第二十二章 专题特训七 二次函数与特殊图形的存在性问题-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(人教版)

(第6题) 专题特训七　二次函数 与特殊图形的存在性问题 1. (1) 将A(1,0),B(3,0)代入y= ax2+bx+3,得 a+b+3=0, 9a+3b+3=0, 解得 a=1, b=-4. ∴ 二次函数的解析式为y=x2- 4x+3. (2) 在y=x2-4x+3中,令x=0,得 y=3. ∴ C(0,3). 由点B,C的坐标,易得直线BC 对应 的函数解析式为y=-x+3. 设P(x,3-x),则Q(x,x2-4x+3). ∴ PQ=3-x-(x2-4x+3)= -x2+3x=- x-32 2 +94. ∵ -1<0, ∴ 当x=32 时,PQ 的长有最大值. ∴ x2-4x+3=-34. ∴ 点Q 的坐标为 32 ,-34 . (3) 存在. 由点C,Q 的坐标,易得直线CQ 对应 的函数解析式为y=- 5 2x+3. 过点Q 作TQ∥y轴,交x 轴于点T, 则∠TQC=∠OCQ. ∵ ∠CQD=2∠OCQ, ∴ ∠CQT=∠DQT. ∴ 直线CQ 和直线DQ 关于直线QT 对称. ∴ 易得直线DQ 对应的函数解析式 为y= 5 2 x- 3 2 -34=52x-92. 联立 y= 5 2x- 9 2 , y=x2-4x+3, 解得 x=32 , y=- 3 4 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 或 x=5, y=8. ∴ D(5,8). 由点B,D 的坐标,易得BD2=68. 设E(0,m),则易得DE2=25+(m- 8)2,BE2=9+m2. 当DE=BD 时,25+(m-8)2=68, 解得m=8± 43; 当DE=BE 时,25+(m-8)2=9+ m2,解得m=5; 当BE=BD 时,9+m2=68,解得 m=± 59. ∴ 点E的坐标为(0,5)或(0,8± 43) 或(0,± 59). 2. (1) 由题意,得 a-b+c=0, 9a+3b+c=0, c=-3, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 a=1, b=-2, c=-3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 二次函数的解析式为y=x2- 2x-3. (2) ∵ 抛物线的对称轴为直线x= --22 =1 ,点P,C关于抛物线的对称 轴对称, ∴ P(2,-3). 设Q(n,n2-2n-3). 由题意,得∠OPQ=90°. ∴ OP2+PQ2=OQ2. ∴ [(0-2)2+(0+3)2]+[(2- n)2+(-3-n2+2n+3)2]=(0- n)2+(0-n2+2n+3)2. 整理,得3n2-8n+4=0,解得n1= 2 3 ,n2=2(不合题意,舍去). ∴ n=23. ∴ n2-2n-3=-359. ∴ 点Q 的坐标为 23 ,-359 . (3) 存在. 由题意,可知P(m,m2-2m-3). 当x=m+1时,y=(m+1)2-2(m+ 1)-3=m2-4. ∴ Q(m+1,m2-4). 设直线PQ 交x轴于点H. 由点P,Q 的坐标,易得直线PQ 对应 的函数解析式为y=(2m-1)(x- m)+m2-2m-3. 令y=0,则x= m2-2m-3 1-2m +m. ∴ OH= m 2-2m-3 1-2m +m . ∴ S=12OH ·|yQ-yP|= 1 2× m2-2m-3 1-2m +m ·|m2-4-m2+ 2m+3|= 12 × -m2-m-3 1-2m · |2m-1|= 12|m 2 +m +3|= 1 2 m+ 1 2 2 +118≥ 11 8. ∴ S存在最小值,为118. 3. (1) ∵ 抛物线y=-x2+bx+c 经过A(-1,0),C(0,3)两点, ∴ -1-b+c=0, c=3, 解得 b=2 , c=3. ∴ 该抛物线对应的函数解析式为 y=-x2+2x+3. (2) ∵ y=-x2+2x+3=-(x- 1)2+4, ∴ M(1,4). 设直线AM 对应的函数解析式为y= kx+d. ∴ k+d=4, -k+d=0, 解得 k=2 , d=2. ∴ 直线AM 对应的函数解析式为 y=2x+2. 当x=0时,y=2, ∴ D(0,2). 如图,作点 D 关于x 轴的对称点 D'(0,-2),连 接 D'M,D'H,则 DH=D'H. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 42 ∴ MH+DH=MH+D'H≥D'M, 即MH+DH 的最小值为D'M 的长. ∵ D'M= (1-0)2+(4+2)2= 37, ∴ MH+DH 的最小值为 37. (3) 存在;点Q 的坐标为(1,3)或(1, 1)或(1,5). 解析:由(2),得D(0, 2),M(1,4).∵ P 是抛物线上一动 点,∴ 设P(m,-m2+2m+3).∵ 抛 物线y=-x2+2x+3的对称轴为直 线x=1,∴ 设Q(1,n).当DM,PQ 为对角线时,DM,PQ 的中点重合, ∴ 0+1=m+1, 2+4=-m2+2m+3+n, 解 得 m=0, n=3. ∴ Q(1,3).当DP,MQ 为对 角 线 时,DP,MQ 的 中 点 重 合, ∴ 0+m=1+1, 2-m2+2m+3=4+n, 解 得 m=2, n=1. ∴ Q(1,1).当DQ,PM 为对 角 线 时,DQ,PM 的 中 点 重 合, ∴ 0+1=1+m, 2+n=4-m2+2m+3, 解 得 m=0, n=5. ∴ Q(1,5).综上所述,对称轴 上存在点Q,使得以D,M,P,Q 为顶 点的四边形是平行四边形,点Q 的坐 标为(1,3)或(1,1)或(1,5). (第3题) 4. (1) 由题意,得 -b2a=1 , 9a+3b+3=0, 解 得 a=-1, b=2. ∴ 该抛物线对应的函数解析式为 y=-x2+2x+3. (2) 当x=-1时,y=-x2+2x+ 3=0,取得最小值. ∴ -1<t≤3. 当-1<t≤1时,由题意,得-t2+ 2t+3=2t-1,解得t=2或t=-2 (均不合题意,舍去). 当1<t≤3时,易知当x=1时,y 取 得最大值,则-1+2×1+3=2t-1, 解得t=52 ,符合题意. 综上所述,t的值为52. (3) 存在. 易知点B 的坐标为(0,3). 由A(3,0),B(0,3),易得直线AB 对 应的函数解析式为y=-x+3. 设C(m,-m2+2m+3),则D(m, -m+3). 当BD,CD为菱形的邻边时,BD=CD, 即 m2+(-m+3-3)2 =-m2+ 2m+3-(-m+3),即2m=-m2+ 3m,解得m=0(不合题意,舍去)或 m=3-2. ∴ 菱形的边长为2m=32-2. 当BD为菱形的对角线时,有BC=CD, 即 m2+(-m2+2m+3-3)2 = -m2+2m+3-(-m+3),解得m= 0(不合题意,舍去)或m=2. ∴ 菱形的边长为-m2+2m+3- (-m+3)=-m2+3m=2. 综上所述,菱形的边长为3 2-2 或2. 第二十二章整合拔尖 ［高频考点突破］ 典例1 B [变式] C 解析:由图象,可得a> 0,b>0,c<0.∴ abc<0.故①正确. ∵ 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的 对称轴为直线x=-2,且过点(1,0), ∴ -b2a=-2 ,a+b+c=0.∴ b= 4a.∴ a+b+c=a+4a+c=0,即 5a+c=0.故②正确.∵ 当x=-2 时,y 有 最 小 值,为 4a-2b+c, ∴ am2+bm+c≥4a-2b+c,即2b+ bm≥4a-am2(m 为任意实数).故③ 错误.∵ 抛物线开口向上,对称轴为 直线x=-2,A(x1,y1),B(x2,y2) 是图象上任意两点,且|x1+2|< |x2+2|,∴ y1<y2.故④正确.综上 所述,正确的是①②④. 典例2 (1) 将A(4,1),B(0,5)分别 代 入 y = -x2 +bx +c,得 -16+4b+c=1, c=5, 解得 b=3 , c=5. ∴ 该 二 次 函 数 的 解 析 式 为 y= -x2+3x+5. ∵ y=-x2+3x+5=- x-32 2 + 29 4 , ∴ 图象的对称轴是直线x=32 ,顶点 坐标为 3 2 ,29 4 . (2) -1≤m≤32. [变式] (1) 将b=2,c=-3代入 y=ax2+bx+c,得y=ax2+2x-3. 将A(1,0)代入,得a+2-3=0,解得 a=1. ∴ y=x2+2x-3=(x+1)2-4. ∴ 当x=-1时,y有最小值,为-4. (2) ① 由题意,可知对称轴为直线 x=m+3-m2 = 3 2. ② ∵ -b2a= 3 2 , ∴ b=-3a. 又∵ 图象过点A(1,0), ∴ a+b+c=0. ∴ c=2a. ∴ y=ax2-3ax+2a. ∴ 顶点的纵坐标为4ac-b 2 4a =- a2 4a. ∵ 函数值y不小于 1 4a- 1 2 , ∴ a>0,且-a 2 4a≥ 1 4a- 1 2. ∴ a2-2a+1≤0. ∴ (a-1)2≤0. ∵ (a-1)2≥0, ∴ a-1=0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 52 52 　专题特训七　二次函数与特殊图形的存在性问题 ▶ “答案与解析”见P24 类型一 二次函数与等腰三角形 1. (2024·雅安)在平面直角坐标系中,二次函 数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于A(1, 0),B(3,0)两点,与y轴交于点C. (1) 求二次函数的解析式. (2) 如图①,P 是线段BC 上的一个动点(不 与点B,C 重合),过点P 作y 轴的平行线, 交抛物线于点Q.当线段PQ 的长最大时,求 点Q 的坐标. (3) 如图②,在(2)的条件下(线段PQ 的长 最大),过点Q 的直线与抛物线交于点D,且 ∠CQD=2∠OCQ.在y轴上是否存在点E, 使得△BDE 为等腰三角形? 若存在,请直接 写出点E 的坐标;若不存在,请说明理由. (第1题) 类型二 二次函数与直角三角形 2. (2024·遂宁)已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴分别交于点A(-1,0), B(3,0),与y轴交于点C(0,-3),P,Q 为图 象上的两点. (1) 求二次函数的解析式. (2) 当P,C 两点关于图象的对称轴对称, △OPQ 是以P 为直角顶点的直角三角形时, 求点Q 的坐标. (3) 设点P 的横坐标为m,点Q 的横坐标为 m+1,试探究△OPQ 的面积S 是否存在最 小值.若存在,请求出最小值;若不存在,请说 明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 53 类型三 二次函数与平行四边形 3. 如图,抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1, 0),C(0,3)两点,并交x轴于另一点B,M 是 抛物线的顶点,直线AM 与y轴交于点D. (1) 求该抛物线对应的函数解析式. (2) 若H 是x 轴上一动点,分别连接MH, DH,求MH+DH 的最小值. (3) 若P 是抛物线上一动点,在对称轴上是 否存在点Q,使得以D,M,P,Q 为顶点的四 边形是平行四边形? 若存在,请直接写出所 有满足条件的点Q 的坐标;若不存在,请说 明理由. (第3题) 类型四 二次函数与菱形 4. (2024·泸州)如图,在平面直角坐标系中,抛 物线y=ax2+bx+3经过点A(3,0),与 y轴交于点B,且关于直线x=1对称. (1) 求该抛物线对应的函数解析式. (2) 当-1≤x≤t(t>-1)时,y的取值范围 是0≤y≤2t-1,求t的值. (3) C 是抛物线上位于第一象限的一个动 点,过点C 作x 轴的垂线,交直线AB 于点 D.在y轴上是否存在点E,使得以B,C,D, E 为顶点的四边形是菱形? 若存在,求出该 菱形的边长;若不存在,请说明理由. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十二章　二次函数