第二十二章 专题特训六 二次函数中线段、角度、面积问题-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(人教版)

50 　　专题特训六　二次函数中线段、角度、面积问题 ▶ “答案与解析”见P22 类型一 二次函数与线段最值问题 1. 若关于x的方程x2-2kx+k-3=0的一个 实数根x1≥3,另一个实数根x2≤0,则关于 x的二次函数y=x2-2kx+k-3图象的顶 点到x轴距离h的最大值是 . 2. 如图,抛物线y1=-x2+4,y2=- 1 5x 2+ bx+c相交于A,B 两点,点A 在x轴的负半 轴上,且A 为抛物线y2的最高点. (1) 求抛物线y2 对应的函数解析式和点B 的坐标. (2) 若C 是抛物线y1 上A,B 之间的一点, 过点C 作x轴的垂线,交抛物线y2于点D, 连接BD,BC,则当线段CD 的长取最大值 时,求S△BCD. (第2题) 类型二 二次函数中与角度相关的问题 3. 如图,直线y=x+3与x 轴交于点A,与 y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过 点A,B,与x轴的另一个交点为C. (1) 求抛物线对应的函数解析式. (2) 若P 是第二象限内抛物线上一动点,过 点P 作PP'∥y轴,交直线AB 于点P',求线 段PP'长的最大值. (3) 若 N 是线段AB 上一点,连接 NC, ∠BNC=2∠BAC,请求出点N 的坐标. (第3题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 51 类型三 二次函数与几何图形面积问题 4. 如图,抛物线y=-x2+2x+3与x 轴交于 A,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交 于点C,P 是抛物线上位于x轴上方的一点, 连接 AP,BP,分 别 以 AP,BP 为 边 向 △ABP 外 部 作 正 方 形 APED、正 方 形 BPFG,连接BD,AG.点P 从点A 运动到点 B 的过程中,△ABD 与△ABG 的面积之和 ( ) (第4题) A. 先增大后减小,最大面积为8 B. 先减小后增大,最小面积为6 C. 始终不变,面积为6 D. 始终不变,面积为8 5. 如图,抛物线y= 1 2x 2+x-32 与x轴相交于 A,B 两点,顶点为P. (1) 求点A,B 的坐标. (2) 连接AP,BP.在抛物线上是否存在点E (不同于点P),使△ABP 的面积等于△ABE 的面积? 若存在,求出符合条件的点E 的坐 标;若不存在,请说明理由. (第5题) 6. 在平面直角坐标系中,O 是坐标原 点,抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过 点A(3,3),对称轴为直线x=2. (1) 求a,b的值. (2) 已知点B,C 在抛物线上,点B 的横坐标 为t,点C 的横坐标为t+1,过点B 作x轴的 垂线,交直线OA 于点D,过点C 作x轴的垂 线,交直线OA 于点E. ① 当0<t<2时,求△OBD 与△ACE 的面 积之和. ② 在抛物线的对称轴右侧,是否存在点B, 使得以B,C,D,E 为顶点的四边形的面积为 3 2 ? 若存在,请求出点B 的横坐标t的值;若 不存在,请说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十二章　二次函数 (9.4-6)2+3.4=2.822<3.1. ∴ 这位队员可以拦网成功. (2) 设抛物线对应的函数解析式为 y=a(x-6)2+h. 将C(0,1.6)代入,得36a+h=1.6, 即a=1.6-h36 . ∴ 抛物线对应的函数解析式为y= 1.6-h 36 (x-6)2+h. 根据题意,得 9(1.6-h) 36 +h>2.4 , 144(1.6-h) 36 +h≤0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得h>83. ∴ 排球飞行的最大高度h(米)的取 值范围是h>83. 6. (1) ∵ 易知抛物线的顶点坐标为 (8,8), ∴ 设抛物线对应的函数解析式为 y=a(x-8)2+8. 将O(0,0)代入,得0=64a+8,解得 a=-18. ∴ 抛 物 线 对 应 的 函 数 解 析 式 为 y= - 1 8 (x-8)2 +8,即 y= -18x 2+2x(0≤x≤16). (2) ∵ 双向行车道,且正中间是一条 宽1m的隔离带, ∴ 每条行车道宽为7.5m,车沿着隔 离带边沿行驶时,车另一侧边沿与隧 道边沿的最近水平距离为7.5- 3.5=4(m). 当x=4时,y=- 1 8x 2-2x=6. ∵ 5.8<6, ∴ 其中的一条行车道能行驶宽为 3.5m、高为5.8m的车. (3) 设B(m,0),则A m,-18m2+ 2m . ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ AB=DC,BC=AD. ∵ 抛物线的对称轴为直线x=8, ∴ BC=AD=2(8-m)=(16-2m)m. 设AB,AD,DC的长度之和为wm. ∴ w=16-2m+2-18m 2+2m = -14m 2+2m +16= - 14 (m - 4)2+20. ∵ -14<0 , ∴ 当m=4时,w 的最大值为20,即 AB,AD,DC 的长度之和的最大值是 20m. 7. (1) 由题意,得A(2,1.6)为上边缘 抛物线的顶点. 设y=a(x-2)2+1.6. 又∵ 上边缘抛物线过点H(0,1.2), ∴ 1.2=4a+1.6,解得a=-0.1. ∴ 上边缘抛物线对应的函数解析式 为y=-0.1(x-2)2+1.6. (2) ① ∵ y=-0.1(x-2)2+1.6, ∴ 上边缘抛物线的对称轴为直线 x=2. ∴ 点(0,1.2)关于对称轴的对称点为 (4,1.2). ∴ 下边缘抛物线是由上边缘抛物线 向左平移4米得到的. 当y=0时,0=-0.1(x-2)2+1.6, 解得x1=6,x2=-2(舍去). ∴ C(6,0). ∴ 点B 的坐标为(2,0). ② 能. 理由:∵ DE=1.8米,EF=1.1米, OD=2.2米, ∴ OE=2.2+1.8=4(米). ∴ 点F 的坐标为(4,1.1). 当x=4时,y=-0.1×(4-2)2+ 1.6=1.2. ∵ 1.2>1.1,当x>2时,y随x的增 大而减小, ∴ 洒水车行驶时喷出的水能浇灌到 整个绿化带. 专题特训六　二次函数中 线段、角度、面积问题 1. 9 2. (1) 当y1=0时,-x2+4=0,解 得x=2或x=-2. ∵ 点A 在x轴的负半轴上, ∴ A(-2,0). ∵ A(-2,0)是抛物线y2的最高点. ∴ - b 2× -15 =-2,解得b=-45. 把A(-2,0)代入y2=- 1 5x 2- 4 5x+c ,得0=-45+ 8 5+c ,解得 c=-45. ∴ 抛物线y2 对应的函数解析式为 y2=- 1 5x 2-45x- 4 5. 联立,得 y=-x2+4, y=- 1 5x 2-45x- 4 5 , 解 得 x=-2, y=0 或 x=3 , y=-5. ∵ A(-2,0), ∴ B(3,-5). (2) 设点C的横坐标为x. 由题意,得CD=-x2+4- -15x2- 4 5x- 4 5 =-45x2+45x+245. 当x=-b2a= 1 2 时,CD最大=-45× 1 4+ 4 5× 1 2+ 24 5=5. ∴ S△BCD= 1 2×5× 3- 1 2 =254. 3. (1) 在y=x+3中,令x=0,得 y=3. ∴ B(0,3). 令y=0,得0=x+3,解得x=-3. ∴ A(-3,0). 由 题 意,得 -9-3b+c=0, c=3, 解 得 b=-2, c=3. ∴ 抛 物 线 对 应 的 函 数 解 析 式 为 y=-x2-2x+3. (2) 设点P 的坐标为(p,-p2-2p+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 3)(-3<p<0). ∴ P'(p,p+3). ∴ PP'=-p2-2p+3-(p+ 3)=-p2-3p=- p+ 3 2 2 +94. ∵ -1<0,-3<p<0, ∴ 当p=- 3 2 时,线段 PP'的长有最 大值,为9 4. (3) 如图,过点N 作x 轴的垂线,垂 足为H. ∵ ∠BNC =2∠BAC,∠BNC = ∠BAC+∠ACN, ∴ ∠ACN=∠BAC. ∴ AN=CN. ∵ NH⊥AC, ∴ AH=CH. ∴ H 为AC的中点. ∴ 易得点N 在抛物线的对称轴上. 由(1),可知抛物线对应的函数解析式 为y=-x2-2x+3. ∴ 该抛物线的对称轴为直线x= - -22×(-1)=-1. ∴ 点N 的横坐标为-1. 将x=-1代入y=x+3,得y= -1+3=2. ∴ 点N 的坐标为(-1,2). (第3题) 4. D 解析:令y=-x2+2x+3=0, 解得x=-1或x=3.∴ 点A,B 的 坐标分别为(-1,0),(3,0).设点P 的 横坐标为m.分别过点P,G作x轴的 垂线,垂足分别为N,H.∵ ∠PBG= 90°,∴ ∠PBN + ∠GBH =90°. ∵ ∠GBH+∠BGH=90°,∴ ∠PBN= ∠BGH.∵ ∠PNB=∠BHG=90°, PB =BG,∴ △PNB ≌ △BHG. ∴ GH=BN=3-m=yG.同理,可 得yD=m+1.∴ △ABD 与△ABG 的面 积 之 和= 12 ×AB× (yD + yG)= 1 2×4× (m+1+3-m)=8. 5. (1) 令y=0,则 1 2x 2+x-32=0 , 解得x=-3或x=1. ∴ A(-3,0),B(1,0). (2) 存在. ∵ y= 1 2x 2+x- 32 = 1 2 (x+ 1)2-2, ∴ P(-1,-2). ∵ △ABP 的 面 积 等 于△ABE 的 面积, ∴ 易得点E 到直线AB 的距离等于 2,即yE=2. 令1 2x 2+x-32=2 ,解得x=-1- 22或x=-1+22. ∴ 存在,点E 的坐标为(-1-22, 2)或(-1+22,2). 6. (1) ∵ 抛物线y=ax2+bx(a≠0) 经过点A(3,3),对称轴为直线x=2, ∴ 9a+3b=3, -b2a=2 , 解得 a=-1,b=4. (2) 由(1),得y=-x2+4x. ∴ 当x=t时,y=-t2+4t;当x= t+1时,y=-(t+1)2+4(t+1)= -t2+2t+3. ∴ B(t,-t2+4t),C(t+1,-t2+ 2t+3). 设直线 OA 对应的函数解析式为 y=kx. 将A(3,3)代入,得3=3k, ∴ k=1. ∴ 直线OA 对应的函数解析式为 y=x. ∴ D(t,t),E(t+1,t+1). ① 如图①,记BD 与x 轴交于点M, 过点A 作AN⊥CE 于点N,则M(t, 0),N(t+1,3). ∴ S△OBD+S△ACE= 1 2BD ·OM+ 1 2AN ·CE=12 (-t2+4t-t)·t+ 1 2 (3-t-1)(-t2+2t+3-t-1)= 1 2 (-t3+3t2)+ 12 (t3-3t2+ 4)=-12t 3+32t 2+12t 3-32t 2+ 2=2. ② 存在. (ⅰ) 当2<t<3时,如图②,过点D 作DH⊥CE 于点H,则H(t+1,t). ∴ BD=-t2+4t-t=-t2+3t, CE=t+1-(-t2+2t+3)=t2-t- 2,DH=t+1-t=1. ∴ S四边形DCEB= 1 2 (BD+CE)·DH, 即3 2= 1 2 (-t2+3t+t2-t-2)×1, 解得t=52. (ⅱ) 当t>3时,如图③,过点D 作 DH⊥CE于点H. ∴ BD=t-(-t2+4t)=t2-3t, CE=t2-t-2,DH=1. ∴ S四边形DBCE= 1 2 (BD+CE)·DH, 即3 2= 1 2 (t2-3t+t2-t-2)×1,解 得t1= 14 2 +1 ,t2=- 14 2 +1 ,都 不合题意,舍去. 综上所述,t的值为52. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32 (第6题) 专题特训七　二次函数 与特殊图形的存在性问题 1. (1) 将A(1,0),B(3,0)代入y= ax2+bx+3,得 a+b+3=0, 9a+3b+3=0, 解得 a=1, b=-4. ∴ 二次函数的解析式为y=x2- 4x+3. (2) 在y=x2-4x+3中,令x=0,得 y=3. ∴ C(0,3). 由点B,C的坐标,易得直线BC 对应 的函数解析式为y=-x+3. 设P(x,3-x),则Q(x,x2-4x+3). ∴ PQ=3-x-(x2-4x+3)= -x2+3x=- x-32 2 +94. ∵ -1<0, ∴ 当x=32 时,PQ 的长有最大值. ∴ x2-4x+3=-34. ∴ 点Q 的坐标为 32 ,-34 . (3) 存在. 由点C,Q 的坐标,易得直线CQ 对应 的函数解析式为y=- 5 2x+3. 过点Q 作TQ∥y轴,交x 轴于点T, 则∠TQC=∠OCQ. ∵ ∠CQD=2∠OCQ, ∴ ∠CQT=∠DQT. ∴ 直线CQ 和直线DQ 关于直线QT 对称. ∴ 易得直线DQ 对应的函数解析式 为y= 5 2 x- 3 2 -34=52x-92. 联立 y= 5 2x- 9 2 , y=x2-4x+3, 解得 x=32 , y=- 3 4 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 或 x=5, y=8. ∴ D(5,8). 由点B,D 的坐标,易得BD2=68. 设E(0,m),则易得DE2=25+(m- 8)2,BE2=9+m2. 当DE=BD 时,25+(m-8)2=68, 解得m=8± 43; 当DE=BE 时,25+(m-8)2=9+ m2,解得m=5; 当BE=BD 时,9+m2=68,解得 m=± 59. ∴ 点E的坐标为(0,5)或(0,8± 43) 或(0,± 59). 2. (1) 由题意,得 a-b+c=0, 9a+3b+c=0, c=-3, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 a=1, b=-2, c=-3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 二次函数的解析式为y=x2- 2x-3. (2) ∵ 抛物线的对称轴为直线x= --22 =1 ,点P,C关于抛物线的对称 轴对称, ∴ P(2,-3). 设Q(n,n2-2n-3). 由题意,得∠OPQ=90°. ∴ OP2+PQ2=OQ2. ∴ [(0-2)2+(0+3)2]+[(2- n)2+(-3-n2+2n+3)2]=(0- n)2+(0-n2+2n+3)2. 整理,得3n2-8n+4=0,解得n1= 2 3 ,n2=2(不合题意,舍去). ∴ n=23. ∴ n2-2n-3=-359. ∴ 点Q 的坐标为 23 ,-359 . (3) 存在. 由题意,可知P(m,m2-2m-3). 当x=m+1时,y=(m+1)2-2(m+ 1)-3=m2-4. ∴ Q(m+1,m2-4). 设直线PQ 交x轴于点H. 由点P,Q 的坐标,易得直线PQ 对应 的函数解析式为y=(2m-1)(x- m)+m2-2m-3. 令y=0,则x= m2-2m-3 1-2m +m. ∴ OH= m 2-2m-3 1-2m +m . ∴ S=12OH ·|yQ-yP|= 1 2× m2-2m-3 1-2m +m ·|m2-4-m2+ 2m+3|= 12 × -m2-m-3 1-2m · |2m-1|= 12|m 2 +m +3|= 1 2 m+ 1 2 2 +118≥ 11 8. ∴ S存在最小值,为118. 3. (1) ∵ 抛物线y=-x2+bx+c 经过A(-1,0),C(0,3)两点, ∴ -1-b+c=0, c=3, 解得 b=2 , c=3. ∴ 该抛物线对应的函数解析式为 y=-x2+2x+3. (2) ∵ y=-x2+2x+3=-(x- 1)2+4, ∴ M(1,4). 设直线AM 对应的函数解析式为y= kx+d. ∴ k+d=4, -k+d=0, 解得 k=2 , d=2. ∴ 直线AM 对应的函数解析式为 y=2x+2. 当x=0时,y=2, ∴ D(0,2). 如图,作点 D 关于x 轴的对称点 D'(0,-2),连 接 D'M,D'H,则 DH=D'H. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 42