22.3 实际问题与二次函数-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(人教版)

当m 2<-1 ,即m<-2时,在-1≤ x≤2的范围中,y随x的增大而减小. ∴ 当x=-1时,y=6. ∴ -(-1)2-m+2m=6,解得m=7 (不合题意,舍去). 当-1≤m2≤2 ,即-2≤m≤4时, 易得当x=m2 时,y=6. ∴ - m2 2 +m 2 2 +2m=6 ,解得 m1=-4+2 10,m2=-4-2 10 (不合题意,舍去). 当m 2>2 ,即m>4时,在-1≤x≤2 的范围中,y随x的增大而增大, ∴ 当x=2时,y=6. ∴ -22+2m+2m=6,解得m=52 (不合题意,舍去). 综上所述,m 的值为-4+2 10. 10. 函数图象的对称轴为直线x= --2a2×1=a. ① 若a≤1,则当x=1时,函数取得 最小值,此时1-2a+3=2a,解得 a=1. ② 若1<a<3,则当x=a时,函数取 得最小值,此时a2-2a·a+3=2a, 解得a1=1,a2=-3,都不合题意, 舍去. ③ 若a≥3,则当x=3时,函数取得 最小值,此时9-6a+3=2a,解得 a=32 (不合题意,舍去). 综上所述,a的值为1. 专题特训五　二次函数 图象信息题 1. A 2. D 3. C 4. B 5. ①③ 解析:∵ 二次函数y= ax2+bx+c 的图 象 与x 轴 交 于 A(-1,0),B(3,0)两点,∴ 图象的对 称轴为直线x=-b2a=1.∴ b= -2a.∴ 2a+b=0.故①正确.当 x=-1时,0=a-b+c,∴ a+2a+ c=0.∴ c=-3a.∴ 2c=3b.故②错 误.在y=ax2-2ax-3a(a<0)中, 令x=0,则y=-3a.∴ C(0,-3a). 当AB=BC 时,易得4= 9+9a2, ∴ a=- 73. 当 AB=AC 时,易得 4= 1+9a2,∴ a=- 153 .∴ 当 △ABC 是等腰三角形时,a 的值有 2个.故③正确.∵ y=ax2-2ax- 3a=a(x-1)2-4a,∴ D(1,-4a). ∴ BD2=4+16a2,BC2=9+9a2, CD2=a2+1.若∠BDC=90°,可得 BC2=BD2+CD2.∴ 9+9a2=4+ 16a2+a2+1.∴ a=-22. 若∠DCB= 90°,可得BD2=BC2+CD2.∴ 4+ 16a2=9+9a2+a2+1.∴ a=-1. ∴ 当△BCD 是直角三角形时,a= -1或a=- 22. 故④错误.综上所 述,正确的有①③. 6. B 7. A 解析:∵ 将△ABC 沿着直线l 以2cm/s的速度向右移动,△DEF 沿着直线l以1cm/s的速度向右移 动,∴ 当点B 移动的时间为xs时, △ABC 相对于△DEF 向右移动了 2x-x=x(cm).如图①,当0<x≤2 时,过点 G 作GH ⊥BF 于点 H. ∵ △ABC 和△DEF 均为等边三角 形,∴ 易得△GEJ 为等边三角形. ∴ EJ=GJ=xcm.∴ 易得GH= 3 2GJ= 3 2xcm.∴ y= 1 2 ·x· 3 2x= 3 4x 2.函数图象的开口向上, 且当x=2时,y= 3.如图②,当2< x≤4时,过点G 作GH⊥BF 于点 H.同理,得△GJF 为等边三角形, JF=GF=(4-x)cm.∴ y= 1 2 (4- x)· 32 (4-x)= 34 (4-x)2,函数图 象开口向上.∴ 选项A符合题意. (第7题) 8. C 9. ∵ 抛物线y=- 1 2 (x-6)2+2与 x轴交于点A,B, ∴ 易得A(4,0),B(8,0). ∵ 将C2 向左平移得到C1,C1 与 x轴交于点O,A, ∴ 将C2向左平移4个单位长度. ∴ C1所在抛物线对应的函数解析式 为y=- 1 2 (x-2)2+2. ∵ 当直线y= 1 2x+m 过点A(4,0) 时,与C1,C2共有2个交点, ∴ 0=12×4+m ,解得m=-2. ∵ 当直线y= 1 2x+m 与抛物线y= -12 (x-6)2+2只有1个交点时,与 C1,C2共有2个交点, ∴ 1 2x+m=- 1 2 (x-6)2+2. 整理,得x2-11x+32+2m=0. ∴ Δ=121-4(32+2m)=0,解得 m=-78. ∵ 直线y= 1 2x+m 与C1,C2 共有 3个不同的交点, ∴ -2<m<-78. 22.3　实际问题与二次函数 第1课时 几何图形面积问题 1. A 2. 450 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 91 3. (1) 由 题 意,得 y =x (30- 3x)=-3x2+30x. ∴ y 与x 之间的函数解析式为y= -3x2+30x. (2) 当y=63时,-3x2+30x=63, 解得x1=7,x2=3. 当x=7时,30-3x=9<10,符合 题意; 当x=3时,30-3x=21>10,不合题 意,舍去. ∴ AB 的长是7m. (3) y=-3x2+30x=-3(x- 5)2+75. 由题意,得0<30-3x≤10,解得203≤ x<10. ∵ -3<0, ∴ 当x>5时,y随x的增大而减小. ∴ 当x=203 时y有最大值,最大面积 为-3× 203-5 2 +75=2003 (m2). 利用二次函数的性质求实际 问题中最值的方法 在实际问题中,利用二次函数 求最值的一般步骤如下: (1) 列出二次函数解析式,并 根据自变量的实际意义,确定自变 量的取值范围. (2) 求出函数图象的顶点坐 标,再结合自变量的取值范围,确 定函数的最值. 4. D 5. D 6. 43 解析:过点F 作FG⊥AD, 交AD 的 延 长 线 于 点G.∵ 菱 形 ABCD 的边长为8,∠BAD=60°, ∴ AD=CD=8,∠ADC=180°- ∠BAD=120°.∴ ∠FDG=180°- ∠ADC=60°.设AE=x.∴ DE= AD-AE=8-x.∵ AE+CF=8, ∴ CF=8-x.∴ DF=CD-CF= 8-(8-x)=x.在 Rt△DFG 中, ∵ ∠FDG=60°,∴ ∠DFG=30°. ∴ 易 得 FG = 32x.∴ S△DEF = 1 2DE ·FG=12× (8-x)× 32x= - 34x 2+23x=- 34 (x-4)2+ 43.∴ 当x=4时,△DEF 的面积 最大,最大值为43. 7. (1) ∵ 小正方形的边长为m,直角 三角形较短直角边的长为n, ∴ 直角三角形较长直角边的长为 m+n. ∴ 由勾股定理,得S=(m+n)2+n2. ∵ n=2m-4, ∴ S=(m+2m-4)2+(2m-4)2= 13m2-40m+32. ∵ n=2m-4>0, ∴ m>2. ∴ S 关于m 的函数解析式为S= 13m2-40m+32(m>2). (2) ∵ S=13m2 -40m +32= 13m-2013 2 +1613 (2<m≤3), ∴ 当 m≥2013 时,S 随x 的增大而 增大. ∴ 当大正方形的面积最大时,m=3. 8. C 解析:过点H 作HM⊥AB 于 点M.∵ AC=2,∠B=30°,∴ 易得 AB=23.∵ ∠EDF=90°,∴ ∠ADG+ ∠MDH = 90°. ∵ ∠ADG + ∠AGD=90°,∴ ∠AGD=∠MDH. ∵ DG=HD,∠A=∠DMH=90°, ∴ △ADG≌△MHD.∴ AD=MH. 设 AD =x,则 BD =2 3-x. ∴ S△BDH= 1 2MH ·BD=12AD · BD=12x (23-x)=-12 (x- 3)2+32.∴ △BDH 面积的最大值 是3 2. 9. (1) 1cm. (2) 有. 设剪去的正方形的边长为xcm,盒子 的侧面积为ycm2. ∴ y 与x 之间的函数解析式为y= 2(10-2x)x+2(8-2x)x=-8x2+ 36x=-8x-94 2 +812 (0<x<4). ∴ 当x=94 时,y有最大值,为 81 2. ∴ 当剪去的正方形的边长为9 4cm 时,长方体盒子的侧面积最大,最大面 积为81 2cm 2. (3) 有. 设剪去的正方形的边长为xcm,盒子 的侧面积为ycm2. 若按如图①所示的方法剪折,则y与 x之间的函数解析式为y=2(8- 2x)x+2·10-2x2 ·x=-6x2+ 26x=-6x-136 2 +1696 . ∴ 当x=136 时,y有最大值,为 169 6 . 若按如图②所示的方法剪折,则y与 x之间的函数解析式为y=2(10- 2x)x+2·8-2x2 ·x=-6x2+ 28x=-6x-73 2 +983. ∴ 当x=73 时,y 有最大值,为 98 3. ∵ 169 6 < 98 3 , ∴ 按如图②所示的方法剪折得到的 盒子的侧面积最大. ∴ 当剪去的正方形的边长为7 3cm 时,有盖长方体盒子的侧面积最大,最 大面积为98 3cm 2. (第9题) 第2课时 商品利润问题 1. B 2. C 3. 2.75 4. (1) 设y 与x 之间的函数解析式 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 02 为y=kx+b(k≠0). 由 题 意,可 知 36=12k+b, 34=13k+b, 解 得 k=-2, b=60. ∴ y 与x 之间的函数解析式为y= -2x+60. (2) 根据题意,得(x-10)(-2x+ 60)=192,解得x1=18,x2=22. ∵ 易得10≤x≤19, ∴ x=18. ∴ 销售单价为18元. (3) 由题意,得w=(x-10)(-2x+ 60)=-2x2+80x-600=-2(x- 20)2+200. ∵ -2<0,抛物线的对称轴为直线 x=20, ∴ 当10≤x≤19时,w 随x的增大而 增大. ∴ 当 x=19 时,w 取得最大 值, w最大=198. ∴ 当销售单价为19元时,每天获利 最大,最大利润是198元. 5. D 6. 1264 7. (1) 当1≤x<30时,y=(x+30- 20)(-2x+120)=-2x2+100x+ 1200; 当30≤x≤48时,y=(60-20)× (-2x+120)=-80x+4800. ∴ y= -2x2+100x+1200(1≤x<30), -80x+4800(30≤x≤48). (2) 当1≤x<30时,y=-2x2+ 100x+1200=-2(x-25)2+2450. ∴ 当x=25时,ymax=2450. 当30≤x≤48时, ∵ k=-80<0, ∴ y随x的增大而减小. ∴ 当x=30时,ymax=-80×30+ 4800=2400. ∵ 2450>2400, ∴ 第25天的销售利润最大,最大为 2450元. (3) 设扣除捐赠后的日销售利润为 w 元. ∴ w=-2x2+100x+1200-(-2x+ 120)·n=-2x2+(100+2n)x+ (1200-120n). ∴ 图 象 的 对 称 轴 为 直 线 x = -100+2n2×(-2)= 50+n 2 . ∵ w 随x的增大而增大,x为整数, ∴ 50+n 2 >27.5 ,解得n>5. ∴ n的取值范围是5<n<9. 8. (1) 把(3,7.2),(4,5.8)代 入 y需求=ax2+c,得 9a+c=7.2, 16a+c=5.8, 解 得 a=-15 , c=9. (2) 4月出售这种蔬菜每千克获利 最大. 理由:设每月出售这种蔬菜每千克获 利w 元. 根据 题 意,得 w =x售价 -x成本 = 1 2t+2- 1 4t 2-32t+3 =-14· t2+2t-1=-14 (t-4)2+3. ∵ -14<0 ,且1≤t≤7, ∴ 当t=4时,w 有最大值. ∴ 4月出售这种蔬菜每千克获利 最大. (3) 当 y供给 =y需求 时,x -1= -15x 2+9,解得x1=5,x2=-10 (不合题意,舍去). ∴ 此时售价为5元/千克,则y供给= x-1=5-1=4. 令1 2t+2=5 ,解得t=6. ∴ w=-14 (t-4)2+3=-14× (6-4)2+3=2. ∵ 4吨=4000千克, ∴ 总利润为2×4000=8000(元). ∴ 这种蔬菜的供给量与需求量相等 时的售价为5元/千克,按此价格出售 获得的总利润为8000元. 第3课时 建立坐标系解 “抛物线”形问题 1. B 2. 35 3 3. (1) ∵ 8-6=2(m), ∴ 抛物线的顶点坐标为(2,3). 设抛物线对应的函数解析式为y= a(x-2)2+3. 把A(8,0)代入,得36a+3=0,解得 a=-112. ∴ 抛物线对应的函数解析式为y= -112 (x-2)2+3. 当x=0时,y=- 1 12×4+3= 8 3. ∵ 8 3>2.44 , ∴ 足球不能射进球门. (2) 设小明带足球向正后方移动 nm,则移动后的抛物线对应的函数 解析式为y=- 1 12 (x-2-n)2+3. 把(0,2.25)代入,得2.25=-112 (0- 2-n)2+3,解得n=-5(不合题意, 舍去)或n=1. ∴ 当时小明应该带足球向正后方移 动1m射门,才能让足球经过点O 的 正上方2.25m处. 4. 36 5. (1) 可以. 根据题意,知此时抛物线的顶点G 的 坐标为(6,3.4). 设抛物线对应的函数解析式为y= a(x-6)2+3.4. 将C(0,1.6)代入,得36a+3.4= 1.6,解得a=-120. ∴ y=- 1 20 (x-6)2+3.4. 当x=182=9 时,y=- 1 20× (9- 6)2+3.4=2.95>2.4, ∴ 球可过网. 当x=182+0.4=9.4 时,y=- 1 20× 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 (9.4-6)2+3.4=2.822<3.1. ∴ 这位队员可以拦网成功. (2) 设抛物线对应的函数解析式为 y=a(x-6)2+h. 将C(0,1.6)代入,得36a+h=1.6, 即a=1.6-h36 . ∴ 抛物线对应的函数解析式为y= 1.6-h 36 (x-6)2+h. 根据题意,得 9(1.6-h) 36 +h>2.4 , 144(1.6-h) 36 +h≤0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得h>83. ∴ 排球飞行的最大高度h(米)的取 值范围是h>83. 6. (1) ∵ 易知抛物线的顶点坐标为 (8,8), ∴ 设抛物线对应的函数解析式为 y=a(x-8)2+8. 将O(0,0)代入,得0=64a+8,解得 a=-18. ∴ 抛 物 线 对 应 的 函 数 解 析 式 为 y= - 1 8 (x-8)2 +8,即 y= -18x 2+2x(0≤x≤16). (2) ∵ 双向行车道,且正中间是一条 宽1m的隔离带, ∴ 每条行车道宽为7.5m,车沿着隔 离带边沿行驶时,车另一侧边沿与隧 道边沿的最近水平距离为7.5- 3.5=4(m). 当x=4时,y=- 1 8x 2-2x=6. ∵ 5.8<6, ∴ 其中的一条行车道能行驶宽为 3.5m、高为5.8m的车. (3) 设B(m,0),则A m,-18m2+ 2m . ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ AB=DC,BC=AD. ∵ 抛物线的对称轴为直线x=8, ∴ BC=AD=2(8-m)=(16-2m)m. 设AB,AD,DC的长度之和为wm. ∴ w=16-2m+2-18m 2+2m = -14m 2+2m +16= - 14 (m - 4)2+20. ∵ -14<0 , ∴ 当m=4时,w 的最大值为20,即 AB,AD,DC 的长度之和的最大值是 20m. 7. (1) 由题意,得A(2,1.6)为上边缘 抛物线的顶点. 设y=a(x-2)2+1.6. 又∵ 上边缘抛物线过点H(0,1.2), ∴ 1.2=4a+1.6,解得a=-0.1. ∴ 上边缘抛物线对应的函数解析式 为y=-0.1(x-2)2+1.6. (2) ① ∵ y=-0.1(x-2)2+1.6, ∴ 上边缘抛物线的对称轴为直线 x=2. ∴ 点(0,1.2)关于对称轴的对称点为 (4,1.2). ∴ 下边缘抛物线是由上边缘抛物线 向左平移4米得到的. 当y=0时,0=-0.1(x-2)2+1.6, 解得x1=6,x2=-2(舍去). ∴ C(6,0). ∴ 点B 的坐标为(2,0). ② 能. 理由:∵ DE=1.8米,EF=1.1米, OD=2.2米, ∴ OE=2.2+1.8=4(米). ∴ 点F 的坐标为(4,1.1). 当x=4时,y=-0.1×(4-2)2+ 1.6=1.2. ∵ 1.2>1.1,当x>2时,y随x的增 大而减小, ∴ 洒水车行驶时喷出的水能浇灌到 整个绿化带. 专题特训六　二次函数中 线段、角度、面积问题 1. 9 2. (1) 当y1=0时,-x2+4=0,解 得x=2或x=-2. ∵ 点A 在x轴的负半轴上, ∴ A(-2,0). ∵ A(-2,0)是抛物线y2的最高点. ∴ - b 2× -15 =-2,解得b=-45. 把A(-2,0)代入y2=- 1 5x 2- 4 5x+c ,得0=-45+ 8 5+c ,解得 c=-45. ∴ 抛物线y2 对应的函数解析式为 y2=- 1 5x 2-45x- 4 5. 联立,得 y=-x2+4, y=- 1 5x 2-45x- 4 5 , 解 得 x=-2, y=0 或 x=3 , y=-5. ∵ A(-2,0), ∴ B(3,-5). (2) 设点C的横坐标为x. 由题意,得CD=-x2+4- -15x2- 4 5x- 4 5 =-45x2+45x+245. 当x=-b2a= 1 2 时,CD最大=-45× 1 4+ 4 5× 1 2+ 24 5=5. ∴ S△BCD= 1 2×5× 3- 1 2 =254. 3. (1) 在y=x+3中,令x=0,得 y=3. ∴ B(0,3). 令y=0,得0=x+3,解得x=-3. ∴ A(-3,0). 由 题 意,得 -9-3b+c=0, c=3, 解 得 b=-2, c=3. ∴ 抛 物 线 对 应 的 函 数 解 析 式 为 y=-x2-2x+3. (2) 设点P 的坐标为(p,-p2-2p+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 44 22.3　实际问题与二次函数 第1课时 几何图形面积问题 ▶ “答案与解析”见P19 1. 将一根长2m的铁丝首尾相接围成矩形,则 围成的矩形的最大面积为 ( ) A. 1 4m 2 B. 1 3m 2 C. 1 2m 2 D. 1m2 2. (2024·泰安)如图,小明想用长为60米的栅 栏,一面借助房屋的外墙围成一个矩形菜园. 已知房屋外墙长40米,则可围成的菜园的最 大面积是 平方米. (第2题) 3. ★如图,有长为30m的篱笆,一面利用墙(墙 的最大可用长度为10m),围成中间隔有一 道篱笆(平行于AB)的矩形花圃ABCD.设 花圃的一边AB 的长为xm,面积为ym2. (1) 求y与x之间的函数解析式. (2) 如果要围成面积为63m2 的花圃,那么 AB 的长是多少? (3) 试确定当x 取何值时y 有最大值,并求 出最大面积. (第3题) 4. 如图①所示的矩形窗框ABCD 的周长及其 两条隔断EF,GH 的总长为am,且隔断 EF,GH 分别与矩形的两条邻边平行.设BC 的长为xm,矩形ABCD 的面积为ym2,y 关于x 的函数图象如图②所示,则下列说法 中,正确的是 ( ) (第4题) A. 矩形ABCD 的最大面积为8m2 B. y与x之间的函数解析式为y=-x2+2x C. 当x=4时,矩形ABCD 的面积最大 D. a的值为12 5. 如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=6cm, BC=8cm,动点P 从点A 开始,沿边AB 向 点B 以1cm/s的速度移动,同时点Q 从点B 开始,沿边BC 向点C 以2cm/s的速度移 动.当其中一个点到达终点时,两点停止移 动.设移动时间为ts.当四边形APQC 的面 积最小时,t的值是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (第5题) (第6题) 6. 如 图,菱 形 ABCD 的 边 长 为 8, ∠BAD=60°,E 是AD 上一动点 (不与点A,D 重合),F 是CD 上一 动点,且AE+CF=8,则△DEF 的面积的最 大值为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 45 7. 某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的 图案设计.这个图案是由四个全等的直角三 角形和一个小正方形拼接而成的大正方形, 设小正方形的边长为m,直角三角形较短直 角边的长为n,且n=2m-4,大正方形的面 积为S. (1) 求S关于m 的函数解析式. (2) 若小正方形的边长不大于3,求出当大正 方形的面积最大时m 的值. (第7题) 8. 将一副三角尺(△ABC 与△DEF) 按如图所示的方式放置,点D 在边 AB 上滑动,DE 交AC 于点G,DF 交BC 于点H,且在滑动过程中始终保持 DG=DH.若AC=2,则△BDH 面积的最 大值是 ( ) (第8题) A. 3 B. 33 C. 3 2 D. 33 2 9. 分类讨论思想 如 图,把 一 张 长 为 10cm,宽为8cm的矩形硬纸板的 四角各剪去一个同样大小的正方 形,再折成一个无盖长方体盒子(纸板的厚度 忽略不计). (1) 如果长方体盒子的底面积为48cm2,那 么剪去的正方形的边长为 . (2) 长方体盒子的侧面积是否有最大值? 如 果有,请求出最大面积和此时剪去的正方形 的边长;如果没有,请说明理由. (3) 若把矩形硬纸板的四角剪去4个同样大 小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩 形,然后折成一个有盖长方体盒子,则侧面积 是否有最大值? 如果有,请求出最大面积和 此时剪去的正方形的边长;如果没有,请说明 理由. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十二章　二次函数 46 第2课时 商品利润问题 ▶ “答案与解析”见P20 1. 某种商品每件的进价为20元,调查表明:在 某段时间内,若以每件x 元(20≤x≤30,且 x为整数)的价格出售,则可卖出(30-x)件. 要使利润最大,每件的售价应为 ( ) A. 24元 B. 25元 C. 28元 D. 30元 2. 某商品现在的售价为每件35元,每天可卖出 50件.市场调查反映:如果调整价格,每件该 商品每降价1元,那么每天可多卖出2件.请 你帮助分析,当每件商品降价多少元时,可使 每天的销售额最大,最大销售额是 ( ) A. 2500元 B. 2000元 C. 1800元 D. 2200元 3. 某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批 西瓜,以3元/千克售出,每天可售出200千 克.经调查发现,售价每千克每降低0.1元, 每天多卖40千克,另外,每天的其他固定成 本为24元.当西瓜的定价为 元/千 克时,经营户能获得最大利润. 4. 某超市以每件10元的价格购进一种文具,销 售时这种文具的销售单价不低于进价,且不 高于19元.经过市场调查发现,这种文具的 每天销售数量y(件)与销售单价x(元)之间 满足一次函数关系,部分数据如下表: 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … (1) 直接写出y与x之间的函数解析式. (2) 若该超市每天销售这种文具可获利 192元,则销售单价为多少元? (3) 设销售这种文具每天获利w 元.当销售 单价为多少元时,每天获利最大? 最大利润 是多少元? (第5题) 5. 某超市对进货价为12元/千克的某种苹果的 销售情况进行统计发现,每天销售量y(千 克)与销售价x(元/千克)之间存在如图所示 的一次函数关系,则每天可获得的最大利润是 ( ) A. 160元 B. 182元 C. 152元 D. 162元 6. 某快餐店销售A,B两种快餐,每份 利润分别为12元、8元,每天卖出的 份数分别为40,80.该店为了增加利 润,准备降低每份A种快餐的利润,同时提 高每份B种快餐的利润.售卖时发现,在一定 范围内,每份A种快餐的利润每降低1元可 多卖2份,每份B种快餐的利润每提高1元 就少卖2份.如果这两种快餐每天的销售总 份数不变,那么这两种快餐一天的总利润最 多是 元. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 47 7. 某商贸公司购进某种商品,经过市场调研,整 理出这种商品在第x(1≤x≤48)天的售价与 日销售量之间的关系如下表: 时间x/天 1≤x<30 30≤x≤48 售价/(元/千克) x+30 60 日销售量/千克 -2x+120 已知这种商品的进价为20元/千克,设销售 这种商品的日销售利润为y元. (1) 求y与x的函数解析式. (2) 第几天的销售利润最大? 最大为多少? (3) 公司在销售的前28天中,每销售1千克 这种商品就捐赠n元(n<9)给“希望工程”. 若扣除捐赠后的日销售利润随x的增大而增 大,求n的取值范围. 8. 某菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜,提供 如下信息: ① 统计售价与需求量的数据,通过描点发 现,这种蔬菜的需求量y需求(吨)关于售价 x(元/千克)的函数图象如图①所示,其对应 的函数解析式为y需求=ax2+c. ② 这种蔬菜的供给量y供给(吨)关于售价 x(元/千克)的函数解析式为y供给=x-1,函 数图象如图①所示. ③ 1~7月这种蔬菜的售价x售价(元/千克)、 成本x成本(元/千克)关于月份t的函数解析 式分别为x售价=12t+2 ,x成本=14t 2-32t+ 3,函数图象如图②所示. (1) 求a,c的值. (2) 根据图②,试确定哪个月出售这种蔬菜 每千克获利最大,并说明理由. (3) 求这种蔬菜的供给量与需求量相等时的 售价,以及按此价格出售获得的总利润. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十二章　二次函数 48 第3课时 建立坐标系解“抛物线”形问题 ▶ “答案与解析”见P21 1. 如图所示为一个横断面为抛物线形状的拱 桥,当水位在l时,水面宽为4m,拱顶(拱桥 洞的最高点)离水面2m.当水面宽为3m 时,水位上升了 ( ) A. 0.675m B. 0.875m C. 0.975m D. 1.125m (第1题) (第2题) 2. (2024·广西)如图,壮壮同学投掷实心球,出 手(点P 处)的高度OP 是74m ,出手后实心 球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距 离是5m,高度是4m.若实心球落地点为M, 则OM= m. 3. (2023·温州)一次足球训练中,小明从球门 正前方8m的点A 处射门,足球射向球门的 路线呈抛物线形.当足球飞行的水平距离为 6m时,足球到达最高点,此时足球离地面 3m.已知球门的高度OB 为2.44m,现以O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系. (1) 求抛物线对应的函数解析式,并通过计 算判断足球能否射进球门(忽略其他因素). (2) 对本次训练进行分析,若射门路线的形 状、最大高度均保持不变,则当时小明应该带 足球向正后方移动多少米射门,才能让足球 经过点O 的正上方2.25m处? (第3题) 4. 如图所示为一座抛物线形拱桥,桥 拱在竖直平面内,与水平桥面相交 于A,B 两点,拱桥最高点C 到AB 的距离为8m,AB=24m,D,E 为拱桥底部 的两点,且DE∥AB.若点E 到直线AB 的距 离为10m,则DE 的长为 m. (第4题) 5. 如图,排球场的长度OD 为18米,位于球场 中线处的球网AB 的高度为2.4米,一队员 站在点O处发球,排球从点O的正上方1.6米 的点C 处向正前方飞出,排球经过的路线是 抛物线的一部分,当排球飞行至离点O 的水 平距离OE 为6米处时,到达最高点G,建立 平面直角坐标系. (1) 当排球上升的最大高度为3.4米时,对 方距离球网0.4米的点F 处有一队员,他起 跳后的最大高度为3.1米.这位队员是否可 以拦网成功? (2) 若队员发球既要过球网,又不出边界,则 排球飞行的最大高度h(米)的取值范围是多 少(排球压线属于没出界)? (第5题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 49 6. 施工队要修建一个横断面为抛物线形的公路 隧道,其高度为8m,宽度OM 为16m.现以 O 为原点,OM 所在直线为x 轴建立如图所 示的平面直角坐标系. (1) 求抛物线对应的函数解析式,并写出自 变量x的取值范围. (2) 隧道下的公路是双向行车道(正中间是 一条宽1m的隔离带),其中的一条行车道能 否行驶宽为3.5m、高为5.8m的车? (3) 施工队计划在隧道门口搭建一个矩形 “脚手架”ABCD,使点A,D 在抛物线上,点 B,C 在地面OM 上.为了筹备材料,需求出 “脚手架”三根木杆AB,AD,DC 的长度之和 的最大值. (第6题) 7. 新考法·项目式学习 如图①,一辆洒 水车正在沿着公路行驶(平行于绿 化带),为绿化带浇水.数学小组想 了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之 间的距离,才能保证喷出的水能浇灌到整个 绿化带.围绕这个问题,该小组开展了项目式 学习.建立如图②所示的平面直角坐标系,可 以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条 抛物线.已知喷水口 H 离地面竖直高度为 1.2米,上边缘抛物线最高点A 离喷水口的 水平距离为2米,高出喷水口0.4米. (1) 求上边缘抛物线对应的函数解析式. (2) 当喷头竖直高度调整时,喷头喷出的水 柱形状不发生改变,即下边缘抛物线是由上 边缘抛物线向左平移得到的.如图③,把绿化 带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度 DE=1.8米,竖直高度EF=1.1米,洒水车 到绿化带的距离OD 为d米. ① 求下边缘抛物线与x轴的交点B 的坐标. ② 若d=2.2,则洒水车行驶时喷出的水能否 浇灌到整个绿化带? 请判断并说明理由. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十二章　二次函数