题意，求得汽车从开始刹车到完全停下这段时间的最后2秒前行的距离是解决本题的关键． 4．（24-25九年级上·广东湛江·期末）某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”．汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若在汽车前处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车超过测速仪； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】(1) (2)汽车刹车后，汽车与测速仪相距； (3)不会，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解二次函数解析式的方法和步骤是解题的关键． （1）设，将，，代入，求出a、b、c的值，即可得出函数解析式； （2）求出当时的t的值，即可解答； （3）将二次函数解析式化为顶点式，求出最大值，再与80进行比较即可． 【详解】（1）解：设， 将，，代入，得： ，解得：， ∴y关于t的函数解析式为； （2）解：根据题意得： 解得或（不符题意，舍去）， 答：汽车刹车后，汽车超过测速仪； （3）解：不会．理由如下： ∵， ∴当时，汽车停下，行驶了， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）2026年冬奥会在米兰举行，跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）满足函数关系：．着陆坡的解析式为，在着陆坡上设置点P作为达标点，点P与水平距离为．若着陆点在P点或越过P点，则视为成绩达标． (1)当时， ①判断成绩是否达标，并说明理由； ②求运动员在飞行过程中离着陆坡的竖直距离h的最大值； (2)若运动员的成绩既要达标又要能落在着陆坡（含端点）上，求b的取值范围． 【答案】(1)①成绩不达标，理由见解析；② (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，二次函数图象的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①首先得到，求出，然后将代入求解比较即可； ②如图所示，设点E是抛物线上点，过点E作轴交于点F，设，，然后表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； （2）首先求出，然后根据题意得到运动员落在线段上，然后列出不等式就即可． 【详解】（1）解：①当时，， ∵点P与水平距离为， 将代入， ∴， 将代入， ∵， ∴成绩不达标； ②如图所示，设点E是抛物线上点，过点E作轴交于点F， 设，则， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值22.5， ∴运动员在飞行过程中离着陆坡的竖直距离h的最大值为； （2）解：∵着陆坡的解析式为， ∴当时，， 解得， ∴， ∵运动员的成绩既要达标又要能落在着陆坡（含端点）上， ∴运动员落在线段上， ∴当时，， 解得； ∴当时，， 解得； 综上所述，． 6.（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：s）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．任务一：数据收集记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 任务二：观察分析 （1）根据，随的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出，与满足的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围） 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求小球的滑动距离； （3）当小球到达木板上点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求的取值范围． 【答案】（1）；；（2）当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为；（3）． 【分析】（1）根据，随的变化规律，发现，可判定是的一次函数，设，解答即可；根据题意，是的二次函数，且常数项为0，不妨设，建立方程组解答即可． （2）当小球在水平木板上停下来时，，根据题意得，求得小球运动的时间，把时间代入抛物线解析式中，求得对应函数值即为小球的滑动距离； （3）设小球的运动时间为x秒，根据题意，得，解不等式即可． 【详解】解：（1）根据，随的变化规律，发现，可判定是的一次函数，设，设，将点，代入， 得 ， . 设，将点，代入， 得 解得 . （2）由（1）知. 当时，得. 解得. 将代入， 得. 当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为. （3）解：设小球的运动时间为x秒， 根据题意，得. . ，函数有最大值36， . 【点睛】本题考查了待定系数法，求函数值，二次函数的最值，解不等式，熟练掌握待定系数法，抛物线的最值，解不等式是解题的关键. 7．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为 ，锅盖纵断面的抛物线记为 ． (1)求和的解析式： (2)如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】(1)， (2)此时水面的直径为 (3)锅盖不能正常盖上，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质和应用，涉及待定系数法求解析式和二次函数的性质， 根据已知点设二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可； 根据已知的直径所对的圆周角为直角求得对应的y值，代入解析式即可求得水面高度； 将已知的底面直径代入解析式求得各自对应的y，结合已知的高度作判断即可． 【详解】（1）解：抛物线过点， 设和的解析式为：； ∵抛物线经过， ∴，解得， 则， ∵抛物线还经过， ∴，解得， 则； （2）解：当炒菜锅里的水位高度为时，，即，解得， 则此时水面的直径为； （3）解：锅盖不能正常盖上，理由如下， 当时，抛物线，， 则， 那么，锅盖不能正常盖上． 8．（24-25九年级上·广东中山·期中）图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． (1)当面汤的深度为时，求此时汤面的直径的长； (2)如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，求此时碗中液面宽度的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）设点的坐标为，则抛物线的表达式为则点的坐标为： ，点再用待定系数法即可求解； （）确定直线的表达式为，求出，进而求解； 本题考查了二次函数 ，一次函数 以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】（1）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： 设点的坐标为：，则抛物线的表达式为， 则点的坐标为，点， 将点的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得：， 即抛物线的表达式为：， ∴， 故答案为：； （2）将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止， ∴所以旋转前与水平方向的夹角为， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入上式的：直线的表达式为：， 联立并整理得：， 则，， 则， 则， 由的表达式知，其和轴的夹角为，则， 故答案为：． 【题型09：图形运动问题】 1．（2025·吉林松原·三模）如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2)或6 (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，掌握知识点是解题的关键． （1）过点C作于点E，有，求出，可得，即此时P运动到点E，即可解答． （2）分类讨论：当与当时，作出正确的图形，逐项分析，即可解答； （3）分类讨论：当时，；当时，；当时，，作出正确的图形，逐项分析，即可解答． 【详解】（1）解：过点C作于点E，如图， ， ∵，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时P运动到点E， ∴， 即． （2）①当时，如图 由（1）可得 ， 在矩形中，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， 解得． ②当时，如图 ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴ 解得． 综上所述，t的值为2或6． （3）①当时，矩形与重叠部分图形为，如图 ； ②当时，矩形与重叠部分图形为四边形，如图 ； ③当时，矩形与重叠部分图形为五边形，如图 有，， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∴， ∴， ∴ ． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，矩形中，，，点E在边上，且，点P从点B出发，沿运动，速度为每秒2个单位；点Q从点B出发，沿方向运动，速度为每秒1个单位，点Q到达点E时停止运动．两个点同时出发，点P的运动时间为x秒，且．在运动过程中，的面积为y． (1)求出y与x的函数解析式，并在所给的坐标系中画出函数y的图象； (2)结合图象，写出函数y的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围．（误差不超过） 【答案】(1)，函数图象见解析 (2)当时随的增大而增大 (3)当时，自变量的取值范围 【分析】（1）当时，当时，当时，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据函数图象即可得到结论； （3）根据函数图象即可得到结论． 【详解】（1）解：当时， ∵， ； 当时，， ； 当时，， ， 综上所述，与的函数解析式为； 函数图象如图所示； （2）解：当时，随的增大而增大； （3）解：由图象知，当时，自变量的取值范围． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积，二次函数的应用，一次函数的应用，一次函数的性质，正确地求出函数解析式是解题的关键． 3．（2025·江苏扬州·一模）如图，在等腰中，，动点E、F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度相等，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y． (1)当时，_______；当时，_______； (2)求点E在整个运动过程中y的最大值． 【答案】(1)8；32 (2)36 【分析】本题主要考查勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质及二次函数的图象与性质，熟练掌握勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质及二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意先得出当正方形的边在等腰的斜边上时的的长，然后分别求当和时，y的值即可； （2）由（1）可分①当时，正方形和等腰重合部分的面积为正方形的面积，②当时，然后列出函数关系式，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：当正方形的边在等腰的斜边上时，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵在等腰中，，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，即，正方形的边在等腰的斜边上； 当时，则有， ∴，， 此时正方形在等腰内部， ∴； 当时，则有，如图所示： ∴， ∴， 同理可得：， 此时； 故答案为：8；32； （2）解：由（1）可分：①当时，正方形和等腰重合部分的面积为正方形的面积，即， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，最大值为32； ②当时，如图， 此时正方形和等腰重合部分的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，y有最大值，最大值为36； 综上所述：点E在整个运动过程中y的最大值为36． 4．（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在等腰直角中，，，是的中线．动点从点出发以的速度沿折线向终点运动．过点作于点，以为边向右侧作正方形．设正方形与重叠部分图形的面积是，点的运动时间为 ． (1)当点在线段上运动时，的形状是________，_______．（用含的代数式表示）． (2)当点落在边上时，求的值． (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)等腰直角三角形， (2) (3) 【分析】（1）根据直角三角的性质可得，，从而得到，再由，可得是等腰直角三角形，由勾股定理即可求得； （2）根据题意可得，再证得是等腰直角三角形形，可得．从而得到，即可求解； （3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴，, ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴，（负值已舍去） 故答案为∶ 等腰直角三角形，， （2）解：如图2，当点落在边上时，， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， 即当点落在边上时，． （3）解：∵∵，， ∴，， ∴， ∵动点从点出发以的速度沿折线向终点运动． ∴动点到达时间为，到底到达时间为 ①当时，如图，点P在上，正方形在内部， 正方形与重叠部分图形的面积是正方形， 由（1）得：， ， ②当时，如图3-2，点P在上，正方形的顶点N在外，重叠部分是多边形， 同理（2）可得是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴正方形与重叠部分图形（即多边形）的面积：， ③当时，如图3-3，点P在上，正方形的顶点N在外，同理可得、、是等腰直角三角形， 正方形与重叠部分图形（即等腰直角）的面积 ∴，即点与点B重合， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述，关于的函数解析式为． 【点睛】本题考查了函数解析式、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，理清运动过程中Q点的位置以及菱形的位置是解答本题的关键．解答本题需要注意分类讨论的思想． 5.（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，的速度沿运动，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动，设动点运动的时间为 (1)用含t的式子表示和， ； ； (2)当t为何值时，的面积为； (3)当t为何值时，的面积最大，并求出的最大面积． 【答案】(1)， (2)或时，的面积为 (3)时， 【分析】本题考查了二次函数的最值，一元二次方程的应用，掌握二次函数的性质的应用，根据题意用t表示三角形的面积是解题关键． 利用两点运动的速度表示出的长； 表示出的面积，由此得出关于t的一元二次方程，解方程即可得出答案； 利用配方法求出函数顶点坐标即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，； （2）解：，， ， ， 解得或， 当或时，的面积为； （3）解：， 故时，． 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y（平方厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识．根据是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ，， ∴重叠部分也是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03二次函数实际应用分类汇编 【题型01 ：投球问题】 【题型02 ：喷泉问题】 【题型03 ：拱桥问题】 【题型04：面积问题】 【题型05：每每问题】 【题型06：利润问题】 【题型07：分段函数】 【题型08：其他问题】 【题型01 ：投球问题】 1．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系是，则该运动员此次掷铅球的成绩是（   ）m． A．12 B．10 C．8 D．2 2．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）具有的函数关系，下列解释正确的是（   ） A．小球从飞出到落地要用 B．小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是 C．小球的飞行高度可以达到 D．小球飞行时飞行高度为，并将继续上升 3．（24-25九年级上·广西钦州·期末）一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算判断球能否射进球门； (3)为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，结果恰好在点O正上方处进球，求n的值． 4．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示．掷出时起点处高度为2m．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3.6m处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据陕西中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得该项目满分100分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 5．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）九年级的一名高个子男生推铅球，铅球的运动轨迹可看作某条抛物线的一部分，已知这名男生的出手处A点离地面的高度为2米，当球运动到点B最高处5米时，离该男生站立地点O的水平距离为6米．以点O为原点建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）； (2)求该男生把铅球推出去多远？ (3)有一个横截面为矩形的竹筐，长米，高米（不考虑竹筐的宽度），若铅球可落入筐内，请求竹筐的边到O点的水平距离m的取值范围． 6．（24-25九年级上·河北保定·期末）发石车是古代远程攻击的武器．现有一发石车，发射出去的石块沿抛物线轨迹运动，距离发射点20米时达到最大高度10米．如图，现将发石车放置在山坡底部处，山坡上有一点，距离点的水平距离为30米，垂直高度3米，是高度为4米的防御墙． (1)求石块运动轨迹的函数解析式，并写出的取值范围； (2)计算说明石块能否飞越防御墙． 7．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图是篮球运动员甲在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时．分别以水平地面为x轴，出手点竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，甲投出的篮球在距原点水平距离2.5米处时，达到最大高度3.5米，已知篮筐的竖直高度为3.05米，离原点的水平距离为4米．（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计） (1)求此抛物线的解析式； (2)若防守队员乙在原点右侧且距原点1米处竖直起跳，其最大能摸高3.2米，问乙能否碰到篮球？并说明理由． (3)在（2）的情况下．若甲临时改变投篮方式，采取后仰跳投，后仰起跳后出手点距原点的水平距离为0.5米，垂直距离为2.75米（后仰跳投时的出手点位于第二象限），此时乙碰不到球．已知篮球运行所在抛物线的形状和（1）一致，并且当篮球运行到乙的正上方时，乙的最大摸高点距离篮球还有0.4米，问篮球有没有入筐？请说明理由． 8．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点为飞行距离计分的参照点，落地点超过点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点到起跳台的水平距离为，高度为 为定值）．设运动员从起跳点起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为：． (1)求c的值； (2)若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝，b＝，求基准点K的高度h； (3)若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由． 9．（24-25九年级上·北京海淀·期中）足球比赛中引入技术后，使足球比赛更加公平．如图分别为足球比赛中某一时刻的系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），进攻球员位于点处起脚射门，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．足球距离点的水平距离x（m）与离地高度y（m）的数据如下表： x/m … 9 12 15 18 21 … y/m … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … 以点为坐标原点，直线为横轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)根据表中数据预测，足球飞行过程中，离地最大高度 m；足球落地时， m； (2)求y关于x的函数解析式； (3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功．若守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明． 【题型02 ：喷泉问题】 1．（2024·陕西·中考真题）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 2．（23-24九年级下·陕西榆林·开学考试）如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度， 竖直高度．洒水车到绿化带的距离为（单位：m），建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)此时，距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程． 3．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，求水管长应为多少米． 4．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）项目式学习：《洒水车浇灌绿化带》 项目背景 洒水车是城市绿化的主力军，如图1，一辆洒水车平行于绿化带行驶，给绿化带浇水，如何把控行驶中的洒水车与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？ 查阅资料 可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为两条抛物线的一部分（如图2），分别记为，．其中的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口可以看作由向左平移得到． 数据收集 由实际测量可知（如图2），喷水口离地面的高度．洒水车与绿化带之间的水平距离用的长来表示，把绿化带横截面抽象为矩形，测得其水平宽度，竖直高度． 建立模型 分别以和所在的直线为轴，轴建立如图3所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； 问题解决 （2）若，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由； （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 5．（24-25九年级上·河南商丘·期中）水火箭（图1）又称气压式喷水火箭、水推进火箭，是用废弃的饮料瓶制作而成的一种玩具，水火箭科技含量高，寓教于乐，深受广大青少年喜爱．如图2，该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度y（）与离发射点O的水平距离x（）呈抛物线模型，已知当水平距离为米时，水火箭距离地面的竖直高度最大，为9米． (1)请确定抛物线的表达式； (2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为 时，距离地面的竖直高度． 6．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线．图是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为米时，达到最大高度米，现将喷架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为米． (1)求抛物线的解析式． (2)记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值． (3)如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点，那么喷射架应向后（即抛物线向左）平移 米． 7．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面，水柱在距喷水头P水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（）是水柱距喷水头的水平距离，y（）是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在x轴上的横坐标x的取值范围． 8.（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为，设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离； (3)给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 【题型03 ：拱桥问题】 1．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图1是我国最大沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙丘，以抛物线型沙丘最顶端为点，建立如图2所示的坐标系，若点A的坐标为，点是图1中沙丘两个端点，则的值为（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再上升，则水面的宽度是多少？（    ） A． B． C． D． 3.（24-25九年级上·云南楚雄·期中）建水双龙桥，俗称“十七孔桥”，位于云南省建水县，是一座具有极高历史，艺术和科学价值的古桥，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升米后水面宽度为 米． 4．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，有一座抛物线形拱桥，当水位正常时，水面宽度为，水位上升，就达到警戒水位，这时水面宽度为． (1)在图中建立平面直角坐标系，求出该抛物线的解析式； (2)若洪水到来时，水位以每天的速度上升，求水过警戒水位后几天淹到桥的拱顶； (3)在正常水位的基础上，当水位上升时，桥下水面的宽度为，求出用n表示为l的函数解析式． 5．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，这是一个正在修建中的高速公路隧道，该高速公路隧道的横断面为抛物线，抛物线的最高点离地面的距离为米，宽度为米． (1)以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求该抛物线的表达式． (2)该隧道下方的公路是双向行车道（正中间有一条宽为米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的车辆？请通过计算说明． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为，跨度为，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)夏天雨水增多，水位暴涨，当桥洞的最高点到水面的距离小于时，船只过桥洞会发生危险，需要发出警报，求此时水面的宽度． 7．（2024·湖北·模拟预测）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，O为的中点．以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴．建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度．该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求抛物线的解析式： (2)现需在这一隧道内壁上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点处分别安装照明灯．已知照明灯的水平距离为，求照明灯距地面的高度； (3)如图，隧道上方还需安装一块高度为，宽度为的电子显示屏．为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少，并且距左右墙壁需各留至少的安全距离．能否满足安装设计要求？________（填“能”或“不能”）． 8．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点距离地面高度为4米．宽度为8米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图1所示）． (1)求出这条抛物线的函数解析式； (2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽米、高米的车辆？请通过计算说明； (3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”．使点，在抛物线上，点，在地面线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆，，的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 【题型04：面积问题】 1．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，为了美化环境，刘大爷准备利用自家墙外的空地种植3种不同的花卉，墙的最大可用长度是，现有长为的篱笆，计划靠着院墙围成一个中间有两道隔栏的矩形花圃． (1)若要围成总面积为的花圃，边的长应是多少？ (2)当为多少米时，花圃的面积最大？ 2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形试验田与墙垂直的一边长为（单位：），面积为S（单位：）． (1)求S与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)当 时，矩形试验田的面积最大，最大面积是 ． 3．（2023·陕西·中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较的大小． 4．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，并且预留两个各的门，设花圃的宽为，面积为． (1)求与之间的函数关系式并写出的取值范围； (2)若，则的最大值是多少？请说明理由． 【题型05：每每问题】 1．（24-25九年级上·河南郑州·期末）某商场将进货价为元的台灯以元售出．每月能售出个．按商场管理规定，售价在元至元范围内．调查发现，在该范围内，这种台灯的售价每上涨元，其销售量就减少个． (1)为了实现每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ 解：假设售价为元，则每月台灯的销售量为______个，每个台灯的利润为______元．(用含的代数式表示，并完成解答) (2)要使每月的销售利润最大，售价应定为多少？请说明原因． 2．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）一位助农主播利用“互联网+”销售一种农业加工品）这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种加工品的销售利润率不高于，市场调查发现，当销售价定为12元/件时，每天售出220件，售价每上涨2元，每天销售量减少20件，设该加工品每天的销售量y（件），销售价x（元/件），每天的销售利润W（元）． (1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润=销售量×每件的利润） 3．（2025九年级上·全国·专题练习）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一款便携式轮椅，计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少？ 4．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）某社区利用一块长方形空地建了一个小型电动汽车停车场，并且可以免费充电，其布局如图所示．已知停车场的长为26米，宽为14米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道，已知铺花砖的面积为108平方米．    (1)求通道的宽是多少米． (2)该停车场共有车位20个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为3960元？ 5．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件． (1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？ 6．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置，宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用，根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调元（为的正整数），设一天订住的房间数为． (1)直接写出与的函数关系式：________，自变量的取值范围是________． (2)若宾馆一天的利润为7770元，则房价应该为多少元？ (3)房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？ 【题型06：利润问题】 1．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，大熊猫是成都最具特色的对外传播标识物，此次成都大运会吉祥物“蓉宝”便是以熊猫基地真实的大熊猫“芝麻”为原型创作的．某商店销售“蓉宝”毛绒玩具，进价为25元，经市场调查发现，销售这种毛绒玩具，每天的销售量y（件）是每件的售价x（元）（且x为正整数）的一次函数，其部分对应数据如表所示： 每件的售价x（元） … 36 37 38 … 每天的销售量y（件） … 78 76 74 … (1)直接写出y与x之间的函数关系式． (2)求出每天销售的总利润w（元）与x之间的函数关系式． (3)请你分析该商店销售这种毛绒玩具，能否实现投入总成本最少且获利最大． 2．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）“秋风起，吃腊味”是广东地区的习俗之一，东莞某腊肠店销售A，B两类腊肠．A类腊肠进价50元/件，B类腊肠进价60元/件．已知购买1件A类腊肠和1件B类腊肠需132元，购买3件A类腊肠和5件B类腊肠需540元． (1)求A类腊肠和B类腊肠每件的售价各是多少元？ (2)A类腊肠供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类腊肠降价x元，每天的销售量为y件，请直接写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，设该店每天销售A类腊肠的利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类腊肠降价多少元时利润w最大，最大利润是多少元？ 3．（24-25九年级上·天津静海·阶段练习）某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价（元/件）与每天销售量（件）之间满足如图所示的关系． (1)求出与之间的函数关系式； (2)如果商场销售这种商品，每天要获得1500元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？ (3)写出每天的利润与销售单价之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将销售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【题型07：分段函数】 1．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售120天后，统计发现：在这120天内，该商品每天的销售价格x（单位：元/件）与时间t（第t天）之间满足如图所示的函数关系，该商品的日销售量y（单位：件）与时间t（第t天）之间满足一次函数关系． (1)求x与t之间的函数关系式； (2)设销售该商品的日利润为w元，求w与t之间的函数关系式，并求出在这120天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ 【题型08：其他问题】 1．（2020·湖北襄阳·中考真题）汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t的函数关系是，汽车从刹车到停下来所用时间是 ． 2．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）若汽车刹车后行驶的距离(m)关于行驶的时间的函数表达式为，则汽车刹车后行驶的距离是 ． 3（22-23九年级上·广东广州·期中）汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，则汽车从开始刹车到完全停下这段时间的最后2秒前行了 米． 4．（24-25九年级上·广东湛江·期末）某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”．汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若在汽车前处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车超过测速仪； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）2026年冬奥会在米兰举行，跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）满足函数关系：．着陆坡的解析式为，在着陆坡上设置点P作为达标点，点P与水平距离为．若着陆点在P点或越过P点，则视为成绩达标． (1)当时， ①判断成绩是否达标，并说明理由； ②求运动员在飞行过程中离着陆坡的竖直距离h的最大值； (2)若运动员的成绩既要达标又要能落在着陆坡（含端点）上，求b的取值范围． 6.（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间（单位：s）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．任务一：数据收集记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 任务二：观察分析 （1）根据，随的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出，与满足的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围） 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求小球的滑动距离； （3）当小球到达木板上点的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求的取值范围． 7．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为 ，锅盖纵断面的抛物线记为 ． (1)求和的解析式： (2)如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 8．（24-25九年级上·广东中山·期中）图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． (1)当面汤的深度为时，求此时汤面的直径的长； (2)如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，求此时碗中液面宽度的长． 【题型09：图形运动问题】 1．（2025·吉林松原·三模）如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，矩形中，，，点E在边上，且，点P从点B出发，沿运动，速度为每秒2个单位；点Q从点B出发，沿方向运动，速度为每秒1个单位，点Q到达点E时停止运动．两个点同时出发，点P的运动时间为x秒，且．在运动过程中，的面积为y． (1)求出y与x的函数解析式，并在所给的坐标系中画出函数y的图象； (2)结合图象，写出函数y的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围．（误差不超过） 3．（2025·江苏扬州·一模）如图，在等腰中，，动点E、F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度相等，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y． (1)当时，_______；当时，_______； (2)求点E在整个运动过程中y的最大值． 4．（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在等腰直角中，，，是的中线．动点从点出发以的速度沿折线向终点运动．过点作于点，以为边向右侧作正方形．设正方形与重叠部分图形的面积是，点的运动时间为 ． (1)当点在线段上运动时，的形状是________，_______．（用含的代数式表示）． (2)当点落在边上时，求的值． (3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 5.（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，的速度沿运动，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动，设动点运动的时间为 (1)用含t的式子表示和， ； ； (2)当t为何值时，的面积为； (3)当t为何值时，的面积最大，并求出的最大面积． 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y（平方厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$